第三十一章 相似（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十一章 相似 复习讲义 教学目标 1. 理解相似图形与相似多边形的概念及性质，掌握比例的基本性质、比例线段和平行线分线段成比例定理，能运用相关知识解决线段比例问题。 2. 掌握三角形相似的判定方法与性质，能综合运用对应边、对应高、中线、角平分线及周长、面积之间的数量关系，进行几何计算与证明。 3. 理解位似图形与相似图形的关系，掌握位似中心、位似比及图形放大与缩小的方法，能运用相似与位似知识解决实际问题，提升几何直观与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握比例的基本性质、平行线分线段成比例定理，理解其与三角形相似判定之间的联系。 （2）掌握三角形相似的判定方法与性质，能运用相似三角形对应线段、周长及面积之间的数量关系进行计算与证明。 （3）理解位似与相似的关系，掌握位似图形的识别、位似比的确定及图形的放大与缩小，能解决相关坐标问题与实际问题。 2.难点 （1）在复杂几何图形中准确识别相似三角形，确定对应关系，灵活运用判定方法建立相似关系，并综合运用性质解决线段比例与数量关系问题。 （2）综合运用相似三角形的判定与性质解决多组三角形相关的几何问题，以及坐标系中的位似综合问题，合理转化条件并进行推理与计算。 知识点01 相似图形与相似多边形 1.相似图形：形状相同的图形叫作相似图形。一个图形可以看作由另一个图形按一定比例放大或缩小得到。 2.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，且对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形。 3.相似比与符号：相似多边形对应边的比叫作相似比；相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。（注意：若两个多边形的相似比为k，则反向的相似比为 1/k）。 4.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点02 平行线分线段成比例 1.比例的基本性质 （1）实数成比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。把a,b,c,d四个实数成比例表示成： 其中，b,c称作内项，a,d称作外项。 （2）基本性质： （3）已知，相关拓展： 合比性质： 等比性质： 多个比相等： 2.比例线段 （1）线段的比：两条线段的长度之比叫作这两条线段的比。 （2）成比例的线段（比例线段）：一般地，四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a,b,c,d叫作成比例的线段，简称比例线段。 （3）比例中项 如果三个数a,b,c满足比例式（或），那么b就叫作a,c的比例中项。 比例中项与乘积式的互逆关系为： （4）黄金分割（黄金比） 如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>PB，且满足： 那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫作线段AB的黄金分割点。较长一条线段AP与整条线段AB的比叫作黄金比。 3.平行线分线段成比例 （1）基本事实 两条直线被一组（不少于3条）平行线所截，所得的对应线段成比例。 （2）尺规作图应用：线段等分 作图步骤： 以线段AB的端点A为端点作一条射线； 在射线上依次截取等长的线段； 连结A5B，并过点A1,A2,A3,A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1,B2,B3,B4。 几何原理：由基本事实得： 因为，所以必然，从而将线段AB五等分。 知识联系： 平行线分线段成比例是三角形相似判定的重要基础。特别地，平行于三角形一边的直线与另两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 知识点03 相似三角形的判定、性质与应用 1.相似三角形的判定 （1）相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫作相似三角形。 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。 如图，若，则与相似，记作。 （2）相似比：相似三角形对应边的比叫作相似比。与的相似比是（或，）。 （3）预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （4）相似三角形判定定理 判定定理 1（两角对应相等）：两个角对应相等的两个三角形相似。 判定定理 2（两边对应成比例且夹角相等）：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 判定定理 3（三边对应成比例）：三边对应成比例的两个三角形相似。 判定4：直角三角形的相似判定 ①一般判定：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。 ②HL 相似（斜边、直角边判定）：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似。 2.相似三角形的性质 ①相似三角形的基本性质:由定义引申相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 ②相似三角形对应线段的比 对应角平分线的比：两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 对应高线的比：两个相似三角形对应高线长之比等于相似比。 对应中线的比：两个相似三角形对应中线的比等于相似比。 ③相似三角形的周长与面积 周长比：相似三角形的周长之比等于相似比。 面积比：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 3.相似三角形的实际应用 （1）地图比例尺与面积转换 已知地图上的三角形图形与实际地块相似。利用比例尺（相似比）推算实际周长与面积。 （2）测量高度 ①镜子反射法：利用光的反射定律，入射角等于反射角，构造相似直角三角形，列比例式求解树高或物高。 ②影子测量法：同一时刻的太阳光看作平行光，物高与影长成正比例，直接通过相似三角形计算高度。 （3）几何图形分割与裁剪 ①平行线分割面积：过顶点作平行线分割三角形，结合面积比反推边长比。 ②内接特殊图形：三角形余料加工成正方形等，利用高线的比例关系，构造方程求解边长。 知识点04 位似图形 1.位似图形的定义 一般地，如果一个图形上所有的点 A，B，C，D，P，与另一个图形上所有的点 A′，B′，C′，D′，P′，分别对应，直线 AA′，BB′，CC′，DD′，PP′相交于一点 O，且 那么这两个图形叫作位似图形，点 O 叫作位似中心。 2.位似多边形的定义 对于两个多边形，如果每对对应顶点所确定的直线相交于一点，并且这点到与其不重合的对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就叫作位似多边形。 注意：位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质；但相似图形不一定是位似图形，只有对应点连线交于一点的相似图形才是位似图形。 3.位似图形的性质 （1）位似图形一定是相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比（即k）。 （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 （3）位似图形的对应边平行，或在同一条直线上。 （4）位似中心可以在图形的外部、内部、边上，甚至与某个顶点重合。 4.位似图形的作法 要把图形按相似比 k 放大或缩小，可以任取一点 O 作为位似中心： （1）分别连接位似中心 O 与原图形的各个顶点； （2）在射线 OA（或其反向延长线）上取点 A′，使k； （3）顺次连接各对应点，所得的图形即为所求。 注意：在位似中心同侧作出的位似图形与原图形在位似中心同旁；在位似中心的反向延长线上作出的位似图形与原图形分居位似中心两侧。 5.平面直角坐标系中的位似变换 （1）坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画位似图形，新图形与原图形的相似比为 k，那么与原图形上的点 (x,y) 对应的位似图形上的点的坐标为：(kx,ky)或(−kx,−ky)。 （2）规律解读 ①当位似图形与原图形在原点同侧时，对应点的坐标为 (kx,ky)； ②当位似图形与原图形在原点异侧（即分别在原点两边）时，对应点的坐标为 (−kx,−ky)。 注意：在平面直角坐标系中，位似变换常常涉及分类讨论，题目未明确位置关系时，需要写出两种情况的坐标。 题型01 比例性质与比例线段的应用 【典例1】已知：，则 的值是_______. 【答案】 【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案. 【详解】解：由，可设a=2k，b=3k，(k≠0), 故：， 故答案：. 【典例2】已知点C为线段AB的黄金分割点（AC >BC），且AB = 4，则AC ≈___（精确到0.1）． 【答案】2.5 【分析】根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则，代入数据即可得出AC的值． 【详解】∵C为线段AB=5的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段， ∴ 故答案为2.5． 【典例3】下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【详解】解：A、由于，则四条线段成比例线段，故A选项符合题意； B、由于，则四条线段不成比例线段，故B选项不符合题意； C、由于，则四条线段不成比例线段，故C选项不符合题意； D、由于，则四条线段不成比例线段，故D选项不符合题意． 【变式1】若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 【变式2】如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，理解题意是关键；设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3】已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解： ， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 【中考链接1】已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 __． 【答案】/0.6875 【分析】设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求． 【详解】解：设，则，，， ． ，，为非负实数， ， 解得：． 当时，取最大值，当时，取最小值． ， ． ． 故答案为： 【中考链接2】如图，在矩形中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点.为上一点，经过点，. (1)求证：是的切线； (2)在边上截取，点是线段的黄金分割点吗？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)点是线段的黄金分割点. 【分析】(1)连接，由等腰三角形性质和折叠性质证，根据矩形性质证；（2）根据矩形性质和勾股定理求CE,CF,由得出结论. 【详解】解：(1)证明：连接， ∵， ∴. 由折叠可知， ∴. ∴. ∴. ∵四边形是矩形， ∴. ∴.即. ∴是的切线； (2)点是线段的黄金分割点. ∵四边形是矩形， ∴，. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴点是线段的黄金分割点. 【中考链接3】若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查比例线段，一元二次方程的求解，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，设，则，代入解方程即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 化简，得， 解得，，（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 题型02 相似图形与相似多边形的性质应用 【典例1】下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是________． 【答案】②③ 【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】①所有的等腰三角形都相似，错误； ②所有的正三角形都相似，正确； ③所有的正方形都相似，正确； ④所有的矩形都相似，错误． 故答案为②③． 【典例2】如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可． 【详解】作AE⊥BC于E， 则四边形AECD为矩形， ∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3， ∴BE＝4， 由勾股定理得，AB＝＝5， ∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5， D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等， 故选：D． 【典例3】如图，已知四边形四边形，若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用相似比求解即可． 【详解】解：四边形四边形，， ，， ， ． 【变式1】下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 【变式2】如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【详解】矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件； 正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件． 综上，外框与原图一定相似的有3个， 故选：C． 【变式3】如图，已知矩形与矩形相似，且，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，掌握相似多边形对应边成比例的性质，准确确定出对应边是解题的关键．设，表示出的长，然后根据相似四边形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，且，， ，， 设，则， 矩形与矩形相似， ，即， 解得， 即的长为． 故答案为： ． 【中考链接1】以下四个命题： ①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补． ②边数相等的两个正多边形一定相似． ③等腰三角形中，是底边上一点，是一腰上的一点，若且，则． ④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点． 其中正确命题的序号为__________． 【答案】②③④ 【分析】根据三角形内角和定理可判定①错误，根据相似图形的定义可判定②正确，根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质及三角形外角的性质可判定③正确，根据线段垂直平分线的性质及外心的定义可判定④正确，即可得答案． 【详解】解：若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角相等或互补，故①错误 边数相等的两个正多边形一定相似，故②正确 如图，中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确， 任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，故④正确． 综上所述：正确的答案为：②③④ 故答案为：②③④ 【中考链接2】下列命题中，正确命题的个数为________． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 【答案】1 【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断． 【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确； 所有的菱形不一定相似，所以②错误； 边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误； 对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误； 故答案是：1． 【中考链接3】如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____． 【答案】． 【分析】根据题意利用正方形的性质求出是等腰直角三角形，设，则，，根据题意列出方程即可解答 【详解】设，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ， ∵，， ∴， ， ∴， 故答案为． 题型03 平行线分线段成比例定理及应用 【典例1】如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 【典例2】如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，即，根据中线的定义得到，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是边上的中线， ∴， ∴． 【变式1】如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式2】如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，即，根据中线的定义得到，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是边上的中线， ∴， ∴． 【中考链接1】如图，在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别交，于点，，则线段的长度是______． 【答案】7 【分析】根据尺规作图痕迹可知是线段的垂直平分线，可得且为中点，结合证得，利用平行线分线段成比例定理得，得是的中位线，运用三角形中位线定理求解． 【详解】由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． 【中考链接2】已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 题型04 三角形相似的判定与条件探究 【典例1】如图，点在边上，添一个条件，使，下列正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个三角形有公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，只需再找一组对应角相等，即可判定． 【详解】解：在和中， （公共角）， 选项A、，根据题意不能得到为，角的对应关系错误，不能证明； 选项B、，可以证明（两角分别相等，两三角形相似）； 选项C、，化简得，即，无法证明相似； 选项D、，两边不是夹公共角的对应边，不满足两边成比例且夹角相等，不能证明相似． 【典例2】如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，将选项中的乘积式转化为比例式，结合公共角进行判断即可． 【详解】 解： 由可得， ， ， 只有选项D符合题意． 【变式1】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】算出各个三角形的边长，再根据三角形的相似条件进行判断即可． 【详解】解：由图可得，，，， A、图中的三角形的三边长分别为：1，，， ∴， ∴两个三角形相似，符合题意； B、图中的三角形的三边长分别为：，，3， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意； C、图中的三角形的三边长分别为：1，，， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意； D、图中的三角形的三边长分别为：2，，， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意． 【变式2】学完《图形的相似》这一单元后，小明发现，两个三角形相似的判定方法和两个三角形全等的判定方法很像，于是突发奇想，是否也存在类似于“”的方法判定两个直角三角形相似呢？即：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．于是他开始画图证明．请你帮小明完成证明，分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 【答案】 解：已知：如图，在与中，，， 求证：． 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 根据题意写出已知，求证，然后通过设元，将问题转化为“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”证明即可． 【详解】略 【中考链接1】如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 【中考链接2】如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 题型05 利用相似三角形的性质求线段及数量关系 【典例1】两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形三边长为2，2，3，另一个等腰三角形一边长为6，则另一个等腰三角形周长为_________． 【答案】 14或21 【分析】已知一个等腰三角形三边长确定，另一个等腰三角形只给出一条边长为6，未说明该边是腰还是底，需分两种情况结合相似三角形的性质求解，同时验证三角形三边关系． 【详解】解：首先计算已知等腰三角形的周长为， 分两种情况讨论： ①当边长为6的边是另一个等腰三角形的腰时： ∵两个等腰三角形相似，该腰对应原三角形的腰长2， ∴相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴另一个三角形周长为， 此时三边长为6，6，9，满足三角形三边关系，符合要求； ②当边长为6的边是另一个等腰三角形的底时： ∵两个等腰三角形相似，该底对应原三角形的底边长3 ∴相似比为， ∴另一个三角形周长为， 此时三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，符合要求， 综上所述，另一个等腰三角形的周长为14或21． 【典例2】图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上．在图1，图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图1中以线段为边画一个格点三角形，使它与相似； (2)在图2中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． 【答案】(1) 解：如图1， 即为所求； (2) 解：如图2，即为所求． 【分析】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，连接，则，由相似三角形的判定方法可知； （2）取格点，，，连接，，，使，，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】点在的延长线上，且， (1)如图（1），若，求证：； (2)如图（1），求证： (3)如图（2），若，，若，求的值． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 证明：由（1）已证：， ∴， ∴． (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质可得，由此即可得证； （3）过点作，交于点，先根据等腰三角形的判定可得，利用勾股定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后将代入化简即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）已得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；同时动点从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动______秒时，与相似． 【答案】或2 【分析】本题考查了相似三角形的性质等知识，注意分类讨论是解题关键．设运动时间为x秒，则，分和两种情况分类讨论，得到比例式即可求解． 【详解】解：设运动时间为x秒，则． 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得． 故答案为：或2 【中考链接1】两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 【中考链接2】在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴， ∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上， ∴，， ∵CE⊥x轴， ∴，， ∵在矩形OABC中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设点A坐标为，则点C坐标为， 连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点A坐标为， 故选A． 题型06 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】如图，直线，且分别交于A、B、C，交于D、E、F，已知，，． (1)求的长； (2)若与交于点O，且，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，得到对应线段比例，代入已知数值即可求出； （2）先算出、长度，再由得到，根据相似三角形对应边成比例列式，代入的长求出． 【详解】（1）解：直线，，，， ， ， ； （2）解：，，， ，， 直线， ， ， ， ， ． 【典例2】已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 【答案】证明：∵、分别是、的高， ∴、是直角三角形， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∵、分别是、的高，， ∴． 【分析】先证得 ，再证得，最后，根据相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比即可证得结论． 【详解】略 【变式1】如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． (1)求证：； (2)若,,，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）由，得，而，则，所以，因为，所以，则； （2）由，，根据相似三角形的性质得，则，由，，证明，而，则，于是得，解得． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，， ， ， ， , 解得或（舍去） ． 【变式2】如图，在中，D是上的点，E是上一点，且． (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【中考链接1】如图1，线段过圆心，交圆于两点，切圆于点，作，垂足为，连结． （1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明； （2）若图1中的切线变为图2中割线的情形，与圆交于两点，与交于点，，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）； （3）在图2中，证明：． 【答案】详见解析 【分析】（1）见切点连过切点的半径，得垂直，从而得到，利用同圆中半径相等，得到相等的角，利用平行线迁移等角得到相等的角，利用同角的余角相等得到相等的角，从而得到第（1）的答案；（2）利用同弧所对的圆周角相等即可解决；（3）“等积化等比”“平行或者三角形相似” ，从而结论得到证明. 【详解】（1）图1中相等的角有：． 证明：连结，则， ，，又，， ．又为直径，， ． （2） （三组即可） （3）易证，． 【中考链接2】如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． (1)如图1，延长交于点，与相等吗？证明你的结论； (2)如图2，当时，连接交于点，求的值； (3)如图3，连接交于点，连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：相等，理由如下， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由对称可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3)解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵在正方形中，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系为． 【分析】（1）连接，证明即可； （2）延长交于点，交延长线于点，设，同（1）可得，，设，则，则，对运用勾股定理求解，再由，求解即可； （3）证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点，交延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴设，，， ∵， ∴， 同（1）可得，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）略 题型07 相似三角形的实际应用 【典例1】如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为E．已知，，则点E到地面的距离为______________． 【答案】 【分析】证明得到，据此求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例2】如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 【答案】 【分析】根据两角分别相等得到，然后列出对应边成比例的关系式，再把已知线段长度代入比例式，最后求解得到的长． 【详解】解：，， ， 把，，代入： ． 【变式1】如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． (1)求小明在A点处的影子的长度； (2)当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 【答案】(1)5米 (2)缩短了，缩短了米 【分析】（1）先证明，即可列方程求解； （2）先求得米，再证明，即可列方程求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， 解得（米）； （2）解：米，米， （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得（米）， 所以当小明从A点走到B点，影子缩短了，缩短了（米）． 【变式2】【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【答案】(1)45； (2)该上天台的高度为． 【分析】（1）过点F作于点H，推出是等腰直角三角形，求得，证明，列出比例式，即可求解； （2）证明四边形是矩形，求得，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为． 【中考链接1】焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； (2)纪念碑的高度为． (3)解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）略 【中考链接2】为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 题型08 位似图形的识别、位似比与放缩作图 【典例1】下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 【详解】解：根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，故不是位似图形． 【典例2】如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 【典例3】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答． 【详解】解：∵以点为位似中心，把的各边长放大为原来的倍得到， ∴，，，点，，三点在同一条直线上． ∴， 只有选项C符合题意． 【变式1】如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则与的面积之比为____________． 【答案】 【分析】根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， 则与的面积之比为． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为D，E，F，已知它们的顶点坐标分别为，，，，，． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心点P； (2)求点P的坐标及与的相似比． 【答案】(1)如答图所示，点P即为位似中心． (2)，相似比为 【分析】（1）连接，交点即为点； （2）由网格作图可直接写出点P的坐标，再由两点之间距离公式求解对应边，即可求解相似比． 【详解】（1）略 （2）解：由答图可得，点P的坐标为． ，，，． ， ， 与的相似比为． 【变式3】如图，根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．（不用写作图依据，保留作图痕迹） (1)如图1，点A，点B，点C都在格点上，求作，使得与是以点A为位似中心的一对位似图形． (2)如图2，点A，点B都在格点上．求作点（不重合），使得分别将线段分成长度比为的两部分．直接写出与之间的距离_______________． (3)如图3，点A，点B，点C，点D都在格点上．直接写出的值__________． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点即为所求； (3) 【分析】本题考查作位似图形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据位似的性质，作图即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，确定点的位置，再进行求解即可； （3）根据同底三角形的面积比等于高线比，得到，根据同高三角形的面积等于底边比，求出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理，得：， 由图可知：， ∴； （3）解：如图， 由图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【中考链接1】在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 【中考链接2】如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（    ） A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】D 【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似， 由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：， 又四边形的面积是2， ∴四边形的面积为18， 故选：D． 【中考链接3】如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）． （1）画出△ABC关于x对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积． 【答案】（1）△A1B1C1就是所求三角形； （2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形． 28． 【分析】（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题； （2）连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形； 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形； （2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形． 如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F， ∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2， ∴A2（﹣2，4），B2（4，2），C2（8，10）， ∴=8×10﹣×6×2﹣×4×8﹣×6×10=28．    题型9 坐标系中的位似综合问题 【典例1】如图在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】(1)如图：点P的位置即为所求； ． (2)如图：即为所求． (3) 【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图∶ 点P的位置即为所求；． 图略 （2）解：如图：即为所求． 图略 （3）解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为， ∴． 【典例2】在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)写出点P的坐标为______； (2)与的面积比为______，的面积为______； (3)以原点O位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为． 【答案】(1) (2)， (3)如图，为所求； 【分析】（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心点P，根据坐标系即可得到点P的坐标； （2）根据两点间距离公式求出，的长，根据与是位似图形得到，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解．根据割补法可求出的面积； （3）延长、，并使、，连接即可． 【详解】（1）解：如图，点P为位似中心，由图可得点P的坐标为． （2）解：由图可得，，，， ∴， ， ∵与是位似图形， ∴， ∴． 由图可得． （3）略 【变式1】如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 【答案】(1)，， (2)如图所示： (3) 【分析】（1）利用点和的坐标画出直角坐标系，然后写出点坐标，连接，，其交点即为位似中心，由计算位似比； （2）分别取中点为，中点为，连接即可； （3）求出直线，的交点即为点． 【详解】（1）解：如图建立直角坐标系，连接，， 由图可知，点的坐标为， ，交于原点，则与的位似中心的坐标为， 已知，， 故与的位似比为． （2）略 （3）解：如图，连接，，与交于点， 已知点的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为 直线为直线， 当，， 故点的坐标为． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 【中考链接1】如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示）    【答案】 【分析】过点分别作轴的垂线垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，    ∵与的相似比为，点是位似中心， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【中考链接2】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于x轴成轴对称的； （2）画出以点O为位似中心，位似比为1∶2的． 【答案】（1）如图所示为所求； （2）如图所示为所求． 【分析】（１）将的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可． （２）在同侧和对侧分别找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可． 【详解】（1）由题意知：的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）， 则关于x轴成轴对称的的坐标为A1（1，-3），B1（4，-1），C1（1，-1）， 连接A1C1，A1B1，B1C1 得到． 如图所示为所求； （2）由题意知：位似中心是原点， 则分两种情况： 第一种，和在同一侧 则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2）， 连接各点，得． 第二种，在的对侧 A2（－2，－6），B2（－8，－2），C2（－2，－2）， 连接各点，得． 综上所述：如图所示为所求； A组·基础过关 1．已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按成比例线段的给定字母顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵线段，，，为成比例线段， ∴． ∵，，， ∴． 2．若，则的值为（     ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设（），则，代入解答即可． 【详解】解：设（），则，代入得． 3．如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先说明，即可得出和的相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为． 4．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两相似三角形高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：如图， 由小孔成像原理可得, ∴，， 即　， ∵到的距离是，到的距离是， ∴，，且，， ∴，即， 解得． 5．若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，相似比为， 与的周长的比为． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点G，确定位似中心，然后求出坐标即可． 【详解】解：如图，连接，交于点G， ∴点G为它们的位似中心，坐标为． 7．已知，则_____． 【答案】 【分析】根据已知比例将各分子用对应分母表示，提取公因式后化简即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ ∵ ∴ ． 8．如图，，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为_______． 【答案】4.5 【详解】解：∵，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线， ∴，即， ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到第一象限的，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】将点横坐标、纵坐标同时乘以，即可得到点A的对应点的坐标． 【详解】解：将点横坐标、纵坐标同时乘以， 得到：，即， 所以第一象限内，点A的对应点的坐标为． 10．如图，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即 ∵ ∴ ∴． 【分析】根据两角对应相等证明即可． 【详解】略 B组·能力提升 11．如图，已知D、E分别在的边、的延长线上，且．下列比例式中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故该选项正确； B、， ， ，故该选项正确； C、， ， ，故该选项正确； D、， ，故该选项错误． 12．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理，解答即可． 【详解】解：， ， ，，， 解得． 13．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可推导出，即两个三角形有一组对应角相等，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等或两边成比例且夹角相等）逐项判断即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 对于A，若，结合，根据两边成比例且夹角相等可判定； 对于B，若，结合，根据两角分别相等可判定； 对于C，若，此时对应边的比例关系中，已知相等的角与不是这两组对应边的夹角，无法判定； 对于D，若，结合，根据两角分别相等可判定． 14．如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定和性质，求出，根据三角形的面积公式，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ； ， ， 设的高为， ，， ． ， ． 15．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∵太阳光线是平行的， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，，以点C为位似中心，作的位似图形，点与原点O重合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可得到，，证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵以点C为位似中心，作的位似图形， ∴， ∴，， ∴与平行， ∴， ∴， ∵，点与原点O重合， ∴， ∴． 17．学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点把线段分成和两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 (1)活动一：点是线段的一个黄金分割点（），若，则___________ (2)活动二：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点，分别落在边，上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） (3)活动三：在活动二的条件下，若，求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1) (2)如图，平行四边形即为所求 (3)证明：在中，， ∴是菱形， ∴，，， ∴，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 【分析】（1）根据黄金分割的定义得出，代入求解即可； （2）作，如图，四边形是所求作的平行四边形； （3）利用平行线分线段成比例定理，得到和，推出，再证明，据此求解即可得到，点是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：∵点是线段的一个黄金分割点且， 根据黄金分割定义，， ∵， ∴， ∴； （2）解：作图略 证明：根据作图可得， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）略 18．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)在（2）的条件下，若的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理计算的度数，因为是两个三角形的公共角，如果能得到另一组对应角相等，那么可根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似； （2）由可推出与的比值，因为已证两个三角形相似，所以对应边成比例，结合的长度，代入比例式即可求解； （3）根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，因为已得到两个三角形的相似比，结合的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ，即，解得， ∴的长为； （3）， ，即， ， ∴的面积为． 19．在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)， (2)当时，平分面积 (3) 【分析】（1）根据点P和点Q的运动速度表示即可； （2）用含t的式子表示的面积，根据列方程求解，注意检验解的合理性； （3）分两种情况讨论或，根据对应边成比例列方程求解，注意结合动点的运动范围检验解的合理性． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴； （2）解：∵，， ∴点Q到C点的时间为，点P到A点的时间为， P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， ∴， ， 解得，（舍）， ∴当时，平分面积； （3）解：∵， ∴以C、P、Q为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时，则， ， ∴； 情况二：当时，则， ， ∴， ， 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 20．如图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的画图痕迹． (1)在图1中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的四边形； (2)在图2中以点A为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似； (3)在图3中的线段上画一个点P，使． 【答案】(1)如图，正方形即为所求； (2)如图，即为所求； (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）取格点，连接，则四边形即为所求，根据勾股定理可求，若连接，则在中，由勾股定理逆定理可得，故四边形为正方形，故符合题意； （2）取格点E，连接，则即为所求，利用网格的特点和勾股定理可证明，则和是以点A为位似中心的位似三角形； （3）取格点C、D，连接交于点P，则点P即为所求，可证明，则． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 C组·拓展延伸 21．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点O，点E在延长线上，与相交于点F．若，，则菱形的面积为（     ） A．95 B．96 C．97 D．98 【答案】B 【分析】取的中点M，连接，由菱形的性质得出，，，，，，得出是的中位线，，由中位线的性质得出，由平行线的性质得出，进而求出，由角的关系以及三角形外角的定义和性质进一步得出，根据等角对等边得出，求出，利用勾股定理求出，，最后根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：取的中点M，连接， ∵四边形是边长为10的菱形， ∴，，，，，， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得到， ∴， ∴菱形ABCD的面积． 22．如图，在平面直角坐标系中，．D为线段上任一点，作交线段于点E，当的长最大时，点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点F，连接，以点F为圆心，长为半径作半圆F，再根据题意可知当半圆F与相切时，此时最短，即最大，然后说明可求出圆的半径，进而求出，接下来作，可根据求出，再根据勾股定理求出，最后求出，则此题可解． 【详解】解：如图，取的中点F，连接，以点F为圆心，长为半径作半圆F， ∵， ∴点D在半圆F上． ∵点D在上， ∴当半圆F与相切时，此时最短，即最大， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点， ∴． 根据勾股定理，得， 设，则， 解得， ∴． 过点E作，垂足为C， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， ∴点． 23．如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（    ） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 【答案】C 【详解】解：画出如图， 由图可得C选项符合题意． 24．如图，在四边形中，，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】过作于，构造正方形，利用勾股定理及旋转性质求出长度；过作于，利用三角形中位线定理求出和，进而求出，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， 四边形是矩形 ， ， 四边形是正方形 ， ， ， ， 在中， ， 由旋转性质可知 ， 在中， ， ， ， ， ， ， 是的中点 ， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ， 在中，． 25．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，射线交射线于点． (1)【感知】如图1，当于点，时，求线段的长； (2)【探究】如图2，当时，交于点，交于点，求的值； (3)【拓展】如图3，当时，交于点，交于点，求的值．（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）根据菱形的性质，得到，结合，推出，设，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，折叠的性质得到，进而求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果； （3）设，则，进而得到，证明，得到，设，，得到，根据角平分线的性质以及同高（等高）三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，过点作，交的延长线于点，根据含30度的直角三角形的性质结合勾股定理求出，，进而得到，在中，利用勾股定理求出，进而得到，即可得到的长，进一步求出最终结果即可. 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∵， ∴平分， ∴点到的距离相等，设点到的距离为， 则， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴ ∴， 整理，得， ∴（舍）或， ∴， ∴， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 相似 复习讲义 教学目标 1. 理解相似图形与相似多边形的概念及性质，掌握比例的基本性质、比例线段和平行线分线段成比例定理，能运用相关知识解决线段比例问题。 2. 掌握三角形相似的判定方法与性质，能综合运用对应边、对应高、中线、角平分线及周长、面积之间的数量关系，进行几何计算与证明。 3. 理解位似图形与相似图形的关系，掌握位似中心、位似比及图形放大与缩小的方法，能运用相似与位似知识解决实际问题，提升几何直观与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握比例的基本性质、平行线分线段成比例定理，理解其与三角形相似判定之间的联系。 （2）掌握三角形相似的判定方法与性质，能运用相似三角形对应线段、周长及面积之间的数量关系进行计算与证明。 （3）理解位似与相似的关系，掌握位似图形的识别、位似比的确定及图形的放大与缩小，能解决相关坐标问题与实际问题。 2.难点 （1）在复杂几何图形中准确识别相似三角形，确定对应关系，灵活运用判定方法建立相似关系，并综合运用性质解决线段比例与数量关系问题。 （2）综合运用相似三角形的判定与性质解决多组三角形相关的几何问题，以及坐标系中的位似综合问题，合理转化条件并进行推理与计算。 知识点01 相似图形与相似多边形 1.相似图形：形状相同的图形叫作相似图形。一个图形可以看作由另一个图形按一定比例放大或缩小得到。 2.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，且对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形。 3.相似比与符号：相似多边形对应边的比叫作相似比；相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。（注意：若两个多边形的相似比为k，则反向的相似比为 1/k）。 4.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点02 平行线分线段成比例 1.比例的基本性质 （1）实数成比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。把a,b,c,d四个实数成比例表示成： 其中，b,c称作内项，a,d称作外项。 （2）基本性质： （3）已知，相关拓展： 合比性质： 等比性质： 多个比相等： 2.比例线段 （1）线段的比：两条线段的长度之比叫作这两条线段的比。 （2）成比例的线段（比例线段）：一般地，四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a,b,c,d叫作成比例的线段，简称比例线段。 （3）比例中项 如果三个数a,b,c满足比例式（或），那么b就叫作a,c的比例中项。 比例中项与乘积式的互逆关系为： （4）黄金分割（黄金比） 如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP>PB，且满足： 那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫作线段AB的黄金分割点。较长一条线段AP与整条线段AB的比叫作黄金比。 3.平行线分线段成比例 （1）基本事实 两条直线被一组（不少于3条）平行线所截，所得的对应线段成比例。 （2）尺规作图应用：线段等分 作图步骤： 以线段AB的端点A为端点作一条射线； 在射线上依次截取等长的线段； 连结A5B，并过点A1,A2,A3,A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1,B2,B3,B4。 几何原理：由基本事实得： 因为，所以必然，从而将线段AB五等分。 知识联系： 平行线分线段成比例是三角形相似判定的重要基础。特别地，平行于三角形一边的直线与另两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 知识点03 相似三角形的判定、性质与应用 1.相似三角形的判定 （1）相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫作相似三角形。 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。 如图，若，则与相似，记作。 （2）相似比：相似三角形对应边的比叫作相似比。与的相似比是（或，）。 （3）预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （4）相似三角形判定定理 判定定理 1（两角对应相等）：两个角对应相等的两个三角形相似。 判定定理 2（两边对应成比例且夹角相等）：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 判定定理 3（三边对应成比例）：三边对应成比例的两个三角形相似。 判定4：直角三角形的相似判定 ①一般判定：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。 ②HL 相似（斜边、直角边判定）：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似。 2.相似三角形的性质 ①相似三角形的基本性质:由定义引申相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 ②相似三角形对应线段的比 对应角平分线的比：两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 对应高线的比：两个相似三角形对应高线长之比等于相似比。 对应中线的比：两个相似三角形对应中线的比等于相似比。 ③相似三角形的周长与面积 周长比：相似三角形的周长之比等于相似比。 面积比：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 3.相似三角形的实际应用 （1）地图比例尺与面积转换 已知地图上的三角形图形与实际地块相似。利用比例尺（相似比）推算实际周长与面积。 （2）测量高度 ①镜子反射法：利用光的反射定律，入射角等于反射角，构造相似直角三角形，列比例式求解树高或物高。 ②影子测量法：同一时刻的太阳光看作平行光，物高与影长成正比例，直接通过相似三角形计算高度。 （3）几何图形分割与裁剪 ①平行线分割面积：过顶点作平行线分割三角形，结合面积比反推边长比。 ②内接特殊图形：三角形余料加工成正方形等，利用高线的比例关系，构造方程求解边长。 知识点04 位似图形 1.位似图形的定义 一般地，如果一个图形上所有的点 A，B，C，D，P，与另一个图形上所有的点 A′，B′，C′，D′，P′，分别对应，直线 AA′，BB′，CC′，DD′，PP′相交于一点 O，且 那么这两个图形叫作位似图形，点 O 叫作位似中心。 2.位似多边形的定义 对于两个多边形，如果每对对应顶点所确定的直线相交于一点，并且这点到与其不重合的对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就叫作位似多边形。 注意：位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质；但相似图形不一定是位似图形，只有对应点连线交于一点的相似图形才是位似图形。 3.位似图形的性质 （1）位似图形一定是相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比（即k）。 （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 （3）位似图形的对应边平行，或在同一条直线上。 （4）位似中心可以在图形的外部、内部、边上，甚至与某个顶点重合。 4.位似图形的作法 要把图形按相似比 k 放大或缩小，可以任取一点 O 作为位似中心： （1）分别连接位似中心 O 与原图形的各个顶点； （2）在射线 OA（或其反向延长线）上取点 A′，使k； （3）顺次连接各对应点，所得的图形即为所求。 注意：在位似中心同侧作出的位似图形与原图形在位似中心同旁；在位似中心的反向延长线上作出的位似图形与原图形分居位似中心两侧。 5.平面直角坐标系中的位似变换 （1）坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画位似图形，新图形与原图形的相似比为 k，那么与原图形上的点 (x,y) 对应的位似图形上的点的坐标为：(kx,ky)或(−kx,−ky)。 （2）规律解读 ①当位似图形与原图形在原点同侧时，对应点的坐标为 (kx,ky)； ②当位似图形与原图形在原点异侧（即分别在原点两边）时，对应点的坐标为 (−kx,−ky)。 注意：在平面直角坐标系中，位似变换常常涉及分类讨论，题目未明确位置关系时，需要写出两种情况的坐标。 题型01 比例性质与比例线段的应用 【典例1】已知：，则 的值是_______. 【典例2】已知点C为线段AB的黄金分割点（AC >BC），且AB = 4，则AC ≈___（精确到0.1）． 【典例3】下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1】若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【中考链接1】已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 __． 【中考链接2】如图，在矩形中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点.为上一点，经过点，. (1)求证：是的切线； (2)在边上截取，点是线段的黄金分割点吗？请说明理由. 【中考链接3】若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 题型02 相似图形与相似多边形的性质应用 【典例1】下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是________． 【典例2】如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【典例3】如图，已知四边形四边形，若，，则的长为__________． 【变式1】下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【变式2】如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【变式3】如图，已知矩形与矩形相似，且，，则________． 【中考链接1】以下四个命题： ①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补． ②边数相等的两个正多边形一定相似． ③等腰三角形中，是底边上一点，是一腰上的一点，若且，则． ④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点． 其中正确命题的序号为__________． 【中考链接2】下列命题中，正确命题的个数为________． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 【中考链接3】如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____． 题型03 平行线分线段成比例定理及应用 【典例1】如图，若，，则的长为_____． 【典例2】如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 【变式1】如图，若，，则的长为_____． 【变式2】如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 【中考链接1】如图，在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别交，于点，，则线段的长度是______． 【中考链接2】已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型04 三角形相似的判定与条件探究 【典例1】如图，点在边上，添一个条件，使，下列正确的是（   ）． A． B． C． D． 【典例2】如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】学完《图形的相似》这一单元后，小明发现，两个三角形相似的判定方法和两个三角形全等的判定方法很像，于是突发奇想，是否也存在类似于“”的方法判定两个直角三角形相似呢？即：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．于是他开始画图证明．请你帮小明完成证明，分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 【中考链接1】如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 题型05 利用相似三角形的性质求线段及数量关系 【典例1】两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形三边长为2，2，3，另一个等腰三角形一边长为6，则另一个等腰三角形周长为_________． 【典例2】图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上．在图1，图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图1中以线段为边画一个格点三角形，使它与相似； (2)在图2中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． 【变式1】点在的延长线上，且， (1)如图（1），若，求证：； (2)如图（1），求证： (3)如图（2），若，，若，求的值． 【变式2】如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；同时动点从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动______秒时，与相似． 【中考链接1】两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【中考链接2】在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型06 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】如图，直线，且分别交于A、B、C，交于D、E、F，已知，，． (1)求的长； (2)若与交于点O，且，，求的长． 【典例2】已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 【变式1】如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． (1)求证：； (2)若,,，求的长． 【变式2】如图，在中，D是上的点，E是上一点，且． (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【中考链接1】如图1，线段过圆心，交圆于两点，切圆于点，作，垂足为，连结． （1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明； （2）若图1中的切线变为图2中割线的情形，与圆交于两点，与交于点，，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）； （3）在图2中，证明：． 【中考链接2】如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． (1)如图1，延长交于点，与相等吗？证明你的结论； (2)如图2，当时，连接交于点，求的值； (3)如图3，连接交于点，连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 题型07 相似三角形的实际应用 【典例1】如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为E．已知，，则点E到地面的距离为______________． 【典例2】如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 【变式1】如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． (1)求小明在A点处的影子的长度； (2)当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 【变式2】【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【中考链接1】焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【中考链接2】为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 题型08 位似图形的识别、位似比与放缩作图 【典例1】下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【典例3】如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 【变式1】如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则与的面积之比为____________． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为D，E，F，已知它们的顶点坐标分别为，，，，，． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心点P； (2)求点P的坐标及与的相似比． 【变式3】如图，根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．（不用写作图依据，保留作图痕迹） (1)如图1，点A，点B，点C都在格点上，求作，使得与是以点A为位似中心的一对位似图形． (2)如图2，点A，点B都在格点上．求作点（不重合），使得分别将线段分成长度比为的两部分．直接写出与之间的距离_______________． (3)如图3，点A，点B，点C，点D都在格点上．直接写出的值__________． 【中考链接1】在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 【中考链接2】如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（    ） A．4 B．6 C．16 D．18 【中考链接3】如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）． （1）画出△ABC关于x对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积． 题型9 坐标系中的位似综合问题 【典例1】如图在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【典例2】在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)写出点P的坐标为______； (2)与的面积比为______，的面积为______； (3)以原点O位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为． 【变式1】如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【中考链接1】如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 【中考链接2】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于x轴成轴对称的； （2）画出以点O为位似中心，位似比为1∶2的． A组·基础过关 1．已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（     ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（     ） A． B． C．4 D． 3．如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（     ） A． B． C． D． 4．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（     ） A． B． C． D． 5．若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则_____． 8．如图，，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为_______． 9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到第一象限的，则点A的对应点的坐标为________． 10．如图，，求证：． B组·能力提升 11．如图，已知D、E分别在的边、的延长线上，且．下列比例式中错误的是（     ） A． B． C． D． 12．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 13．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 15．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 16．如图，在平面直角坐标系中，，以点C为位似中心，作的位似图形，点与原点O重合，则（     ） A． B． C． D． 17．学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点把线段分成和两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 (1)活动一：点是线段的一个黄金分割点（），若，则___________ (2)活动二：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点，分别落在边，上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） (3)活动三：在活动二的条件下，若，求证：点是线段的黄金分割点． 18．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)在（2）的条件下，若的面积为，求的面积． 19．在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 20．如图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的画图痕迹． (1)在图1中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的四边形； (2)在图2中以点A为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似； (3)在图3中的线段上画一个点P，使． C组·拓展延伸 21．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点O，点E在延长线上，与相交于点F．若，，则菱形的面积为（     ） A．95 B．96 C．97 D．98 22．如图，在平面直角坐标系中，．D为线段上任一点，作交线段于点E，当的长最大时，点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 23．如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（    ） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 24．如图，在四边形中，，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为________． 25．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，射线交射线于点． (1)【感知】如图1，当于点，时，求线段的长； (2)【探究】如图2，当时，交于点，交于点，求的值； (3)【拓展】如图3，当时，交于点，交于点，求的值．（用含的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $