4.3.1 第2课时 等比数列的判定及性质-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教版）

4.3.1　等比数列的概念 第二课时　等比数列的判定及性质 第四章　数列 1 课标要求 1.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系（数学抽象）. 2.掌握等比数列的判断及证明方法（逻辑推理）. 3.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算（逻辑推理、数学运算）. 情境导入 　　在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，推理使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列的性质. 目 录 CONTENTS 知识点一　等比数列的通项公式与指数型函数的关系 知识点二　等比数列的判定与证明 知识点三　等比数列的性质 小结与自测 课时作业 知识点一　等比数列的通项公式与指数型函数的关系 目录 5 问题　（1）观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函 数有关？ 提示：由an＝a1qn－1＝ ·qn可知，当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的 第n项an是函数f（x）＝ ·qx（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f （n）.因此等比数列{an}的图象是函数f（x）＝ ·qx（x∈R）图象上 的一些孤立的点. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）有人说，等比数列的通项公式与指数函数一样，所以当q＞1时，数 列递增；0＜q＜1时，数列递减，你认为正确吗？ 提示：不对.比如q＞1的数列：－1，－2，－4，－8，…为递减数列；0＜ q＜1的数列：－ ，－ ，－ ，…为递增数列. 数学·选择性必修第二册 目录 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 （1）当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f（x）＝ ·qx （x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n），n∈N*； （2）由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当 或 时，等比数列{an}为递增数列； 数学·选择性必修第二册 目录 ②当 或 时，等比数列{an}为递减数列； ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列； ④当q＜0时，等比数列{an}为 ⁠. 提醒：（1）q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特 点；（2）等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存 在单调性. 摆动数列　 数学·选择性必修第二册 目录 （1）根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是（　C　） A. an＝n B. an＝ C. an＝2－n D. an＝log2n 解析：等比数列的通项公式具有“指数型函数”的结构. C 数学·选择性必修第二册 目录 （2）下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述正确的是（　D　） A. q＞1⇒{an}为递增数列 B. {an}为递增数列⇒q＞1 C. 0＜q＜1⇔{an}为递减数列 D. q＞1⇒/{an}为递增数列，且{an}为递增数列⇒/q＞1 D 解析：若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递 减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…， 是递增数列，q＝ ∈（0，1），B、C不正确，D正确. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 1. 具备“an＝kqn（k≠0，q≠0）”形式，如an＝2n－1，an＝3（ ）n＋2 为等比数列. 2. 等比数列的单调性由a1和q共同决定，即a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜ 1，{an}递增；a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1，{an}递减. 数学·选择性必修第二册 目录 训练1　（1）已知{an}是递增的等比数列，且a2＜0，则其公比q满足 （　D　） A. q＜－1 B. －1＜q＜0 C. q＞1 D. 0＜q＜1 解析：{an}是等比数列，故an＝a1qn－1，当q＜0时，{an}各项符号正负间 隔，不符合题意，故q＞0，显然q≠1，由a2＝a1q＜0得a1＜0，又{an}是 递增的等比数列，故{qn－1}为递减数列，由指数函数的单调性知0＜q＜1. D 数学·选择性必修第二册 目录 （2）（2026·洛阳月考）若等比数列{an}是递减数列，且a2＋a4＝30， a2a4＝144，则公比q＝ ⁠. 解析：∵a2＋a4＝30，a2a4＝144，∴a2，a4是方程x2－30x＋144＝0的两 个实数根（a2＞a4），∴a2＝24，a4＝6，∴q2＝ ＝ ＝ ，解得q＝ 或q＝－ （舍去）. ​ 数学·选择性必修第二册 目录 知识点二　等比数列的判定与证明 目录 15 问题　若数列{an}中an≠0，则由 ＝a1a3能判定{an}是等比数列吗？若 是 ＝anan＋2呢？ 提示： ＝a1a3可变为 ＝ ，可判断a1，a2，a3成等比数列，但无法确 定整个数列是等比数列，而 ＝anan＋2可变为 ＝ ，考虑n的任 意性，可以判定数列为等比数列. 数学·选择性必修第二册 目录 判定与证明等比数列的方法 （1）定义法： ＝ （n∈N*且n≥2，q是不为0的常数）； （2）等比中项法： ＝ （n∈N*且n≥2）； （3）通项公式法：an＝ ＝ ·qn＝A·qn（A≠0）. q　 an－1an＋1　 a1qn－1　 数学·选择性必修第二册 目录 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. （1）求证：数列{an＋n}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 数学·选择性必修第二册 目录 【破题思维】 题目信息 信息转化 已知a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，求证{an＋n}为等比数列 联想到等比数列的定义：需证明 为常数 求数列{an}的通项公式 联想等比数列的通项公式，先求an ＋n，再求an 数学·选择性必修第二册 目录 解：（1）证明：由an＋1＝2an＋n－1，得an＋1＋n＋1＝2an＋2n＝2（an ＋n），易知an＋n≠0， ∴ ＝2，且a1＋1＝2， ∴数列{an＋n}是首项与公比都为2的等比数列. （2）由（1）得an＋n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－n. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 判断一个数列是等比数列需注意 （1）证明{an}为等比数列常用定义法； （2）用定义法证明时， 和 中的n的范围不同. 数学·选择性必修第二册 目录 训练2　（1）已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N*，满足 ＝an－1an＋1， 且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式为（　　） A. an＝2n B. an＝2n－1 C. an＝n D. an＝2n－n 解析：由题意可知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q＝ ＝2，所以an＝2n－1. √ 数学·选择性必修第二册 目录 （2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ （an－1）（n∈N*）.证 明：数列{an}是等比数列. 证明：因为Sn＝ （an－1），所以Sn＋1＝ （an＋1－1）， 两式相减，得an＋1＝ an＋1－ an，即an＋1＝－ an. 又当n＝1时，a1＝S1＝ （a1－1），所以a1＝－ . 所以数列{an}是首项为－ ，公比为－ 的等比数列. 因为Sn＝ （an－1），所以Sn＋1＝ （an＋1－1）， 两式相减，得an＋1＝ an＋1－ an，即an＋1＝－ an. 又当n＝1时，a1＝S1＝ （a1－1），所以a1＝－ . 所以数列{an}是首项为－ ，公比为－ 的等比数列. 数学·选择性必修第二册 目录 知识点三　等比数列的性质 目录 24 问题　（1）类比等差数列中“若m，n∈N*， 则an＝am＋（n－m） d”，能否找到等比数列中任意两项an，am的关系呢？ 提示：类比可得an＝amqn－m.由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝ a1qm－1，两式相除可得 ＝ ＝q（n－1）－（m－1）＝qn－m，即an＝ amqn－m. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）类比等差数列中“若m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*，则am＋an ＝ak＋al”，能否发现等比数列中相似的关系呢？ 提示：类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.推导 过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，所以aman＝ a1qm－1·a1qn－1＝ qm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝ qk＋l－2，因为m ＋n＝k＋l，所以有aman＝akal. 数学·选择性必修第二册 目录 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则： （1）an＝am· （n，m∈N*）； （2）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则 ⁠； 特别地，①若m＋n＝2r，则aman＝ ，m，n，r∈N*；②a1an＝a2an－ 1＝…＝aian＋1－i＝…（i＝1，2，3，…，n）； （3）若m，n，p（m，n，p∈N*）成等差数列，则am，an，ap成等比 数列. qn－m　 aman＝apaq　 数学·选择性必修第二册 目录 已知{an}为正项等比数列. （1）若a5＝8，a7＝2，求an； 解：由a7＝a5·q2得q2＝ . 因为an＞0，所以q＝ ， 所以an＝a5·qn－5＝8×（ ）n－5＝（ ）n－8. （2）若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； 解：a2a4＋2a3a5＋a4a6＝ ＋2a3a5＋ ＝（a3＋a5）2＝25， 因为an＞0，所以a3＋a5＞0，所以a3＋a5＝5. 数学·选择性必修第二册 目录 （3）若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a9＋log3a10的值. 解：根据等比数列的性质， 得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9a10＝（a5a6）5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a9＋log3a10＝log3（a1a2…a9a10）＝log395＝ 10. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与 项之间的关系，选择恰当的性质解题； （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量. 数学·选择性必修第二册 目录 训练3　（1）已知等比数列{an}中，a1a2a3＝2，a2a3a4＝8，则a9＝ （　B　） A. 28 B. 32 C. 36 D. 40 解析：由数列{an}为等比数列，则a1a2a3＝ ＝2，a2a3a4＝ ＝8，则 ＝q3＝ ＝4，则 ＝（a3·q6）3＝ ·q18＝8×46＝23×163＝323，所以 a9＝32. B 数学·选择性必修第二册 目录 （2）在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则 ＝（　A　） A. 或 B. C. 或 D. 或 解析：由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝ 3，a14＝2，若a4＝2，a14＝3，则q10＝ ，即 ＝ ；若a4＝3，a14＝2， 则q10＝ ，即 ＝ . A 数学·选择性必修第二册 目录 小结与自测>> 目录 33 数学·选择性必修第二册 目录 1. 在等比数列{an}中，若a3＝8，a6＝64，则公比q＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析：由a6＝a3q3，得q3＝8，所以q＝2. √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 在等比数列{an}中，若a2a6＋ ＝π，则a3a5＝（　　） A. B. C. D. 解析：因为a2a6＝ ＝a3a5，所以a3a5＝ . √ 数学·选择性必修第二册 目录 3. 在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是 （　　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 无法确定单调性 解析：如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列{（ ）n}的公比为 ，是递减数列；等比数列{－（ ）n}的公比为 ，是递增数列. √ 数学·选择性必修第二册 目录 4. 已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列. 解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1（n≥2）.当n≥2时， ＝ ＝2； 当n＝1时， ＝ ＝ . 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2； 当a≠－1时，数列{an}不是等比数列. 数学·选择性必修第二册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：104分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 39 1. 在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，则a3＝（　　） A. 4 B. C. D. 2 解析：　由等比数列的性质可得 ＝a9a3，得a3＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 已知{an}为等比数列，若a2＋4a4＝4a3，则{an}的公比q＝（　　） A. －2 B. 2 C. － D. 解析：根据等比数列定义由a2＋4a4＝4a3可得a2＋4a2q2＝4a2q，显然a2≠0，所以4q2－4q＋1＝0，解得q＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 3. 若数列{an}是公比为q的递增等比数列，则（　　） A. a1＞0，q＞1 B. a1（q－1）＞0 C. （a1－1）q＞0 D. （a1－1）q＜0 解析：依题意，不妨设a1＝1，q＝2，数列是递增的等比数列，由此判断C、D选项错误.设a1＝－1，q＝ ，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 4. 在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9＝（　　） A. 9 B. －9 C. ±9 D. 18 解析：因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以（a1a9）2＝81，即a1a9＝±9.因为在等比数列{an}中，奇数项（或偶数项）的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 5. 数列{an}满足a1＝1，an＋1＝tan＋t（n∈N*，t≠0），则“t＝ ”是 “数列{an}是等比数列”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析： 　当t＝ 时，由a1＝1得a2＝ ＋ ＝1，a3＝ ＋ ＝1，…，an＝ 1，所以{an}是等比数列，充分性成立；反之若{an}是等比数列，则a2＝ ta1＋t＝2t，a3＝ta2＋t＝2t2＋t，又因为a1，a2，a3也成等比数列，所以 ＝a1a3，即4t2＝2t2＋t，又t≠0，所以t＝ ，此时an＝1（n∈N*）， 满足题意，必要性也成立.所以“t＝ ”是“数列{an}是等比数列”的充 要条件.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 6. 〔多选〕已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是（　） A. ak·ak＋1＞0 B. ak·ak＋2＞0 C. ak·ak＋1·ak＋2＞0 D. ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＞0 解析：对于A，当q＜0时，ak·ak＋1＜0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝（akq）2＞0，B成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝（ak＋1）3＞0不一定成立，C不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝（ak＋1·ak＋2）2＞0一定成立，故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 7. 在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15 ＝ ⁠. 解析：由题意知q5＝ ＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 1 536 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 8. 已知两个等比数列{an}，{bn}的前n项积分别为An，Bn，若 ＝3，则 ＝ ⁠. 解析：根据题意得，A5＝a1a2a3a4a5＝ ，B5＝b1b2b3b4b5＝ ，故 ＝ ＝35＝243. 243 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 9. 在等比数列{an}中，a2·a10＝6，a2＋a10＝5，则 ＝ 　 或 　. 解析：由a2·a10＝6，a2＋a10＝5，得a2和a10为方程x2－5x＋6＝0的两个 根，解得a2＝2，a10＝3或a2＝3，a10＝2，设等比数列{an}的公比为q，所 以 ＝ ＝ ＝ 或 . 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 10. （13分）已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1， ＝ 9a2a6. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设数列{an}的公比为q， 由 ＝9a2a6得 ＝9 ，所以q2＝ . 由已知q＞0，故q＝ . 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝ . 故数列{an}的通项公式为an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式. 解：bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－（1＋2＋…＋n）＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 11. 已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则 a8a15＝（　　） A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4 解析：∵T13＝4T9，∴a1a2·…·a9a10a11a12a13＝4a1a2·…·a9，∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴（a8·a15）2＝ 4，∴a8a15＝±2.又∵{an}为递减数列，∴q＞0，∴a8a15＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 12. 已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a（a＞0），b1－a1＝1，b2 －a2＝2，b3－a3＝3.若数列{an}唯一，则a＝（　　） A. B. C. D. 1 解析：设{an}的公比为q，由b1＝1＋a，b2＝2＋a2，b3＝3＋a3且 ＝b1b3⇒（2＋aq）2＝（1＋a）·（3＋aq2）⇒aq2－4aq＋3a－1＝0，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，所以方程有两个不相等的实数根.由{an}唯一，知方程必有一根为0，代入方程aq2－4aq＋3a－1＝0中，得a＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 13. 〔一题多解〕设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则 a1a2…an的最大值为 ⁠. 解析：法一　设{an}的公比为q，依题意得 解得 所以an＝（ ）n－4，从而a1a2…an＝（ ＝ （ ，当n＝3或n＝4时， ［（n－ ）2－ ］取到最 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 小值－6，此时（ 取到最大值26，所以a1a2…an的最 大值为64. 法二　设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝ ， 则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝ ，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 14. （15分）已知数列{an}满足an＞0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等 差数列. （1）证明：{an}为等比数列； 解：证明：因为lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列， 所以2lg an＋1＝lg an＋lg an＋2， 所以 ＝anan＋2， 又an＞0，所以数列{an}为等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）若a5＝2，a7＝8，求数列{an}的通项公式. 解：由（1）可设等比数列{an}的公比为q，且q＞0. 由已知得 解得 因为q＞0，所以q＝2， 所以an＝ ×2n－1＝2n－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 15. （15分）设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1 ＋13，4a2，a3＋9成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝ 或q＝ （舍去）， 所以an＝8×（ ）n－1＝24－n，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）若bn＝an（n＋2－λ），且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值 范围. 解：bn＝an（n＋2－λ）＝（n＋2－λ）·24－n， 由bn＞bn＋1， 得（n＋2－λ）·24－n＞（n＋3－λ）·23－n， 即λ＜n＋1， 所以λ＜（n＋1）min＝2， 故实数λ的取值范围为（－∞，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 $