河南省部分校2027届高三上学期第一次模拟考试数学试题

2027届高三10月质量检测 数学试题 注意事项: 1.本试卷共4页,满分150分,时间120分钟. 2.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效, 4.作答非选择题时,将答案书写在答题卡上,书写在本试卷上无效. 5.考试结束后,监考员将答题卡按顺序收回,装袋整理;试卷不回收 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的, 1.设集合A=|-2,-1,0,1,21,B=|x-1≤x<2|,则A∩B= A.|-1,0 B.10,1,2 C.1-1,0,1 D.1-1,0,1,21 2已知=2中,则:的建部为 A.i B.1 C.-2i D.-2 3.在等差数列|a|中,a4=7,a5=-1,则该数列的前8项和S。= A.24 B.36 C.48 D.60 4.在同-坐标系中,函数y=a(a>0且a≠1)与y=log。x+)的图象可能是 5.已知A(1,2),B(2,3),点P在直线AB上,且|A1=2|A1,则点P的坐标为 A.(-1,0) B.(-1,-3) C.(3,4) D.(-1,0)或(3,4) 6.已知a,b,c是空间中的三条直线,且a⊥b,则“a∥c”是“b⊥c”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高三数学试题第1页(共4页) 扫描全能王创建 7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4,侧棱长为5,则该棱台的体积为 6 A.1 B.28 C. D.28 3 8.已知函数f(x)=a一的最大值为2,则a= x-In x A号 B.1 C.3 D.2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,直线l:y=kx-1(k∈R),则下列说法正确的是 A.圆C的半径为2 B.直线l恒过定点(0,-1) C.当k=0时,直线l与圆C相切 D.当k=2时,直线l平分圆C 10.已知函数x)=sin2x+买)与g(x)=cos(ox+p)的图象关于直线x=3对称,则 6 A.函数g(x)的最小正周期为 R函数x)在区间罗,) 单调递增 C函数x)图象的-个对称中心为g,0) D.p的-个可能取值为5 11.已知点A,B分别为双曲线 :x2-y2=A(A>0)的左,右顶点,点P为T上异于A,B的动点,直线 PA,PB与y轴的两个交点分别为C,D,下列结论正确的是 A.双曲线T的渐近线方程为y= x B.直线PA,PB的斜率之积为1 C. PAD是直角三角形 D.ICD的取值范围是(A,+∞) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知tan=2,则cos2a= 13.一个动圆的圆心在抛物线y2=4x上,且动圆与该抛物线的准线相切,则动圆必过定点的坐标 为 14.任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述 两种运算,经过有限次步骤后,必进人循环圈1 4+2+1.这就是数学史上著名的“冰猫猜想” (又称“角谷猜想”等).若取正整数m=16,根据上述运算法则得出16 8 4 2 1,共需经过4 个步骤变成1(简称为4步“雹程”).已知数列|a.|满足:a,=m(m为正整数),a1= 经,当a,为偶数时, 若a,=1,则m的最小值为 3an+1,当an为奇数时, 高三数学试题第2页(共4页) 扫描全能王创建 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小題满分13分) 在 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B+bcos A+2 ccos C=0. (1)求C; (2)若a=2b, ABC的面积为2√3,求 ABC的周长. 16.(本小题满分15分) 某工厂开发了一种新型机床产品,为评估新型机床的生产能力,现从新型国产机床和原有的进 口机床所生产的产品中各抽取了200件,对两台机床的产品进行检验,得到如下数据: 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 (1)根据小概率值 =0.05的独立性检验,能否判断产品的质量与使用机床的类型有关; (2)从这400件样品中有放回的抽取3次,每次抽取1件产品,记抽到新型国产机床生产的良品 的次数为X,求X的分布列和数学期望 n(ad-bc)2 附X=(a+b)(c+a)(a+c)(6+d)' 其中n=a+b+c+d. a 0.05 0.01 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 高三数学试题第3页(共4页) 扫描全能王创建 17.(本小题满分15分) 在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,AF⊥平面ABCD,EF∥AB,其中AD=2AB=2AF= 4,P是棱DF的中点. (1)求证:BF∥平面APC; (2)平面APC与平面BCE有可能垂直吗,若有可能,求出EF的长; 若没有可能,说明理由。 (第17题图) 18.(本小题满分17分) 知椭圆C:1( >b>0)的离心率为,点A,B在椭圆C上,当直线AB过椭圆C的一个 焦点且垂直于x轴时,弦长|AB|=3. (1)求椭圆C的方程; (2)过点(1,0)且斜率不为0的直线l交椭圆C交于D,E两点,点D关于x轴的对称点为D', 直线D'E与x轴的交点为P,求点P的坐标 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e-ax2-x-1. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1f(1))处的切线方程; (2)当a=之时,证明:当x≤0时x)≤0; (3)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 高三数学试题第4页(共4页) 器 扫描全能王创建 2027届高三10月质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.C【解析】因为A=|-2,-1,0,1,21,B={x|-1≤x<2|, 所以A∩B=|-1,0,1. 2.D【解析】由题意得,2-2+-(2):-=1-21, ii (-i) 所以z的虚部为-2. 3.A【解析】Sg= (a+a)=4(a+g)=4(a+a)=24. 2 4.B【解析】易知函数y=。与y=log,(x+)都单调递减或都单调递增,故A,C不符合题意; 函教y=a与y=lg,(x+)都不过原点,D不符合题意。 5.D【解析】设P(x,y),则AP=(x-1,y-2),A店=(1,1), 因为|A21=2AB1, 当A=2A=(2,2)时,x-1=2,y-2=2,即x=3,y=4; 当A=-2AB=(-2,-2)时,x-1=-2,y-2=-2,即x=-1,y=0, 故P(-1,0)或(3,4). 6.A【解析】若a⊥b,a∥c,则b⊥c,充分性得证; 若a⊥b,b⊥c,则a,c异面、平行、相交都有可能, 所以“a∥c”是“b⊥c”的充分不必要条件. 7.B【解析】如图,过正四棱台上下底面的对角线作该校台的截面,AD,BC为侧棱,作AE⊥CD,垂足为E, 则AD=BC=√5,AB=2V2,CD=42, B DB= (42-22)=万, 所以AE=√AD2-DE=1,即校台的高为1. 故该棱台的体积为V=号(4+16+4x6)x1=9 8.D【解析】设g(x)=x-lnx,则g(x)=1-1=-l xx 当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 故g(x)≥g(1)=1, 易知a>0,所以e)Fzh≤a,故x)ma=2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.若有两个正确选 项,则选对一个得3分,全部选对得6分;若有3个正确选项,则选对一个得2分,选对两个得4分,全部选对得6 分;有选错的得0分. 9.ABC【解析】x2+y-4x-2y+1=0变形为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心坐标为(2,1),半径为2,故A正确; 对于直线l:y=kc-1,当x=0时,y=-1,所以直线l恒过定点(0,-1),故B正确; 高三数学试题答案第1页(共5页) 扫描全能王创建 可在只 当k=0时,直线1的方程为:y=-1,圆心C(2,1)到直线1的距离为2,故直线l与圆C相切,故C正确; 当k=2时,直线1的方程为:y=2x-1,圆心C(2,1)显然不在此直线上,故D错误, 10.ACD【解析】函数(x)的最小正周期为T,又函数x)与g(x)的图象关于直线x=3严对称, 8 所以函数g(x)的最小正周期为T,A正确; 显然晋e(受),且智)=1≥划,所以函数)在区间(受)上不单调,B错误: 因为得)=0,故函数)的图象关于点(,0)中心对称,C正确; 当8()=c2x-)时,()=0,函数)与g()的图象关于直线x=晋对称,D正确. 8 11.ABC【解析】根据题意,如图所示: 对于A,易知双曲线T为等轴双曲线,故其渐近线方程为y=士x,故A正确; 对于B,设P(0o),满足号-=2,A(-A,0),B(入,0), 则k kp阳=6 。=于 6 从6A好-=1,故B正确: 对于C,直线阳的方粒为y产), 0得D0,学。 -y0-0 所以直线AD的斜率k知0=(-A)-入' .和入 n如点(别杀-克M0, 所以 PAD是直角三角形,故C正确; 对于D,直线PM的方程为y(), =0释c周1c01a2a x0+入。- 由8=2得图=+1,敌91,即1CD>2A,D钻注 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 2-号【解析】因为ma=2,所以si血a= 25 所以co82a=1-2sin2a=-3 51 13.(1,0)【解析】由题可知动國的圆心在y2=4x上,且与抛物线的准线相切, 根据抛物线定义可知,动圆恒过抛物线的焦点(1,0). 14.2【解析】方法1:因为a,=1, 若a4为偶数,则a4=2,若a4为奇数,则不成立,所以a,=2; 若a1为偶数,则a3=4,若a3为奇数,则不成立,所以4=4; 若a2为偶数,则a2=8,若a1为奇数,则a2=1,所以a2=8或a2=1; ①当a2=8时, 若a1为偶数,则a1=16,若a1为奇数,则不成立,所以a1=16: ②当a2=1时, 若a1为偶数,则a1=2,若41为奇数,则不成立,所以a1=2, 高三数学试题答案第2页(共5页) 扫描全能王创建 所以m的最小值为2. 方法2:当m=1时,a5=4,不符合题意; 当m=2时,a1=2,则42=1,4=4,a4=2,a5=1,符合题意, 所以m的最小值为2. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 15.解:(1)由acos B+bcos A-+2 ccos C=0及正弦定理, sin Acos B+cos Asin B+2sin Ccos C=0, 所以sinC+2 sin Ccos C=0, 由于sinC≠0,所以cosC= 2, 因为0<C<m,所以C=2 3 (6分) (2)因为c=号a=2b, 所以Sac=分binC=-B,=2w万,解得6=2,从面a=4. 2 所以c2=a2+b2-2 abcos C,即c2=16+4-2 4 2 )=28,解得e=27(负值已合去), 故 ABC的周长为a+b+c=6+2万.…(I3分) =16=5.333. 16.解:(1)由列联表得X=a+b)(c+d)(a+c)(6+d)了 n(ad-be)2 因为5.333>3.841, 所以依据小概率值x=0.05的独立性检验,能判断产品的质量与使用机床的类型有关.…(7分) (2)每次抽到新型国产机床生产的良品的概率为160=2, 4005, 依题意X的可能取值为0,1,2,3, 所以P(x=0)=(号) 号)'-品x=1)=c()'(-号)=赞 pX=2)=c()(1)'=源r(x=3)=c()'(号) =8 故X的分布列为: X 0 1 2 3 P 27 54 36 8 125 125 125 25 易知X-B3,号),放(x)=3x号=9 5-5 (15分) 17.解:(1)证明:连接BD交AC于点0,连接0P, 因为P,O分别为DF,DB的中点, 所以BF∥PO, 又POC平面APC,BFt平面APC, 则BF∥平面APC. (5分) (2)假设当EF=m时,平面APC⊥平面BCE, 以A为原点,AB,AD,AF所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(m,0,2),P(0,2,1), 高三数学试题答案第3页(共5页) 扫描全能王创建 所以A=(0,2,1),A元=(2,4,0),B元=(0,4,0),B成=(m-2,0,2), 设平面APC的法向量为m=(x,y,z), m…-0,即0令=2,得m=2,-12), 则m 衣-0,即2-0, 设平面BCE的法向量为n=(a,b,c), 代 。。令a=2,得n=(2,0,2-m) 所以m n=4+2(2-m)=0,解得m=4. 故当EF=4时,平面APC⊥平面BCE. …(15分) 18.解:(1)不妨设C的-个焦点为F(c,0),A(x4,), 则当6时吾1,解得 .b2 a, 所以1AB1=2沙=3, a 所以{a2=b2+c2,解得a=2,b=√5,c=1. 25=3, a 故椭圆C的方程为三+之=1, 43 (7分) (2)若直线l与x轴垂直,则点D'与E重合,不符合题意; 依题意可设直线DE方程为x=y+1,D'(x1,-y1),D(x1,y),E(x2,2), x 联立{43 =1,化简得(3m2+4)2+6my-9=0, x=my+1, 显然40,且%30434 -9 又因为g=2, x2一x1 所以DE的方程为,=(x-), x2一x1 令y=0,得x=+2 y1+y2 将x1=my1+1,x2=my2+1代人上式, -9 2m 可得x=2(m2+1)+m+1)2_2mhtt业=3m2+4+1=4, y1+y2 y1+y2 6m 3m2+4 故点P的坐标为(4,0)… (17分) 19.解:(1)当a=2时f(x)=c-2x2-x-1,则f'(x)=e-4x-1, 从而f(1)=e-4,f'(1)=e-5, 故所求切线方程为y-(e-4)=(e-5)(x-1),即y=(e-5)x+1.…(4分) (2)证明:当a=2时x)=e2-x1,则∫"(x)=。-l, 高三数学试题答案第4页(共5页) 扫描全能王创建 设g(x)=f'(x)=e-x-1,则g'(x)=e-1. 显然g(x)≤0在(-0,0]上恒成立, 因此f'(x)在(-∞,0)上单调递减 又f'(0)=0,因此f'(x)≥0在(-∞,0]上恒成立, 因此f(x)在(-0,0)上单调递增, 故f(x)≤f(0)=0, 即当x≤0时f(x)≤0.… (8分) (3)由题意可得f'(x)=e-2ax-1. 设h(x)=f'(x)=e-2ax-1,则h'(x)=e-2a ①若a≤0,显然h'(x)>0,因此h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,即f'(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 又f'(0)=0,因此当xe(-o,0)时f'(x)<0; 当xe(0,+∞)时f'(x)>0, 因此f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 又f0)=0,因此f(x)只有一个零点,故a≤0不符合题意. ②若0<a<3,则当xe(-o,lh(2a)时,hk'(x)<0;当xe(n(2a),+m)时,h'(x)>0, 因此f'(x)在(-∞,ln(2a)上单调递减,在(ln(2a),+o)上单调递增。 又f'(0)=0,因此f'(n(2a)<0,又f'(2a)=e0, 因此存在唯一的,e(2a,1hn(2),使得f'(,)=0, 当xe(-∞,x)U(0,+o)时f'(x)>0;当xe(xo,0)时f'(x)<0, 因此f(x)在(-∞,x),(0,+∞)上单调递增,在(x,0)上单调递减。 又f0)=0,因此f(x)>0,又当x -时f(x) -∞, 因此)恰有两个零点,因此0a<分符合题意 ③若a=子,由(2)易知∫"()≥0在R上恒成立,因此)在(-0,+m)上单调递增, 又0)=0,因此)只有-个零点,因此a=2不符合题意 ④若a>7,则当xe(-m,n(2a)时,h(x)0;当xe(n(2@),+m)时,()>0, 因此f'(x)在(-o,ln(2a)上单调递减,在(ln(2a),+)上单调递增. 又f'(0)=0,因此f'(n(2a)<0,又当x +∞时f'(x) +∞, 因此存在唯一的x1∈(ln(2a),+o),使得f'(x1)=0. 当xe(-o,0)U(x1,+∞)时f'(x)>0; 当xe(0,x1)时f'(x)<0, 因此f(x)在(-∞,0),(x1,+∞)上单调递增,在(0,x)上单调递减. 又f0)=0,因此f(x)<0,又当x +∞时f(x) +∞, 因此孔x)恰有两个零点,因此a>2符合题意。 综上,ae0,)u(},+m) (17分) 高三数学试题答案第5页(共5页) 只只 扫描全能王创建