第03讲 电场中的功能关系及重电复合场模型 复习精细讲义-2026-2027学年高二物理上学期人教版必修第三册

第03讲　电场中的功能关系及重电复合场模型 考点1 电场中的功能关系 考点2 重电复合场中的直线运动模型 考点3 重电复合场中的类抛体运动模型 考点4 重电复合场中的圆周运动（等效重力法） 考点1：电场中的功能关系 1.求电场力做功的四种方法 定义式法 WAB＝Flcosα＝qEdcosα（此公式只适用于匀强电场）可变形为：W＝qEd（d＝lcos α） d为电荷初、末位置在电场方向上的位移。 非匀强电场中可判断大小。 电势差法 WAB＝qUAB＝q（φA－φB）此公式适用于任何电场 ①三个量都取绝对值，先计算出功的数值，然后再根据电场力的方向与电荷位移方向间的夹角确定电场力做正功还是负功 ②代入符号，将公式写成WAB＝qUAB，特别是在比较A、B两点电势高低时更为方便：先计算UAB＝，若UAB>0，则φA－φB>0，即φA>φB；若UAB<0，则φA－φB<0，即φA<φB 动能定理法 W电＋W其他＝ΔEk 此公式适用于任何电场 功能关系法 WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB 此公式适用于任何电场 2.电场中的功能关系 各种力做功 对应能的变化 定量的关系 只有电场力做功 动能和电势能之间相互转化，动能（Ek）和电势能（Ep电）的总和守恒 ①W电＝－ΔEp电＝ΔEk ②电场力做正功，电势能减少，动能增加 ③电场力做负功，电势能增加，动能减少 只有电场力和重力做功 电势能、重力势能、动能之和保持不变 W电+WG＝－（ΔEp电+ΔEp重）=ΔEk 多个力做功 多种形式的能量转化，要根据不同的力对应不同形式的能量分析 W电＋W其他＝ΔEk 只有重力、弹簧弹力的功 不引起机 械能变化 机械能守恒ΔE＝0 W其他：除重力或系统内弹簧弹力以外的其他外力做的功 机械能的改变量（ΔE） 除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W其他＝ΔE Ff·Δx：一对滑动摩擦力做功的代数和 因摩擦而产生的内能（Q） 滑动摩擦力做功引起系统内能增加ΔE内＝Ff Δx（Δx为物体间的相对位移） W合：合外力的功 （所有外力的功） 动能的改变量（ΔEk） 合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1 能量与功之间的关系 3.电场中功能关系问题的分析方法 在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。 （1）受力情况分析和运动情况分析。 （2）分析各力做功的情况，做正功还是负功。 （3）分清多少种形式的能量参与，哪种能量增加，哪种减少。 （4）选择动能定理或能量守恒定律等列出方程式。 4.解题思路—单个物体或连接体 （1）处于平衡状态： ①利用整体法或隔离法进行受力分析； ②列平衡方程； ③寻找连接体间的关联量。 （2）运动状态： ①利用隔离法进行受力分析； ②列牛顿第二定律方程、运动学方程、功能关系方程； ③寻找连接体间的关联方程。 【典例1】（多选）（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）如图所示，一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上，上端连接一带正电小球，小球所处的空间存在着方向竖直向上的匀强电场，小球平衡时，弹簧恰好处于原长状态。现给小球一竖直向上的初速度，小球最高能运动到点。在小球从开始运动到运动至最高点的过程中（　　） A．小球的电势能减小 B．小球机械能的改变量等于电场力做的功 C．弹簧弹性势能的增加量等于小球动能的减少量 D．小球动能的减少量等于电场力和重力做功的代数和 【答案】AC 【详解】A．小球带正电，电场方向竖直向上，电场力做正功，电势能减小，故A正确； B．根据功能关系，小球机械能的改变量等于电场力与弹簧弹力做功之和，故B错误； CD．由题意可知，小球平衡时，弹簧恰好处于原长状态，所以电场力等于小球重力，在运动过程中，小球受的合外力就是弹簧的弹力，根据动能定理，克服弹力做的功等于小球动能的减小量，而克服弹力做的功等于弹性势能的增加量，而由于电场力等于小球重力，所以电场力和重力做功的代数和为零，故C正确，D错误。 故选AC。 【典例2】如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，据此可知（　　） A．带电质点在点的加速度比在点的加速度小 B．带电质点在点的电势能比在点的大 C．带电质点在点的动能大于在点的动能 D．P、R、Q三点中的电势最高 【答案】C 【详解】A．由电场线的疏密反应场强的强弱知，根据，带电质点在点的加速度比在点的加速度大，故A错误； B．轨迹弯曲的方向可知，电场力的方向向右。由于质点带负电，所以场强向左，电场线的方向向左，质点从经过运动到，电场力做负功，电势能增大，即在点的电势能比在点的小，故B错误； C．根据能量守恒可知，带电质点在点的动能大于在点的动能，故C正确； D．沿电场线电势降低，故P、R、Q三点中的电势最低，故D错误。 故选C。 【典例3】某科技公司研发的高空绝缘滑杆巡检装置中，带负电的巡检小环P套在光滑绝缘的竖直滑杆上，滑杆左侧固定一个带正电的静电平衡辅助装置Q。滑杆上、两点与Q的距离相等，为中点。将小环P从点无初速度释放，不计空气阻力，小环P、装置Q均视为点电荷，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．小环经过、两点时的速度相等 B．小环经过点时，加速度为，速度达到最大 C．小环从点下降到点的过程中，库仑力做的功等于机械能变化量 D．小环从点下降到点的过程中，重力势能变化量等于动能变化量 【答案】C 【详解】A．由题意可知，在Q产生的电场中，，小环从a点到b点的过程中，库仑力做功为零，重力做正功，总功大于零，则小环的动能增大，，故A错误； B．小环在c点时，水平方向：库仑力和弹力平衡，竖直方向只受重力，加速度为g，故小环还在加速，故B错误； C．由功能关系可知，故C正确； D．小环从O点到b点的过程中，电场力做功不为零，重力势能变化量不等于动能变化量，还有电势能参与转化，故D错误。 故选C。 【典例4】（2026·浙江·一模）如图所示，将一个倾角为的绝缘斜面固定在水平向右、场强大小为的匀强电场中。从斜面顶端以初速度水平向左抛出一质量为、电荷量为的带正电小球，最后落在斜面上，已知重力加速度为，不计空气阻力，则（     ） A．小球在空中的运动时间为 B．小球在空中运动的最小速率为 C．从抛出到落到斜面上，合力做功 D．从抛出到落到斜面上，电势能减少了 【答案】A 【详解】AB．取水平方向向左、竖直向下为正方向。小球带正电，电场力水平向右。由题给场强，电场力大小为 所以水平方向加速度为，竖直方向加速度为。由匀变速直线运动规律，小球的水平、竖直位移分别为和 斜面倾角为，从顶端到斜面上任一点有。联立并取非零解，飞行时间为 由速度公式，小球速度分量分别为和 所以速率满足 配方得 所以最小速率为，故A正确，B错误； CD．由前述运动方程，在落到斜面时，代入速度分量得，，落地速率与初速率相等。根据动能定理，合力做功等于动能变化量，即 设从抛出点到落点的水平、竖直位移大小均为。由前述位移方程，落点处 电场力方向向右而位移向左，电场力做功为 代入 整理得 由电场力做功与电势能变化的关系 得 电势能增加，故CD错误。 故选A。 【典例5】（多选）（25-26高一下·四川广安·期中）如图所示，倾角为的固定斜面下端固定一挡板，一轻弹簧下端固定在挡板上。现将一质量为m、电荷量为+q的绝缘小滑块从斜面上距离弹簧上端L处由静止释放，小滑块始终处在场强大小为（g为重力加速度）、方向平行斜面向下的匀强电场中，小滑块与斜面间的动摩擦因数为，则小滑块从释放到运动到最低点的过程中，下列说法正确的是（     ） A． B．滑块与斜面摩擦产生的热量等于滑块的重力势能和电势能的减少量与弹簧弹性势能的增加量之差 C．滑块克服弹簧弹力做的功等于滑块减少的重力势能和增加的电势能及增加的内能之和 D．滑块刚与弹簧接触瞬间达到最大动能 【答案】AB 【详解】A．滑块与弹簧接触前，受重力、支持力、摩擦力以及沿斜面向下的电场力作用，由于滑块沿斜面加速下滑，则 解得，A正确； B．滑块由静止下滑运动至最低点的过程中，重力做正功、电场力做正功、弹簧的弹力做负功、摩擦力做负功，则由功能关系可知，因摩擦产生的热量等于重力势能和电势能的减少量与弹簧弹性势能的增加量之差，B正确； C．根据功能关系可知，滑块克服弹簧弹力做的功等于滑块的重力势能和电势能的减少量与内能的增加量之差，C错误； D．物块刚与弹簧接触的瞬间，弹簧的弹力仍为零，仍有 物块继续向下加速，动能仍在增大，所以此瞬间动能不是最大，当物块的合力为零时动能才最大，D错误； 故选AB。 考点2：重电复合场中的直线运动模型 模型分析 带电粒子只在电场力与重力的作用下所做的直线运动，称为重电复合场中的直线运动模型。此模型中三个解题的有用结论： (1)当电场力沿竖直方向而带电体沿其他方向运动时，一定是匀速直线运动； (2)在减速直线运动中，带电体沿初速度方向上能达到的最大位移是当速度减小到零时； (3)带电体沿斜面运动的临界条件为电场力与重力的合力恰好平行于斜面。 几种直线运动情况 匀速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动 【典例6】静电喷漆技术具有效率高、浪费少、质量好，又利于工人健康等优点，其简化原理如图所示。一带电油漆微粒从A点以一定的初速度进入水平向左的匀强电场中（实线代表电场线），微粒恰沿直线AB运动。下列说法正确的是（　　 ） A．带电油漆微粒带正电 B．从A到B，微粒做匀减速直线运动 C．从A到B的过程中，微粒的机械能增加 D．从A到B的过程中，微粒的电势能增加 【答案】C 【详解】A．电场方向水平向左，若微粒带正电，电场力向左，合力方向为左下方，无法与斜向右下的AB共线；只有微粒带负电，电场力水平向右，合力才能沿AB直线斜向右下，与运动路径共线，因此微粒带负电，故A错误； B．合力方向斜向右下，与微粒从A到B的初速度方向（沿AB斜向右下）相同，且电场为匀强电场、重力恒定，合力为恒力，因此微粒做匀加速直线运动，故B错误； CD．机械能的变化由除重力外的其他力做功决定，此处电场力是除重力外的唯一力，从A到B过程中，带负电的微粒电场力水平向右，位移的水平分量向右，电场力做正功，因此微粒的机械能增加，电势能减小，故C正确，D错误。 故选C。 【典例7】（25-26高二上·四川成都·期末）如图甲，粗糙绝缘的水平地面上，一质量为、电荷量为的带电滑块（可视为质点）在处以的初速度开始沿轴正方向运动，滑块与地面间的动摩擦因数为。在处固定有一个电性未知、电荷量为的场源点电荷，滑块在轴不同位置所具有的速度大小如图乙所示，点是图线起始点，点是图线最高点，规定无穷远处电势为零，重力加速度大小取，静电力常量为。下列说法正确的是（     ） A．场源电荷带正电，电荷量大小为 B．运动的全部过程中，滑块加速度的最大值为 C．AP两点间的电势差为 D．滑块向右运动的过程中，其电势能先减小后增大 【答案】B 【详解】A．由图像可知，滑块先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，所以，点电荷对滑块的作用力水平向右，故带负电，PQ间的距离r=3m，在P点加速度为0，由 解得，故A错误； B．滑块在A点时的加速度最大，根据牛顿第二定律有 解得，故B正确； C．由动能定理 解得，故C错误； D．因滑块所受电场力一直做正功，故其电势能一直减小，故D错误。 故选B。 【典例8】（多选）（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，倾角的光滑斜面的左侧O点固定一个带正电的点电荷，斜面上与O点等高的A点由静止释放带电荷量为、质量为m的滑块，滑块运动经斜面的B点和C点．已知，OB连线垂直于斜面，滑块在A点的加速度为a，滑块经B点的速度为v，重力加速度为g，，下列说法正确的是（     ） A．滑块对斜面压力不变 B．滑块经C点的速度为 C．滑块经C点的加速度为 D．斜面上BC两点的电势差为 【答案】CD 【详解】A．O是正点电荷，滑块带正电，库仑斥力大小随滑块到O的距离变化而变化，库仑力垂直斜面的分力也随之变化。垂直斜面方向受力平衡，有 所以支持力也随位置变化而变化，由牛顿第三定律可知，滑块对斜面的压力也随着位置发生变化，故A错误； B．由于，OB垂直于斜面，所以由几何关系有，。A、C到O距离相等，因此A、C在同一等势面，从电场力做功为0。由动能定理有 解得 从，由动能定理有 解得 由于O是正电荷，离正电荷越近，其电势越大，所以，则 因此，即，，故B错误； C．A、C处库仑力大小相等（到O距离相等），对A沿斜面方向列牛顿第二定律 对C沿斜面方向列牛顿第二定律 解得，故C正确； D．从过程由动能定理有， 又因为， 解得，故D正确。 故选CD。 【典例9】（25-26高一下·云南文山·阶段检测）如图所示，一质量为、带电量的小球，用绝缘细线悬挂在水平向右的匀强电场中，假设电场足够大，静止时悬线与竖直方向成37°角。小球在运动过程电量保持不变，重力加速度。，。不计空气阻力，求： (1)电场强度E； (2)某时刻将细线剪断，经过2s时小球的速度大小v； (3)剪断细线2s内小球的机械能变化了多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球受重力、电场力和细线拉力处于平衡状态，根据平衡条件有 解得电场强度为 （2）将细线剪断后，小球只受重力和电场力作用，其合力大小为 加速度为 小球由静止开始做匀加速直线运动，经过时的速度大小为 （3）剪断细线后，在内小球沿合力方向发生的位移大小为 沿电场力方向（水平向右）的位移大小为 除重力外，只有电场力做功，根据功能关系可知小球机械能的变化量等于电场力所做的功 即小球的机械能增加了。 【典例10】（25-26高二上·内蒙古乌海·期中）如图所示，一正点电荷固定在倾角为的光滑绝缘斜面底部的A点，斜面上有两点，且和C在同一直线上，B和C相距为L。现将一带电量为q的小球（可视为点电荷）从B点由静止释放，此时小球的加速度大小为g，带电小球运动到C点时速度恰好为零。求： (1)小球在B点时受到的库仑力F； (2)B和C两点间的电势差； (3)若带电小球运动到C点时速度恰好为零，同时A点电荷变为等量负点电荷。则小球回到B点时速度v。 【答案】(1)，方向：沿斜面向上 (2) (3)，方向：沿斜面向下 【详解】（1）对B点的小球沿斜面方向用牛顿第二定律，A点为正点电荷，小球带正电，库仑斥力沿斜面向上，重力沿斜面向下的分力为，已知加速度，沿斜面向上，因此： 得： 方向：沿斜面向上 （2）小球从B到C，初末速度均为0，由动能定理：合外力做功等于动能变化，即 整理得： （3）A变为等量负点电荷后，B、C间电势差满足： 小球从C由静止运动到B，重力和电场力均做正功，由动能定理： 解得： 方向：沿斜面向下 考点3：重电复合场中的类抛体运动模型 1.类抛体运动模型 类抛体运动过程常采用正交分解法处理，有两种方式：一种方式是沿合力与垂直于合力方向建立坐标系求解，当带电体做类斜上抛运动时，垂直合力方向上的初速度分量为运动过程中速度的最小值，沿合力方向的速度减小到零时，此方向上的分位移达到最大值。另一种方式是当电场方向水平时，可将带电体的运动沿水平与竖直方向分解建立坐标系。 2.直线及类抛体运动的条件总结 【典例11】（25-26高二上·广西贺州·阶段检测）如图为一匀强电场，某带电粒子仅受重力和电场力，以一定初速度从A点沿虚线运动到B点。这一运动过程中粒子克服重力做的功为2.0J，电场力做的功为1.5J，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子的动能增加3.5J C．粒子的机械能守恒 D．粒子的动能减少0.5J 【答案】D 【详解】A．粒子运动轨迹向电场力方向弯曲，说明电场力方向水平向右，而电场强度方向也是水平向右，因此粒子带正电，故A错误； BD．根据动能定理，合外力做的功等于动能的变化量，已知重力做的功为，电场力做的功为，因此合外力做的功为，动能减少，故B错误，D正确； C．根据机械能守恒条件可知，由于电场力做正功，因此机械能不守恒，故C错误。 故选D。 【典例12】如图，竖直面内有半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，固定在光滑的水平地面上，且圆弧轨道最低点C与水平地面相切．空间加有水平向右的匀强电场，A点位于B点左上方，相对于B点的水平距离和竖直高度均为R，一可视为质点的带电小球从A点以某一速度水平抛出，恰能从B点无碰撞地沿圆弧切线进入轨道，小球离开轨道后，运动到D点（D点未画出）时速度减为零，已知重力加速度为g，则（     ） A．小球带正电 B．段长度为 C．小球从A点抛出时的速度为 D．从A点到D点过程中小球的电势能增加了 【答案】D 【详解】A．小球恰好从B点无碰撞地沿圆弧切线进入轨道，说明小球在水平方向上减速，受到水平向左的电场力作用，与电场方向相反，小球带负电，A错误； BCD．小球恰好从B点无碰撞地沿圆弧切线进入轨道，小球在竖直方向上做自由落体运动，有 可得， 小球在水平方向上，有 可得小球从A点抛出时的速度大小为，小球在水平方向加速度的大小为 可知小球受到的电场力大小为 小球从A到D的过程中，由动能定理可得 解得 可得段的长度为 根据功能关系可得从A点到D点过程中小球的电势能增加了，故BC错误，D正确。 故选 D。 【典例13】（多选）（25-26高二上·云南昆明·期末）如图所示，水平地面上方存在水平向右的匀强电场，O、Q为水平地面上的两点，现将质量为m，电荷量为q的小球（可看作质点），从O点以初速度竖直向上抛出，P为运动轨迹的最高点，Q为最后落回到地面上的点。若不计空气阻力，重力加速度为g，电场强度，，，下列说法正确的是（　　） A．小球到达Q点所用的时间为 B．小球到达P点时的速度大小为0 C．OP的水平距离与PQ的水平距离之比为 D．OQ两点之间的电势差为 【答案】AC 【详解】A．由分析可知，小球在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上向右做从静止开始的匀加速直线运动，则在竖直方向上根据可知，小球上升的时间为 由于小球上升和下落的时间相等，所以小球到达Q点所用的时间为，故A正确； B．由于P为运动轨迹的最高点，所以小球在P点时竖直方向的速度大小为 设小球在水平方向的加速度为，则根据牛顿第二定律有 解得 根据运动学公式可知小球在P点时水平方向的速度大小为 所以小球到达P点时的速度大小为，故B错误； C．根据匀变速直线运动的位移公式可知，OP的水平距离为 OQ的水平距离为 所以OP的水平距离与PQ的水平距离之比为，故C正确； D．OQ两点之间的水平距离为 OQ两点之间的电势差为，故D错误。 故选AC。 【典例14】如图所示，竖直平面直角坐标系xOy，第Ⅲ象限内固定有半径为R的四分之一光滑绝缘圆弧轨道BC，轨道的圆心在坐标原点O，B端在x轴上，C端在y轴上，同时存在大小为，方向水平向右的匀强电场。第Ⅳ象限x=0与x=3R之间有大小为，方向竖直向下的匀强电场。现将一质量为m，电荷量为q的带负电小球从B点正上方高2R处的A点由静止释放，并从B点进入圆弧轨道，重力加速度用g表示，求： (1)小球经过B点时的速度大小vB； (2)小球经过第Ⅲ象限的C点时对轨道的压力大小； (3)小球运动到y轴右侧后离开电场时的坐标。 【答案】(1) (2)5.5mg (3)（3R，0） 【详解】（1）带负电小球从A点由静止释放到B点，根据自由落体运动规律可得 则小球经过B点时的速度大小为 （2）小球从B点运动到C点，根据动能定理可得 解得 在C点，根据牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律可得，小球对轨道的压力大小为5.5mg； （3）在第Ⅳ象限电场中，小球做类平抛运动，假设能从电场所在0-3R区域离开电场，则水平方向，有 竖直方向，有， 联立解得 假设成立，即小球从右侧电场边界与x轴的交点离开电场，离开时与x轴的交点坐标为（3R，0）。 【典例15】（25-26高二上·新疆省直辖县级单位·期末）如图，水平地面上方存在方向水平向右的匀强电场。、为水平地面上的两点，将一质量为的小球（看作质点）从点以初速度竖直向上抛出，运动的最高点为点，最后落回到地面上的点，不计空气阻力。重力加速度为、电场强度大小为。求： (1)水平位移与水平位移之比； (2)小球到达点时的速度大小； (3)小球从运动到过程中最小速度的大小及与电场方向夹角的正切值。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）小球上升与下降时间相等，即从到与从到时间相等，设为，则 且 解得 （2）小球受到电场力 小球从点以初速度竖直向上抛出，小球到达最高点经历的时间为 沿水平方向做初速度为0的匀加速运动，加速度为，则 最高点竖直方向速度为0，水平方向的速度为 即小球到达最高点时的速度大小。 （3）小球在运动过程中水平速度 竖直速度 小球的速度 由以上各式得出 解得当时，有最小值 此时 即与电场方向夹角为斜向右上方。 考点4：重电复合场中的圆周运动（等效重力法） 1.模型概述 重电复合场中的圆周运动模型包括两种情况。一种情况是带电体做完整的圆周运动：涉及运动过程中动能、弹力的极值，做完整圆周运动、不脱离轨道的临界条件等相关内容。另一种情况是从静止释放的带电体在电场中的摆动：涉及释放后能否沿圆弧运动、运动过程中速度、动能、弹力的大小与极值等相关内容。 两种情况的解题关键是确定重力与电场力的合力即“等效重力”的方向，从而确定等效水平面的位置。等效最高点与等效最低点可用来确定速度、动能、弹力的极值及判断能否做完整的圆周运动；等效水平面位置可用来判断物体是否沿圆弧运动：释放点位于等效水平面下方时可沿圆弧运动，也可通过释放点所在半径与“等效重力”方向间夹角来判定，锐角时沿“等效重力”方向做直线运动，直角或钝角时沿圆弧运动。 2.解题方法 等效思维法：等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。 方法应用：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝ 视为“等效重力加速度”， F合的方向等效为“重力”的方向。如此便建立起“等效重力场”。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。 等效最“高”点与最“低”点的寻找：确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线，反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效最“低”点。 3.模型图 【典例16】（24-25高一下·江苏宿迁·阶段检测）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度下列说法正确的是（　　） A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到C点时的动能最大 C．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到A点时的机械能最小 D．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动 【答案】C 【详解】A．小球受到的电场力 方向水平向右。重力 方向竖直向下。合力 方向指向右下方。小球做圆周运动的最小速度出现在等效最高点（即弧的中点），由牛顿第二定律得 解得，故A错误； B．小球动能最大的位置在等效最低点（即弧的中点），而不是点，故B错误； C．除重力外，电场力做功等于机械能的变化量。电场力水平向右，小球运动到最左端点时，克服电场力做功最多，机械能最小，故C正确； D．小球在点由静止释放，受重力和电场力作用，合力方向指向右下方，即指向点。小球将沿连线做匀加速直线运动，到达点时绳子绷紧，之后做圆周运动，而不是在圆弧上往复运动，故D错误。 故选C。 【典例17】（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为的绝缘细线，细线一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成角，此时让小球获得初速度且恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．小球带负电 B．小球动能的最小值为 C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大，再减小 【答案】ABD 【详解】AB．小球静止时悬线与竖直方向成角，受重力、拉力和电场力，三力平衡，如图所示 可知小球带负电，根据平衡条件有 解得 小球恰能绕点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点速度最小，根据牛顿第二定律，有 则最小动能为，故AB正确； C．小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，故C错误； D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，故D正确。 故选ABD。 【典例18】（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图所示，光滑绝缘的圆形轨道BCDG位于竖直平面内，B点是轨道最低点，C点和G点与圆心等高，D点是最高点，轨道半径为R，下端与光滑倾斜绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带电量为的小球（可视为质点），已知小球可由轨道上A点沿轨道运动到G点，小球在A点的初速度，在AB段的加速度，倾斜轨道倾角，AB的距离，重力加速度为g，，。则（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．小球过C点时，它的速度大小为 C．小球过C点时，它对轨道的压力大小为 D．小球在圆形轨道上运动的最小速度为 【答案】AD 【详解】A．物体在AB段做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得 解得，故A正确； BC．物体从A到C的过程中，由动能定理可得 物体在C点时，根据牛顿第二定律有 解得，，故BC错误； D．物体越过最高点D沿轨道滑行，当电场力和重力的合力指向圆心时，速度最小。设此时合力的方向与竖直方向的夹角为，则 解得 物体从C点到速度最小的过程中，由动能定理得 解得，故D正确。 故选AD。 【典例19】（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在竖直平面内有足够宽的方向水平向右、电场强度大小的匀强电场。一根长的绝缘细线，一端固定在点，另一端系一质量的带正电的小球，静止时悬线与竖直方向的夹角。若小球获得垂直于细线斜向上的初速度后，恰能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动，为圆的竖直直径。重力加速度取，，。求： (1)小球所带电荷量； (2)细线的最大拉力大小。 【答案】(1)10-3C (2)15N 【详解】（1）小球带正电，由平衡条件得 代入数据解得小球电荷量为q = 10-3C （2）小球恰能绕O点在竖直平面内做完整的圆周运动，在等效最高点，由牛顿第二定律 小球从等效最高点到等效最低点，由动能定理得 小球在圆周运动的等效最低点时，细线拉力最大，由牛顿第二定律 联立解得Fm=15N 【典例20】（25-26高二上·安徽六安·期末）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，由水平粗糙轨道AB与光滑圆弧轨道BDC组成的绝缘轨道固定在竖直面内，圆弧轨道与水平轨道在B点相切，AB部分轨道足够长，圆弧轨道的半径为R，OD沿水平方向，OC与水平方向的夹角为45°。将一个质量为m、电荷量为的带电小物块在水平轨道上A处由静止释放，AB距离。已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度，物块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，物块可视为质点，运动过程中电荷量不变，求： (1)物块第一次到达D点时对轨道的压力大小； (2)计算判断物块运动过程中能否滑出轨道的C点？若能，第一次滑出后距离C的最远距离为多少； (3)物块在AB轨道上运动的总路程为多少。 【答案】(1) (2)能，最远距离为 (3) 【详解】（1）物块第一次到达D点的过程，根据动能定理可得 根据牛顿第二定律可得 联立，解得 根据牛顿第三定律可得，物块第一次到达D点时对轨道的压力大小为 （2）假设物块运动过程中能滑出轨道的C点，则物块运动到C点的速度大小为，根据动能定理可得 解得 物块受到的电场力大小为 物块受到的电场力和重力均不变，可将这两个力看成是等效重力，设等效重力的方向与竖直方向的夹角为，则 解得 即物块滑出轨道的C点后做类竖直上抛运动，根据牛顿第二定律可得 解得 设第一次滑出后距离C的最远距离为，则 解得 （3）因为 所以物块不能静止在水平粗糙轨道AB上，最终将在间做往复运动，且在B、D两点处的速度均为0，则物块由A到B的过程，根据动能定理     解得物块在AB轨道上运动的总路程为 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲　电场中的功能关系及重电复合场模型 考点1 电场中的功能关系 考点2 重电复合场中的直线运动模型 考点3 重电复合场中的类抛体运动模型 考点4 重电复合场中的圆周运动（等效重力法） 考点1：电场中的功能关系 1.求电场力做功的四种方法 定义式法 WAB＝Flcosα＝qEdcosα（此公式只适用于匀强电场）可变形为：W＝qEd（d＝lcos α） d为电荷初、末位置在电场方向上的位移。 非匀强电场中可判断大小。 电势差法 WAB＝qUAB＝q（φA－φB）此公式适用于任何电场 ①三个量都取绝对值，先计算出功的数值，然后再根据电场力的方向与电荷位移方向间的夹角确定电场力做正功还是负功 ②代入符号，将公式写成WAB＝qUAB，特别是在比较A、B两点电势高低时更为方便：先计算UAB＝，若UAB>0，则φA－φB>0，即φA>φB；若UAB<0，则φA－φB<0，即φA<φB 动能定理法 W电＋W其他＝ΔEk 此公式适用于任何电场 功能关系法 WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB 此公式适用于任何电场 2.电场中的功能关系 各种力做功 对应能的变化 定量的关系 只有电场力做功 动能和电势能之间相互转化，动能（Ek）和电势能（Ep电）的总和守恒 ①W电＝－ΔEp电＝ΔEk ②电场力做正功，电势能减少，动能增加 ③电场力做负功，电势能增加，动能减少 只有电场力和重力做功 电势能、重力势能、动能之和保持不变 W电+WG＝－（ΔEp电+ΔEp重）=ΔEk 多个力做功 多种形式的能量转化，要根据不同的力对应不同形式的能量分析 W电＋W其他＝ΔEk 只有重力、弹簧弹力的功 不引起机 械能变化 机械能守恒ΔE＝0 W其他：除重力或系统内弹簧弹力以外的其他外力做的功 机械能的改变量（ΔE） 除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W其他＝ΔE Ff·Δx：一对滑动摩擦力做功的代数和 因摩擦而产生的内能（Q） 滑动摩擦力做功引起系统内能增加ΔE内＝Ff Δx（Δx为物体间的相对位移） W合：合外力的功 （所有外力的功） 动能的改变量（ΔEk） 合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1 能量与功之间的关系 3.电场中功能关系问题的分析方法 在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。 （1）受力情况分析和运动情况分析。 （2）分析各力做功的情况，做正功还是负功。 （3）分清多少种形式的能量参与，哪种能量增加，哪种减少。 （4）选择动能定理或能量守恒定律等列出方程式。 4.解题思路—单个物体或连接体 （1）处于平衡状态： ①利用整体法或隔离法进行受力分析； ②列平衡方程； ③寻找连接体间的关联量。 （2）运动状态： ①利用隔离法进行受力分析； ②列牛顿第二定律方程、运动学方程、功能关系方程； ③寻找连接体间的关联方程。 【典例1】（多选）（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）如图所示，一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上，上端连接一带正电小球，小球所处的空间存在着方向竖直向上的匀强电场，小球平衡时，弹簧恰好处于原长状态。现给小球一竖直向上的初速度，小球最高能运动到点。在小球从开始运动到运动至最高点的过程中（　　） A．小球的电势能减小 B．小球机械能的改变量等于电场力做的功 C．弹簧弹性势能的增加量等于小球动能的减少量 D．小球动能的减少量等于电场力和重力做功的代数和 【典例2】如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，据此可知（　　） A．带电质点在点的加速度比在点的加速度小 B．带电质点在点的电势能比在点的大 C．带电质点在点的动能大于在点的动能 D．P、R、Q三点中的电势最高 【典例3】某科技公司研发的高空绝缘滑杆巡检装置中，带负电的巡检小环P套在光滑绝缘的竖直滑杆上，滑杆左侧固定一个带正电的静电平衡辅助装置Q。滑杆上、两点与Q的距离相等，为中点。将小环P从点无初速度释放，不计空气阻力，小环P、装置Q均视为点电荷，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．小环经过、两点时的速度相等 B．小环经过点时，加速度为，速度达到最大 C．小环从点下降到点的过程中，库仑力做的功等于机械能变化量 D．小环从点下降到点的过程中，重力势能变化量等于动能变化量 【典例4】（2026·浙江·一模）如图所示，将一个倾角为的绝缘斜面固定在水平向右、场强大小为的匀强电场中。从斜面顶端以初速度水平向左抛出一质量为、电荷量为的带正电小球，最后落在斜面上，已知重力加速度为，不计空气阻力，则（     ） A．小球在空中的运动时间为 B．小球在空中运动的最小速率为 C．从抛出到落到斜面上，合力做功 D．从抛出到落到斜面上，电势能减少了 【典例5】（多选）（25-26高一下·四川广安·期中）如图所示，倾角为的固定斜面下端固定一挡板，一轻弹簧下端固定在挡板上。现将一质量为m、电荷量为+q的绝缘小滑块从斜面上距离弹簧上端L处由静止释放，小滑块始终处在场强大小为（g为重力加速度）、方向平行斜面向下的匀强电场中，小滑块与斜面间的动摩擦因数为，则小滑块从释放到运动到最低点的过程中，下列说法正确的是（     ） A． B．滑块与斜面摩擦产生的热量等于滑块的重力势能和电势能的减少量与弹簧弹性势能的增加量之差 C．滑块克服弹簧弹力做的功等于滑块减少的重力势能和增加的电势能及增加的内能之和 D．滑块刚与弹簧接触瞬间达到最大动能 考点2：重电复合场中的直线运动模型 模型分析 带电粒子只在电场力与重力的作用下所做的直线运动，称为重电复合场中的直线运动模型。此模型中三个解题的有用结论： (1)当电场力沿竖直方向而带电体沿其他方向运动时，一定是匀速直线运动； (2)在减速直线运动中，带电体沿初速度方向上能达到的最大位移是当速度减小到零时； (3)带电体沿斜面运动的临界条件为电场力与重力的合力恰好平行于斜面。 几种直线运动情况 匀速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动 【典例6】静电喷漆技术具有效率高、浪费少、质量好，又利于工人健康等优点，其简化原理如图所示。一带电油漆微粒从A点以一定的初速度进入水平向左的匀强电场中（实线代表电场线），微粒恰沿直线AB运动。下列说法正确的是（　　 ） A．带电油漆微粒带正电 B．从A到B，微粒做匀减速直线运动 C．从A到B的过程中，微粒的机械能增加 D．从A到B的过程中，微粒的电势能增加 【典例7】（25-26高二上·四川成都·期末）如图甲，粗糙绝缘的水平地面上，一质量为、电荷量为的带电滑块（可视为质点）在处以的初速度开始沿轴正方向运动，滑块与地面间的动摩擦因数为。在处固定有一个电性未知、电荷量为的场源点电荷，滑块在轴不同位置所具有的速度大小如图乙所示，点是图线起始点，点是图线最高点，规定无穷远处电势为零，重力加速度大小取，静电力常量为。下列说法正确的是（     ） A．场源电荷带正电，电荷量大小为 B．运动的全部过程中，滑块加速度的最大值为 C．AP两点间的电势差为 D．滑块向右运动的过程中，其电势能先减小后增大 【典例8】（多选）（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，倾角的光滑斜面的左侧O点固定一个带正电的点电荷，斜面上与O点等高的A点由静止释放带电荷量为、质量为m的滑块，滑块运动经斜面的B点和C点．已知，OB连线垂直于斜面，滑块在A点的加速度为a，滑块经B点的速度为v，重力加速度为g，，下列说法正确的是（     ） A．滑块对斜面压力不变 B．滑块经C点的速度为 C．滑块经C点的加速度为 D．斜面上BC两点的电势差为 【典例9】（25-26高一下·云南文山·阶段检测）如图所示，一质量为、带电量的小球，用绝缘细线悬挂在水平向右的匀强电场中，假设电场足够大，静止时悬线与竖直方向成37°角。小球在运动过程电量保持不变，重力加速度。，。不计空气阻力，求： (1)电场强度E； (2)某时刻将细线剪断，经过2s时小球的速度大小v； (3)剪断细线2s内小球的机械能变化了多少？ 【典例10】（25-26高二上·内蒙古乌海·期中）如图所示，一正点电荷固定在倾角为的光滑绝缘斜面底部的A点，斜面上有两点，且和C在同一直线上，B和C相距为L。现将一带电量为q的小球（可视为点电荷）从B点由静止释放，此时小球的加速度大小为g，带电小球运动到C点时速度恰好为零。求： (1)小球在B点时受到的库仑力F； (2)B和C两点间的电势差； (3)若带电小球运动到C点时速度恰好为零，同时A点电荷变为等量负点电荷。则小球回到B点时速度v。 考点3：重电复合场中的类抛体运动模型 1.类抛体运动模型 类抛体运动过程常采用正交分解法处理，有两种方式：一种方式是沿合力与垂直于合力方向建立坐标系求解，当带电体做类斜上抛运动时，垂直合力方向上的初速度分量为运动过程中速度的最小值，沿合力方向的速度减小到零时，此方向上的分位移达到最大值。另一种方式是当电场方向水平时，可将带电体的运动沿水平与竖直方向分解建立坐标系。 2.直线及类抛体运动的条件总结 【典例11】（25-26高二上·广西贺州·阶段检测）如图为一匀强电场，某带电粒子仅受重力和电场力，以一定初速度从A点沿虚线运动到B点。这一运动过程中粒子克服重力做的功为2.0J，电场力做的功为1.5J，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子的动能增加3.5J C．粒子的机械能守恒 D．粒子的动能减少0.5J 【典例12】如图，竖直面内有半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，固定在光滑的水平地面上，且圆弧轨道最低点C与水平地面相切．空间加有水平向右的匀强电场，A点位于B点左上方，相对于B点的水平距离和竖直高度均为R，一可视为质点的带电小球从A点以某一速度水平抛出，恰能从B点无碰撞地沿圆弧切线进入轨道，小球离开轨道后，运动到D点（D点未画出）时速度减为零，已知重力加速度为g，则（     ） A．小球带正电 B．段长度为 C．小球从A点抛出时的速度为 D．从A点到D点过程中小球的电势能增加了 【典例13】（多选）（25-26高二上·云南昆明·期末）如图所示，水平地面上方存在水平向右的匀强电场，O、Q为水平地面上的两点，现将质量为m，电荷量为q的小球（可看作质点），从O点以初速度竖直向上抛出，P为运动轨迹的最高点，Q为最后落回到地面上的点。若不计空气阻力，重力加速度为g，电场强度，，，下列说法正确的是（　　） A．小球到达Q点所用的时间为 B．小球到达P点时的速度大小为0 C．OP的水平距离与PQ的水平距离之比为 D．OQ两点之间的电势差为 【典例14】如图所示，竖直平面直角坐标系xOy，第Ⅲ象限内固定有半径为R的四分之一光滑绝缘圆弧轨道BC，轨道的圆心在坐标原点O，B端在x轴上，C端在y轴上，同时存在大小为，方向水平向右的匀强电场。第Ⅳ象限x=0与x=3R之间有大小为，方向竖直向下的匀强电场。现将一质量为m，电荷量为q的带负电小球从B点正上方高2R处的A点由静止释放，并从B点进入圆弧轨道，重力加速度用g表示，求： (1)小球经过B点时的速度大小vB； (2)小球经过第Ⅲ象限的C点时对轨道的压力大小； (3)小球运动到y轴右侧后离开电场时的坐标。 【典例15】（25-26高二上·新疆省直辖县级单位·期末）如图，水平地面上方存在方向水平向右的匀强电场。、为水平地面上的两点，将一质量为的小球（看作质点）从点以初速度竖直向上抛出，运动的最高点为点，最后落回到地面上的点，不计空气阻力。重力加速度为、电场强度大小为。求： (1)水平位移与水平位移之比； (2)小球到达点时的速度大小； (3)小球从运动到过程中最小速度的大小及与电场方向夹角的正切值。 考点4：重电复合场中的圆周运动（等效重力法） 1.模型概述 重电复合场中的圆周运动模型包括两种情况。一种情况是带电体做完整的圆周运动：涉及运动过程中动能、弹力的极值，做完整圆周运动、不脱离轨道的临界条件等相关内容。另一种情况是从静止释放的带电体在电场中的摆动：涉及释放后能否沿圆弧运动、运动过程中速度、动能、弹力的大小与极值等相关内容。 两种情况的解题关键是确定重力与电场力的合力即“等效重力”的方向，从而确定等效水平面的位置。等效最高点与等效最低点可用来确定速度、动能、弹力的极值及判断能否做完整的圆周运动；等效水平面位置可用来判断物体是否沿圆弧运动：释放点位于等效水平面下方时可沿圆弧运动，也可通过释放点所在半径与“等效重力”方向间夹角来判定，锐角时沿“等效重力”方向做直线运动，直角或钝角时沿圆弧运动。 2.解题方法 等效思维法：等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。 方法应用：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝ 视为“等效重力加速度”， F合的方向等效为“重力”的方向。如此便建立起“等效重力场”。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。 等效最“高”点与最“低”点的寻找：确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线，反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效最“低”点。 3.模型图 【典例16】（24-25高一下·江苏宿迁·阶段检测）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度下列说法正确的是（　　） A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到C点时的动能最大 C．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到A点时的机械能最小 D．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动 【典例17】（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为的绝缘细线，细线一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成角，此时让小球获得初速度且恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．小球带负电 B．小球动能的最小值为 C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大，再减小 【典例18】（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图所示，光滑绝缘的圆形轨道BCDG位于竖直平面内，B点是轨道最低点，C点和G点与圆心等高，D点是最高点，轨道半径为R，下端与光滑倾斜绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带电量为的小球（可视为质点），已知小球可由轨道上A点沿轨道运动到G点，小球在A点的初速度，在AB段的加速度，倾斜轨道倾角，AB的距离，重力加速度为g，，。则（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．小球过C点时，它的速度大小为 C．小球过C点时，它对轨道的压力大小为 D．小球在圆形轨道上运动的最小速度为 【典例19】（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在竖直平面内有足够宽的方向水平向右、电场强度大小的匀强电场。一根长的绝缘细线，一端固定在点，另一端系一质量的带正电的小球，静止时悬线与竖直方向的夹角。若小球获得垂直于细线斜向上的初速度后，恰能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动，为圆的竖直直径。重力加速度取，，。求： (1)小球所带电荷量； (2)细线的最大拉力大小。 【典例20】（25-26高二上·安徽六安·期末）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，由水平粗糙轨道AB与光滑圆弧轨道BDC组成的绝缘轨道固定在竖直面内，圆弧轨道与水平轨道在B点相切，AB部分轨道足够长，圆弧轨道的半径为R，OD沿水平方向，OC与水平方向的夹角为45°。将一个质量为m、电荷量为的带电小物块在水平轨道上A处由静止释放，AB距离。已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度，物块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，物块可视为质点，运动过程中电荷量不变，求： (1)物块第一次到达D点时对轨道的压力大小； (2)计算判断物块运动过程中能否滑出轨道的C点？若能，第一次滑出后距离C的最远距离为多少； (3)物块在AB轨道上运动的总路程为多少。 学科网（北京）股份有限公司 $