4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教版）

4.3.2　等比数列的前n 项和公式 第一课时　等比数列的前n 项和公式 第四章　数列 1 课标要求 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路（逻辑推理、数学运算）. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题（数 学运算）. 情境导入 如图所示，如果一个人得到某个信息之后， 就将这个信息传给3个不同的好友（称为第1轮 传播），每个好友收到信息后，又都传给了3个 不同的好友（称为第2轮传播），……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息 传播的人数就构成了一个等比数列：1，3，9，27，81，…. 　　如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么你能求出知晓这个信息的人数吗？ 目 录 CONTENTS 知识点一　等比数列的前n 项和公式 知识点二　利用等比数列前n 项和公式求基本量 知识点三　利用等比数列前n 项和公式判断等比数列 小结与自测 课时作业 知识点一　等比数列的前n 项和公式 目录 5 问题　对于等差数列{an}，我们用倒序相加法求得了其前n项和Sn，那么 对于等比数列{an}，如何求其前n项和Sn呢？ 提示：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2 ＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q ＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两 式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即（1－q）Sn＝a1（1－qn），当q≠1 时，Sn＝ ，当q＝1时，Sn＝na1. 数学·选择性必修第二册 目录 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 提醒：求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行讨 论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和. 数学·选择性必修第二册 目录 （链接教材P35例7）求下列等比数列前8项的和： （1） ， ， ，…； 解：因为a1＝ ，a2＝ ，可得q＝ ， 所以S8＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册 目录 （2）a1＝27，a9＝ ，q＜0. 解：由a1＝27，a9＝ ，可得 ＝27·q8. 又由q＜0，可得q＝－ ， 所以S8＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 　　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，注 意公比q＝1是否成立. 数学·选择性必修第二册 目录 训练1　（1）在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则S3＝ ⁠； 解析：S3＝ ＝26. （2）〔一题多解〕求数列{（－1）n}的前100项的和S100. 解：法一　a1＝（－1）1＝－1，q＝－1.∴S100＝ ＝0. 法二　数列{（－1）n}为－1，1，－1，1，…，∴S100＝50×（－1＋1） ＝0. 26 数学·选择性必修第二册 目录 知识点二　利用等比数列前n 项和公式求基本量 目录 12 （链接教材P36例8）在等比数列{an}中. （1）若a1＝－1， ＝ ，求S8； 解：当q＝1时， ＝ ＝2，矛盾，所以q≠1. 由 ＝ ＝1＋q5＝ ，q5＝－ ⇒q＝－ ， 所以S8＝ ＝ ＝－ . 数学·选择性必修第二册 目录 （2）〔一题多解〕若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解：法一　由已知条件得 解得 法二　由公式Sn＝ 及条件得189＝ ，解得a1＝3，又由an＝ a1qn－1，得96＝3×2n－1，解得n＝6. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 与等比数列前n项和公式有关的基本量的求解 （1）在等比数列前n项和公式中，共可涉及五个量：a1，an，n，q， Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来 解答； （2）在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判 断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 数学·选择性必修第二册 目录 训练2　（1）在14与 之间插入n个数，组成所有项的和为 的等比数 列，则此数列的项数为 ⁠； 解析：设此数列的公比为q（易知q≠1），则 解得 故此数列共有5项. 5 数学·选择性必修第二册 目录 （2）在等比数列{an}中，S3＝ ，S6＝ ，则an＝ ⁠. 解析：设等比数列{an}的公比为q.由已知条件知S6≠2S3，则q≠1.由S3 ＝ ，S6＝ ，得 ②÷①，得1＋q3＝9，∴q＝2. 将q＝2代入①，解得a1＝ .因此an＝a1qn－1＝2n－2. 2n－2 数学·选择性必修第二册 目录 知识点三　利用等比数列前n 项和公式判断等比数列 目录 18 问题　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝ （q≠1）的函数特 征吗？ 提示：Sn＝ ＝－ qn＋ ，设A＝－ ，则Sn＝Aqn－A. 数学·选择性必修第二册 目录 等比数列前n项和公式的函数特征 （1）当公比q≠1时，设A＝ ，等比数列的前n项和公式是Sn＝A（qn －1），即Sn是n的指数型函数； （2）当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝ ，Sn是n的正比例函 数. 提醒：（1）Sn＝Aqn－A（q≠1）时，{an}是首项为（Aq－A），公比 为q的等比数列；（2）当q≠1时，qn的系数与常数项互为相反数. na1　 数学·选择性必修第二册 目录 记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ. （1）当λ＝3时，求{an}的通项公式； 解：当λ＝3时，Sn＝2n＋3， 所以a1＝S1＝5； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n－1－3＝2n－1. 又a1＝5不适合上式，所以an＝ 数学·选择性必修第二册 目录 （2）是否存在实数λ，使得{an}为等比数列？若存在，求出λ的值，若 不存在，请说明理由. 解：由Sn＝2n＋λ，得a1＝S1＝2＋λ； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n－1－λ＝2n－1. 若存在实数λ，使得{an}为等比数列， 则2＋λ＝20＝1，得λ＝－1. 故存在实数λ＝－1，使得{an}为等比数列. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 1. 已知Sn，通过an＝ 求通项公式an，应特别注意当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1，需验证当n＝1时是否满足此式. 2. 若数列{an}的前n项和Sn＝A（qn－1），其中A≠0，q≠0且q≠1， 则{an}是等比数列. 数学·选择性必修第二册 目录 训练3　（1）若数列{an}的前n项和Sn＝tn－1（t∈R），则此数列是 （　D　） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 等差数列或等比数列 D. 以上说法均不对 解析：当n＝1时，a1＝S1＝t－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝tn－tn－1＝ tn－1（t－1），当t＝1时，an＝0，所以{an}是等差数列；当t＝0时，{an} 为非等差数列，非等比数列；当t≠1，且t≠0时，an＝tn－1（t－1），所 以{an}是等比数列. D 数学·选择性必修第二册 目录 （2）〔一题多解〕等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n－1＋t（其中m，t 为常数且mt≠0），则 ＝ ⁠. 解析：法一　a1＝S1＝m＋t，a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，因 为{an}为等比数列，则 ＝a1a3，所以9m2＝12m（m＋t），即m＝－ 4t，故 ＝－4. 法二　Sn＝m·4n－1＋t＝ m·4n＋t，因为{an}是等比数列，故 m＝－ t，则 ＝－4. －4 数学·选择性必修第二册 目录 小结与自测>> 目录 26 数学·选择性必修第二册 目录 1. 数列1，5，52，53，54，…的前10项和为（　　） A. ×（510－1） B. ×（510－1） C. ×（59－1） D. ×（511－1） 解析：易知题中数列是首项为1，公比为5的等比数列，则S10＝ ＝ ×（510－1）. √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝ （　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 解析：　由等比数列前n项和公式，知 ＝2n＋1－2＝126，n＝ 6，故选D. √ 数学·选择性必修第二册 目录 3. 若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k ＝ ⁠. 解析：∵Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0， 即k＝ . ​ 数学·选择性必修第二册 目录 4. 已知数列{an}是等比数列. （1）若an＝3×2n，求S6； 解：因为an＝3×2n， 所以a1＝3×2＝6，且公比为2， 所以S6＝ ＝378. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）若a3＝12，a8＝ ，Sn＝93，求n. 解：设等比数列{an}的公比为q， 因为a3＝12，a8＝ ， 所以q5＝ ＝ ＝ ，解得q＝ ， 所以a1＝ ＝ ＝48. 所以Sn＝ ＝96×［1－（ ）n］＝93，解得n＝5. 数学·选择性必修第二册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：105分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 33 1. 在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝ ，则该数列的前10项和S10＝ （　　） A. 2－ B. 2－ C. 2－ D. 2－ 解析：　易知公比q＝ ，则S10＝ ＝2－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q＝（　　） A. － B. 1 C. － 或1 D. 或1 解析：　当q≠1时，∵S3＝15，a3＝5，∴ 解得q＝ － .当q＝1时，{an}为各项均为5的常数列，符合题意. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 3. 已知在等比数列{an}中，a1＝1，a2a3＝8，则{an}的前n项和Sn＝ （　　） A. 2n－1 B. 2n－1 C. 2n－1 D. n2 解析：　设等比数列{an}的公比为q，由a2a3＝8，得a1q·a1q2＝8，由 a1＝1，得q3＝8，解得q＝2，所以Sn＝ ＝ ＝2n－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 4. 在递增等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2an－1＝64，且前n项和Sn＝ 62，则项数n＝（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析：　因为{an}是递增等比数列，所以a1an＝a2an－1＝64.由 可得 可得Sn＝ ＝ ＝62，解得q＝2. 由an＝2×2n－1＝2n＝32，可得n＝5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 5. 在等比数列{an}中，若Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则 ＋ ＋… ＋ ＝（　　） A. （2n－1）2 B. （2n－1） C. 4n－1 D. （4n－1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析：　在数列{an}中有Sn＝2n－1，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n －1－1）＝2n－1（n≥2），a1＝1， ＝22（n－1）（n≥2）， ＝1， ＝ ＝22＝4（n≥2），∴ ＋ ＋…＋ ＝ ＝ （4n－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 6. 〔多选〕已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使 得Sn＝a·bn＋c，则（　　） A. a＋c＝0 B. b是数列{an}的公比 C. ac＜0 D. {an}可能为常数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，显然不满足Sn＝a·bn＋c，所以D错误；当q≠1时，Sn＝ ＝ － ·qn，所以c＝ ，a＝－ ，b＝q，即a＋c＝0，ac＝－ ＜0，所以A、B、C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 7. 在等比数列{an}中，若q＝2，S4＝1，则S8＝ ⁠. 解析：设首项为a1，因为q＝2，S4＝1，所以 ＝1，解得a1＝ ，所以S8＝ ＝ ＝17. 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 8. 对于数列{an}，若点（n，an）（n∈N*）都在函数f（x）＝2x的图象 上，则数列{an}的前4项和S4＝ ⁠. 解析：由题设可得an＝2n，故 ＝ ＝2（n≥2），故数列{an}是首 项为a1＝2，公比为2的等比数列，故S4＝ ＝30. 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 9. 一个等比数列的前n项和Sn＝（1－2λ）＋λ·2n，则λ＝ ⁠. 解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，a1＝S1＝（1－2λ）＋ 2λ＝1，则Sn＝n，显然与题设不符，∴q≠1，即等比数列不是常数列， ∴Sn＝ － ＝（1－2λ）＋λ·2n，则 可得 λ＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 10. （13分）在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. （1）求{an}的通项公式； 解：设等比数列{an}的公比为q， 由题意得an＝qn－1，q4＝4q2， 解得q＝0（舍去），q＝－2或q＝2. 故an＝（－2）n－1或an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m. 解：若an＝（－2）n－1，则Sn＝ . 由Sm＝63得 ＝63， 即（－2）m＝－188，此方程没有正整数解. 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝ 6.综上，m＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 11. 数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－ 25，则k＝（　　） A. 2 B. 3 解析：∵an＋1＝2an，∴ ＝2，又a1＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an＝2×2n－1＝2n，ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ ＝ ＝2k＋1（210－1）＝25（210－1），∴2k ＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4. C. 4 D. 5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 12. 〔多选〕已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，若a2＋a4 ＝10，a2a3a4＝64，则（　　） A. Sn＋1－Sn＝2n＋1 B. an＝2n－1 C. Sn＝2n－1 D. Sn＝2n－1－1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a2a3a4＝64，得 ＝43，则a3＝4，由a2＋a4＝10，得 ＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝ .又因为数列{an}是递增数列，所以q＝2，所以2a1＋8a1＝10，解得a1＝1.所以an＝2n－1，Sn＝ ＝2n－1，所以Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－（2n－1）＝2n.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 13. 等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），则q 的取值范围是 ⁠. 解析：因为数列{an}为等比数列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1 时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝ ＞0，即 ＞0，所以 或 所以－1＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范 围为（－1，0）∪（0，＋∞）. （－1，0）∪（0，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 14. （15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1 （n∈N*）. （1）证明：数列{an}是等比数列； 解：证明：由an＋Sn＝1（n∈N*），　① 得an＋1＋Sn＋1＝1，　② ②－①得2an＋1＝an，即 ＝ ， 又a1＋S1＝1，a1＝ ， 所以数列{an}是以 为首项， 为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）求 的值. 解：由（1）知a10＝a1·（ ）9＝（ ）10， S10＝ ＝1－ ， 所以 ＝ ＝210－1＝1 023. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 15. （15分）将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一 行多一项”的规则排成如下数表. 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*， 都有（n＋1）bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q （q＞0）的等比数列； ③a66＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 请解答以下问题： （1）求数列{bn}的通项公式； 解：由（n＋1）bn＋1－nbn＝0，得数列{nbn}为常数列，故nbn＝1·b1＝ 1，∴bn＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）求数表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）. 解：∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项， a66在表中第十行第三列. 故a66＝b10·q2， 又a66＝ ，而b10＝ ，q＞0，∴q＝2. 故S（k）＝ ＝ （2k＋2－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 $