16章整式的乘法_计算题专项训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

2026—2027 学年　人教版（新教材）·八年级上册 第十六章 整式的乘法　计算题专项训练（分层作业） （学生版） 建议用时：60 分钟　　满分：100 分（另设附加题）　　 班级：________　姓名：________　学号：________ 分层说明：A 层·基础巩固（必做 40 分）；B 层·能力提升（必做 30 分）；C 层·拓展挑战（选做 30 分）；D 层·满分冲刺（附加题，计入总分但不超过满分）。运算结果中如出现除法，请写成分数形式；出现开方，请按课本二次根式的书写规范作答。 A 层 · 基础巩固（必做，共 40 分） 覆盖同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式与多项式的乘法及乘法公式，要求算得准、写得规范。 1．计算（同底数幂的乘法、幂的乘方）： 提示：注意 与 - 的区别；×3 中后一个 3 的指数是 1。 （1）· （2）×3 （3）· （4）··(-x) 2．计算（积的乘方及其逆用）： 提示：逆用积的乘方，可使大指数运算化简。 （1） （2）-2· （3）·ab （4）× 3．计算（单项式与单项式相乘）： 提示：系数相乘、同底数幂相乘，只在一个因式中出现的字母连同指数照抄。 （1）5·(-2y) （2）-4n· （3）2b·(-3a)·4a （4）y·(- x) 4．计算（单项式与多项式相乘）： 提示：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，注意符号。 （1）3(2b-ab+4b) （2）-2x(-3xy+2) （3）-3x(2-x+1) （4）x(x-1)-2x(x+3) 5．计算（多项式与多项式相乘、乘法公式）： 提示：(a+b)(a-b)=-；=+2ab+。 （1）(x+4)(x-3) （2）(a+5)(a-5) （3） （4） B 层 · 能力提升（必做，共 30 分） 考查乘法公式的综合运用、化简求值与二次根式的书写规范，请写出完整的运算过程。 5．先化简，再求值：(x+3)(x-2)-，其中 x=2.5。 6．已知 a-1=，先化简 2a(a-3)-+5，再求它的值。 7．用乘法公式进行简便计算：(1) 99×101；　　　　(2) -。 8．若多项式 4+mx+25 是一个完全平方式，求 m 的值，并写出对应的完全平方式。 C 层 · 拓展挑战（选做，共 30 分） 中考压轴方向的"公式逆用、整体代入与规律探究"，鼓励一题多解，写出思考过程。 9．把 x+y 看成一个整体，用平方差公式计算 (x+y+z)(x+y-z)；并用同样的思想计算 -。 10．用你认为最简便的方法计算：(1) 98×102；　　　　(2) -18×99+81。 11．已知 a+ =5（a≠0），求：(1) + 的值；　　　(2) 的值。 12．规律探究：求 1+2+++…+ 的值。解法示范：设 S=1+2++…+，两边同乘 2，得 2S=2++…+，两式相减得 S=-1=2047。请仿照上述方法计算：3+++…+。 D 层 · 满分冲刺（附加题） 13．计算：-×(-)+÷3。 14．计算：×4-×10。 15．已知 a+b=5，ab=4，求 的值。 16．某小区有一块边长为 (3a+2b) 米的正方形空地，计划在正中央修建一个边长为 (a+b) 米的正方形花坛（四周均留有空地）。 (1) 用含 a、b 的式子表示四周空地的面积并化简； (2) 当 a=20，b=15 时，求四周空地的面积。 17．【拓展探究】两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 (1) 计算：(2+1)(+1)(+1)+1； (2) 根据第(1)题的结果，写出 的值，并说明你发现的规律。 2 2 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年　人教版（新教材）·八年级上册 第十六章 整式的乘法　计算题专项训练（分层作业） （教师版 · 含答案与解析） 建议用时：60 分钟　　满分：100 分（另设附加题）　　 班级：________　姓名：________　学号：________ 分层说明：A 层·基础巩固（必做 40 分）；B 层·能力提升（必做 30 分）；C 层·拓展挑战（选做 30 分）；D 层·满分冲刺（附加题，计入总分但不超过满分）。运算结果中如出现除法，请写成分数形式；出现开方，请按课本二次根式的书写规范作答。 A 层 · 基础巩固（必做，共 40 分） 覆盖同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式与多项式的乘法及乘法公式，要求算得准、写得规范。 1．计算（同底数幂的乘法、幂的乘方）： 提示：注意 与 - 的区别；×3 中后一个 3 的指数是 1。 （1）· 答： 底数不变，指数相加 （2）×3 答： 后一个 3 的指数是 1 （3）· 答： 先幂的乘方，再同底数幂相乘 （4）··(-x) 答： 三个负号积为负，指数 2+3+1 2．计算（积的乘方及其逆用）： 提示：逆用积的乘方，可使大指数运算化简。 （1） 答：27 积的乘方：·· （2）-2· 答：16 -2·(-8) （3）·ab 答： 先算乘方，再与 ab 相乘 （4）× 答：-4 逆用积的乘方：×(-4) 3．计算（单项式与单项式相乘）： 提示：系数相乘、同底数幂相乘，只在一个因式中出现的字母连同指数照抄。 （1）5·(-2y) 答：-10y 系数、同底数幂分别相乘 （2）-4n· 答：-2n (-4)×，m 的指数 2+3 （3）2b·(-3a)·4a 答：-24 三个单项式连乘，系数 2×(-3)×4 （4）y·(-x) 答：- 系数 ×(-)=- 4．计算（单项式与多项式相乘）： 提示：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，注意符号。 （1）3(2b-ab+4b) 答：6b-3b+12b 用单项式乘每一项再相加 （2）-2x(-3xy+2) 答：-2+6y-4x -2x×(-3xy)=+6y （3）-3x(2-x+1) 答：-6+3-3x 逐项相乘，注意符号 （4）x(x-1)-2x(x+3) 答：--7x 去括号后再合并同类项 5．计算（多项式与多项式相乘、乘法公式）： 提示：(a+b)(a-b)=-；=+2ab+。 （1）(x+4)(x-3) 答：+x-12 多项式乘法法则 （2）(a+5)(a-5) 答：-25 平方差公式 （3） 答：4+12xy+9 完全平方公式 （4） 答：9-12ab+4 完全平方公式，中间项为 -12ab B 层 · 能力提升（必做，共 30 分） 考查乘法公式的综合运用、化简求值与二次根式的书写规范，请写出完整的运算过程。 5．先化简，再求值：(x+3)(x-2)-，其中 x=2.5。 解：原式 = (+x-6)-(+2x+1) = +x-6--2x-1 = -x-7。 当 x=2.5 时，原式 = -2.5-7 = -9.5。 【简析】先用乘法公式展开、去括号、合并同类项，化到最简后代值，避免直接代入硬算。 6．已知 a-1=，先化简 2a(a-3)-+5，再求它的值。 解：原式 = 2-6a-(-4a+4)+5 = 2-6a-+4a-4+5 = -2a+1 = 。 因为 a-1=，所以原式 = = 5。 【简析】化简结果是 ，把 a-1 作为整体代入，不必先求 a；这里按二次根式性质 =a（a≥0）书写。 7．用乘法公式进行简便计算：(1) 99×101；　　　　(2) -。 解：(1) 原式 = (100-1)×(100+1) = - = 10000-1 = 9999。 (2) 原式 = (102+98)×(102-98) = 200×4 = 800。 【简析】把接近整百的数凑成"和与差"，正用、逆用平方差公式都能大大简化计算。 8．若多项式 4+mx+25 是一个完全平方式，求 m 的值，并写出对应的完全平方式。 解：4=，25=，中间项应为 ±2·2x·5=±20x，所以 m=20 或 m=-20。 此时 4+20x+25=；4-20x+25=。 【简析】完全平方公式有"和"与"差"两种形态，m 的正负两种情况都要写，漏一是本题最常见失分点。 C 层 · 拓展挑战（选做，共 30 分） 中考压轴方向的"公式逆用、整体代入与规律探究"，鼓励一题多解，写出思考过程。 9．把 x+y 看成一个整体，用平方差公式计算 (x+y+z)(x+y-z)；并用同样的思想计算 -。 解：原式 = ((x+y)+z)((x+y)-z) = - = +2xy+-。 - = (20.5+19.5)×(20.5-19.5) = 40×1 = 40。 【简析】"整体思想"是乘法公式的灵魂：把复杂部分当作一个字母，公式结构就显现出来。 10．用你认为最简便的方法计算：(1) 98×102；　　　　(2) -18×99+81。 解：(1) 原式 = (100-2)×(100+2) = - = 10000-4 = 9996。 (2) 原式 = -2×9×99+ = = = 8100。 【简析】第(2)题的关键是识别 -2ab+ 的结构：18×99=2×9×99，81=。 11．已知 a+=5（a≠0），求：(1) + 的值；　　　(2) 的值。 解：(1) 把 a+=5 两边平方：+2+=25，所以 +=23。 (2) = -2+ = 23-2 = 21。 【简析】核心变形：=-4，两个式子只相差 4。 12．规律探究：求 1+2+++…+ 的值。解法示范：设 S=1+2++…+，两边同乘 2，得 2S=2++…+，两式相减得 S=-1=2047。请仿照上述方法计算：3+++…+。 解：设 S=3++…+，两边同乘 3，得 3S=++…+， 两式相减得 3S-S=-3，即 2S=177147-3=177144，所以 S=88572。 【简析】"错位相减"是处理等比连和的基本方法：乘的倍数恰为公比 3，相减后中间项全部抵消。 D 层 · 满分冲刺（附加题） 13．计算：-×(-)+÷3。 解：原式 = -9×(-)+36÷3 = 3+12 = 15。 【简析】- 是 的相反数，等于 -9 而不是 9；乘方、乘除优先于加减。 14．计算：×4-×10。 解：原式 = ×3×4-×10 = ×(12-10) = 2×。 【简析】逆用乘法分配律提取公因式 ，避免直接计算大数。 15．已知 a+b=5，ab=4，求 的值。 解： = (+2ab+)-4ab = -4ab = -4×4 = 25-16 = 9。 【简析】=-4ab 是"知和与积、求差的平方"的通法。 16．某小区有一块边长为 (3a+2b) 米的正方形空地，计划在正中央修建一个边长为 (a+b) 米的正方形花坛（四周均留有空地）。 (1) 用含 a、b 的式子表示四周空地的面积并化简； (2) 当 a=20，b=15 时，求四周空地的面积。 解：(1) 四周面积 = - = (9+12ab+4)-(+2ab+) = 8+10ab+3（平方米）。 (2) 当 a=20，b=15 时，原式 = 8×400+10×300+3×225 = 3200+3000+675 = 6875（平方米）。 【简析】"大正方形减小正方形"是乘法公式与几何结合的常考模型，先化简再代值可少算很多。 17．【拓展探究】两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 (1) 计算：(2+1)(+1)(+1)+1； (2) 根据第(1)题的结果，写出 的值，并说明你发现的规律。 解：(1) 在式子前面乘 (2-1)（值不变），得 (2-1)(2+1)(+1)(+1)+1 = (-1)(+1)(+1)+1 = (-1)(+1)+1 = -1+1 = = 256。 (2) =256。规律：(a-b)(a+b)(+)(+)=-，只要能"凑出平方差结构"，就能像多米诺骨牌一样逐次合并。 【简析】乘法公式的逆用与规律探究是中考填空压轴的热门题型，"乘以 1 不变值"的添项技巧要重点体会。 ——全卷命题说明：题目均为原创命题（数字与情境自行设计，不与教辅现成题成套雷同），覆盖人教版（2024 修订）第十六章"整式的乘法"全部考点，并与同底数幂的除法、零指数幂、二次根式自然衔接；除法结果以分数形式呈现、根式按课本二次根式格式呈现，公式均为 Word 公式对象，可直接编辑。 2 2 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $