4.4 ＊数学归纳法-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教版）

4.4　*数学归纳法 第四章　数列 1 课标要求 1.了解数学归纳法的原理（数学抽象）. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题（逻辑推理）. 情境导入 　　往一匹健壮的马身上放一根稻草，马毫无反应；再添加一根稻草，马还是丝毫没有感觉……一直往马身上添加稻草，当最后一根轻飘飘的稻草放到了马身上后，马竟不堪重负瘫倒在地.这在社会学里，取名为“稻草原理”.这也是多米诺骨牌效应的一个体现，其中更蕴含着一种递推的数学思想，下面我们来学习一下这种数学思想. 目 录 CONTENTS 知识点一　数学归纳法 知识点二　用数学归纳法证明等式 知识点三　用数学归纳法证明不等式 知识点四　归纳—猜想—证明 小结与自测 知识点一　数学归纳法 目录 5 问题　（1）如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判 断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示：不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳 法.不完全归纳法得到的结论不一定正确. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示：要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块 倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能 倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推 理方法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个 字，但其结论是正确的. 数学·选择性必修第二册 目录 1. 定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成 立，这种证明方法称为数学归纳法. 数学·选择性必修第二册 目录 2. 证明形式：记P（n）是一个关于正整数n的命题. 条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则 P（k＋1）也为真. 结论：P（n）为真. 提醒：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中， 要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝ k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项. 数学·选择性必修第二册 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. （　×　） （2）应用数学归纳法证明数学命题时n0＝1. （　×　） （3）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可. （　√　） （4）推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设. （　×　） × × √ × 数学·选择性必修第二册 目录 2. 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n（n－3）条时，第一步 应验证n＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　边数最少的凸n边形是三角形，故选C. √ 数学·选择性必修第二册 目录 3. 设S1＝12，S2＝12＋22＋12，S3＝12＋22＋32＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋ 32＋…＋n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明“Sn＝ ”的过程 中，第二步从k到k＋1应添加的项为 ⁠. 解析：当n＝k时，Sk＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12；当n＝k＋1时，Sk＋ 1＝12＋22＋…＋k2＋（k＋1）2＋k2＋…＋22＋12，可见，从k到k＋1应添 加的项是（k＋1）2＋k2. （k＋1）2＋k2 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一 定是1； （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数 的变化，弄清式子两边的构成规律； （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设. 数学·选择性必修第二册 目录 知识点二　用数学归纳法证明等式 目录 14 （链接教材P47例2）用数学归纳法证明： ＋ ＋…＋ ＝1－ （n∈N*）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝ ，右边＝1－ ＝ ，显然等式成立. （1）当n＝1时，左边＝ ，右边＝1－ ＝ ，显然等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立， 即 ＋ ＋…＋ ＝1－ ， 则当n＝k＋1时， ＋ ＋…＋ ＋ ＝1－ ＋ ＝1－ ＋ ＝ 1－ ，故当n＝k＋1时，等式也成立， 由（1）（2）可得， ＋ ＋…＋ ＝1－ （n∈N*）成立. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 用数学归纳法证明等式的策略 　　应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）n＝n0时，等式的结构； （2）n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k 时的代数式增加（或减少）的项. 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项； ②代数式相邻两项之间的变化规律； ③代数式中最后一项（最后一个数）与n的关系. 数学·选择性必修第二册 目录 训练1　用数学归纳法证明：（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（n2＋n）＝ n （n＋1）（n＋2）（n∈N*）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝2，右边＝ ×1×2×3＝2，等式成立. （1）当n＝1时，左边＝2，右边＝ ×1×2×3＝2，等式成立. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立， 即（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（k2＋k）＝ k（k＋1）·（k＋2）， 那么当n＝k＋1时， （12＋1）＋（22＋2）＋…＋（k2＋k）＋[（k＋1）2＋（k＋1）]＝ k （k＋1）（k＋2）＋（k＋1）2＋（k＋1）＝ k（k＋1）（k＋2）＋ （k＋1）（1＋k＋1）＝ （k＋1）·（k＋2）（k＋3）＝ （k＋1） [（k＋1）＋1][（k＋1）＋2]，即当n＝k＋1时，等式也成立. 根据（1）和（2）可知，等式对任意正整数n都成立. 数学·选择性必修第二册 目录 知识点三　用数学归纳法证明不等式 目录 19 用数学归纳法证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ （n≥2，n∈N*）. 证明：（1）当n＝2时，左边＝ ＝ ，右边＝1－ ＝ ，∵ ＜ ，∴不 等式成立. （1）当n＝2时，左边＝ ＝ ，右边＝1－ ＝ ，∵ ＜ ，∴不 等式成立. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立， 即 ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ . 则当n＝k＋1时， ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＜1－ ＋ ＝1－ ＝1 － ＜1－ ＝1－ . ∴当n＝k＋1时，不等式也成立. 根据（1）和（2）知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 （1）适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不 容易证，则可考虑应用数学归纳法； （2）关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使 用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基 本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化. 数学·选择性必修第二册 目录 训练2　（1）用数学归纳法证明： ＋ ＋…＋ ＞ （n≥2， n∈N*）； （1）①当n＝2时， 左边＝ ＋ ＋ ＋ ＞ ，不等式成立. 证明：①当n＝2时， 左边＝ ＋ ＋ ＋ ＞ ，不等式成立. ②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时不等式成立， 即 ＋ ＋…＋ ＞ ， 则当n＝k＋1时， ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ 数学·选择性必修第二册 目录 ＝ ＋ ＋…＋ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋（3× － ）＝ ， 所以当n＝k＋1时不等式也成立. 由①②可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）已知n＞2，n∈N*.用数学归纳法证明：1＋ ＋ ＋…＋ ＞ .不等式成立. 证明：①当n＝3时，左边＝1＋ ＋ ，右边＝ ＝2，左边＞右边， 不等式成立. ②假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式成立， 即1＋ ＋ ＋…＋ ＞ . 当n＝k＋1时，1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＞ ＋ ＝ ＝ 数学·选择性必修第二册 目录 ＞ ＝ ＝ ，所以1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＞ ， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 由①②知对一切n＞2，n∈N*，不等式恒成立. 数学·选择性必修第二册 目录 知识点四　归纳—猜想—证明 目录 27 （链接教材P48例3）在数列{an}中，a1＝ ，an＋1＝ （n＝1， 2，3，…）. （1）求a2，a3，a4； 解：a2＝ ＝ ＝ ， a3＝ ＝ ＝ ， a4＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册 目录 （2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 解：猜想数列{an}的通项公式为an＝ ， 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，左边＝a1＝ ，右边＝ ＝ ，结论成立. ②假设当n＝k（k≥1）时，结论成立，即ak＝ ， 那么ak＋1＝ ＝ ＝ ， 即当n＝k＋1时结论也成立， 根据①和②可知，结论对任意正整数n都成立，即an＝ . 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 “归纳—猜想—证明”的一般环节 数学·选择性必修第二册 目录 训练3　已知函数y＝f（n）（n∈N*），设f（1）＝2，且任意的n1， n2∈N*，有f（n1＋n2）＝f（n1）·f（n2）. （1）求f（2），f（3），f（4）的值； 解：由f（1）＝2，且任意的n1，n2∈N*， 有f（n1＋n2）＝f（n1）·f（n2）， 得f（2）＝f（1＋1）＝f（1）·f（1）＝22，f（3）＝f（2＋1）＝f （2）·f（1）＝23，f（4）＝f（3＋1）＝f（3）·f（1）＝24， 所以f（2）＝4，f（3）＝8，f（4）＝16. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）试猜想f（n）的解析式，并用数学归纳法给出证明. 解：由（1）猜想：f（n）＝2n（n∈N*）. 证明如下： ①当n＝1时，f（1）＝21＝2，猜想正确； ②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，猜想正确，即f（k）＝2k， 则当n＝k＋1时，f（k＋1）＝f（k）·f（1）＝2k·2＝2k＋1，因此当n ＝k＋1时，猜想正确. 由①②知，对任意的n∈N*，都有f（n）＝2n. 数学·选择性必修第二册 目录 小结与自测>> 目录 33 数学·选择性必修第二册 目录 1. 用数学归纳法证明：1＋2＋…＋（2n＋1）＝（n＋1）·（2n＋1）， 在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是（　　） A. 1 B. 1＋3 C. 1＋2＋3 D. 1＋2＋3＋4 解析：　当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故选C. √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一 步证明中的起始值n0应取（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 解析：当n取1，2，3，4时，2n＞n2＋1都不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，所以第一个能使2n＞n2＋1成立的n的值为5.故起始值n0应取5. √ 数学·选择性必修第二册 目录 3. 〔多选〕用数学归纳法证明不等式 ＋ ＋ ＋…＋ ＞ －1 （n∈N*，n≥2）时，以下说法正确的是（　　） A. 第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B. 从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C. 从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项 D. 当n＝2时不等式左边是 √ √ 数学·选择性必修第二册 目录 解析：第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；因为 ＋ ＋ ＋…＋ －（ ＋ ＋ ＋…＋ ）＝ ＋ ＋…＋ （k∈N*），所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 ＋ ＋…＋ ，所以B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要 增加2k－1项，所以C正确；当n＝2时， ＝ ，不等式左边是 ，所以D 正确. 数学·选择性必修第二册 目录 4. 用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则当n＝k＋1时，左 端在n＝k时的左端加上 ⁠. 解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3 ＋…＋k2＋（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2. （k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2 数学·选择性必修第二册 目录 5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）. （1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； 解：∵a1＝1，Sn＝n2an，∴S1＝a1＝1； 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2，可得a2＝ ，S2＝1＋ ＝ ； 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝9a3， 可得a3＝ ，S3＝1＋ ＋ ＝ ； 当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝ ，S4＝ .猜想Sn＝ . 数学·选择性必修第二册 目录 （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. 解：①当n＝1时，猜想显然成立. ②假设当n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即Sk＝ ， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＝（k＋1）2ak＋1＝（k＋1）2·（Sk＋1－Sk）， ∴（k2＋2k）Sk＋1＝（k＋1）2Sk＝（k＋1）2· ， ∴Sk＋1＝ . 故当n＝k＋1时，猜想也成立. 由①和②可知，对于任意的n∈N*都有Sn＝ . 又∵Sn＝n2an，∴an＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册 目录 $