第三章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·强化卷）数学北师大版高二选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成的角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线与平面所成的角为，则，由线面角的向量公式得，所以． 2．若空间的单位基底满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的分配律展开表达式，结合单位向量的模长性质及已知的基底夹角的余弦值代入计算即可得到结果. 【详解】根据向量数量积的线性运算律，将所求表达式展开，得， 由为单位基底，得，因此， 根据向量数量积的定义，结合已知，可得： ， 将上述结果代入展开式计算，得，故D正确. 3．下列关于方向向量与法向量的说法正确的是（　　） A．一条直线的方向向量是唯一的 B．一个平面的法向量是唯一的 C．若直线 的方向向量 与平面 的法向量 满足 ，则 或 D．若平面 的法向量与平面 的法向量垂直，则 【答案】C 【详解】与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量，共线的非零向量有无穷多个， 因此直线的方向向量不唯一，A错误； 与平面垂直的任意非零向量都是该平面的法向量，共线的非零向量有无穷多个， 因此平面的法向量不唯一，B错误； 若，则，即直线的方向向量与平面的法向量垂直， 此时直线与平面平行或在平面内，即或，C正确； 若两个平面的法向量垂直，则两个平面互相垂直，即，而非，D错误. 4．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若向量不能构成空间向量的一个基底， 则，代入得， 即，解得， 故. 5．在三棱锥中，二面角的大小为，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段长度判断出和是直角三角形，分别在面和面内作出垂直于二面角的棱的线，以为基底表示出，从而利用向量模长公式求出的长． 【详解】已知，，，由勾股定理， 可得，同理， 在面内过作于点，面内过作于点， 在中，， 因为，所以， 在中，同理可得，， 所以， 二面角的大小为，即，所以， ，因此. 6．如图，在斜三棱柱中，为棱的中点，为棱的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 7．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为. 8．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意，将平面的方程化为的形式，从而得到该平面的法向量及经过的点坐标，再应用向量法求点面距，结合球体的特征确定球半径最小值，进而求其表面积的最小值即可． 【详解】由平面的方程可化为， 则平面的一个法向量为，且过点， 又球经过点，则， 所以点到平面的距离为， 所以球半径最小值为，故球表面积的最小值为． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．在空间直角坐标系中，下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．对于非零向量，若，则 C．零向量与任意向量数量积为0 D．空间任意三个向量都可以作为空间向量一组基底 【答案】ABC 【详解】对于A，在空间直角坐标系中，若，，则，故A正确； 对于B，对于非零向量，若，则，故B正确； 对于C，由数量积的坐标表示，设任意向量，则，故C正确； 对于D，空间向量的一组基底由三个不共面（线性无关）的向量组成，任意三个向量可能共面或含零向量，不能都作为一组基底，故D错误． 10．下面四个结论中正确的是（   ） A．若与关于平面yOz对称，则 B．若，则向量，的夹角是锐角 C．已知，，则在上的投影向量为 D．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】AC 【分析】本题考查空间点的对称性质、向量点积与夹角的关系、投影向量计算以及空间基底的判定，逐一分析各选项即可求解. 【详解】选项A：点关于平面对称时，坐标变为相反数，坐标保持不变，故点坐标为， 则，A正确. 选项B：若，向量的夹角可能是锐角，也可能是两向量同向共线（夹角为），B错误. 选项C：计算得，， 则在上的投影向量为，C正确. 选项D：因为，说明三个向量共面，不满足空间基底要求的三个向量不共面的条件，D错误. 11．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，三棱锥的体积为，点在棱上，且，则（    ） A．四棱锥的高为3 B．的面积为 C．在上的投影向量为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；建系，推导出，利用三角形的面积公式可判断B选项；推导出，结合投影向量的定义可判断C选项；利用空间向量法求出线面角的正弦值可判断D选项. 【详解】对于A选项，如图，连接，设， 由题意知，和都是等边三角形， 又因为， 所以点在平面内的射影为的中心，设为，连接， 由，解得，即四棱锥的高为，A错； 对于B选项，由已知，又平面， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且与平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、、、， 所以，，则，所以， 又因为，， 所以，B对； 对于C选项，因为，所以，，所以， 所以，，，则，即， 所以在上的投影向量为，C对； 对于D选项，易知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设直线与平面所成的角为，则，D对. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．在空间直角坐标系中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的夹角为______ 【答案】/ 【详解】设直线与平面的夹角为， 则， 因为，所以. 13．二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知,该二面角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】将拆分为三段向量之和，利用垂直条件消去无关点积，通过模长平方反解向量点积，最终求出二面角平面角的余弦值． 【详解】如图： ，因为， 故， ， 故，解得， 设二面角的平面角为，则． 14．已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设底面的中心为原点，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，结合已知条件得到，设，，则，再应用向量数量积的运算律及坐标运算得到，最后由柯西不等式得，即可得. 【详解】设底面的中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    因为正四棱锥的底面边长，所以， 侧棱长，则高， 则，，，，， 设向量，则，， 由，整理得， 因为，所以，得， 设，，则，当且仅当时取等号， 由，其中，， 则，，且， 所以， 所以， 由于，而，当且仅当时两处等号同时成立， 所以，则，即为. 四、解答题（本题共5小题） 15．如图，已知为正三角形，且与菱形所在的平面互相垂直，，，M是的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：由为正三角形，M是的中点，得， 由平面平面，平面平面，且平面， 得平面，又平面，所以. (2)点存在，. 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理，证明平面，可证得； （2）假设存在点P，设，由已知线面角的正弦值，利用向量法求出. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，在菱形中，，则为正三角形， 由M是的中点，得，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段上存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设，由，则，可得， 设平面的法向量，由，， 则有，令，则，得， 则，解得. 所以点存在，且. 16．已知空间四点，. (1)用坐标表示； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1),. (2)， ，， 因为，所以，故 ，    因为，所以，故 ， 因为 ，且平面，所以平面. (3) 【分析】（1）空间向量坐标直接由“终点坐标减起点坐标”计算；（2）线面垂直的证明可转化为向量运算，验证直线向量与平面内两条相交直线的点积均为 0 即可；（3）先求平面的法向量，再由点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）由，得，. （2）略. （3），， 设平面的法向量为 ，则 ，得平面的一个法向量为， 取平面内点 ，向量 ，所以， 故点到平面的距离是. 17．如图，在正三棱台中，，记，，，，分别为棱，的中点. (1)用，，表示； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据空间向量线性运算法则，结合棱台上下底面边长关系以及线段中点的向量性质，将目标向量逐步拆解，用基底表示即可； (2)先利用空间向量数量积运算律，求出异面直线方向向量与的数量积，再分别计算两个向量的模长，最后代入向量夹角公式，取绝对值得到异面直线所成角的余弦值. 【详解】（1）连接，则， 因为为的中点，所以， 因为，所以，同理， 所以，所以 （2）由三棱台为正三棱台，，得， 即， ， 记，则， 所以， 又，， 所以. 即异面直线与所成角的余弦值为. 18．在空间直角坐标系中，四棱锥各点坐标为，，，，，点满足． (1)当时，求线段的长度； (2)若，求实数的值； (3)求异面直线与所成的角． 【答案】(1) (2) (3)（或） 【分析】（1）利用向量数乘求出的坐标，代入空间两点间距离公式计算的长度； （2）先用表示的坐标，写出向量与，根据向量垂直则数量积为，列方程求解； （3）求出异面直线方向向量，利用向量夹角公式算出向量夹角，再得到异面直线所成角． 【详解】（1）设，因为，，，， 所以，， 当时，， 所以，即， 解得，即， 所以； （2）设，因为，，， 所以，， ， 因为， 所以，即， 解得，即， 所以， 由，得， 解得； （3）因为，，，， 所以，， 所以， ，， 所以， 因为，所以 所以异面直线与所成的角为． 19．已知点，在平面的两侧，且三棱锥是正三棱锥，为中点，如图所示． (1)若三棱锥也是正三棱锥，证明：； (2)若，，点满足，其中，，且，求平面与平面夹角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：三棱锥是正三棱锥， 故底面为等边三角形，， 因为为中点，所以，， 因为平面，，所以⊥平面， 三棱锥也是正三棱锥，同理可得，故平面， 所以平面，故； (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到，⊥平面，同理可得，故平面，平面，故； （2）先得到两两垂直，建立空间直角坐标系，设，求出的关系式，从而，求出两平面的法向量，得到两平面夹角余弦值，根据求出取值范围. 【详解】（1）略 （2）由题意得，， 故，所以，同理可得， 即两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设，由得， 所以，故，其中，， 又，故， 两边平方得， 化简得，，， ，解得， 设平面的法向量为， ，， 则， 令，则，，故， 设平面的法向量为， ， 则， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则 其中， 所以， 因为，所以， 故，， 故平面与平面夹角余弦值的取值范围是. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成的角为（     ） A． B． C． D． 2．若空间的单位基底满足，则（     ） A． B． C． D． 3．下列关于方向向量与法向量的说法正确的是（　　） A．一条直线的方向向量是唯一的 B．一个平面的法向量是唯一的 C．若直线 的方向向量 与平面 的法向量 满足 ，则 或 D．若平面 的法向量与平面 的法向量垂直，则 4．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，二面角的大小为，，，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，在斜三棱柱中，为棱的中点，为棱的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 8．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．在空间直角坐标系中，下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．对于非零向量，若，则 C．零向量与任意向量数量积为0 D．空间任意三个向量都可以作为空间向量一组基底 10．下面四个结论中正确的是（   ） A．若与关于平面yOz对称，则 B．若，则向量，的夹角是锐角 C．已知，，则在上的投影向量为 D．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 11．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，三棱锥的体积为，点在棱上，且，则（    ） A．四棱锥的高为3 B．的面积为 C．在上的投影向量为 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．在空间直角坐标系中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的夹角为______ 13．二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知,该二面角的余弦值为______． 14．已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题） 15．如图，已知为正三角形，且与菱形所在的平面互相垂直，，，M是的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 16．已知空间四点，. (1)用坐标表示； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 17．如图，在正三棱台中，，记，，，，分别为棱，的中点. (1)用，，表示； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 18．在空间直角坐标系中，四棱锥各点坐标为，，，，，点满足． (1)当时，求线段的长度； (2)若，求实数的值； (3)求异面直线与所成的角． 19．已知点，在平面的两侧，且三棱锥是正三棱锥，为中点，如图所示． (1)若三棱锥也是正三棱锥，证明：； (2)若，，点满足，其中，，且，求平面与平面夹角余弦值的取值范围 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C D A A B C 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9 10 11 ABC AC BCD 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共20分．） 12．/ 13．/ 14． 四、解答题（本题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(1)证明：由为正三角形，M是的中点，得， 由平面平面，平面平面，且平面， 得平面，又平面，所以. (2)点存在，. 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理，证明平面，可证得； （2）假设存在点P，设，由已知线面角的正弦值，利用向量法求出. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，在菱形中，，则为正三角形， 由M是的中点，得，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段上存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设，由，则，可得， 设平面的法向量，由，， 则有，令，则，得， 则，解得. 所以点存在，且. 16．(1),. (2)， ，， 因为，所以，故 ，    因为，所以，故 ， 因为 ，且平面，所以平面. (3) 【分析】（1）空间向量坐标直接由“终点坐标减起点坐标”计算；（2）线面垂直的证明可转化为向量运算，验证直线向量与平面内两条相交直线的点积均为 0 即可；（3）先求平面的法向量，再由点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）由，得，. （2）略. （3），， 设平面的法向量为 ，则 ，得平面的一个法向量为， 取平面内点 ，向量 ，所以， 故点到平面的距离是. 17．(1) (2) 【分析】(1)根据空间向量线性运算法则，结合棱台上下底面边长关系以及线段中点的向量性质，将目标向量逐步拆解，用基底表示即可； (2)先利用空间向量数量积运算律，求出异面直线方向向量与的数量积，再分别计算两个向量的模长，最后代入向量夹角公式，取绝对值得到异面直线所成角的余弦值. 【详解】（1）连接，则， 因为为的中点，所以， 因为，所以，同理， 所以，所以 （2）由三棱台为正三棱台，，得， 即， ， 记，则， 所以， 又，， 所以. 即异面直线与所成角的余弦值为. 18．(1) (2) (3)（或） 【分析】（1）利用向量数乘求出的坐标，代入空间两点间距离公式计算的长度； （2）先用表示的坐标，写出向量与，根据向量垂直则数量积为，列方程求解； （3）求出异面直线方向向量，利用向量夹角公式算出向量夹角，再得到异面直线所成角． 【详解】（1）设，因为，，，， 所以，， 当时，， 所以，即， 解得，即， 所以； （2）设，因为，，， 所以，， ， 因为， 所以，即， 解得，即， 所以， 由，得， 解得； （3）因为，，，， 所以，， 所以， ，， 所以， 因为，所以 所以异面直线与所成的角为． 19．(1)证明：三棱锥是正三棱锥， 故底面为等边三角形，， 因为为中点，所以，， 因为平面，，所以⊥平面， 三棱锥也是正三棱锥，同理可得，故平面， 所以平面，故； (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到，⊥平面，同理可得，故平面，平面，故； （2）先得到两两垂直，建立空间直角坐标系，设，求出的关系式，从而，求出两平面的法向量，得到两平面夹角余弦值，根据求出取值范围. 【详解】（1）略 （2）由题意得，， 故，所以，同理可得， 即两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设，由得， 所以，故，其中，， 又，故， 两边平方得， 化简得，，， ，解得， 设平面的法向量为， ，， 则， 令，则，，故， 设平面的法向量为， ， 则， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则 其中， 所以， 因为，所以， 故，， 故平面与平面夹角余弦值的取值范围是. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $