专题03 代数式（知识&考点&公式&6高频&3易错&3重难&2模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材人教版

专题03 代数式 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(2类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01 代数式的定义 用加、减、乘、除、乘方运算符号，把数与表示数的字母连接而成的式子，叫作代数式；单独一个数或者一个字母同样是代数式。 代数式中不能包含、、、、、等关系符号，等式与不等式都不属于代数式。 知识点02 代数式的书写规则 （1）数与字母相乘，数字写在字母前面，乘号可写"·"或者省略；系数为1时，数字1省略不写。 （2）带分数与字母相乘，必须先化成假分数。 （3）除法运算一律写成分数形式，不使用除号。 知识点03 列代数式 把文字语言转化为数学符号语言，将数量语句写成代数式。 （1）审题抓住关键词：和、差、积、商、倍、分、大、小、增加了、增加到、减少等。 （2）合理断句，根据运算顺序正确添加括号。 知识点04 代数式的读法及意义 读法： （1）按运算顺序读：如读作"a加上b"； （2）按运算结果读：如读作"a与b的和"。 实际意义：给代数式的字母赋予实际场景，代数式就可以用来表示实际问题中的数量关系。 知识点05 反比例关系 两种相关联的量，一个量变化，另一个量随之变化，两个量的乘积始终为定值，则二者成反比例关系。 若、为关联变量，定值，反比例关系式：称为比例系数。 知识点06 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式运算关系计算得到的结果，叫做代数式的值。代数式的值会随着字母取值改变；字母取值确定，代数式的值就唯一确定。 求代数式的值两步： ①代入：用给定数值替换代数式中的字母； ②计算：按照代数式的运算顺序算出最终结果。 考点01代数式的概念与识别 考点内容：代数式的定义；区分代数式、等式、不等式；判定式子是否为代数式。 常见考法： ①判断一组式子哪些是代数式，排除含有等号、不等号的等式与不等式； ②识别单独数字、单独字母属于代数式； ③辨析等式两边的算式是代数式，整体等式不是代数式。 考点02代数式的规范书写 考点内容：乘号省略、数字前置；带分数化为假分数；除法改写成分数形式。 常见考法： ①修改不规范代数式写法； ②纠正带分数与字母相乘的书写错误； ③区分除号与分数线的正确用法。 考点03根据文字语句列代数式 考点内容：抓住数量关键词；合理断句，依据运算顺序添加括号。 常见考法： ①根据文字描述直接列代数式； ②区分"增加了"与"增加到"等易混词语； ③结合简单实际情境列出代数式。 考点04代数式的读法与实际意义 考点内容：代数式的两种读法；给代数式赋予实际数量意义。 常见考法： ①按照要求读出给定的代数式； ②写出代数式可以代表的1–2种实际生活情景。 考点05反比例关系 考点内容：反比例关系概念；反比例关系式；比例系数含义。 常见考法： ①判断两个变量是否成反比例关系，看两者乘积是否为固定不为0的数； ②根据实际条件写出反比例关系式； ③已知一组的值，求比例系数。 考点06求代数式的值 考点内容：求代数式的值的两步：代入、计算；字母取值确定，代数式的值唯一确定。 常见考法： ①已知字母数值，代入求代数式的结果； ②判断：字母改变，代数式的值随之改变。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 代数式除法书写 代数式中除法运算改写成分数形式，不写除号。 2 反比例关系式 两个变量乘积为定值，两量成反比例，为比例系数。 辨析01区分代数式与等式、不等式 代数式只包含数、字母与运算符号，不含、、、、、等关系符号；是代数式；是等式，是不等式，二者都不属于代数式。 辨析02区分"增加了"和"增加到" "增加了"指在原有基础上多出来的部分；"增加到"指变化之后得到的最终数值，列代数式时二者不能混用。 辨析03区分除号与分数线 代数式里不能直接写"÷"；分数线兼具除号和括号的双重作用，必须写成。 辨析04辨析反比例关系，不要把"和为定值"当成反比例 反比例要求两个变量乘积是定值；若两个变量相加等于固定数，不是反比例关系，不要混淆和与积的条件。 【题型一】代数式的识别和书写规范 例1．下列代数式中，符合书写要求的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项，数字应写在字母前面且省略乘号，正确写法为，不符合要求. 选项，数字应写在字母前面且除法需写成分数形式，正确写法为，不符合要求. 选项，符合代数式书写要求. 选项，带分数需化为假分数，正确写法为，不符合要求. 变式1-1．下列式子中，符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】除法应写成分数的形式，故选项A不符合题意； 带分数应写成假分数，故选项B不符合题意； 数字应写在字母的前面，故选项C不符合题意； 符合书写要求，故选项D符合题意． 变式1-2．下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 变式1-3．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：应写出，故①错误； ，书写正确，故②正确； ，应写成：，故③错误； ，书写正确，故④正确； ，书写错误，故⑤错误； 应写成，故⑥错误； 则符合代数式书写要求的有2个． 故选：A． 【题型二】列代数式 例2．糖完全溶于水中，这杯糖水的含糖率是________． 【答案】 【详解】解：这杯糖水的含糖率是． 变式2-1．在“苏超”场外市集上，小军购买了个“麋鹿王”、 个“盐小勺”、 个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵个“麋鹿王”费用为元，个“盐小勺”费用为元，个“盐小饼”费用为元， ∴总金额为元． 变式2-2．产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量________． 【答案】/ 【详解】解：根据题意得，去年的产量为． 变式2-3．南充是四川省第一个建设二绕高速的地级市，已知一绕高速的长度为，若二绕高速长度比一绕高速长度的2倍多，则南充二绕高速的长度为________km． 【答案】 【详解】由题意得，南充二绕高速的长度为． 【题型三】正（反）比例关系 例3．我国最早关于“圆周率”的记载是《周髀算经》中的“径一而周三”，意思是π约等于3．由此，我们确定了圆的周长和直径成( )比例关系．（填“正”或“反”） 【答案】正 【详解】解：∵圆的周长公式为，其中表示圆的周长，表示圆的直径， ∴对公式变形可得， ∴圆的周长与直径的比值为定值， ∴圆的周长和直径成正比例关系． 变式3-1．下列选项中，两种量成反比例关系的是（     ） A．长方形周长一定，长和宽 B．时间一定，路程和速度 C．总价一定，单价和数量 D．圆周长一定，直径和圆周率 【答案】C 【详解】解：A． 设长方形周长为，长为，宽为，则． ∵ 为定值时，与的和为定值，乘积非定值， ∴ 长和宽不成反比例关系． B． 设路程为，速度为，时间为，则． ∵ 为定值时，与的比值为定值， ∴ 路程和速度成正比例关系，不符合题意． C． 设总价为，单价为，数量为，则． ∵ 为定值时，与的乘积为定值， ∴ 单价和数量成反比例关系，符合题意． D． 设圆周长为，直径为，圆周率为，则． ∵是定值，不是变量， ∴ 直径和圆周率不成反比例关系． 变式3-2．在①，②，③，④中，表示x和y成反比例的式子有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①，和为定值，x与y不成反比例； ②，即，比值为定值，x与y成正比例； ③，整理得，积为定值，x与y成反比例； ④，整理得，积为定值，x与y成反比例； ∴成反比例的式子共2个． 变式3-3．下面各数量关系中，成正比例关系的是________．（填序号） ①汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与速度． ②全班的人数一定，男生人数与女生人数． ③正方形的周长和它的边长． 【答案】①③ 【详解】解：①汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与速度成正比例关系． ②全班的人数一定，男生人数与女生人数的和是一个常数，故不成比例． ③正方形的周长和它的边长成正比例关系． ∴成正比例关系的是①③． 【题型四】用代数式表示数、图形的规律 例4．有一组数：、、、、，第十个数是__________，第个数是__________． 【答案】 【详解】解：将数组按顺序标号，第1个数为，第2个数为，第3个数为，依此类推， 先分析分子规律： 第1个数的分子： 第2个数的分子： 第3个数的分子： ... 可得第个数的分子为. 再分析分母规律： 第1个数的分母： 第2个数的分母： 第3个数的分母： ... 可得第个数的分母为. 因此第个数是. 当时，代入得第十个数为． 变式4-1．观察下列各等式：；；；；…．则第n个等式为_____．（用n表示，n为正整数） 【答案】 【详解】解：∵， ， ， ， …， ∴第n个式子是：． 变式4-2．一列数：，，，，，，根据这个规律，第99个数是___________． 【答案】 【详解】解：由所给各数可知， ∵分子依次为，，，，， ∴第个数的分子可表示为； ∵分母依次为，，，，， ∴第个数的分母可表示为； 又∵第奇数个数为负数，第偶数个数为正数， ∴第个数可表示为． 当时，第99个数为． 变式4-3．观察规律：，，，，，，，第8个数是________． 【答案】 【详解】解：观察这些数可知：，，，，，，， 归纳类推得：第个数是，其中，且为正整数， 则第8个数是． 【题型五】直接代入求代数式的值 例5．当，时，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：将，代入代数式，得 ． 变式5-1．当，，时，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当，，时， ； （2）解：当，，时， ． 变式5-2．已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)的值为 (2)的值为 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，同号， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为． 变式5-3．请根据图示的对话解答下列问题． 求： (1)，的值． (2)的值． 【答案】(1)，或； (2)代数式的值为或 【详解】（1）解：的相反数是， ∴． 的绝对值是，即， 或． （2）与的和为， ∴①当时，， 此时，，，则 ； ②当时，， 此时，，，则 ； 综上，代数式的值为或． 【题型六】数字类规律探索 例6．动脑筋、找规律． 戴老师给小明出了下面的一道题，如图所示，请根据数字排列的规律，探索下列问题： (1)在处的数是正数还是负数？ (2)负数排在，，，中的什么位置？ (3)第2026个数是正数还是负数？排在对应于，，，中的什么位置？ (4)已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为______． 【答案】(1)在A位置的数是正数 (2)在B和D位置的数是负数 (3)第2026个数是正数，排在对应于C的位置 (4) 【分析】 【详解】（1）解：A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数； （2）解：观察图形可知，向下箭头的上边的数是正数，下方是负数，向上箭头的下方是正数，上方是负数， 所以，B和D的位置是负数； （3）解：处的数是正数，处的数是负数，处的数是正数，处的数是负数， 四个数一循环，分别是负正负正， ， ∴第2026个数是正数，对应的是C的位置． （4）解：由题意得， ， ， ， ……依此类推， 当为偶数时，， 当为奇数时， 而是偶数，，故 ∴． 变式6-1．我们把分子是，分母是正整数的分数叫作单位分数，如,等，并且任何一个单位分数都可以写成几个不同单位分数的和，如，…，现在请你完成下面的拆分，①写成两个不同单位分数的和，________；②写成三个不同单位分数的和，__________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】解：①拆分为两个不同单位分数的和 根据题目给出的示例，总结规律：对单位分数，有 ， 将代入得 ， 验证：，两个单位分数不同，符合要求． ②拆分为三个不同单位分数的和 对①中得到的再次用上述规律拆分，得 ， 将其代入①的结果得 ， 验证：通分计算得，三个单位分数互不相同，符合要求． 变式6-2．观察下列三行数 第一行：2，，8，，32，，······ 第二行：4，，10，，34，，······ 第三行：1，，4，，16，，······ (1)第一行中的第9个数为 ，第二行中的第9个数为 ，第三行中的第9个数为 ； (2)第二、三行中的数与第一行中对应的数分别有什么关系？ 【答案】(1)512；514；256 (2)第二行中的数是第一行中对应的数加上2；第三行中的数是第一行中对应的数除以2 【分析】 【详解】（1）解：∵2，，8，，32，， 第一行的第个数是， ∴第一行中的第9个数为； 观察可知，第二行的数是第一行对应的数加2，第三行中的数是第一行中对应的数除以2， ∴第二行中的第9个数为；第三行中的第9个数为； （2）略 变式6-3．阅读下列材料： ①，， ②，， ③，， (1)写出①组中的第个等式： ； (2)写出②组的第个等式： ； (3)利用由①②③组你发现的等式规律计算：． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【分析】 【详解】（1）解：通过分析可知，第n个式子为：， 则第个等式为：； （2）第1个式子，，，， 第2个式子，，，， 第3个式子，，， 第n个式子，，， ，（为正整数）； （3） 【题型一】判断式子是否为代数式 易错警示 判断代数式时，容易忽略关系符号，误把等式、不等式当成代数式。代数式只能由数、字母和运算符号组成，只要出现等符号，就不属于代数式。注意单独的数字或者单独的字母，也是代数式，不要漏判。 例1．下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：根据定义，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子是代数式，单独的一个数或字母也是代数式，含等号，含不等号的都不是代数式． 逐个判断： ∵ 是等式， 是不等式，二者都不属于代数式， ∴ 符合代数式定义的式子为，，， ，共个． 变式1-1．下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 【答案】D 【详解】解：∵ 单独的一个数或单独的一个字母都是代数式，∴ 是代数式，A错误． ∵ 带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，∴ 的书写不符合规范，应写为，B错误． ∵ 表示与的差除以的商，“与的差除”对应的代数式为，∴ C错误． ∵ 与的差可表示为，∴ D正确． 变式1-2．下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：2是代数式；是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是等式，不是代数式； 综上，代数式有4个． 故选：B． 变式1-3．下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①是代数式； ②不是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是单独的数，是代数式； ⑥是代数式； 综上，符合条件的代数式共4个． 【题型二】代数式书写格式改错 易错警示 代数式书写容易出现多种格式错误，比如数字写在字母后面、保留除号、带分数直接和字母相乘。要牢记数字写在前，除法改写成分数，带分数化为假分数；系数为1时，省略数字1，严格对照书写规范逐一检查。 例2．孙子算经中有这样一个问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人乘一车，恰好剩余2辆车无人坐；问有多少人，多少辆车？设今有x人乘车，则车的数量可表示为________辆（用含x的代数式表示） 【答案】 【详解】解：设今有人乘车， ∵每3人乘一辆车，所有乘客都乘车， ∴承载人所用的车辆数为， ∵还剩余2辆空车无人坐， ∴总车数可表示为． 变式2-1．小明在支付时看到“超过元时，商品按原价打折后，再减少元”，若小明要购买商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵商品原价为元（），且按原价打折后，再减少元， ∴实际付款金额为元． 变式2-2．截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪）总数达到万个．某小区安装了一批充电桩，其中慢充桩有n个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了________个快充桩．（用含n的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由题意可知，快充桩有个． 变式2-3．用字母表示： （1）乘法对加法的分配律____________________________； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是__________，面积是__________； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是_________； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，这个平行四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1）乘法对加法的分配律：； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是，面积是； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，故该边上的高为， 故这个平行四边形的面积是． 【题型三】求代数式的值（代入求值） 易错警示 代入数值计算时，负数、分数代入忘记给字母加括号，直接代入数字计算，极易发生符号错误。先把字母全部替换成对应数值，负数、分数整体加括号，再严格按照运算顺序计算，不要跳步，减少计算失误。 例3．已知，，，则的值等于________． 【答案】或 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， ∵ ， ∴，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或． 变式3-1．当时，代数式的值为m．当时，代数式______．（用含m的代数式表示） 【答案】 【详解】解：∵当时，， ∴， 当时，代入代数式得： ， 把代入得：原式． 变式3-2．若，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 变式3-3．观察下表： 输入x 0 1 2 3 输出 1 4 7 10 (1)写出符合表格规律的代数式； (2)设计一个求这个代数式的值的程序框图； (3)利用你设计的程序框图，求当时输出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)6079 【分析】 【详解】（1）解：观察题中表格数据，可得出x的值每增加1，输出的值增加3，且当时，输出数据为1， 所以输出数据的代数式为； （2）解：计算这个代数式的值的程序框图如下图所示． ； （3）解：根据程序框图，可知当时，输出的值为． 【题型一】已知式子的值，求代数式的值 例1．若的值为6，则的值为________． 【答案】 【详解】解：由题意得， 移项整理得， 对所求多项式变形： ， ， ， ， 将代入上式，得． 变式1-1．已知代数式的值为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴  ， 对所求代数式变形得， 将代入上式得． 变式1-2．已知，则________． 【答案】 【详解】解：设，则，，， 则． 变式1-3．若，则_____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴整理得， 将所求代数式变形：， 把代入上式得：． 【题型二】流程图与代数式求值 例2．按如图所示的程序运算，若输入的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】解：第1次输出结果为. 第2次输出结果为. 第3次输出结果为. 第4次输出结果为. 第5次输出结果为. 第6次输出结果为. 从第3次起，输出结果以为周期循环. ， 第2026次输出结果为周期内第2个数，即． 变式2-1．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为4，则第次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知输入 ，规则： 为偶数，输出 ； 为奇数，输出 ． 第 1 次： 是偶数，，输出 2； 第 2 次： 是偶数，，输出 1； 第 3 次： 是奇数，，输出 ； 第 4 次： 是偶数，，输出； 第 5 次： 是偶数，，输出 ； 第 6 次： 是奇数，，输出； 第 7 次： 是偶数，，输出； 第 8 次： 是奇数，，输出 ； 第 9 次： 是偶数，，输出； 观察结果：从第 3 次开始循环：，循环节长度为 6． 先去掉前 2 次： 计算： 余数是 2，对应循环里第 2 个数：． 变式2-2．按下图所示的运算程序运行，能使运算输出的结果为1的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A．输入，．，，不符合题意； B．输入，． ，，不符合题意； C．输入，．，，不符合题意； D．输入，．，，符合题意． 变式2-3．按如图所示的程序运算，若输入x的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是______． 【答案】4 【详解】解：若输入x的值是15， 第1次输出的结果：， 第2次输出的结果：， 第3次输出的结果：， 第4次输出的结果：， 第5次输出的结果：， 第6次输出的结果：， 第7次输出的结果：， 第8次输出的结果：， 第9次输出的结果：， …， ∵， ∴第2026次输出的结果是4． 【题型三】图形类规律探索 例3．观察如图，每个图形中间是白色小正方形，周围是灰色小正方形． 照这样画下去，第个图形中有_________个白色小正方形，_________个灰色小正方形． 【答案】 【详解】解：第一个图形白色小正方形的个数为个，灰色小正方形的个数为（个）； 第二个图形白色小正方形的个数为个，灰色小正方形的个数为（个）； 第三个图形白色小正方形的个数为个，灰色小正方形的个数为（个）； 第个图形白色小正方形的个数为个，灰色小正方形的个数为个． 第个图形白色小正方形的个数为个，灰色小正方形的个数为（个）． 变式3-1．图形与数之间有许多的奥秘，清清用边长为的小正方形像下图这样摆成了一些图形．第（10）幅图面积是________，第（n）幅图的周长是________． 【答案】 【详解】解：观察图形面积变化规律： 第(1)幅图面积：， 第(2)幅图面积：， 第(3)幅图面积：， ... 第(10)幅图面积：； 观察图形周长变化规律： 第(1)幅图周长：， 第(2)幅图周长：， 第(3)幅图周长：， ... 第()幅图周长：， 故第(10)幅图面积是，第()幅图的周长是． 变式3-2．瓦匠师傅常按图1所示的方式砌墙，徒弟用大小一样的砖块模仿砌墙（如图2），第①个图用砖3块，第②个图用砖5块，第③个图用砖7块，……，则第⑧个图用砖的块数为（     ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】B 【详解】解：由题图可知，第①个图用砖3块，； 第②个图用砖5块，； 第③个图用砖7块，； ……， 所以第个图用砖块， 所以第⑧个图用砖的块数为． 变式3-3．将字母C，H按照如图所示的规律摆放，其中第1个图形中有1个字母C，有4个字母H；第2个图形中有2个字母C，有6个字母H；第3个图形中有3个字母C，有8个字母H根据此规律解答下面的问题． (1)第4个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ (2)第个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？（用含的式子表示） (3)第2026个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ 【答案】(1)第个图形中有个字母，有个字母 (2)第个图形中有个字母，有个字母 (3)第个图形中有个字母，有个字母 【分析】 【详解】（1）解：第个图形中有个字母，有个字母； 第个图形中有个字母，有个字母； 第个图形中有个字母，有个字母， 依此类推，第个图形中有个字母，有个字母； （2）解：观察规律：第个图形中有个字母；第个图形中有个字母；第个图形中有个字母； 总结规律得：第个图形中有个字母， 同理观察规律：第个图形中有个字母；第个图形中有个字母；第个图形中有个字母； ∵字母的个数是字母的个数的倍多，字母C的数量等于， ∴第个图形中有个字母； （3）解：由规律可知，第个图形中有个字母，有个字母． 【题型一】代数式实际意义阐释题 解题步骤：①读懂代数式中字母代表的量，分清式子的运算关系（加、减、乘、除）； ②联系生活场景，如购物消费、行程、几何数量等； ③把每一步运算对应现实中的数量变化，用通顺文字描述； ④检验描述和代数式运算保持一致，不能改变运算顺序，可写出12种不同实际含义。 例1．下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【答案】D 【详解】解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． 变式1-1．元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【答案】B 【详解】解：A、：原价先减50元，再打六折，价格为，与题意不符； B、原价先打六折，再减50元，价格为，与题目给出的现价一致； C、原价先减50元，再打四折，价格为，与题意不符； D、原价先打四折，再减50元，价格为，与题意不符． 变式1-2．国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 【答案】B 【分析】 【详解】解：第一天预约游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人 第二天预约游客人数为 第二天比第一天多预约的人数=第二天人数-第一天人数 代数式“”表示第二天比第一天多预约的人数 故选：B． 变式1-3．同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．如“”可以表示一个长是，宽是的长方形的面积．请你再对“”赋予一个实际意义：__________． 【答案】 已知一支钢笔的单价为元，购买支钢笔的总花费可表示为（答案不唯一） 【详解】解：根据代数式的意义，表示乘以，结合实际生活可构造符合要求的实例，例如：已知一支钢笔的单价为元，购买支钢笔的总花费可表示为，符合题意，实例不唯一． 【题型二】图形规律探究（用代数式表示规律） 解题步骤：①观察给出的一组图形，依次写出每个图形对应的数量； ②把图形序号当作字母n，分析数量随序号的变化关系； ③尝试归纳，列出对应的代数式表示通用规律； ④选取其中12组图形数据代入代数式验证，确认规律是否成立。 例2．用小棒按下图的方式摆三角形，相邻两个三角形共用一条边．摆 n 个三角形需要（     ）根小棒 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：若个三角形互不共用边，共需根小棒， ∵相邻两个三角形共用1条边， ∴个三角形共有条共用边，即少用根小棒， ∴实际需要小棒数为． 变式2-1．在数学兴趣小组活动中，小明为了求的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则的值为______（结果用表示）． 【答案】 【详解】解：由图和题意可知，剩下图形的面积为； ∴的值为. 变式2-2．如图，观察各个图案中圆点的个数，则第n个图案中有_______个圆点． 【答案】 【详解】由题图可知，第1个图案中圆点的个数为； 第2个图案中圆点的个数为； 第3个图案中圆点的个数为； 第4个图案中圆点的个数为； … 所以第n个图案中圆点的个数为． 变式2-3．仔细观察下图，按照此规律，第5个图形中有_______个，第个图形中有_______个． 【答案】 / 【详解】解：通过观察，得到的★数分别是5，8，11，14，17，…， 第一个图形为：， 第二个图形为：， 第三个图形为：， 第四个图形为：， …， 所以第n个图形为：个， 当时，个． 技巧 一句话要点 代数式识别判断——"符号排查法" 式子含有等关系符号就不是代数式，单独数、字母属于代数式。 代数式书写纠错——"三看检查法" 看数字是否前置，看除法是否改为分数，看带分数是否化成假分数。 列代数式——"关键词+断句法" 圈出和差倍分、增加了、增加到，按语句断句，后算部分添加括号。 代数式求值——"代入再计算两步法" 先用数值替换字母，再严格按照运算顺序计算。 代数式实际意义——"场景赋值法" 结合购物、行程等生活场景，给字母赋予实际含义即可。 反比例关系判断——"乘积定值检验法" 判断两个量是否反比例，检验两者乘积是否是不为0的固定常数。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 代数式 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(2类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01 代数式的定义 用加、减、乘、除、乘方运算符号，把数与表示数的字母连接而成的式子，叫作代数式；单独一个数或者一个字母同样是代数式。 代数式中不能包含、、、、、等关系符号，等式与不等式都不属于代数式。 知识点02 代数式的书写规则 （1）数与字母相乘，数字写在字母前面，乘号可写"·"或者省略；系数为1时，数字1省略不写。 （2）带分数与字母相乘，必须先化成假分数。 （3）除法运算一律写成分数形式，不使用除号。 知识点03 列代数式 把文字语言转化为数学符号语言，将数量语句写成代数式。 （1）审题抓住关键词：和、差、积、商、倍、分、大、小、增加了、增加到、减少等。 （2）合理断句，根据运算顺序正确添加括号。 知识点04 代数式的读法及意义 读法： （1）按运算顺序读：如读作"a加上b"； （2）按运算结果读：如读作"a与b的和"。 实际意义：给代数式的字母赋予实际场景，代数式就可以用来表示实际问题中的数量关系。 知识点05 反比例关系 两种相关联的量，一个量变化，另一个量随之变化，两个量的乘积始终为定值，则二者成反比例关系。 若、为关联变量，定值，反比例关系式：称为比例系数。 知识点06 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式运算关系计算得到的结果，叫做代数式的值。代数式的值会随着字母取值改变；字母取值确定，代数式的值就唯一确定。 求代数式的值两步： ①代入：用给定数值替换代数式中的字母； ②计算：按照代数式的运算顺序算出最终结果。 考点01代数式的概念与识别 考点内容：代数式的定义；区分代数式、等式、不等式；判定式子是否为代数式。 常见考法： ①判断一组式子哪些是代数式，排除含有等号、不等号的等式与不等式； ②识别单独数字、单独字母属于代数式； ③辨析等式两边的算式是代数式，整体等式不是代数式。 考点02代数式的规范书写 考点内容：乘号省略、数字前置；带分数化为假分数；除法改写成分数形式。 常见考法： ①修改不规范代数式写法； ②纠正带分数与字母相乘的书写错误； ③区分除号与分数线的正确用法。 考点03根据文字语句列代数式 考点内容：抓住数量关键词；合理断句，依据运算顺序添加括号。 常见考法： ①根据文字描述直接列代数式； ②区分"增加了"与"增加到"等易混词语； ③结合简单实际情境列出代数式。 考点04代数式的读法与实际意义 考点内容：代数式的两种读法；给代数式赋予实际数量意义。 常见考法： ①按照要求读出给定的代数式； ②写出代数式可以代表的1–2种实际生活情景。 考点05反比例关系 考点内容：反比例关系概念；反比例关系式；比例系数含义。 常见考法： ①判断两个变量是否成反比例关系，看两者乘积是否为固定不为0的数； ②根据实际条件写出反比例关系式； ③已知一组的值，求比例系数。 考点06求代数式的值 考点内容：求代数式的值的两步：代入、计算；字母取值确定，代数式的值唯一确定。 常见考法： ①已知字母数值，代入求代数式的结果； ②判断：字母改变，代数式的值随之改变。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 代数式除法书写 代数式中除法运算改写成分数形式，不写除号。 2 反比例关系式 两个变量乘积为定值，两量成反比例，为比例系数。 辨析01区分代数式与等式、不等式 代数式只包含数、字母与运算符号，不含、、、、、等关系符号；是代数式；是等式，是不等式，二者都不属于代数式。 辨析02区分"增加了"和"增加到" "增加了"指在原有基础上多出来的部分；"增加到"指变化之后得到的最终数值，列代数式时二者不能混用。 辨析03区分除号与分数线 代数式里不能直接写"÷"；分数线兼具除号和括号的双重作用，必须写成。 辨析04辨析反比例关系，不要把"和为定值"当成反比例 反比例要求两个变量乘积是定值；若两个变量相加等于固定数，不是反比例关系，不要混淆和与积的条件。 【题型一】代数式的识别和书写规范 例1．下列代数式中，符合书写要求的是（     ） A． B． C． D． 变式1-1．下列式子中，符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 变式1-2．下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 变式1-3．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型二】列代数式 例2．糖完全溶于水中，这杯糖水的含糖率是________． 变式2-1．在“苏超”场外市集上，小军购买了个“麋鹿王”、 个“盐小勺”、 个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（     ） A． B． C． D． 变式2-2．产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量________． 变式2-3．南充是四川省第一个建设二绕高速的地级市，已知一绕高速的长度为，若二绕高速长度比一绕高速长度的2倍多，则南充二绕高速的长度为________km． 【题型三】正（反）比例关系 例3．我国最早关于“圆周率”的记载是《周髀算经》中的“径一而周三”，意思是π约等于3．由此，我们确定了圆的周长和直径成( )比例关系．（填“正”或“反”） 变式3-1．下列选项中，两种量成反比例关系的是（     ） A．长方形周长一定，长和宽 B．时间一定，路程和速度 C．总价一定，单价和数量 D．圆周长一定，直径和圆周率 变式3-2．在①，②，③，④中，表示x和y成反比例的式子有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-3．下面各数量关系中，成正比例关系的是________．（填序号） ①汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与速度． ②全班的人数一定，男生人数与女生人数． ③正方形的周长和它的边长． 【题型四】用代数式表示数、图形的规律 例4．有一组数：、、、、，第十个数是__________，第个数是__________． 变式4-1．观察下列各等式：；；；；…．则第n个等式为_____．（用n表示，n为正整数） 变式4-2．一列数：，，，，，，根据这个规律，第99个数是___________． 变式4-3．观察规律：，，，，，，，第8个数是________． 【题型五】直接代入求代数式的值 例5． 当，时，求代数式的值． 变式5-1．当，，时，求下列代数式的值． (1)； (2)． 变式5-2．已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 变式5-3．请根据图示的对话解答下列问题． 求： (1)，的值． (2)的值． 【题型六】数字类规律探索 例6．动脑筋、找规律． 戴老师给小明出了下面的一道题，如图所示，请根据数字排列的规律，探索下列问题： (1)在处的数是正数还是负数？ (2)负数排在，，，中的什么位置？ (3)第2026个数是正数还是负数？排在对应于，，，中的什么位置？ (4)已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为______． 变式6-1．我们把分子是，分母是正整数的分数叫作单位分数，如,等，并且任何一个单位分数都可以写成几个不同单位分数的和，如，…，现在请你完成下面的拆分，①写成两个不同单位分数的和，________；②写成三个不同单位分数的和，__________． 变式6-2．观察下列三行数 第一行：2，，8，，32，，······ 第二行：4，，10，，34，，······ 第三行：1，，4，，16，，······ (1)第一行中的第9个数为 ，第二行中的第9个数为 ，第三行中的第9个数为 ； (2)第二、三行中的数与第一行中对应的数分别有什么关系？ 变式6-3．阅读下列材料： ①，， ②，， ③，， (1)写出①组中的第个等式： ； (2)写出②组的第个等式： ； (3)利用由①②③组你发现的等式规律计算：． 【题型一】判断式子是否为代数式 判断代数式时，容易忽略关系符号，误把等式、不等式当成代数式。代数式只能由数、字母和运算符号组成，只要出现等符号，就不属于代数式。注意单独的数字或者单独的字母，也是代数式，不要漏判。 例1．下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1-1．下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 变式1-2．下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1-3．下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型二】代数式书写格式改错 代数式书写容易出现多种格式错误，比如数字写在字母后面、保留除号、带分数直接和字母相乘。要牢记数字写在前，除法改写成分数，带分数化为假分数；系数为1时，省略数字1，严格对照书写规范逐一检查。 例2．孙子算经中有这样一个问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人乘一车，恰好剩余2辆车无人坐；问有多少人，多少辆车？设今有x人乘车，则车的数量可表示为________辆（用含x的代数式表示） 变式2-1．小明在支付时看到“超过元时，商品按原价打折后，再减少元”，若小明要购买商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（     ） A． B． C． D． 变式2-2．截至2026年1月底，我国电动汽车充电基础设施（枪）总数达到万个．某小区安装了一批充电桩，其中慢充桩有n个，快充桩的数量比慢充桩数量的2倍还多6个，则该小区安装了________个快充桩．（用含n的代数式表示） 变式2-3．用字母表示： （1）乘法对加法的分配律____________________________； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是__________，面积是__________； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是_________； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，这个平行四边形的面积是_________． 【题型三】求代数式的值（代入求值） 代入数值计算时，负数、分数代入忘记给字母加括号，直接代入数字计算，极易发生符号错误。先把字母全部替换成对应数值，负数、分数整体加括号，再严格按照运算顺序计算，不要跳步，减少计算失误。 例3．已知，，，则的值等于________． 变式3-1．当时，代数式的值为m．当时，代数式______．（用含m的代数式表示） 变式3-2．若，求的值． 变式3-3．观察下表： 输入x 0 1 2 3 输出 1 4 7 10 (1)写出符合表格规律的代数式； (2)设计一个求这个代数式的值的程序框图； (3)利用你设计的程序框图，求当时输出的值． 【题型一】已知式子的值，求代数式的值 例1．若的值为6，则的值为________． 变式1-1．已知代数式的值为，则的值为________． 变式1-2．已知，则________． 变式1-3．若，则_____________． 【题型二】流程图与代数式求值 例2．按如图所示的程序运算，若输入的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式2-1．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为4，则第次输出的结果是（     ） A． B． C． D． 变式2-2．按下图所示的运算程序运行，能使运算输出的结果为1的是（     ） A．， B．， C．， D．， 变式2-3．按如图所示的程序运算，若输入x的值是15，第1次输出的结果是18，则第2026次输出的结果是______． 【题型三】图形类规律探索 例3．观察如图，每个图形中间是白色小正方形，周围是灰色小正方形． 照这样画下去，第个图形中有_________个白色小正方形，_________个灰色小正方形． 变式3-1．图形与数之间有许多的奥秘，清清用边长为的小正方形像下图这样摆成了一些图形．第（10）幅图面积是________，第（n）幅图的周长是________． 变式3-2．瓦匠师傅常按图1所示的方式砌墙，徒弟用大小一样的砖块模仿砌墙（如图2），第①个图用砖3块，第②个图用砖5块，第③个图用砖7块，……，则第⑧个图用砖的块数为（     ） A．15 B．17 C．19 D．21 变式3-3．将字母C，H按照如图所示的规律摆放，其中第1个图形中有1个字母C，有4个字母H；第2个图形中有2个字母C，有6个字母H；第3个图形中有3个字母C，有8个字母H根据此规律解答下面的问题． (1)第4个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ (2)第个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？（用含的式子表示） (3)第2026个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ 【题型一】代数式实际意义阐释题 解题步骤：①读懂代数式中字母代表的量，分清式子的运算关系（加、减、乘、除）； ②联系生活场景，如购物消费、行程、几何数量等； ③把每一步运算对应现实中的数量变化，用通顺文字描述； ④检验描述和代数式运算保持一致，不能改变运算顺序，可写出12种不同实际含义。 例1．下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 变式1-1．元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 变式1-2．国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 变式1-3．同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．如“”可以表示一个长是，宽是的长方形的面积．请你再对“”赋予一个实际意义：__________． 【题型二】图形规律探究（用代数式表示规律） 解题步骤：①观察给出的一组图形，依次写出每个图形对应的数量； ②把图形序号当作字母n，分析数量随序号的变化关系； ③尝试归纳，列出对应的代数式表示通用规律； ④选取其中12组图形数据代入代数式验证，确认规律是否成立。 例2．用小棒按下图的方式摆三角形，相邻两个三角形共用一条边．摆 n 个三角形需要（     ）根小棒 A． B． C． D． 变式2-1．在数学兴趣小组活动中，小明为了求的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则的值为______（结果用表示）． 变式2-2．如图，观察各个图案中圆点的个数，则第n个图案中有_______个圆点． 变式2-3．仔细观察下图，按照此规律，第5个图形中有_______个，第个图形中有_______个． 技巧 一句话要点 代数式识别判断——"符号排查法" 式子含有等关系符号就不是代数式，单独数、字母属于代数式。 代数式书写纠错——"三看检查法" 看数字是否前置，看除法是否改为分数，看带分数是否化成假分数。 列代数式——"关键词+断句法" 圈出和差倍分、增加了、增加到，按语句断句，后算部分添加括号。 代数式求值——"代入再计算两步法" 先用数值替换字母，再严格按照运算顺序计算。 代数式实际意义——"场景赋值法" 结合购物、行程等生活场景，给字母赋予实际含义即可。 反比例关系判断——"乘积定值检验法" 判断两个量是否反比例，检验两者乘积是否是不为0的固定常数。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $