16.1 幂的运算 同步讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

2026—2027 学年人教版数学八年级上册 幂的运算 同步讲义 （教师版 · 含答案与详解） 一、本章知识结构 本章学习幂的三条运算性质与两种特殊指数幂：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘除运算的基础；同底数幂的除法把指数从正整数推广到零指数与负整数指数，并借助科学记数法表示较大数与较小数。 二、知识清单（核心公式，须熟记） 运算名称 文字法则 字母公式 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 幂的乘方 底数不变，指数相乘 积的乘方 把积的每个因式分别乘方 同底数幂相除 底数不变，指数相减（a≠0） 零指数幂 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 负整数指数幂 一个数的负指数幂等于其正指数幂的倒数 补充：（a≠0，p 为正整数）。科学记数法表示绝对值小于 1 的数，如 ，其中 10 的指数是负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（含小数点前的那个零）。 三、典例剖析 例1　计算： （1）　 （2）　 【分析】先分别用同底数幂乘法、积的乘方与幂的乘方化简，再合并同类项。 【解】（1）　 　　　　（2）　 例2　计算： （1）　 （2）　 【分析】负整数指数幂要先化成分式（正指数的倒数）再参与运算；零指数幂等于 1。 【解】（1）　 　　　　（2）　原式　 例3　已知　，　，求　　的值。 【分析】逆用同底数幂的乘法与幂的乘方，把　　拆成含　、　　的形式整体代入。 【解】　 例4　计算：　 【分析】根式乘方可化为整数；带负指数的分数取倒数化正指数；π−3 不为 0，故其零次幂为 1。 【解】　原式　 四、分层作业 A 组 · 基础过关（全体必做） 1．计算　　的结果是____________． 　　【答案与详解】　（同底数幂相乘，底数不变、指数相加：3＋4＝7）。 2．计算　　的结果是____________． 　　【答案与详解】　（幂的乘方，底数不变、指数相乘：2×4＝8）。 3．计算　　的结果是____________． 　　【答案与详解】　（积的乘方：负 2 的立方等于负 8，a 的二次方的三次方等于 a 的六次方）。 4．计算　　的结果是____________． 　　【答案与详解】　（同底数幂相除，指数相减：8−3＝5）。 5．计算　　的结果是____________（结果用最简分数表示）． 　　【答案与详解】　（5 的零次幂为 1，3 的负一次幂化成分式后再算，结果写成最简分数）。 6．用科学记数法表示　　＝________________． 　　【答案与详解】　（小于 1 的数，10 的指数取负，绝对值等于第一个非零数字前所有零的个数）。 B 组 · 能力提升（选做） 7．计算　　的结果是____________． 　　【答案与详解】　（负指数取倒数，负 3 的平方等于 9）。 8．计算　　的结果是____________． 　　【答案与详解】　（同底数幂相乘，指数相加：−3＋5＝2）。 9．计算　　的结果是____________． 　　【答案与详解】　拆出与　　相同的指数： 　　原式＝　 　　　　　　＝　（关键：把负 8 的 2027 次幂拆成负 8 的 2026 次幂再乘一个负 8，逆用积的乘方凑出 1 的幂）。 10．已知　，　，求　　的值． 　　【答案与详解】　（逆用同底数幂乘法与幂的乘方整体代入）。 C 组 · 拓展挑战（选做） 11．已知　，求　　的值． 　　【答案与详解】　将　　两边平方，得　　即 　　，所以　　（完全平方公式的整体变形）。 12．计算：　 　　【答案与详解】　　等于 4；3.14−π 不为 0，其零次幂为 1；负 1 的平方等于 1；　取倒数为　。逐项化简后再加减： 　　原式＝　（注意每一项的符号，逐项化简后再加减）。 13．已知　，　，　，把它们用“＜”号连接起来． 　　【答案与详解】　三个指数 555、444、333 的最大公约数是 111，据此化同指数： 　　　； 　　　； 　　　　指数相同比较底数：125＜243＜256，故 　　　　（化同指数再比底数，是幂比较大小的通法）。 （全卷完） 第16章 幂的运算 · 教师版 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年人教版数学八年级上册 幂的运算 同步讲义 （学生版） 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 一、本章知识结构 本章学习幂的三条运算性质与两种特殊指数幂：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘除运算的基础；同底数幂的除法把指数从正整数推广到零指数与负整数指数，并借助科学记数法表示较大数与较小数。 二、知识清单（核心公式，须熟记） 运算名称 文字法则 字母公式 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 幂的乘方 底数不变，指数相乘 积的乘方 把积的每个因式分别乘方 同底数幂相除 底数不变，指数相减（a≠0） 零指数幂 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 负整数指数幂 一个数的负指数幂等于其正指数幂的倒数 补充：（a≠0，p 为正整数）。科学记数法表示绝对值小于 1 的数，如 ，其中 10 的指数是负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（含小数点前的那个零）。 三、典例剖析 例1　计算： （1）　 （2）　 例2　计算： 例3　已知　，　，求　　的值。 例4　计算：　 四、分层作业 A 组 · 基础过关（全体必做） 1．计算　　的结果是____________． 2．计算　　的结果是____________． 3．计算　　的结果是____________． 4．计算　　的结果是____________． 5．计算　　的结果是____________（结果用最简分数表示）． 6．用科学记数法表示　　＝________________． B 组 · 能力提升（选做） 7．计算　　的结果是____________． 8．计算　　的结果是____________． 9．计算　　的结果是____________． 10．已知　，　，求　　的值． C 组 · 拓展挑战（选做） 11．已知　，求　　的值． 12．计算：　 13．已知　，　，　，把它们用“＜”号连接起来． 第16章 幂的运算 · 学生版 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $