学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷·提升卷（全国通用，范围：人教A版选必一第一～三章：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，则， 所以. 2．若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 3．（新情境）塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】由抛物线的定义知：. 4．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，的渐近线方程为， 由解得， 即双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 5．已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，则，且， 在中，，因， 故的中点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 其方程为. 6.（新考点）在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，曲线C表示原点； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 同理，可在平面直角坐标系内作出曲线C的完整图形（如图），又曲线C上的点到原点距离的最大值为， 所以． 7．（圆与集合的融合）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合是圆心为，半径为的圆的内部的点的集合， 集合是圆心为，半径为的圆的内部的点的集合， 又，则圆在圆内，即，即， 则，即的轨迹是圆心为，半径为的圆上及圆内部点的集合， 令，则的几何意义是动点与点连线的斜率， 则设过动点和点的直线的方程为，即， 所以该直线与圆相切或相交， 所以圆心到该直线的距离， 整理得，解得． 8．（新定义）在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以（a，b，c不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，且；而过点P，且以（a，b，c不同时为0）为法向量的平面方程为.若平面过点A，且满足方程；直线也过点A，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设. 因为平面过点A，且满足方程，将其写为， 即， 所以，且平面的一个法向量为. 因为直线过点A，满足，且， 所以， 由得. 根据题干中的规定可知，，由可得， 对比可知，不妨取，则， 所以直线的一个方向向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 所以. 故选：B. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，点在上，则（    ） A．的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 【答案】BC 【详解】由抛物线，则，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，由于点在上，则， 而，则，即，所以，故C正确； 对于D，，当且仅当，即在原点时，等号成立，故D错误. 故选：BC 10．已知椭圆，，为左、右焦点，为上顶点，为椭圆上任一点，则（   ） A．的最大值为 B．的取值范围是 C．存在点使 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】由题可得：，，，，， 对于A，当在上顶点或下顶点时，的面积最大为，则A正确； 对于B，根据椭圆几何性质可得：，，所以的取值范围是，故B正确； 对于C，设，若存在点使，则， 联立，化简可得：，由于在椭圆中， 所以方程组无解，则不存在点使，故C错误； 对于D，设，， 令，其对称轴为， 则在上单调递减， 所以当时，，故D正确; 故选：ABD 11．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，，是中点，下列命题正确的是（） A． B． C．二面角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【详解】由题意，，因为为等腰直角三角形且， 所以，又，， 以为原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 设，由，， 由，得， 由，得， 由，得， 所以， 选项A：，，， 所以，故选项A正确； 选项B：是中点，则，， ，，故选项B错误； 选项C：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，，， 由，取，则，， 所以， 由图可知，二面角为钝角，（在底面的投影与位于直线()的异侧），所以其余弦值为负， 所以其余弦值为，故选项C正确； 选项D：三棱锥的高，底面面积， 体积，故选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．与直线平行且距离为的直线方程是__________. 【答案】或 【详解】因为所求直线与直线平行，所以可设所求直线方程为， 根据平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以所求直线方程为或. 13．若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意可知，点到直线的距离， 即，得或， 故实数的取值范围是. 14．设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】 【详解】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以故离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知圆经过和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆C经过和，且圆心在直线上， 所以， 解得： ， 所以圆C的方程为：． （2），且=弦长， ①当l斜率不存在时，l的方程为， 易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意． ②当l斜率存在时，设l的方程为，即， 又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则． 所以，解得， 所以直线l的方程为，即． 综上，l的方程为或．    16． （15分） 已知抛物线的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1)；(2)8 【详解】（1）因为抛物线的焦点在轴正半轴上， 对于直线，令，可得， 可知焦点，即，可得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，且不为0， 设直线的方程为，， 联立方程，消去y可得， 则，可得，， 则， 可得的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为8. 17．（15分） 已知双曲线，其实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作的两条切线，设直线的斜率分别为，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意得，解得，离心率，解得， 又， 所以双曲线的标准方程为. （2）设切线方程为，与双曲线T联立， 得， 由得， 化简可得关于k的方程， 该方程也要有两个不同的实根， 所以，解得且， 由韦达定理得，由且， 解得或，即实数的取值范围是. 18． （17分） 在中，分别是上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使在棱上移动（包含端点）． (1)求证：； (2)当为棱的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． (3)设直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3). 【详解】（1）因为，则，且，可得， 将沿折起到的位置，始终有， 因为平面，所以平面， 由平面，可得， 所以. （2）翻折前，因为，且， 所以，所以，翻折后， 由勾股定理得． 由（1）可知平面，又，所以平面，又，所以两两垂直． 以为原点，直线分别为,,轴建立如下空间直角坐标系， 则， 可得. 设平面的法向量是，则， 令，则，可得． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， ， 所以二面角的余弦值为． （3）设,. ， 当时，， 当时，， 当时，的最大值为． 19．（17分） 已知椭圆，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. (1)求椭圆的方程. (2)若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. (3)在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3). 【详解】（1）根据椭圆的对称性知，当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形为菱形， 由，，得，，所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，， 由消去整理得， 则，，， 而，则， 因此 ， 解得， 所以直线恒过定点. （3） 由（2）知，，得， 直线的方程为，直线的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（新情境）塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6.（新考点）在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（圆与集合的融合）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（新定义）在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以（a，b，c不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，且；而过点P，且以（a，b，c不同时为0）为法向量的平面方程为.若平面过点A，且满足方程；直线也过点A，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，点在上，则（    ） A．的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 10．已知椭圆，，为左、右焦点，为上顶点，为椭圆上任一点，则（   ） A．的最大值为 B．的取值范围是 C．存在点使 D．的最大值为 11．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，，是中点，下列命题正确的是（） A． B． C．二面角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．与直线平行且距离为的直线方程是__________. 13．若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 14．设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知圆经过和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程． 16．（15分） 已知抛物线的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 17．（15分） 已知双曲线，其实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作的两条切线，设直线的斜率分别为，若，求实数的取值范围. 18．（17分） 在中，分别是上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使在棱上移动（包含端点）． (1)求证：； (2)当为棱的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． (3)设直线与平面所成角为，求的最大值． 19．（17分） 已知椭圆，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. (1)求椭圆的方程. (2)若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. (3)在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（新情境）塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6.（新考点）在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（圆与集合的融合）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（新定义）在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以（a，b，c不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，且；而过点P，且以（a，b，c不同时为0）为法向量的平面方程为.若平面过点A，且满足方程；直线也过点A，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，点在上，则（    ） A．的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 10．已知椭圆，，为左、右焦点，为上顶点，为椭圆上任一点，则（   ） A．的最大值为 B．的取值范围是 C．存在点使 D．的最大值为 11．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，，是中点，下列命题正确的是（） A． B． C．二面角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．与直线平行且距离为的直线方程是__________. 13．若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 14．设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知圆经过和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程． 16． （15分） 已知抛物线的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 17．（15分） 已知双曲线，其实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作的两条切线，设直线的斜率分别为，若，求实数的取值范围. 18． （17分） 在中，分别是上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使在棱上移动（包含端点）． (1)求证：； (2)当为棱的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． (3)设直线与平面所成角为，求的最大值． 19．（17分） 已知椭圆，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. (1)求椭圆的方程. (2)若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. (3)在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 P D C B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10 11 BC ABD ACD 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 √2 12.x+2y=0或x+2y-10=013.(1,5)U(-7,-3) 14.2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (x-a)2+y-b)2=r2 【详解】(1)设圆的方程为 因为圆C经过 0-和82，D,且圆心在直线-2y-1-0上， (0-a)}+(-1-b)}2=r2 所以 (2-a}+1-b}2=2, -2分 a-2b-1=0 a=1 b=0 解得： -4分 r=√2 118 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以圆C的方程为： (x-102+y2=2 -5分 (2)CM=lCN=2,且∠MCN=90弦长MW=VCM+CW=2, ①当1斜率不存在时，1的方程为x=2, 易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意. -7分 ②当1斜率存在时，设1的方程为y-2=k(x-2),即-y+2-2k=0, -8分 又直线1按圆C所截得的弦长为2，所以2=2-日=22-d,则4=1 -9分 d=12-k1=1 3 k= 所以V2+1,解得=4， 3 所以直线1的方程为y-2=x-2),即3x-4y+2=0. --11分 综上，1的方程为x=2或3x-4y+2=0 -13分 M 16.(15分) 【详解】(1)因为抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点F在x轴正半轴上， 对于直线-4y-2=0,令)=0，可得x=2,可知焦点 (2,0) -2分 即号=2，可得p=4, .4 分 所以抛物线C的方程为 y2=8x -6分 (2)由题意可知：直线MN的斜率可能不存在，且不为0， 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设直线MN的方程为=my+2,M(,yN(G,) x=my+2 联立方程y2=8x,消去y可得y2-8my-16=0, 则A=64㎡+64>0，可得+乃=8m,=-6 -9分 则ly-2l=V(y+2)}-4y2=V64m2+64=8√m2+1 -12分 可得△OMN的面积S.ow=y-yx2=8Vm2+1≥8 当且仅当m=0时，等号成立， 所以△OMN的面积最小值为8. -15分 17.(15分) 【详解】(1)由题意得2a=2,解得a=1, -2 分 离心率e=台=5，解得c=5, a 4分 又b2=c2-a2=4, -5分 所以双曲线7的标准方程为？ 41 --6分 [y-2=k(x-m) (2)设切线方程为 与双曲线T联立 x2、y2 =1 y-2=Hx-m) 4 得4-)r+(2km-4)加-km㎡+4物m-8=0 -8分 318 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2k2m-4k2-4(4-k2)(-k2m2+4m-8)=0 由， 得(4-)0 △=0 (m2-1)k2-4mk+8=0 化简可得关于k的方程k≠2 -10分 该方程也要有两个不同的实根， △=16m2-4(m2-1)×8>0 m≠±1 所以 ,解得 .且 -12分 m>0 <m<√2“m≠1 8 由韦达定理得6m一，由0<m<2且m≠， 解得t>8或t<-8, 即实数t的取值范围是(-0，-8)U(8,+o∞)： -15分 18.(17分) 【详解】(1)因为∠C=90,则AC⊥BC,且DE11BC,可得AC⊥DE, △ADE 将△MDE沿DE折起到 DE⊥AD,DE⊥CD 的位置，始终有 --2分 AD∩CD=D,AD,CDC ACD ACD 因为 C平面4CD,所以DE上平面 -3 分 Cc ACD DE⊥AC 平面 ,可得 BC⊥A,C 所以 4分 418 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)翻折前，因为DE11BC,且CD=2, 所议0-4是-把名.周1e-c,图5E0- 由勾股定理得4C=V4D2-CD=V伞-2=2V5 由6可知DE1平面4CD.又DE/BC,所8C1面4CD,又4C1CD AC,CD,CB ,又 所以 两两 垂直 5 分 以C为原点，直线 D,CB,C 分别为，’”轴建立如下空间直角坐标系， 则C00,04@.0,25D20.0.M,0v5,B0,30,E2,2.0 MB=(-1,3,-V5),BE=(2,-1,0),4B=(0,3,-25) 可得 -7分 m.MB=-x+3y-5z1=0 设平面MBE的法向量是m=(G,X,乙)，则m.BE=2x-片=0 -8分 元.BE=2x2-y2=0 设平面4BE的法向量方=(x,2,2)则元·AB=32-252=0, 则为=2，名=5 令戈1 组i=1,2,5) 可得 10 cos(m,n）= mn= 1m川210x8 4 15 所以二面角C-MB-E的余弦值为4· -11分 518 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D E （3)设BM=E☒+4D=(-2,-2,23+22,0-25)=(21-2,-2-251+2)0≤元≤1 -13分 s血0eosa.EW nEM 42 1nEM12√2×V162-321+20 -15分 当元=0时，sin0=0, 1 sin= 58 -14)2.4 ￥0时， 当 v2 当元=1时，sing的最大值为2 -17分 19.(17分) 【详解】(1)根据椭圆的对称性知，当M,N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由40+=4W5,2ab=4,得0=2，b=1, -2分 所以椭圆c的方程为4+y=1. -3分 (2)依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为x=my+n,M(:,N(c,), x=my+n +少广=1消去整理得 由x2 (m2+4)y2+2my+n2-4=0 2mn y+y2=- m2+4 则 n2-4 -5分 △=16(m2-n2+4)>0 yiy2= m2+4 my业=-n2-4 y+22n, -6分 618 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 而420,20：则5=产24=产 x2-2: k=2(s+2)=(my+n+2）=2n 2=4.0+y）+(n+2% 因此店6-21m+n-2n2-4.0y+2)+(m-2y 2n r2-40y+2)-2nn+2y=n+2)[0n-2y-n+2yl_2+n=3 (n2-40y+2)-2n(n-2)y(n-2)[(2-m)y+(n+2)y,]2-n, -8分 解得n=1, -9分 所以直线MN:x=my+1恒过定点(L,O). -10分 (3) B 2m 3 3 由(2)知n=1,片+为= m2+45= m+4,得m少=20+)， y=y1(x+2) 直线AM的方程为X1+2 2x-2) ,直线BN的方程为'2 1x+2)=2,(x-2) 则+2 x2-2 -11分 3 0+2)+3y20+3) 2 即x+2=2G+2)-my+3)=m四y+3y2= —=3 x-2y,(x2-2)y(my2-1)my2-y 20g+2)-y 20+3)，解得 ,-13分 x=4 即可得点P(x,p)有=4，=x 同理可得点06有6=4.为=三坐 x2+2 -14分 718 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 IPOl=Lo -ypl=1- 6-6y=6,-6y1= 18y2-) x2+2x+2 my2+3my+3m2y2+3m0y+2)+9 12 72Wm2+3 18V02+y)2-4y2 18( 2m2+ Vm2+4m2+4 9 =m2+4=2m2+3225 203+2)+9 人 9m2 36 *4*9引 m2+4 当且仅当m=0时取等号，所以PO的最小值为 V5 -17分 818■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) B A D M A D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 珠 M W ○ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）