第七单元 因数与倍数（知识清单）数学沪教版五年级上册（新教材）
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内容正文：
沪教版·新教材五年级数学上册
第七单元：因数与倍数（单元复习讲义）
（思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习）
知识点01：自然数
1、认识自然数
在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4……都叫作自然数。一个物体也没有，用“0”表示。0也是自然数。
0是最小的自然数。没有最大的自然数。
自然数的基本单位是1，每一个自然数都只有一个自然数紧接在它的后面。
知识点02：因数和倍数
1、 意义
自然数a除以自然数b（b不为0），如果商是自然数并且余数为0，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。我们也说a是b的倍数，b是a的因数。
2、因数和倍数存在的条件：被除数、除数和商都是大于0的自然数。
3、因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在，不能说谁是倍数，谁是因数，应该说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
4、一个数的因数的特点：
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数就是它本身。
5、一个数的倍数的特点：
一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。
【易错点】没理解因数和倍数的互存关系
因数和倍数是相互依存的。在描述一个数的因数或倍数时要说谁是谁的因数或倍数，不能单独说谁是因数或倍数。
【易错点】没理解一个数的因数和倍数的特征
一个数的因数的个数时有限的，一个数的倍数的个数是无限的。
知识点03：2、5、3的倍数
1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。
3、3的倍数的特征：如果一个数各数位上的数之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
4、奇数和偶数
（1）意义：能被2整除的自然数叫作偶数，不能被2整除的自然数叫作奇数。
（2）特点：整数中，最小的偶数是0，最小的奇数是1，偶数和奇数的个数都是无限的，没有最大的偶数和奇数。
（3）运算性质：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数
【易错点】忘记0也是偶数
0是自然数，也是偶数，所以最小的偶数是0，不是2。
【易错点】没掌握3的倍数的特征
只有一个数各数位上的数字的和是3的倍数，这个数才是3的倍数。
知识点04:素数和合数
1、意义
如果一个数只有1和它本身两个因数，那么这个数叫作素数。也叫做素数。如果一个数除了1和它本身以外还有其他的因数，那么这个数叫作合数。1既不是素数，也不是合数。这样，不为0的自然数可以分成三类：1、素数和合数。
2、100以内的素数表（2是唯一的偶素数）
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
【易错点】对素数和奇数的概念理解有误
2是最小的素数，也是素数中唯一的偶数。
知识点05：分解素因数
1、 分解素因数的意义
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫作这个合数的素因数。把一个合数写成几个素因数相乘的形式，叫作分解素因数。
2、 分解素因数的方法：树枝分解法和短除法。
3、 用短除法分解素因数的步骤如下：
（1） 用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2） 得到的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到商是素数为止；
（3） 把各个除数与最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。
知识点06:公因数与最大公因数
1、 公因数与最大公因数的意义
几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。
每个数的因数的个数都是有限的，因此两个数或多个数的公因数的个数也是有限的。
2、 互素
如果两个数的最大公因数是1，那么称这两个数互素。
【易错点】对互素关系理解不全面
如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1。两个合数也有可能是互素的。
3、 求两个数的最大公因数
（1）求两个数的最大公因数，只要把它们全部公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。
（2）如果两个数中一个数是另一个数的倍数，那么较小的数就是它们的最大公因数。
（3）如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1。
知识点07:公倍数与最小公倍数
1、公倍数与最小公倍数的意义
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。
2、 求两个数的最小公倍数
（1）求两个数的最小公倍数，先找出它们公有的素因数，再找出它们各自剩余的素因数，把这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数中一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
（3）如果两个数互素，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。
考点1：自然数
【典型例题1】DeepSeek是一款AI智能助手，如果对它说请按从小到大的顺序写出自然数，那么它能写出的最小自然数是_______。它能写出最大的自然数吗？_______（填“能”或“不能”），理由是__________________________________。
【答案】 不能
自然数的个数是无限的，没有最大的自然数
【分析】用来表示物体个数的0，1，2，3，4…都叫自然数。任何一个自然数（0除外）都是由若干个1组成的。没有最大的自然数，自然数的个数是无限的，最小的自然数是0；据此可解此题。
【详解】DeepSeek是一款AI智能助手，如果对它说请按从小到大的顺序写出自然数，那么它能写出的最小自然数是0。它不能写出最大的自然数，理由是自然数的个数是无限的。
【练习1】下面关于自然数的说法错误的是（ ）。
A．所有的自然数都是整数 B．没有最大的自然数
C．自然数的个数是无限的 D．所有的自然数都比0大
【答案】D
【分析】用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，自然数的个数是无限的，最小的自然数是0。据此进行判断。
【详解】A．整数包含全部自然数，所以所有的自然数都是整数，说法正确；
B．最小的自然数是0，没有最大的自然数，说法正确；
C．自然数能一直往后数没有尽头，个数是无限的，说法正确。
D．0也是自然数，所以自然数里包含0，并不是所有自然数都比0大，说法错误。
【典型例题2】雯雯有一个密码锁，它的密码是一个八位数，这个八位数最高位上的数字是5，百万位和十位上的数字都是最小的自然数，万位上的数字比十位上的数字大3，其他数位上的数字都是8。这个密码锁的密码是( )。
【答案】50838808
【分析】八位数的数位顺序，从高到低依次是千万位、百万位、十万位、万位、千位、百位、十位、个位，确定每个数位对应的位置。
因为题目给出最高位是5，所以直接确定千万位的数字为5；因为最小的自然数是0，所以百万位和十位的数字为0。
如果万位数字比十位数字大3，那么用十位数字加3即可得到万位的数字。
剩余未明确的数位按照条件全部填写8，最后按数位顺序组合所有数字即可。
【详解】最高位千万位是5；
最小的自然数是0，所以百万位和十位都是0；
十位数字是0，万位数字比它大3，万位就是0＋3＝3；
剩下的十万位、千位、百位、个位都是8。
把各数位数字按顺序组合，得到密码50838808。
【练习2】一个七位数，个位上是2，它的十位上是最小的自然数，百位上的数字是个位上数字的4倍，百万位上的数字是个位上数字的2倍，其余数位上的数字都是0.这个七位数是多少？
【答案】4000802
【分析】已知最小的自然数是0；求一个数的几倍是多少用乘法计算；先分别算出各个数位上的数字，再依据数位顺序表写出这个七位数，其余数位用0占位解答。
【详解】最小的自然数是0，故十位数字为0；
百位数字：；
百万位数字：；
个位数字为2，十万位、万位、千位数字均为0。
答：这个七位数是4000802。
【典型例题3】西西写出一个自然数，各个数位上数字的和是18，且各个数位上的数字都不相同。符合条件的最大数是多少？最小数呢？
【答案】843210；189
【分析】自然数的位数越多，这个数就越大；位数越少，这个数相对就越小。要使组成的数最大，那么组成的数的位数就要最多。因为各个数位上的数字都不相同，所以从最小的数字0入手：0＋1＋2＋3＋4＝10，18－10＝8，而8＝1＋7＝2＋6＝5＋3＝4＋4，与已安排的数字0、1、2、3、4重复，那么8就不能再拆分，而是放在最高位。因此符合条件的最大数是 843210。
要使组成的数最小，那么组成的数的位数就要最少。从最大的数字9入手：9＋8＝17，18－17＝1，所以符合条件的最小数是189。
【详解】0＋1＋2＋3＋4＋8＝18
1＋8＋9＝18
符合条件的最大数是843210，最小数是189。
【练习3】一个数，各数位上的数字之和是33，且每个数位上的数字互不相同。这个数最大是多少？最小是多少？
【答案】98643210；36789
【分析】要使这个数最大，就让这个数的位数最多，且最高位要尽量大。要使这个数最小，需要位数最少，然后最高位要尽量小。要使数最大，需数位尽可能多，且从高位到低位数字依次减小（数字互不相同）。要使数最小，需数位尽可能少，且从高位到低位数字依次增大（数字互不相同）。
【详解】9＋8＋6＋4＋3＋2＋1＋0
＝17＋6＋4＋3＋2＋1＋0
＝23＋4＋3＋2＋1＋0
＝27＋3＋2＋1＋0
＝30＋2＋1＋0
＝32＋1＋0
＝33＋0
＝33
9＋8＋7＋6＋3
＝17＋7＋6＋3
＝24＋6＋3
＝30＋3
＝33
答：这个数最大是98643210，最小是36789。
考点2：因数和倍数
【典型例题4】算式56÷7＝8，其中( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。
【答案】 56 7 8 7 8 56
【分析】整数a除以整数b（b不为0），除得的商是整数而且没有余数，我们就说a是b的倍数，b是a的因数。也就是在整数除法中，如果商是整数而且没有余数，被除数就是除数和商的倍数；除数和商是被除数的因数。
【详解】56÷7＝8，56是被除数，7是除数，8是商，能整除且没有余数。
所以，56是7和8的倍数，7和8是56的因数。
【练习4】下面的说法中，正确的是（ ）。
A．8是48的倍数 B．27是9的因数
C．一个数的因数的个数是有限的 D．15×4＝60，所以15是60的因数，也是4的倍数
【答案】C
【分析】在乘法算式a×b＝c中（a、b、c均为非0的自然数），a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数；验证两个数的因数或倍数关系，可以把两个数相除，看所得的商是否是整数；一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。
【详解】A．48÷8＝6，所以48是8的倍数，8是48的因数，原说法错误；
B．27÷9＝3，所以27是9的倍数，9是27的因数，原说法错误；
C．一个数的因数的个数是有限的，原说法正确；
D．15×4＝60，所以15和4是60的因数，60是15和4的倍数，原说法错误。
【典型例题5】因为0.3×2.1＝0.63，所以0.63是0.3和2.1的倍数。( )
【答案】×
【分析】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是在非0自然数范围内进行研究，以此解答。
【详解】因为0.3×2.1＝0.63，所以0.63÷0.3＝2.1，只是0.63能被0.3和2.1除尽，不是整除；
倍数是相对应整数而言的，所以原题说法错误；
故答案为：×
【点睛】此题的解答关键是明确因数和倍数的意义，以及因数和倍数的研究范围是在非0自然数范围内。
【练习5】因为0.5×9＝4.5，所以0.5和9是4.5的因数，4.5是0.5和9的倍数。( )
【答案】×
【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说商和除数是被除数的因数，被除数是商和除数的倍数，据此判断即可。
【详解】因为0.5×9＝4.5，0.5和4.5是小数不是整数，不符合因数和倍数的定义，所以原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。
【典型例题6】写出下面各数的因数。
(1)15的因数有：( )。
(2)24的因数有：( )。
(3)38的因数有：( )。
【答案】(1)1，3，5，15
(2)1，2，3，4，6，8，12，24
(3)1，2，19，38
【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
【详解】（1）15＝1×15＝3×5
15的因数有：1，3，5，15。
（2）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。
（3）38＝1×38＝2×19
38的因数有：1，2，19，38。
【练习6】用24个小正方形拼长方形，共_______种拼法；24的全部因数：________________。
【答案】 4 1、2、3、4、6、8、12、24
【分析】用24个小正方形拼长方形，长方形的面积等于24个小正方形的面积之和，根据长方形的面积＝长×宽，可知长、宽均为整数，且两个整数的积为24；据此将24改写成两个整数相乘的形式，有几组乘法就有几种拼法，同时相乘的因数均是24的因数。
【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
可拼成长为24、宽为1的长方形，或拼成长为12、宽为2的长方形，或拼成长为8、宽为3的长方形，或拼成长为6、宽为4的长方形。
用24个小正方形拼长方形，共4种拼法；
24的全部因数：1，2，3，4，6，8，12，24。
【典型例题7】五（1）班有48人参加实践活动，老师想将学生分成人数相等的小组（每组至少2人，至少分为两组）。老师可以有（ ）种不同的分法。
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】要将48人分成人数相等的小组，本质是找48的因数，再排除不符合每组至少2人、至少分2组的情况即可。
【详解】48的因数：
1×48＝48
2×24＝48
3×16＝48
4×12＝48
6×8＝48
48的全部因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
根据每组至少2人，至少两组，进行枚举计算，
每组2人时，组数为：48÷2＝24（组）
每组3人时，组数为：48÷3＝16（组）
每组4人时，组数为：48÷4＝12（组）
每组6人时，组数为：48÷6＝8（组）
每组8人时，组数为：48÷8＝6（组）
每组12人时，组数为：48÷12＝4（组）
每组16人时，组数为：48÷16＝3（组）
每组24人时，组数为：48÷24＝2（组）
每组48人时，组数为：48÷48＝1（组）（不符合至少两组，舍去）
综上，每组至少2人，至少分为两组，一共有8种不同的分法。
【练习7】朱老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知朱老师和同学们每个人植树的棵数相同，一共植树111棵，求有多少名学生？
【答案】36名
【分析】总植树棵数等于总人数乘每人植树棵数，总人数包含1名老师和偶数名学生（两路纵队人数相等），因此先分解111的质因数，再结合实际情况找出符合条件的总人数，进而求出学生数。
【详解】111＝37×3
111的因数有1、3、37、111。
学生排成两路人数相等的纵队，说明学生人数是2的倍数。如果总人数为1人，不符合题意。总人数为3人，学生为2名，每人需要植树37棵，不符合生活实际。总人数为37人，学生人数是36名。每人植树3棵，符合实际。总人数111人，学生人数110名。每人植树1棵，不符合常规植树问题的设定。
答：有36名学生。
【典型例题8】30以内5的全部倍数有（ ）。
A．1、5、10、15、20 B．5、10、15、20、25、30 C．5、10、20、30
【答案】B
【分析】求30以内5的倍数，用5依次乘非0自然数，所得的积不超过30即可，再对应排除错误选项。
【详解】5×1＝5
5×2＝10
5×3＝15
5×4＝20
5×5＝25
5×6＝30
因此30以内5的全部倍数是5、10、15、20、25、30。
【练习8】把下面的数按要求分一分。
12 24 6 27 54 18
36 9 72 42 45 63
6的倍数
9的倍数
同时是6和9的倍数
【答案】
6的倍数12、24、6、54、18、36、72、42
9的倍数27、54、18、36、9、72、45、63
同时是6和9的倍数54、18、36、72
【分析】找6的倍数：只要数能被6整除（除以6没有余数），就是6的倍数，逐个验证给出的数就能得到结果。
找9的倍数：只要数能被9整除（除以9没有余数），就是9的倍数，逐个筛选即可。
找同时是6和9的倍数：只要把前两部分分类里重复出现的数挑出来，就是同时满足两个要求的数。
【详解】12÷6＝2；24÷6＝4；6÷6＝1；27÷6＝4……3；54÷6＝9；18÷6＝3；
36÷6＝6；9÷6＝1……3；72÷6＝12；42÷6＝7；45÷6＝7……3；63÷6＝10……3
12÷9＝1……3；24÷9＝2……6；27÷9＝3；54÷9＝6；18÷9＝2
36÷9＝4；9÷9＝1；72÷9＝8；42÷9＝4……6；45÷9＝5；63÷9＝7
【典型例题9】20的因数有( )个，其中最小的因数是( )，最大的因数是( )，它最小的倍数是( )。
【答案】 6 1 20 20
【分析】找一个数的因数，可以一对一对地找，把20写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是20的因数，然后从小到大依次写出，据此判断出20的因数有哪些；然后根据一个数最大的因数是它本身，一个数的倍数有无数个，最小的倍数是它本身解答即可．
【详解】因为20＝1×20＝2×10＝4×5，所以20的因数有6个：1、2、4、5、10、20，最小的因数是1，其中最大的因数是20；它的倍数有无数个，其中最小的倍数是20。
【练习9】如果a的最大因数是13，b的最小倍数是1，a＋b＝( )，a＋b的因数有( )，a－b的因数有( )，a×b＝( )，a×b的因数有( )。
【答案】 14 1，2，7，14 1，2，3，4，6，12 13 1，13
【分析】一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身。由此可得，的值，进而可求得、、的值，求出它们的因数即可。
【详解】因为的最大因数是，的最小倍数是，
所以，，
，
，
所以的因数有，，，；
，
，
所以的因数有，，，，，；
，
的因数有，。
所以的最大因数是，的最小倍数是， ，的因数有，，，，的因数有，，，，，；，的因数有，。
【典型例题10】一个数，既是40的因数，又是5的倍数。这个数可能是( )。
【答案】5、10、20、40
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数试题本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数，先找出40的因数，再从其中找出5的倍数，据此解答。
【详解】40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40；
40以内5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40；
所以一个数既是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是：5、10、20、40。
【点睛】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，掌握求一个数的因数和求一个数的倍数的方法。
【练习10】在4、5、8、16、24、40中，既是40的因数又是8的倍数的有：__________________________。
【答案】8、40
【分析】先分别写出40的因数和8的倍数，再找出既是40的因数又是8的倍数的数。
【详解】40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40。
8的倍数有：8，16，24，32，40，48⋯
所以，在4、5、8、16、24、40这些数中，既是40的因数又是8的倍数的有：8，40。
【典型例题11】课间小朋友在玩“猜7”游戏，游戏规则是从1开始每人报一个数：1，2，3，4，……你要报的数不是7的倍数时，就大声说出这个数，是7的倍数时，就拍手。从50到90的报数过程中，有6个小朋友拍了手（期间没有小朋友重复拍手），你认为他们拍手的次数对吗？为什么？
【答案】不对，因为从到的报数过程中，的倍数只有个，即、、、、，有个小朋友拍手才对。
【分析】（）找出到范围内的倍数的个数。拍手只在报的倍数的时候发生，有几个的倍数，就有几个小朋友拍手。然后和进行比较。
（）求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘、、、、、……，所得的积就是这个数的倍数。
【详解】
（，超出范围）
到的报数过程中，的倍数有：、、、、，有个小朋友拍了手。
答：我认为他们拍手的次数不对，因为从到的报数过程中，的倍数只有个，即有个小朋友拍手才对。
【练习11】乐乐到花店买了3盆价格相同的马蹄莲，单价是整数，付给营业员100元，找回12元，乐乐说营业员算错了，营业员一查，发现多算了，多算的钱数是一个一位数的偶数，一盆马蹄莲的价格是多少元？
【答案】28元
【分析】因为买了3盆价格相同的马蹄莲，所以价格一定是3的倍数，多算的钱数是一位数的偶数，所以可能会多算2元、4元、6元、8元，以此解答即可。
【详解】100－12＝88（元）
如果多算2元，88－2＝86，86不是3的倍数。
如果多算4元，88－4＝84，84是3的倍数，每盆84÷3＝28（元）。
如果多算6元，88－6＝82，82不是3的倍数。
如果多算8元，88－8＝80，80不是3的倍数。
答：一盆马蹄莲的价格是28元。
考点3：2、5、3的倍数
【典型例题12】下面的数中，5的倍数有_____________，2的倍数有_____________。3的倍数有_____________。既是2的倍数，又是5的倍数的有_____________。
【答案】 45，75，80，95 28，80，34 45，75 80
【分析】找5的倍数：因为个位是0或5的整数是5的倍数；
找2的倍数：因为个位是0、2、4、6、8的整数是2的倍数；
找3的倍数：因为一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
找既是2又是5的倍数：因为既是2的倍数又是5的倍数的数个位一定是0。
【详解】5的倍数有45，75，80，95。
2的倍数有28，80，34。
2＋8＝10不是3的倍数；
4＋5＝9是3的倍数；
5＋3＝8不是3的倍数；
8＋0＝8不是3的倍数；
7＋5＝12是3的倍数；
3＋4＝7不是3的倍数；
8＋9＝17不是3的倍数；
9＋5＝14不是3的倍数。
故3的倍数有45，75。
既是2的倍数，又是5的倍数的有80。
【练习12】分一分。
15 24 20 48 90 55 68 82 95 100
【答案】
【分析】2的倍数：个位是0、2、4、6、8；5的倍数：个位是0或5；3的倍数：各位数字相加的和是3的倍数；再按每组要求，对照数字逐一筛选。
【详解】同时是2和5的倍数，要满足个位是0：20、90、100
同时是2和3的倍数，要满足个位是偶数，且数字和是3的倍数：24、48、90
同时是3和5的倍数，要满足个位是0或5，且数字和是3的倍数：15、90
同时是2，3和5的倍数，要满足个位是0，且数字和是3的倍数：90
填空略
【典型例题13】三位数7，要使它是3和5的倍数，这样的三位数有________个；要使它是2、3、5的倍数，第1个里可以填________。
【答案】 6 2、5、8
【分析】3、5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，且各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
2、3、5的倍数的特征：个位上的数字是0，且各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
【详解】①若个位是0：数字和为：百位数字＋7，需要能被3整除，百位可以选2、5、8，得到270、570、870，共3个符合要求的数。
若个位是5：数字和为：百位数字＋7＋5，需要能被3整除，百位可以选3、6、9，得到375、675、975，共3个符合要求的数。两类相加总共有6个符合要求的三位数。
②同时是2和5的倍数的数，个位必须是0，此时数为□70，数字和为：百位数字＋7，需要能被3整除，因此百位可以填2、5、8。
【练习13】按要求填一填。
（1）37□既是2的倍数，又是3的倍数，□里可以填（ ）。
（2）2□0既是5的倍数，又是3的倍数，□里可以填（ ）。
（3）在□里各填一个数字，使这些数都是3的倍数。
7 4 2 0 44 12 1
【答案】（1）2或8
（2）1、4或7
（3）2、5或8；
0、3、6或9；
3、6或9；
1、4或7；
2、5或8
【分析】（1）既是2的倍数，又是3的倍数说明个位上是0、2、4、6、8并且各数位上的数加起来是3的倍数，据此填空；
（2）既是5的倍数，又是3的倍数，则说明个位上是0或5，并且各数位上的数加起来是3的倍数，据此填空；
（3）3的倍数说明各数位上的数加起来是3的倍数，据此填空。
【详解】（1）3＋7＋2
＝10＋2
＝12
3＋7＋8
＝10＋8
＝18
12和18是3的倍数，所以37□可在□填2或8；
（2）2＋1＝3
2＋4＝6
2＋7＝9
3、6、9是3的倍数，且这个数个位上是0，所以2□0既是5的倍数，又是3的倍数，□里可以填1、4或7；
（3）2＋7＝9，5＋7＝12，8＋7＝15，9、12、15是3的倍数，所以 7可以填2、5或8；
4 2，4＋2＝6，，6＋0＝6，6＋3＝9，6＋6＝12，6＋9＝15，6、9、12、15是3的倍数，所以4 2可以填0、3、6、9；
0，3＋0＝3、6＋0＝6、9＋0＝9，3、6、9是3的倍数，所以 0可以填3、6、9；
44，4＋4＝8，8＋1＝9，8＋4＝12，8＋7＝15，9、12、15是3的倍数，所以 44可以填1、4、7；
12 1，1＋2＋1＝3＋1＝4，4＋2＝6；4＋5＝9，4＋8＝12，所以12 1可以填2、5、8。
【典型例题14】一个是奇数的两位数，个位上的数与十位上的数的积是14，这个两位数是（ ）。
A．14 B．41 C．27 D．72
【答案】C
【分析】先找到乘积是14的两个一位数，再结合奇数的特征确定两位数的个位和十位数字。
【详解】
符合条件的两个数字是2和7，奇数的个位需是奇数，因此个位是7，十位是2，这个两位数是27。
【练习14】我是一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，和是11，我是( )。
【答案】92
【分析】先根据“十位数字与个位数字的积是18”，找出所有乘积为18的两个一位数组合；从这些组合里筛选出和为11的一组，对应得到两个数位的数字；最后结合“我是偶数”的条件，确定个位必须是偶数，最终得到符合要求的两位数。
【详解】因为两个一位数相乘得18，可能的组合只有2和9、3和6。
验证和的条件：计算两组数的和，，，满足“和是11”的只有2和9这一组。
结合偶数条件筛选：用2和9能组成的两位数是29和92，其中偶数要求个位是偶数，29是奇数不符合，92是偶数，完全满足所有条件。
【典型例题15】a是偶数，b是奇数，下面的式子中，结果一定是偶数的是（ ）。
A．a＋b B．a－b C．a×b D．a÷b
【答案】C
【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数；偶数±奇数＝奇数，偶数×任意数＝偶数，偶数除以奇数的结果可能不是整数，据此结合运算特征判断各选项结果的奇偶性即可。
【详解】A．偶数＋奇数＝奇数，例如2＋3＝5，因此a＋b的结果是奇数，选项不符合题意；
B．偶数－奇数＝奇数，例如4－1＝3，因此a－b的结果是奇数，选项不符合题意；
C．偶数×奇数＝偶数，例如6×5＝30，因此a×b的结果是偶数，选项符合题意；
D．偶数除以奇数，结果可能不是整数，而奇偶性仅针对整数范畴，因此无法保证一定是偶数，例如4÷3的结果不是偶数，选项不符合题意。
因此，结果一定是偶数的是a×b。
【练习15】a是一个偶数，b是一个奇数。下面算式中，结果一定是奇数的是（ ）。
A．3ab＋2 B． C．2（a＋b） D．5a＋4b
【答案】B
【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。据此对每个选项进行分析，判断其结果是否一定为奇数。
【详解】A．因为a是偶数，根据“偶数×任何数＝偶数”，可得ab是偶数。再根据“奇数×偶数＝偶数”，3是奇数，所以3ab是偶数。最后根据“偶数＋偶数＝偶数”，3ab是偶数，2是偶数，因此3ab＋2的结果是偶数。
B．因为a是偶数，b是奇数，根据“奇数×奇数＝奇数”，可得＝b×b是奇数。再根据“偶数＋奇数＝奇数”，a是偶数，是奇数，因此的结果是奇数。
C．无论a＋b的结果是奇数还是偶数，根据“任何数×2＝偶数”，可得2（a＋b）的结果是偶数。
D．因为a是偶数，根据“偶数×任何数＝偶数”，可得5a是偶数。4是偶数，b是奇数，根据“偶数×奇数＝偶数”，可得4b是偶数。再根据“偶数＋偶数＝偶数”，5a是偶数，4b是偶数，因此5a＋4b的结果是偶数。
【典型例题16】三个连续的偶数的和是78，这三个连续的偶数依次分别是多少？
【答案】24、26、28
【分析】能被2整除的数是偶数，相邻的偶数之间相差2，三个连续偶数的和除以3得到中间的偶数，再用中间偶数分别减2、加2，就能得到另外两个偶数。
【详解】
答：这三个连续的偶数依次分别是24、26、28。
【练习16】三个连续奇数的和是279，这三个奇数分别是多少？
【答案】91、93、95
【分析】相邻的两个奇数相差2，设三个连续奇数中，中间的一个奇数为a，则最小的一个奇数为a－2，最大的一个奇数为a＋2。根据“三个连续奇数的和是279”列方程即可求解。
【详解】解：中间的一个奇数为a。
（a－2）＋a＋（a＋2）＝279
a－2＋a＋a＋2＝279
3a＝279
a＝279÷3
a＝93
93＋2＝95
93－2＝91
答：这三个奇数分别是91、93、95。
【典型例题17】1＋3＋5＋7＋9＋……＋99这道算式的和是( )。（填“奇数”或“偶数”）
【答案】偶数
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，所以奇数个奇数相加和是奇数，偶数个奇数相加和是偶数，据此即可解答。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋……＋99，一共是50个奇数，根据奇数＋奇数＝偶数可知，50个奇数相加的和为偶数。
【练习17】判断：的和是偶数。( )
【答案】√
【分析】先计算1到2019中奇数和偶数的个数，再根据奇偶数的运算性质判断总和的奇偶性。
【详解】偶数个数：（个）
奇数个数：（个）
1009个偶数的和是偶数，1010个奇数的和是偶数。
故答案为：√
【典型例题18】王老师买了45个乒乓球分装在甲、乙两个袋子里。如果甲袋装的个数为偶数，那么乙袋装的个数是偶数还是奇数？
【答案】奇数
【分析】总个数是奇数，乙袋个数为总个数减甲袋个数，根据奇偶运算性质判断奇数减偶数的结果，就能得出结论。
【详解】是奇数，甲袋装的个数为偶数。
奇数－偶数＝奇数
答：乙袋装的个数是奇数。
【练习18】爷爷在菜地里摘了26棵白菜，小华帮忙把这些白菜装在5个竹筐里，爷爷要求每个竹筐里装的个数不同，并且个数都是奇数，按照爷爷的要求，小华能做到吗？为什么？
【答案】不能，因为5个奇数相加结果还是奇数，而26是偶数，所以不能。
【分析】先根据奇数相加的奇偶规律，判断5个奇数相加的和是奇数还是偶数，再把这个结果和白菜总棵数26（偶数）的奇偶性进行对比，如果奇偶性不一致，就不能按照要求分装。
【详解】根据奇偶运算规律：奇数＋奇数＝偶数。
把5个奇数两两分组，前4个奇数可以分成两组，每组两个奇数，两组的和都是偶数；偶数加偶数得到偶数，再加上剩下的1个奇数，最终的和一定是奇数。
题目里白菜一共有26棵，26是偶数，奇数不可能等于偶数，所以做不到。
答：不能做到。因为5个不同的奇数相加，总和一定是奇数，26是偶数，所以无法分装。
【典型例题19】五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？
【答案】五（1）班：39人；五（2）班：36人；五（3）班：33人
【分析】3的倍数的特征：所有数位上的数字之和能被3整除的数；倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么c是a、b的倍数。如：4×9＝36，36是4和9的倍数；据此先找出30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数；再把这些数比较大小，其中最小的数就是五（3）班的人数；偶数：能被2整除的数，奇数：不能被2整除的数，据此找出其中的奇数和偶数并确定五（1）班和五（2）班的人数。
【详解】30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数：33，36，39；
其中33和39是奇数，36是偶数，
且39＞36＞33。
答：五（1）班有39人，五（2）班有36人，五（3）班有33人。
【练习19】八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推，在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数1、1、2、3、5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项所得商都接近0.618，所以称“黄金分割数列”。
（1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、（ ）、（ ）、…
（2）这组数的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。
【答案】（1）55；89；
（2）100÷3＝33（组）……1（个）
这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。
【分析】（1）根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项；
（2）根据题意可知，这组数据是按照奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，找出几个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以几，如果没有余数，则第100个数是一组规律中的最后一个数，如果有余数，则看其排在一组规律中的第几个数，再看看相应位置是奇数还是偶数；据此解答。
【详解】（1）21＋34＝55
34＋55＝89
根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…
（2）100÷3＝33（组）……1（个）
答：这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。
【典型例题20】在3、5、0、6四个数字中任选三个组成三位数。
(1)有因数3的最大数是( )；
(2)同时是2和5的倍数的最小的数是( )；
(3)同时是2和3的倍数的最大的数是( )；
(4)同时是2、3和5的倍数的最小的数是( )。
【答案】(1)630
(2)350
(3)630
(4)360
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】（1）3＋5＋6＝14，14不是3的倍数；
3＋5＋0＝8，8不是3的倍数；
5＋6＋0＝11，11不是3的倍数；
3＋6＋0＝9，9是3的倍数，用3、6、0组成的三位数都是3的倍数，6＞3＞0；
所以，有因数3的最大数是630。
（2）同时是2和5的倍数的个位一定是0，剩下的3个数3＜5＜6，从小到大取两个数，所以同时是2和5的倍数的最小的数是350。
（3）由第一问可知，用3、6、0组成的三位数都是3的倍数，若同时是2的倍数，则个位是6或0，同时是2和3的倍数的数有306、360、630，最大的数是630。
（4）由第一问可知，用3、6、0组成的三位数都是3的倍数，同时是2和5的倍数的个位是0，则同时是2、3和5的倍数的数有360、630，所以最小的数是360。
【练习20】从数字中任选三个组成三位数。（每个数字只能用一次）
(1)摆出既是2的倍数又是3的倍数的最大三位数：( )。
(2)摆出既是2的倍数又是5的倍数的最小三位数：( )。
(3)摆出既是2的倍数又是3和5的倍数的最大三位数是( )，最小三位数是( )。
【答案】(1)750
(2)250
(3) 750 270
【分析】（1）既是2的倍数又是3的倍数，个位上是偶数，且各位上的数的和是3的倍数，要求最大的三位数，尽可能让最大的数放在最高位，据此找到最大的三位数；
（2）既是2的倍数又是5的倍数，个位上是0，要求最小的三位数，尽可能让最小的数放在最高位，据此找到最小的三位数；
（3）同时是2、3、5的倍数特征，个位上的数字一定是0，且各位上的数的和是3的倍数，据此得到最大和最小的三位数。
【详解】（1）7＞5＞2＞0，因为7＋5＝12是3的倍数，个位上是偶数，不能是2，因为再加2就不是3的倍数，所以个位上是0，最大三位数是750。
（2）7＞5＞2＞0，个位上是0，且最小，所以将2放百位，5放十位，最小三位数是250。
（3）个位上是0，且因为7＋5＝12是3的倍数，最大三位数是750；7＋2＝9是3的倍数，且可以组成比5、7、0更小的数，所以最小三位数是270。
【典型例题21】在数字王国中，国王设置了一道关卡，只有找到同时是2、3和5的倍数的神秘数字组合，才能顺利通关。每个组合都由数字和字母“”构成（“”代表任意非零自然数，且同一个组合中所有“”数值相同），以下（ ）是正确的通关密钥。
A．数字精灵排列出的组合： B．神秘石碑上刻着的组合：
C．智慧之门旁闪烁的组合： D．古老卷轴上记载的组合：
【答案】C
【分析】同时是2、3、5的倍数的数，需满足个位是0，且各数位上的数字之和是3的倍数，据此筛选选项即可。
【详解】A．，2N不一定是3的倍数，不符合要求，排除。
B．个位数字是N，如果N＝1，不是2和5的倍数，排除；
C．，3N一定是3的倍数，且个位为0，同时满足2、3、5的倍数要求。
D．个位数字是N，如果N＝1，不是2和5的倍数，排除。
是正确的通关密钥。
【练习21】w表示1～9中任意一个自然数，下面的五位数中，有（ ）个数一定既是2的倍数又是3的倍数。
w0www www00 ww0w0 w0w0w
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字相加的和是3的倍数，据此逐个分析。
【详解】w表示1～9中任意一个自然数，w0www不一定是2的倍数；www00一定是2的倍数，w＋w＋w＋0＋0＝3w，3w一定是3的倍数，则www00一定既是2的倍数又是3的倍数；ww0w0一定是2的倍数，w＋w＋0＋w＋0＝3w，3w一定是3的倍数，则ww0w0一定既是2的倍数又是3的倍数；w0w0w不一定是2的倍数，综上所述，www00和ww0w0一定既是2的倍数又是3的倍数。
故答案为：B
【典型例题22】一筐苹果有若干个（少于60个），2个2个地数正好数完，3个3个地数正好数完，5个5个地数也正好数完。这筐苹果可能有（ ）个。
A．20 B．30 C．45 D．50
【答案】B
【分析】2个2个地数正好数完，3个3个地数正好数完，5个5个地数也正好数完，说明这筐苹果的个数既是2、3的倍数又是5的倍数。2的倍数的特征是个位上是0，2，4，6，8；3的倍数的特征是各位上的数的和是3的倍数；5的倍数的特征是个位上是0或5，同时满足这三个特征即可。
【详解】A．20不是3的倍数；
B．30是2、3、5的倍数；
C．45不是2的倍数；
D．50不是3的倍数。
故答案为：B
【练习22】滨湾小学五年级科技小组的130名学生到深圳科技馆参观，他们分组体验地震逃生演习，如果每组2人，能正好分完吗？每组3人呢？每组5人呢？为什么？请分别说明理由。
【答案】能；130是2的倍数；不能；130不能被3整除；能；130是5的倍数。
【分析】判断130能否分别被2、3、5整除，若能整除则可以正好分完，反之则不能。
2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，据此判断130是否满足该特征。
3的倍数的特征：各数位上数字之和是3的倍数的数是3的倍数，先计算130各数位数字之和，再判断其是否为3的倍数。
5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数，据此判断130是否满足该特征。
【详解】130个位数字为0，既是2的倍数，又是5的倍数；
1＋3＋0＝4，4不是3的倍数，130不能被3整除。
答：每组2人，能正好分完，因为130是2的倍数；每组3人，不能分完，因为130不能被3整除；每组5人，也能正好分完，因为130是5的倍数。
考点4：素数和合数
【典型例题23】一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做( )；在8、11、15、19中，素数有( )个；最小的合数是( )。
【答案】 素数
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是素数，也不是合数；最小的合数是4。
【详解】一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数；
在8、11、15、19中，素数有11、19。共2个；
最小的合数是4。
【练习23】( )既不是素数，也不是合数；既是素数，又是偶数的数是( )；合数中最小的奇数是( )。
【答案】 1 2 9
【分析】素数要求大于1的自然数中仅能被1和自身整除；合数要求大于1的自然数中除了1和自身还有其他正因数；偶数是能被2整除的整数，奇数是不能被2整除的整数，再按题干要求逐一匹配符合条件的特殊数。
①先找不属于素数、合数定义范畴的数；
②从偶数集合里筛选同时满足素数要求的数；
③从奇数集合里找符合合数定义的最小数值
【详解】①素数的定义是大于1的自然数，仅能被1和自身整除，合数的定义是大于1的自然数，除了1和自身外还能被其他正整数整除，因此1不满足素数、合数的判定条件，是既不是素数也不是合数的数。
②偶数是能被2整除的整数，其中只有2同时符合素数的定义，其余偶数都至少有1、2和自身3个因数，因此既是素数又是偶数的数是2。
③奇数里从小到大排查：1不是合数，3、5、7都是素数，9除了1和9之外还有因数3，是满足合数要求的最小奇数，因此合数中最小的奇数是9。
【典型例题24】将所有的非零自然数按照因数的个数分类，可以用图（ ）表示。
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】在所有非0自然数中，按照因数的个数可分为三类：1只有1个因数，既不属于素数也不属于合数；素数有且仅有2个因数，即1和它本身；合数则有3个及以上的因数，除了1和它本身外还有其他因数，这三类相互独立、没有重叠，共同涵盖了所有非0自然数。
【详解】A．只有素数、合数，没有包含1，错误。
B．用两个相交的椭圆表示素数和合数，且相交部分标1，但1不属于素数或合数，错误。
C．用一个圆分成三部分，分别是1、素数、合数，符合分类逻辑，正确。
D．用嵌套的椭圆表示，1在素数内部，合数在最外层，不符合定义，错误。
【练习24】笑笑总结倍数和因数系列知识后，得出非零自然数按因数的个数分，可分为（ ）。
A．奇数和偶数 B．素数和合数 C．素数，合数和1 D．素数，合数和0
【答案】C
【分析】一个数，只要1和它本身两个因数，这样的数叫做素数；一个数，除了1和它本身两个因数，这样的数叫做合数；1既不是素数，也不是合数；奇数：不能被2整除的数；偶数：可以被2整除的数，奇数和偶数不能根据因数的个数判断，据此解答。
【详解】根据分析可知，笑笑总结倍数和因数系列知识后，得出非零自然数按因数的个数分，可分为素数、合数和1。
故答案为：C
【典型例题25】猜我是谁。数宝宝可能是下面四个选项中的（ ）。
A．19 B．15 C．17 D．11
【答案】A
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做素数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
【详解】A．10＜19＜20，19既是奇数，又是素数，且19＝2＋17，可以写成两个素数的和，符合题意；
B．10＜15＜20，15是奇数，但是合数，不符合题意；
C．10＜17＜20，17既是奇数又是素数，17无法写成两个素数之和，不符合题意；
D．10＜11＜20，11既是奇数，又是素数，11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，不能写成两个素数之和，不符合题意。
【练习25】校园里举办“数字寻宝”的数学周活动，五（1）班寻找到的宝箱密码有两个信息：①个位数字和十位数字加起来是素数；②密码本身是合数。符合条件的密码是（ ）。
A．61 B．63 C．65 D．67
【答案】C
【分析】素数指只有1和它本身两个因数的数，合数指除了1和它本身还有其他因数的数。先分别算出每个数十位与个位数字的和，判断和是不是素数，再判断这个数本身是不是合数，两条都满足才是密码。
【详解】A．61：6＋1＝7，7是素数；61是素数，不是合数，不符合。
B．63：6＋3＝9，9是合数，不符合。
C．65：6＋5＝11，11是素数；65是合数，符合条件。
D．67：6＋7＝13，13是素数；67是素数，不是合数，不符合。
【典型例题26】一个四位数，千位上数字是10以内最大的偶数，百位上数字是最小的素数，十位上数字是最小合数，个位上数字既不是素数也不是合数，这个四位数是( )。
【答案】8241
【分析】10以内最大的偶数是8，所以千位上的数是8；10以内的合数是4、6、8、9，10以内的素数是：2、3、5、7，百位上是最小的素数，所以百位上的数是2；十位上是最小的合数，所以十位上的数是4；1既不是素数也不是合数，所以个位上的数是1；据此即可求解。
【详解】由分析可知：这个数千位上是8，百位上是2，十位上是4，个位上是1，所以这个四位数是：8241。
【练习26】张阿姨家的电话号码是一个8位数，从前到后依次排列为：6的最大因数、7的最小倍数、最小的素数、最小的合数、最小的奇数、8的最小因数、最大的一位数、既不是素数也不是合数的非0自然数。张阿姨家的电话号码是多少？
【答案】67241191
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的。只有1和它本身两个因数的数叫做素数，最小的素数是2。除了1和它本身两个因数外，还有别的因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4。不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。最大的一位数是9。既不是素数也不是合数的非0自然数是1。
【详解】6的最大因数是6；
7的最小倍数是7；
最小的素数是2；
最小的合数是4；
最小的奇数是1；
8的最小因数是1；
最大的一位数是9；
既不是素数也不是合数的非0自然数是1。
按从前到后的顺序组合得到8位数：67241191。
答：张阿姨家的电话号码是67241191。
【典型例题27】已知m、n都是素数，m＋n＝31，那么m×n＝( )。
【答案】58
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作素数；先按顺序列举出32以内的所有素数，再找出和为31的两个素数，最后求出这两个素数的积。
【详解】32以内的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31。
2＋29＝31
2×29＝58
【练习27】著名的哥德巴赫猜想中提到：任意一个大于2的偶数，一定能写成两个素数相加的和。利用这一猜想，拆分下面的偶数：20＝( )＋( )，28＝( )＋( )，34＝( )＋( )。
【答案】 3 17 5 23 3 31
【分析】素数是只有1和它本身两个因数的自然数。例如34以内的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31。可通过试验分别找出两个素数的和，分别是20、28、34。据此解答。
【详解】20＝3＋17（答案不唯一）
28＝5＋23（答案不唯一）
34＝3＋31（答案不唯一）
【典型例题28】小雅收到好朋友寄来的一张长方形的风景卡片，其周长是40厘米，长和宽中的长度有一个是素数、有一个是合数，这个长方形卡片的面积最大是多少平方厘米？
【答案】
99平方厘米
【分析】先根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”求出一组长与宽的和；然后根据素数和合数的定义（大于1的自然数），列举出和为长与宽的和的所有自然数组合；再筛选出满足“一个素数、一个合数”条件的组合；最后根据“长方形的面积＝长×宽”分别计算符合条件的长方形面积，通过比较得出最大面积。（素数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。）
【详解】40÷2＝20（厘米）
根据题意，长方形的长和宽均为大于1的自然数，所以符合题意的有：
当长为18厘米，宽为2厘米时，面积为：18×2＝36（平方厘米）
当长为15厘米，宽为5厘米时，面积为：15×5＝75（平方厘米）
当长为11厘米，宽为9厘米时，面积为：11×9＝99（平方厘米）
因为99＞75＞36，即最大面积是99平方厘米。
答：这个长方形卡片的面积最大是99平方厘米。
【练习28】（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是素数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？
（2）花坛里有两种花，一种花的数量是素数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是素数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？
【答案】（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。
（2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。
【分析】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫素数，据此确定长和宽；
（2）20以内的素数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去素数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是素数数量的倍数。
【详解】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
符合条件的是2×12和3×8
答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。
（2）20以内的素数有2、3、5、7、11、13、17、19
对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1
2＋18＝20，18÷2＝9
5＋15＝20，15÷5＝3
答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。
【典型例题29】读一读、写一写。（有几个写几个）
如果一个奇素数（既是奇数又是素数）除以4，余1，那么这个奇素数可以写成“”的形式。这是由法国著名数学家费马提出的平方和定理。例如：29是一个奇素数，29÷4＝7……1，那么29可以写成“”的形式。请你找一找，20以内符合费马平方和定理的奇素数，并用“（ ）＝（ ）2＋（ ）2”的形式写下来。
【答案】；；
【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫素数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此先找到20以内的奇素数，再确定符合除以4，余1的，然后写成平方和的形式即可。
【详解】20以内的奇素数有：3、5、7、11、13、17、19。
其中：5÷4＝1……1、13÷4＝3……1、17÷4＝4……1
；；
【练习29】材料一：“孪生素数”是指相差为2的两个素数，如3和5都是素数，且5－3＝2，所以3和5就是一对“孪生素数”。
材料二：如果有间隔为2的连续的三个素数，我们称之为“三胞胎素数”；如果出现两组连续的“孪生素数”，即一组符合（P，P＋2，P＋6，P＋8）形式的素数，我们称之为“四胞胎素数”。
（1）写出20以内所有的“孪生素数”。
（2）请分别写一组“三胞胎素数”和“四胞胎素数”。
三胞胎素数：（ ） 四胞胎素数：（ ）
（3）若（a，b，c）是一组“三胞胎素数”，则a＋b＋c的和是（ ）。（填“奇数”或“偶数”）
【答案】（1）见详解
（2）3、5、7；5、7、11，13
（3）奇数
【分析】（1）素数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数；先求出20以内的素数，再写出所有的“孪生素数”。
（2）根据“三胞胎素数”和“四胞胎素数”的意义，写出三胞胎素数和四胞胎素数。
（3）间隔为2的连续的三个素数称为“三胞胎素数”，a、b、c为三胞胎素数，则b＝a＋2，c＝a＋4，化简a＋（a＋2）＋（a＋4），再根据奇数和偶数的运算性质：①偶数±偶数＝偶数；②奇数±奇数＝偶数；③偶数±奇数＝奇数，据此判断解答。
【详解】（1）20以内的素数：2，3，5，7，11，13，17，19。
孪生素数：3和5；5和7；11和13；17和19。
（2）三胞胎素数：3、5、7；
四胞胎素数：5、7、11、13（答案不唯一）
（3）a、b、c是一组“三胞胎素数”，则a≠2；则b＝a＋2；c＝a＋4。
a＋（a＋2）＋（a＋4）
＝a＋a＋2＋a＋4
＝3a＋6
a是素数，则a是奇数；3a是奇数，6是偶数，所以3a＋6是奇数。
若（a，b，c）是一组“三胞胎素数”，则a＋b＋c的和是奇数。
考点5：分解素因数
【典型例题30】将28分解质因数的正确形式是（ ）。
A．28＝4×7 B．28＝1×2×2×7 C．2×14＝28 D．28＝2×2×7
【答案】D
【分析】分解质因数要把合数写成几个素数相乘的形式，1不是素数，被分解的合数要写在等号左边。
【详解】A．4不是素数，不符合题意；
B．1不是素数，不符合题意；
C．等号左边不是被分解的28，且14不是素数，不符合题意；
D．2和7都是素数，28＝2×2×7，符合分解质因数的要求。
【练习30】36的因数中最大的是( )，将最大因数分解质因数为( )。
【答案】 36 36＝2×2×3×3
【分析】一个数的最大因数是它本身；分解质因数就是把一个合数写成几个素数相乘的形式，一般先从简单的素数试着分解。
【详解】一个数的最大因数是它本身，所以36的最大因数就是36。
从最小的素数2开始除36，36÷2＝18；
再用2除18，18÷2＝9；
接着用3除9，9÷3＝3。
此时商为3，是素数，分解结束。
所以36分解质因数为36＝2×2×3×3。
【典型例题31】84分解素因数后，所有的素因数的和是____。
【答案】14
【分析】素数（素数）：大于1的自然数，除了1和它本身以外，没有别的因数。
先把84分解素因数，再把分解得到的每一个素因数全部相加，注意重复出现的素因数也要参与求和。
【详解】84＝2×2×3×7
2＋2＋3＋7＝14
【练习31】数255的质因数分解中，最大的质因数是_________。
【答案】17
【分析】分解质因数是将合数写成若干个素数相乘的形式，一般先从简单的素数试着分解，255分解质因数的结果为255＝3×5×17，质因数有3、5、17，最大的质因数是17。
【详解】对255分解质因数：
255÷3＝85
85÷5＝17
所以255＝3×5×17
质因数有3、5、17，最大的质因数是17
【典型例题32】已知甲数是2×3×7，那么甲数的因数共有( )个。
【答案】8
【分析】由题意可知“甲数＝2×3×7”，据此可计算出甲数的数值；用列乘法算式的方法来找甲数的全部因数，然后数出它的因数的个数即可。
【详解】甲数＝2×3×7＝6×7＝42
1×42＝42，2×21＝42，3×14＝42，6×7＝42
所以甲数的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42，一共有8个因数。
【练习32】已知A＝2×3×5，则A有_______个因数。
【答案】
8
【分析】利用乘法配对的方式有序地找出A的所有因数，确保不重复、不遗漏，最后统计因数的总个数。
【详解】2×3×5
＝6×5
＝30
1×30＝30；2×15＝30；3×10＝30；5×6＝30。
30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30，因数有8个。
【典型例题33】小红在数学课外阅读中认识了“史密斯数”。如：，，即27是“史密斯数”：，，，而，即51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。那么，在4、15、22、56这四个数中，符合“史密斯数”特征的有( )。
【答案】4、22
【分析】根据“史密斯数”定义，逐个对数字分解质因数，分别算出原数各位数字之和、所有质因数各位数字之和，对比两者是否相等，相等即为史密斯数。
【详解】4分解质因数：4＝2×2
原数各位和：4，质因数各位和：2＋2＝4，4＝4，是史密斯数。
15分解质因数：15＝3×5
原数各位和：1＋5＝6，质因数各位和：3＋5＝8，6≠8，不是史密斯数。
22分解质因数：22＝2×11，原数各位和：2＋2＝4，质因数各位和：2＋1＋1＝3＋1＝4，4＝4，是史密斯数。
56分解质因数：56＝2×2×2×7，原数各位和：5＋6＝11，质因数各位和：2＋2＋2＋7＝4＋9＝13，11≠13，不是史密斯数。
【练习33】“质因数”源于“素数”和“因数”两个概念，是素数和因数的组合体。从“质因数”的视角研究数的组成，我们会发现一个数的因数就是由其所含有的质因数决定的（如表）。
例如12＝2×2×3＝22×3，那么20，21，22分别与30，31两两相乘会产生6个不同的数，即20×30＝1；20×31＝3；21×30＝2；21×31＝6；22×30＝4；22×31＝12。所以12的因数有1，2，3，4，6，12这6个数。（任何非零数的零次方都等于1）
根据这个方法，你觉得求得1323的因数一共有多少个？并说明理由。
【答案】12个，，则、、、与、、两两相乘后会产生12个不同的数，即（个）。
【分析】把1323分解质因数，由此计算1323的因数个数。1323的个位上是奇数，因此素数2不是1323的因数，，因此可以从3开始用短除法计算出1323的质因数。
表格中，，而，，，，共个，，，，，共个，而根据表格所列举的情况，可以用表示的因数个数（即列数行数总个数）。
可将1323分解出的质因数的个数代入中计算出它的因数个数。
【详解】，
根据，可代入计算，
（个）
因此，1323的因数有12个。
验证：、、、与、、两两相乘产生的因数如下：
、、、、、、、、、、、，共计12个。
答：1323的因数有12个，理由略。
【典型例题34】请将下列8个数平均分成两组，使每组4个数的乘积恰好相等：14、21、24、35、42、48、50、125。
【答案】见详解
【分析】先通过分解质因数，然后观察每个质因数出现的次数，最后合理分配，确保两组中相同质因数的个数相同，即可得到符合条件的分组。需要注意的是，如果8个数分配完4个数时就已经出现乘积相等的情况（设为A组、B组），则剩下的4个数也必然能够分成乘积相等的两组（设为C组、D组），那么最终就会出现两种结果，即8个数可分成AC组与BD组，或AD组与BC组。
【详解】分解质因数：14＝2×7，21＝3×7，24＝2×2×2×3，35＝5×7，42＝2×3×7，48＝2×2×2×2×3，50＝2×5×5，125＝5×5×5。
质因数情况：3、7各出现4次，5出现6次，2出现10次；所以每一组数中3、7各出现2次，5出现3次，2出现5次。
分组：5×5×5、2×7、2×2×2×2×3、3×7为一组，2×5×5、5×7、2×2×2×3、2×3×7为一组；或5×5×5、2×7、2×2×2×3、2×3×7为一组，2×5×5、5×7、2×2×2×2×3、3×7为一组。
所以14、21、48、125为一组，24、35、42、50为一组；或14、24、42、125为一组，21、35、48、50为一组。
【练习34】将14，30，35，75这四个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。你知道怎样分组吗？请写出分组方法。
【答案】第一组数：14，75。
第二组数：30，35。
【分析】乘积相等的两组数，其质因数的种类和数量必须完全相同，因为乘积的本质是质因数的连乘。
分解质因数：将每个数拆为素数相乘的形式，明确所有质因数的构成；
统计质因数总量：计算所有数包含的每种质因数的个数，确保能平均分成两份；
匹配质因数到两组：根据质因数的数量，将数分配到两组，使每组的质因数种类、数量与总量的一半一致。
【详解】分解质因数：，，，；
通过上述可知，一共有10个质因数，且除了5以外，其它质因数都是成对出现，5出现了4个，所以一组应该有2个5，所以每组需含2、3、5、5、7；
分组：一组：14（含2、7），75（含3、5、5）；
另一组：30（含2、3、5），35（含5、7）。
14×75＝1050；30×35＝1050。
【典型例题35】四个连续自然数的乘积是360，这四个自然数分别是多少？
【答案】3、4、5、6
【分析】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差1，首先把360分解质因数，然后将质因数适当的调整组合，得出四个连续的自然数即可。
【详解】由分析得，
360＝2×2×2×3×3×5
＝3×4×5×6
答：这四个连续的自然数分别是3、4、5、6。
【练习35】有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，他们的年龄相乘的积等于840，这4个孩子的年龄从小到大分别是多少？
【答案】4岁、5岁、6岁、7岁
【分析】把840分解质因数：840＝2×2×2×3×5×7，再把几个因数分开相乘，找出4个连续的自然数即可。
【详解】2×2＝4
2×3＝6
4×5×6×7＝840
答：这4个孩子的年龄从小到大分别是4、5、6、7。
考点6：公因数与最大公因数
【典型例题36】下面各组数中，最大公因数肯定是1的一组是（ ）。
A．素数与合数 B．偶数与偶数 C．素数与素数 D．奇数与偶数
【答案】C
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做素数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
两个数公有的因数叫做这两个数的公因数；其中最大的叫最大公因数。
【详解】A．如：素数2和合数4的最大公因数是2，不是1，不符合要求。
B．所有偶数都有公因数2，任意两个偶数的最大公因数至少是2，不符合要求。
C．素数的因数只有1和它本身，两个不同的素数的公因数只有1，最大公因数是1，符合要求。
D．如：奇数3和偶数6的最大公因数是3，不是1，不符合要求。
【练习36】下面各组数中，（ ）的最大公因数是1。
A．45和24 B．19和76 C．39和40 D．39和13
【答案】C
【分析】如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数（最大公约数）。分别计算每组数的最大公因数，选出结果为1的选项即可。
【详解】A．45和24的公因数有1、3，最大公因数是3，不符合要求。
B．76÷19＝4，76是19的倍数，两个数为倍数关系时最大公因数是较小数，即最大公因数是19，不符合要求。
C．39和40是相邻的自然数，两数互质，最大公因数是1，符合要求。
D．39÷13＝3，39是13的倍数，最大公因数是13，不符合要求。
【典型例题37】求下列各组数的最大公因数。
14和98 48和108 56，84和210
【答案】14；12；14
【分析】求最大公因数时，若两数成倍数关系，最大公因数是较小数；一般情况用短除法，将公有的质因数从小到大依次作为除数去除各数，直到商只有公因数1，所有除数的乘积就是最大公因数。
【详解】14和98：因为，98是14的倍数，所以14和98的最大公因数是14。
48和108：
48和108的最大公因数是12。
56、84和210：
56、84和210的最大公因数是14。
【练习37】用短除法求下面每组数的最大公因数。
66和24 39和52 48和56
【答案】6；13；8
【分析】用短除法求两个数的最大公因数时，从两个数公有的最小质因数除起，一直除下去，直到除得的两个商互质为止；然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。
【详解】
所以，66和24的最大公因数是：2×3＝6；
所以，39和52的最大公因数是：13；
所以，48和56的最大公因数是：2×2×2＝8。
【典型例题38】已知，所以48与72的最大公因数是（ ）。
A．4 B．6 C．12 D．24
【答案】D
【分析】求两个数的最大公因数，可先分解质因数，再将两个数公有的质因数相乘，所得乘积就是最大公因数。再对比各选项选出正确的选项。
【详解】，
，因此48和72的最大公因数是24。
对比各选项应选D。
【练习38】已知，所以60与45的最大公因数是（ ）。
A．6 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【分析】求最大公因数，就是找出两个数全部相同的质因数，再把公有质因数相乘。先对照给出的分解式，找出60和45共有的质因数，然后相乘得到最大公因数。
【详解】60＝2×2×3×5
45＝3×3×5
公有质因数是3和5
最大公因数：3×5＝15
【典型例题39】已知a÷b＝8（a、b均为非0自然数），则a和b的最大公因数是（ ）。
A．a B．b C．8
【答案】B
【分析】由a÷b＝8可知a＝8b，所以a是b的倍数。成倍数关系的两个非0自然数，较小数是它们的最大公因数，据此确定答案。
【详解】a÷b＝8
a＝8b
a是b的倍数
所以a和b的最大公因数是b。
【练习39】如果y是x的倍数（x、y是不为0的自然数且x、y不相等），那么x、y的最大公因数是（ ）。
A．x B．y C．10 D．xy
【答案】A
【分析】两个不为0的自然数成倍数关系时，较小的数就是这两个数的最大公因数。
【详解】已知是的倍数，且x、y不相等，可得，是较小数，因此和的最大公因数是。
【典型例题40】，，如果和的最大公因数是27，那么是( )。
【答案】9
【分析】根据A、B两数的分解质因数，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数，已知最大公因数是27，即3N＝27，据此求出N的值。
【详解】A＝2×3×N，B＝3×5×N
A和B的最大公因数是3N＝27，
N＝27÷3
N＝9
【练习40】已知A＝2×3×m，B＝3×5×m，A、B的最大公因数是33，m是( )。
【答案】11
【分析】用分解质因数的方法求最大公因数，两个数的最大公因数是这两个数公有的质因数的乘积。A和B公有的质因数是3和m，用最大公因数除以3即可算出m的值。
【详解】A和B公有的质因数是3和m。
m＝33÷3＝11
【典型例题41】最小的素数与最小的合数是互素数。( )
【答案】
×
【分析】最小的素数是2，最小的合数是4，互素数是指两个数的公因数只有1，判断2和4的公因数是否只有1即可。
【详解】2的因数：1，2；
4的因数：1，2，4；
2和4的公因数有1和2，不满足公因数只有1的要求，因此最小的素数与最小的合数不是互素数。原题说法错误。
故答案为：×
【练习41】和是两个连续的自然数，它们的公因数是（ ）。
A．1 B． C． D．ab
【答案】A
【分析】连续的两个自然数互为互素数，互素数的公因数只有1。
【详解】举例子验证：取连续自然数a＝2，b＝3，二者的公因数只有1；
再取a＝7，b＝8，公因数也只有1，因此两个连续自然数的公因数是1。
【典型例题42】明明家要将长4.8米，宽4米的卧室重新铺地砖，要想正方形的瓷砖都用整块且正好铺完，瓷砖的边长最长是( )分米，至少需要( )块。
【答案】 8 30
【分析】先根据1米＝10分米，把单位统一成分米；要使正方形瓷砖都是整块且正好铺完，瓷砖的边长是长和宽的最大公因数。再求出长和宽各需要的块数，总块数＝长方向的块数×宽方向块数。
【详解】4.8米＝48分米
4米＝40分米
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40；
48和40的最大公因数是8，所以瓷砖的边长最长是8分米；
长方向需要的块数：48÷8＝6（块）
宽方向需要的块数：40÷8＝5（块）
6×5＝30（块），至少需要30块。
【练习42】幼儿园老师买了18个橘子，36个苹果，54个梨，分别平均分给班上每位小朋友，正好分完，这个班最多有多少位小朋友？每位小朋友分到橘子，苹果、梨各多少个？
【答案】这个班最多有18位小朋友，每位小朋友分到橘子1个、苹果2个、梨3个。
【分析】根据题意可知，小朋友的人数需同时是18、36、54的公因数，求最多的人数就是求这三个数的最大公因数（三个数公有质因数的乘积）；再用每种水果的总个数除以小朋友人数，得到每人分到的对应水果数量。
【详解】18＝2×3×3
36＝2×2×3×3
54＝2×3×3×3
三个数公有的质因数是2、3、3，因此最大公因数为2×3×3＝18。
即这个班最多有18位小朋友。
每位小朋友分到的橘子数量：18÷18＝1（个）
每位小朋友分到的苹果数量：36÷18＝2（个）
每位小朋友分到的梨数量：54÷18＝3（个）
答：这个班最多有18位小朋友，每位小朋友分到橘子1个、苹果2个、梨3个。
【典型例题43】把46颗水果糖和38颗巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1颗，巧克力剩2颗，这个组最多有几位同学？每位同学分到的水果糖和巧克力各多少颗？
【答案】9位；5颗水果糖，4颗巧克力；
【分析】水果糖剩1颗，巧克力剩2颗，说明实际分掉的水果糖、巧克力数量才能够被这个组的同学人数平均分，同学人数是分掉的两种糖果数量的最大公因数，先用分解质因数法求出最大公因数，即最多的同学人数，再分别用分掉的糖果数量和巧克力数量除以人数，求出每位同学分到的糖果颗数和巧克力颗数。
【详解】实际分掉水果糖：46－1＝45（颗）
实际分掉巧克力：38－2＝36（颗）
45＝3×3×5
36＝2×2×3×3
45和36的最大公因数：3×3＝9
每人分到水果糖：45÷9＝5（颗）
每人分到巧克力：36÷9＝4（颗）
答：这个组最多有9位同学；每位同学分到5颗水果糖，4颗巧克力。
【练习43】阅读社团借阅图书，若借35本，平均分发给每人还差1本；若借56本，平均分发给每人还剩2本；若借69本，平均分发给每人还差3本；这个社团最多有（ ）人。
A．36 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【分析】先将三种借阅情况转化为正好平均分配时的总本数，人数是这三个总本数的公因数，求最多人数就是求这三个数的最大公因数。
【详解】正好平均分配时的总本数分别为：
（本）
（本）
（本）
分解质因数：
三个数的最大公因数是。
考点7：公倍数与最小公倍数
【典型例题44】已知两个不同的正整数，，下列四个说法：①若，有公因数1，则它们一定互素；②，互素就没有公因数；③，都是它们最小公倍数的因数；④，的乘积一定是它们的公倍数，其中正确说法的序号是____。
【答案】③④
【分析】先明确互素的定义，因为互素的两个数的最大公因数是1，所以以此为依据判断说法①和②的正误。
回忆最小公倍数的定义，因为两个数的最小公倍数是能同时被这两个数整除的最小正整数，所以可据此判断说法③的正误。
依据公倍数的定义，因为如果一个数能同时被a和b整除，这个数就是a和b的公倍数，所以可判断说法④的正误。
【详解】互素的两个数的最大公因数是1，那么若，有公因数1，它们不一定互素；，互素一定有公因数1。所以①和②错误；
两个数的最小公倍数是能同时被这两个数整除的最小正整数，所以③，都是它们最小公倍数的因数正确；
如果一个数能同时被a和b整除，这个数就是a和b的公倍数，所以④，的乘积一定是它们的公倍数正确；
综上所述，正确说法的序号是③④。
【练习44】若M、N是两个不同的素数，则M和N的最大公因数是1，最小公倍数是MN。( )
【答案】√
【分析】只有1和它本身两个因数的数是素数，两个不同的素数互为互素数，互素数的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。
【详解】已知M、N是不同的素数，二者的公因数只有1，因此最大公因数是1，最小公倍数是M×N＝MN。
故答案为：√
【典型例题45】求下面各组数的最小公倍数。
（1）12和10 （2）9和15 （3）42和7 （4）11和17
【答案】（1）60；（2）45；（3）42；（4）187
【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的质因数与每个数独有的质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。
当两个数是互素数时，它们的最小公倍数是两数的乘积。当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数是较大数。
【详解】（1）12＝2×2×3
10＝2×5
12和10的最小公倍数是2×2×3×5＝60；
（2）9＝3×3
15＝3×5
9和15的最小公倍数是3×3×5＝45；
（3）42和7是倍数关系，所以42和7的最小公倍数是42；
（4）11和17是互素数，所以11和17的最小公倍数是11×17＝187。
【练习45】求下列各组数的最小公倍数。
10和21 15和18 104和182
【答案】210；90；728
【分析】求两个数的最小公倍数，先判断两数关系：若两数公因数只有1（互质），最小公倍数是两数的乘积；若两数不是互质关系，用短除法计算，将所有除数和最后得到的互质的商相乘，结果即为最小公倍数。
【详解】10和21的公因数只有1，是互素数；
10和21最小公倍数为210。
15和18最小公倍数为90。
104和182最小公倍数为728。
【典型例题46】A、B都是非零自然数，如果A÷B＝5，则A与B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】
B
A
【分析】当两个数成倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数，据此解答。
【详解】A、B都是非零自然数，A÷B＝5，所以A是B的倍数，B是A的因数，所以A与B的最大公因数是B，最小公倍数是A。
【练习46】如果，则和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 a b
【分析】当两个数成倍数关系时，较小的数就是这两个数的最大公因数，较大的数就是这两个数的最小公倍数。据此解答。
【详解】4a＝b，说明b是a的倍数，a更小，b更大，因此a和b的最大公因数是a，最小公倍数是b。
【典型例题47】，，则和的最小公倍数是____。
【答案】210
【分析】根据题意，a和b公有的质因数是2和7，各自独有的质因数分别是a的3、b的5。要求最小公倍数，需要把公有质因数和所有独有的质因数全部相乘。
【详解】
所以和的最小公倍数是210。
【练习47】如果A＝2×3×5，B＝2×5×11，那么A和B的最大公因数是( )，A和B的最小公倍数是( )。
【答案】
10
330
【分析】两个数的最大公因数是它们所有公有质因数的乘积，最小公倍数是它们所有公有质因数与各自独有质因数的乘积。
【详解】A和B共有的质因数是2和5，所以最大公因数是：；
A和B的最小公倍数是公有质因数与各自独有质因数的乘积，所以最小公倍数是：。
【典型例题48】A和B都是自然数，已知A＝2×5×M，B＝3×5×M，如果A和B的最大公因数是15，那么它们的最小公倍数是( )。
【答案】
90
【分析】A和B公有质因数的乘积就是A和B的最大公因数，先确定A和B的公有质因数，据此求出M；再根据公有质因数和独有质因数的乘积是A和B的最小公倍数计算。
【详解】A和B的公有质因数是5和M，所以M＝15÷5＝3；
A和B的最小公倍数为：15×2×3＝90。
【练习48】已知a＝2×2×3×m，b＝3×5×m，如果a和b的最大公因数是9，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。
【答案】 3 180
【分析】两个合数分解质因数后，它们的最大公因数，等于这两个数全部公有质因数的连乘积。它们的最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积
【详解】a＝2×2×3×m，b＝3×5×m，公有质因数是3，m，a和b的最大公因数是9
所以
解：
a＝2×2×3×m，b＝3×5×m，公有质因数是3，m（3），a独有质因数是2、2，b独有质因数是5
所以a和b的最小公倍数
【典型例题49】若两个自然数和的关系是：，则和的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．ab D．1
【答案】C
【分析】由a和b是自然数，且a－b＝1，可得a和b是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数为互素数，它们的最小公倍数为两个数的乘积。据此解答。
【详解】因为a和b是相邻的两个自然数（如2和1、3和2等）。相邻的两个自然数，它们的公因数只有1，因此它们为互素数，所以a和b的最小公倍数是a×b＝ab。
【练习49】两个正整数互素，且它们的最小公倍数是35，那么这两个数的和是____。
【答案】12/36
【分析】互素的两个数的最小公倍数等于两数的乘积，所以这两个正整数的乘积为35。对35进行因数分解，列出所有乘积为35的正整数组合。逐一验证每一组数是否满足互素的条件，筛选出符合要求的数对，再分别计算每组数对的和即可。
【详解】35＝1×35，1和35互素，和是1＋35＝36；
35＝5×7，5和7互素，和是5＋7＝12；
所以这两个数的和是12或36。
【典型例题50】如果两个数的最小公倍数是60，最大公因数是10，求这两个数的和。
【答案】70或50
【分析】最大公因数是两个数的公有因数的乘积，最小公倍数是两个数的公有因数和各自独有因数的乘积，所以用最小公倍数除以最大公因数就得到了两个数的独有因数的乘积，进而组合成要求的数即可。
【详解】60÷10＝6，所以两个数的独有因数的乘积是6；
6＝1×6
6＝2×3
当独有因数为1和6时，两个数分别为最大公因数乘1，最大公因数乘6：
10×1＝10
10×6＝60
10＋60＝70
当独有因数为2和3时，两个数分别为最大公因数乘2，最大公因数乘3：
10×2＝20
10×3＝30
20＋30＝50
答：求这两个数的和是70或50。
【练习50】两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少。
【答案】这两个数分别是15和90，或者是30和45
【分析】最大公因数是两个数的公有质因数的积，最小公倍数是两个数的公有质因数和独有因数的积，所以分解最大公因数和最小公倍数找出两个数的公有质因数和独有的因数，并且两个数独有的因数是互质的，即可求出原数。
【详解】15＝3×5
90＝2×3×3×5
3×5×2＝30
3×5×3＝45
答：这两个数分别是15和90，或者是30和45。
【典型例题51】两个整数和为90，最小公倍数为385，则这两个数的最大公因数是____。
【答案】5
【分析】先把最小公倍数385分解质因数5×7×11，1×385＝385，5×77＝385，35×11＝385，7×55＝385；即385的因数有1、5、7、11、35、55、77、385。因为两个整数和为90，最小公倍数为385，那么这两个整数一定是385的因数，因此从385的因数里选，且满足和为90的两数即可。全部公有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数；据此求出这两个整数的最大公因数即可。
【详解】385＝5×7×11
因为1×385＝385，5×77＝385，35×11＝385，7×55＝385
所以385的因数有1、5、7、11、35、55、77、385。
又因为35＋55＝90
所以这两个整数位35和55。
35＝5×7
55＝5×11
35和55的最大公因数为：5；
即两个整数和为90，最小公倍数为385，则这两个数的最大公因数是5。
【练习51】甲乙两个数的差为54，其中甲数是乙数的7倍，甲数和乙数的最小公倍数是( )。
【答案】
【分析】当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数，较小数是最大公因数。
题中两数的差是54，即甲数－乙数＝54，把乙数看作1份，甲数就是7份，则两数相差7－1＝6份，6份对应54，可以先求出1份即乙数。
【详解】乙数：
份数差：7－1＝6
乙数：54÷6＝9
甲数：
甲数是乙数的7倍：9×7＝63
最小公倍数：
甲数63，乙数9，63÷9＝7，两数为倍数关系，则大数是最小公倍数，所以甲数和乙数的最小公倍数是63。
【典型例题52】一根铁丝，如果剪成12厘米长的一段，正好剪完，没有剩余；如果剪成15厘米长的一段，也正好剪完，没有剩余。这根铁丝最短是( )厘米。
【答案】60
【分析】铁丝剪成12厘米一段刚好剪完，说明铁丝长度是12的倍数；剪成15厘米一段也刚好剪完，说明铁丝长度也是15的倍数。求铁丝最短是多少，就是求12和15的最小公倍数。用分解质因数法求最小公倍数。
【详解】12＝2×2×3
15＝3×5
最小公倍数：2×2×3×5＝60
所以这根铁丝最短是60厘米。
【练习52】小丽的爸爸每工作3天休息1天，妈妈每工作4天休息1天。6月1日他们同时在家休息，那么他们下一次同时在家休息是几月几日？
【答案】6月21日
【分析】爸爸工作3天休1天，每4天为一个循环周期；妈妈工作4天休1天，每5天为一个循环周期。要再次同时休息，用分解质因数法求出两个周期的最小公倍数，得到间隔的天数，再在6月1日的基础上加上间隔天数，求出日期。
【详解】爸爸：3＋1＝4（天）
妈妈：4＋1＝5（天）
4和5是互素数，最小公倍数是4×5＝20
说明再过20天，两人会再次同时休息。
6月1日＋20天＝6月21日
答：他们下一次同时在家休息是6月21日。
【典型例题53】五（1）班学生在运动会上进行队列表演，无论是4人一排、6人一排，还是8人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在40～50之间。五（1）班有多少人？
【答案】
48人
【分析】总人数能被4、6、8分别整除，说明总人数是这三个数的公倍数，先找出4、6、8的最小公倍数，三个数其他的公倍数都是最小公倍数的倍数，据此找出三个数在40~50之间的公倍数即可。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
8＝2×2×2
4、6、8的最小公倍数是2×3×2×2＝24
在40~50之间的24的倍数是48。
答：五（1）班有48人。
【练习53】如下图，芳芳在一张长方形纸条上摆小熊卡片，一共摆了三次，每次都正好从纸条的一端摆到另一端且没有剩余。已知小熊卡片长9厘米，宽6厘米，那么这张长方形纸条至少长（ ）厘米。
A．18 B．36 C．45 D．90
【答案】D
【分析】小熊卡片长9厘米，宽6厘米，第一次竖着放，从纸条的一端摆到另一端且没有剩余，说明纸条长度是6的倍数；第二次横着放，从纸条的一端摆到另一端且没有剩余，说明纸条长度是9的倍数；第三次竖、横放，即每次放（厘米）从纸条的一端摆到另一端且没有剩余，说明纸条长度是15的倍数，所以纸条长度是6、9、15的公倍数，求至少多长，就是6、9、15的最小公倍数，用列举法找出6、9、15的最小公倍数即可。
【详解】6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90……
9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90……
15的倍数：15、30、45、60、75、90……
6、9、15的最小公倍数是90，所以这张长方形纸条至少长90厘米。
【典型例题54】李老师买来一些图书。如果平均分给7个班，剩下3本；如果平均分给5个班也剩下3本。那么李老师至少买来( )本书。
【答案】38
【分析】根据题意可知，图书的本数去掉3本后是7和5的公倍数，要求至少买来多少本，即求7和5的最小公倍数，最后加上去掉的3本即可。
【详解】7和5的最小公倍数为7×5＝35；
35＋3＝38（本）
【练习54】每年6月5日是世界环境日，五（1）班同学手工制作了一些保护环境的宣传标语，准备分组进社区张贴。如果每组张贴5条，会剩下2条；如果每组张贴6条，也会剩下2条，那么他们至少制作了( )条标语。
【答案】32
【分析】标语总数减去剩余的2条后，所得的数是5和6的公倍数，要找最少的标语总数，所以需要先求5和6的最小公倍数。用求出的最小公倍数加上剩余的2条，就能得到至少制作的标语数量。
【详解】和是互素数，最小公倍数是：
（条）
【典型例题55】一盒棋子，4颗4颗地数余3颗，6颗6颗地数余5颗，15颗15颗地数余14颗。这盒棋子在150～200颗之间，这盒棋子共有_____________颗。
【答案】
179
【分析】每次数的余数与除数的关系，发现余数均比除数少1。这说明如果棋子总数增加1颗，就能同时被4、6、15整除。因此，棋子总数加1是4、6、15的公倍数。先求出这三个数的最小公倍数，再根据棋子总数在150∼200之间的条件，确定具体的公倍数，最后减去1得到棋子总数。
【详解】由题意可知，余数与除数的差相等：，，，说明棋子总数加1是4、6、15的公倍数。
，，，三个数的最小公倍数是：，
60的倍数有：60、120、180、240…因为棋子总数在150∼200之间，所以棋子总数加1应为180，棋子总数是：（颗）
【练习55】你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带兵打仗，战后剩300余人，清点人数时，令12人一排，少1人，令5人一排，多出4人。韩信马上说出战后人数是( )人。
【答案】359
【分析】12人一排，少1人，即比12的倍数少1；5人一排，多出4人，即比5的倍数也少1；求出12，5的最小公倍数，战后剩300余人，即找出12和5的公倍数在300－400之间的数即可解答。
【详解】12和5的最小公倍数：
12×5＝60
所以，12和5的公倍数在300－400之间的数为：
60×6＝360
360－1＝359（人）
所以，韩信马上说出战后人数是359人。
一、选择题
1．12是36和48的（ ）。
A．最大公因数 B．质因数
C．最小公倍数 D．以上都不正确
【答案】A
【分析】两个数公有的因数叫做这两个数的公因数；其中最大的叫最大公因数。
先分别列举出36和48的因数，再从中找出两者的公因数和最大公因数即可。
【详解】36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；
48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48；
36和48的公因数：1，2，3，4，6，12；
36和48的最大公因数是12。
2．下列说法中，正确的是（ ）。
A．一个自然数，不是素数就是合数。
B．因为4.8÷0.6＝8，所以4.8是0.6的倍数。
C．所有非零自然数，它的最大因数都等于它的最小倍数。
D．两个连续自然数的和一定是偶数。
【答案】C
【分析】整数a÷b＝c，a，b，c都是不为0的自然数，没有余数，b是a的因数。
整数a÷b＝c，a，b，c都是不为0的自然数，没有余数，a是b的倍数。
偶数：能被2整除的自然数。个位：0、2、4、6、8。
奇数：不能被2整除的自然数。个位：1、3、5、7、9。
素数（素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身，还有别的因数。
1既不是素数，也不是合数。
像：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……，这样的数叫做自然数。
【详解】A．自然数1既不是素数也不是合数，错误。
B．因数和倍数仅在非零自然数范围内讨论，和是小数，不适用倍数概念，错误。
C．非零自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，二者相等，正确。
D．两个连续自然数一个为奇数、一个为偶数，，例如，和为奇数，错误。
3．小明爸爸今年a岁，a＝2×3×7，a的因数一共有（ ）个。
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【分析】先算出a的具体数值，再列乘法算式找出它的所有因数，统计因数的总个数即可。
【详解】a＝2×3×7＝42
42＝1×42
42＝2×21
42＝3×14
42＝6×7
42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，共8个。
4．在一次烟花节上，每16秒可以看到一次星星图案的礼花，每24秒可以看到一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少还要过（ ）秒可以再次同时看到这两种图案的礼花。
A．6 B．16 C．24 D．48
【答案】D
【分析】要计算同时看到两种礼花后，再次同时看到的最少间隔时间，本质是求16和24的最小公倍数。
【详解】
24＝2×2×2×3
2×2×2×2×3＝48
至少还要过48秒可以再次同时看到这两种图案的礼花。
5．要使四位数2□5□能同时被2、3、5整除，□里应填（ ）。
A．2，6 B．4，0 C．5，0 D．3，2
【答案】C
【分析】要让四位数2□5□同时被2、3、5整除。同时被2、5整除，个位（第二个方框）必须是0；能被3整除，各数位数字之和得是3的倍数。据此逐个检验选项。
【详解】A．组成2256，个位为6，不能被5整除，排除。
B．组成2450，个位是0，2＋4＋5＋0＝11，11不是3的倍数，不能被3整除，排除。
C．组成2550，个位是0，2＋5＋5＋0＝12，12是3的倍数，同时满足被2、3、5整除，正确。
D．组成2352，个位为2，不能被5整除，排除。
6．下面说法正确的是（ ）。
A．一个自然数，不是素数就是合数。
B．一个自然数的最大因数是9，最小倍数也是9，这个数一定是9。
C．是2的倍数的所有自然数都是合数。 D．两个素数的积也是素数。
【答案】B
【分析】自然数里的1既不符合素数的定义（素数要有2个因数），也不符合合数的定义（合数要有3个及以上因数）；一个自然数的最大因数和最小倍数都是它本身；2是2的倍数，但2是只有1和自身两个因数的素数，不是合数；两个素数的积，除了1和它本身，还有这两个素数作为因数。
【详解】A．自然数1既不是素数也不是合数，因此说法错误。
B．一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，若一个数的最大因数和最小倍数都是9，这个数就是9，因此说法正确。
C．2是2的倍数，但2是素数不是合数，因此说法错误。
D．两个素数的积的因数除了1和它本身，还有这两个素数，因此是合数，例如，6是合数，因此说法错误。
二、填空题
7．因为，所以28是4和7的( )，4和7是28的( )；28一共有( )个因数。
【答案】 倍数 因数
【分析】两个整数相乘等于积，积是这两个整数的倍数，这两个整数是积的因数；找一个数的因数，可以用除法。找出28的因数，再统计个数。
【详解】28是4和7的倍数，4和7是28的因数。
28÷1＝28
28÷2＝14
28÷4＝7
28的因数有1，2，4，7，14，28。共6个。
8．一个数的最大因数是16，那么这个数的最小倍数是( )，写出50以内这个数的所有倍数( )。
【答案】 16 16、32、48
【分析】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身；用这个数依次乘1、2、3…，找出积在50以内的倍数即可。
【详解】根据分析可知，一个数的最大因数是16，那么这个数的最小倍数是16。
16×1＝16，16×2＝32，16×3＝48，16×4＝64，64＞50，所以50以内这个数的倍数有16、32、48。
9．晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了16下开关，这时灯是( )着的。如果再按50下，这时灯是( )着的。（填“开”或“关”）
【答案】 开 开
【分析】明确灯的初始状态以及开关次数与灯的状态变化之间的规律。灯的初始状态是开着的，每按一次开关，灯的状态就会改变一次（开变关，关变开）。由此可知：按奇数次开关，灯的状态与初始状态相反；按偶数次开关，灯的状态与初始状态相同。
【详解】灯原来是开着的。按1下开关，灯变为关；按2下开关，灯变为开；按3下开关，灯变为关；……可以发现：按奇数次开关，灯的状态改变（变为关）；按偶数次开关，灯的状态不变（仍为开）。
弟弟按了16下开关。因为16是偶数，所以灯的状态不变，仍是开着的。
如果再按50下，此时总共按开关的次数为：（下）
因为66是偶数，所以灯的状态不变，仍是开着的。
所以弟弟按了16下开关，这时灯是开着的。如果再按50下，这时好是开着的。
10．要使24是3的倍数，里最小填( )，最大填( )；要使81同时是3和5的倍数，里可以填( )。
【答案】 0 9 0
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数；2、5的倍数特征：个位上是0的数；3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】24 的数字和是 2 ＋ ＋ 4 ＝ 6 ＋，要使 6 ＋ 能被 3 整除，必须是 0、3、6 或 9 等。其中最小是 0，最大是 9。
一个数是 5 的倍数，最后一位只能是 0 或 5；同时也是 3 的倍数，则其数字和能被 3 整除。81最后一位如果是 0 或 5，只有 810 的数字和 8 ＋ 1 ＋ 0 ＝ 9 能被 3 整除，因此 81里只能填 0。
所以要使24是3的倍数，里最小填0，最大填9；要使81同时是3和5的倍数，里可以填0。
11．20以内（包括20）的自然数中，既是奇数，又是素数的数有( )；既是偶数又是合数的数有( )。
【答案】 3、5、7、11、13、17、19 4、6、8、10、12、14、16、18、20
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做素数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】20以内（包括20）的自然数中，既是奇数，又是素数的数有3、5、7、11、13、17、19；既是偶数又是合数的数有4、6、8、10、12、14、16、18、20。
12．三个素数的积是286，这三个素数的和是( )。
【答案】26
【分析】首先把286分解质因数，找到三个素数，然后求和，即可得解。
【详解】
【点睛】此题考查了利用合数分解质因数解决问题的方法。
13．一个数最大因数是48，把这个数分解素因数是( )。
【答案】48＝2×2×2×2×3
【分析】一个数最大因数是它本身；分解质因数就是把一个合数写成几个素数的连乘积形式，用短除法分解质因数即可。
【详解】一个数最大因数是48，所以这个数就是48；
48分解素因数是：48＝2×2×2×2×3
14．如果A＝2×5×7，B＝2×3×5。那么A和B的最大公因数是____________，最小公倍数是___________。
【答案】 10 210
【分析】当两个数已经写成素因数乘积的形式时，最大公因数等于它们所有公有素因数的乘积，最小公倍数等于它们公有素因数与各自独有素因数的乘积。
【详解】A和B的最大公因数是：，最小公倍数是：。
15．若a、b都是大于0的自然数，a÷b＝9，则a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )；b是非0自然数，若a＝b＋1，则a、b的最小公倍数是( )。
【答案】 b a ab
【分析】两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数，最小公倍数为较大的那个数； 两个数为互素数，最小公倍数就是两个数的乘积。
【详解】a÷b＝9，则a和b为倍数关系，a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。
a＝b＋1，则a和b为互素数，a和b的最小公倍数为ab。
16．深圳某科技创新企业研发了42套智能传感器和30套智能控制器，现在要将这两种产品分装到相同的展示盒里，每盒仅装一种产品且数量相同，全部装完无剩余。如果要使每个展示盒装入产品的数量最多，一共需要( )个展示盒。
【答案】12
【分析】题目要求每盒装的产品数量相同、全部装完无剩余，并且每个盒子装的数量要最多，实际就是求42和30的最大公因数。求出每盒最多装几套之后，分别算出两种产品各自需要多少盒子，再把盒子数量相加，得到一共需要的展示盒总数。
【详解】先求42和30的最大公因数：
42＝2×3×7
30＝2×3×5
最大公因数：2×3＝6
也就是每个盒子最多装6套。
智能传感器盒子数：42÷6＝7（个）
智能控制器盒子数：30÷6＝5（个）
总盒子数：7＋5＝12（个）
17．校园手工实践活动中，同学们精心制作传统五谷摆件，若每6个摆件装进一个收纳盒，或是每9个装一盒，都能恰好装满没有剩余。这批摆件总数在个之间，一共有( )个摆件。
【答案】
【分析】根据题意，摆件总数既能被整除，又能被整除，说明总数是和的公倍数。先求出和的最小公倍数，然后找出该最小公倍数的倍数中，位于之间的数即可。
【详解】
18．一堆苹果3个3个地分多1个，5个5个地分多3个，7个7个地分少2个，这堆苹果最少有( )个。
【答案】103
【分析】3个3个地分多1个，意味着苹果数量再加2个就能被3整除。5个5个地分多3个，意味着苹果数量再加2个就能被5整除。7个7个地分少 2 个，意味着苹果数量再加2个就能被7整除。求出3、5、7的最小公倍数，减去2即可。三个数两两互质，最小公倍数是这三个数的积。
【详解】3×5×7－2
＝105－2
＝103（个）
19．根据下面的信息，我知道一共有( )位客人用餐。
今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有宴。津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？
节选自《孙子算经》
上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭。”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？”
【答案】60
【分析】先找2、3、4的最小公倍数是12，把12位客人当作一组，一组的人数÷共用1个饭碗的人数＝这一组用了几个饭碗，一组的人数÷共用1个汤碗的人数＝这一组用了几个汤碗，一组的人数÷共用1个肉碗的人数＝这一组用了几个肉碗，相加得到一组的用碗总个数，碗的总数÷一组的用碗总个数＝组数，组数×每组人数＝客人总数。
【详解】
2、3、4的最小公倍数是：2×1×3×2＝12
12÷2＋12÷3＋12÷4
＝6＋4＋3
＝13（个）
65÷13×12
＝5×12
＝60（位）
三、计算题
20．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
5和11 36和54 16和48
【答案】
和 ：最大公因数 ，最小公倍数 ；
和 ：最大公因数 ，最小公倍数 ；
和 ：最大公因数 ，最小公倍数 。
【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。
【详解】5和11是互素数：两个互质的数（只有1这一个共同因数），最大公因数直接是1，最小公倍数是两个数的乘积，也就是5×11＝55。
36和54是普通的有多个公因数的数：先把两个数分解为素数相乘的形式： ，
最大公因数：；
最小公倍数：
16和48是倍数关系：48是16的3倍，当两个数有倍数关系时，最大公因数是其中较小的数16，最小公倍数是其中较大的数48。
四、解答题
21．我国第一次参加奥运会的年份是一个四位数，如下。我国第一次参加奥运会是哪一年？
①千位上的数字既不是素数也不是合数；
②百位上的数字是一位数中最大的奇数；
③十位上的数字是3的最大因数；
④个位上的数字是最小的素数。
【答案】1932年
【分析】①一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数；一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数，1既不是素数，也不是合数；
②不能被2整除的数叫做奇数，据此找出一位数中最大的奇数。
③一个数，最大的因数是它本身，据此求出3的最大因数。
④一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，最小的素数是2，据此解答。
【详解】①千位上的数既不是素数，也不是合数，这个数是1，千位上的数字是1。
②一位数中最大的奇数是9，百位上的数字是9。
③3的最大因数是3，十位上的数字是3。
④最小的素数是2，个位上的数字是2。
我国第一次参加奥运会是1932年。
答：我国第一次参加奥运会是1932年。
22．插花师计划用6朵百合和15朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？
【答案】3束；5朵
【分析】要使花朵正好全部用完，且每束花中百合、玫瑰的朵数分别相同，花束数量必须是6和15的公因数；求最多的花束数，就是求6和15的最大公因数，两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数；再分别计算每束中两种花的数量，相加得到每束总花数。
【详解】6＝2×3
15＝3×5
6和15的最大公因数是3，最多可以做3束花。
6÷3＝2（朵）
15÷3＝5（朵）
2＋5＝7（朵）
答：最多可以做3束花，这时每束花中有7朵花。
23．有一个直角三角形，它的两条直角边的边长是两个不同的素数，并且和是18厘米，这个三角形的面积可能是多少平方厘米？
【答案】32.5平方厘米或38.5平方厘米
【分析】先找出相加等于18的两组不同素数，再根据直角三角形面积公式：面积＝直角边×直角边÷2求出面积。
【详解】小于18的素数有2、3、5、7、11、13、17，
其中和为18的不同素数组合为：
5＋13＝18
7＋11＝18
5×13÷2
＝65÷2
＝32.5（平方厘米）
7×11÷2
＝77÷2
＝38.5（平方厘米）
答：这个三角形的面积可能是32.5平方厘米或38.5平方厘米。
24．孙悟空回花果山给小猴子带来一些桃子。如果把110个桃子平均分给小猴子，则多5个；如果把240个桃子平均分给小猴子，则还少5个。花果山最多有多少只小猴子？
【答案】35只
【分析】先将桃子数量调整为正好能被小猴子平均分的数量，小猴子的最多数量就是这两个调整后数量的最大公因数。
【详解】110－5＝105（个）
240＋5＝245（个）
105＝3×5×7
245＝5×7×7
105和245的最大公因数是：5×7＝35，所以最多有35只小猴子。
答：花果山最多有35只小猴子。
25．兄弟俩在操场上跑步锻炼，哥哥每4分钟跑一圈，弟弟每6分钟跑一圈，他们同时从起点出发后，哥哥至少跑几圈又能在起点和弟弟相遇？
【答案】3圈
【分析】哥哥每4分钟跑一圈，弟弟每6分钟跑一圈，则他们再次在起点相遇至少经过的时间是4和6的最小公倍数；先求出4和6的最小公倍数，再用这个最小公倍数除以4，即为哥哥至少跑几圈又能在起点和弟弟相遇；据此解答。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。
12÷4＝3（圈）
答：哥哥至少跑3圈又能在起点和弟弟相遇。
26．黄河博物馆是万里黄河的一个缩影，是一座黄河知识宝库。一天，来了83名参观的游客，为了保证讲解效果，讲解员需要将他们分组。
（1）如果讲解员将他们分成两组，第一组的人数为奇数，那么第二组的人数是奇数还是偶数？为什么？
（2）如果讲解员将他们分成三组，第一组和第二组的人数都为奇数，那么第三组的人数是奇数还是偶数？为什么？
【答案】（1）偶数；总人数83是奇数。若第一组人数为奇数，奇数－奇数＝偶数，即83－奇数＝偶数，因此第二组的人数是偶数。
（2）奇数；前两组人数均为奇数，奇数＋奇数＝偶数，总人数83是奇数，
奇数－
【分析】（1）总人数83是奇数，根据奇数的性质：奇数－奇数＝偶数，据此判断第二组是偶数还是奇数。
（2）前两组人数均为奇数，奇数＋奇数＝偶数，总人数83是奇数，奇数－偶数＝奇数，据此判断第三组的人数是偶数还是奇数。
【详解】（1）原因略；
答：第二组的人数是偶数。
（2）原因略；
答：第三组的人数是奇数。
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第七单元：因数与倍数（单元复习讲义）
（思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习）
知识点01：自然数
1、认识自然数
在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4……都叫作自然数。一个物体也没有，用“0”表示。0也是自然数。
0是最小的自然数。没有最大的自然数。
自然数的基本单位是1，每一个自然数都只有一个自然数紧接在它的后面。
知识点02：因数和倍数
1、 意义
自然数a除以自然数b（b不为0），如果商是自然数并且余数为0，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。我们也说a是b的倍数，b是a的因数。
2、因数和倍数存在的条件：被除数、除数和商都是大于0的自然数。
3、因数和倍数是相互依存的，它们都不能单独存在，不能说谁是倍数，谁是因数，应该说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
4、一个数的因数的特点：
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数就是它本身。
5、一个数的倍数的特点：
一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。
【易错点】没理解因数和倍数的互存关系
因数和倍数是相互依存的。在描述一个数的因数或倍数时要说谁是谁的因数或倍数，不能单独说谁是因数或倍数。
【易错点】没理解一个数的因数和倍数的特征
一个数的因数的个数时有限的，一个数的倍数的个数是无限的。
知识点03：2、5、3的倍数
1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。
3、3的倍数的特征：如果一个数各数位上的数之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
4、奇数和偶数
（1）意义：能被2整除的自然数叫作偶数，不能被2整除的自然数叫作奇数。
（2）特点：整数中，最小的偶数是0，最小的奇数是1，偶数和奇数的个数都是无限的，没有最大的偶数和奇数。
（3）运算性质：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数
【易错点】忘记0也是偶数
0是自然数，也是偶数，所以最小的偶数是0，不是2。
【易错点】没掌握3的倍数的特征
只有一个数各数位上的数字的和是3的倍数，这个数才是3的倍数。
知识点04:素数和合数
1、意义
如果一个数只有1和它本身两个因数，那么这个数叫作素数。也叫做素数。如果一个数除了1和它本身以外还有其他的因数，那么这个数叫作合数。1既不是素数，也不是合数。这样，不为0的自然数可以分成三类：1、素数和合数。
2、100以内的素数表（2是唯一的偶素数）
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
【易错点】对素数和奇数的概念理解有误
2是最小的素数，也是素数中唯一的偶数。
知识点05：分解素因数
1、 分解素因数的意义
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫作这个合数的素因数。把一个合数写成几个素因数相乘的形式，叫作分解素因数。
2、 分解素因数的方法：树枝分解法和短除法。
3、 用短除法分解素因数的步骤如下：
（1） 用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2） 得到的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到商是素数为止；
（3） 把各个除数与最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。
知识点06:公因数与最大公因数
1、 公因数与最大公因数的意义
几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。
每个数的因数的个数都是有限的，因此两个数或多个数的公因数的个数也是有限的。
2、 互素
如果两个数的最大公因数是1，那么称这两个数互素。
【易错点】对互素关系理解不全面
如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1。两个合数也有可能是互素的。
3、 求两个数的最大公因数
（1）求两个数的最大公因数，只要把它们全部公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。
（2）如果两个数中一个数是另一个数的倍数，那么较小的数就是它们的最大公因数。
（3）如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1。
知识点07:公倍数与最小公倍数
1、公倍数与最小公倍数的意义
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。
2、 求两个数的最小公倍数
（1）求两个数的最小公倍数，先找出它们公有的素因数，再找出它们各自剩余的素因数，把这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数中一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
（3）如果两个数互素，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。
考点1：自然数
【典型例题1】DeepSeek是一款AI智能助手，如果对它说请按从小到大的顺序写出自然数，那么它能写出的最小自然数是_______。它能写出最大的自然数吗？_______（填“能”或“不能”），理由是__________________________________。
【练习1】下面关于自然数的说法错误的是（ ）。
A．所有的自然数都是整数 B．没有最大的自然数
C．自然数的个数是无限的 D．所有的自然数都比0大
【典型例题2】雯雯有一个密码锁，它的密码是一个八位数，这个八位数最高位上的数字是5，百万位和十位上的数字都是最小的自然数，万位上的数字比十位上的数字大3，其他数位上的数字都是8。这个密码锁的密码是( )。
【练习2】一个七位数，个位上是2，它的十位上是最小的自然数，百位上的数字是个位上数字的4倍，百万位上的数字是个位上数字的2倍，其余数位上的数字都是0.这个七位数是多少？
【典型例题3】西西写出一个自然数，各个数位上数字的和是18，且各个数位上的数字都不相同。符合条件的最大数是多少？最小数呢？
【练习3】一个数，各数位上的数字之和是33，且每个数位上的数字互不相同。这个数最大是多少？最小是多少？
考点2：因数和倍数
【典型例题4】算式56÷7＝8，其中( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。
【练习4】下面的说法中，正确的是（ ）。
A．8是48的倍数 B．27是9的因数
C．一个数的因数的个数是有限的 D．15×4＝60，所以15是60的因数，也是4的倍数
【典型例题5】判断：因为0.3×2.1＝0.63，所以0.63是0.3和2.1的倍数。( )
【练习5】判断：因为0.5×9＝4.5，所以0.5和9是4.5的因数，4.5是0.5和9的倍数。( )
【典型例题6】写出下面各数的因数。
(1)15的因数有：( )。
(2)24的因数有：( )。
(3)38的因数有：( )。
【练习6】用24个小正方形拼长方形，共_______种拼法；24的全部因数：________________。
【典型例题7】五（1）班有48人参加实践活动，老师想将学生分成人数相等的小组（每组至少2人，至少分为两组）。老师可以有（ ）种不同的分法。
A．7 B．8 C．9 D．10
【练习7】朱老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知朱老师和同学们每个人植树的棵数相同，一共植树111棵，求有多少名学生？
【典型例题8】30以内5的全部倍数有（ ）。
A．1、5、10、15、20 B．5、10、15、20、25、30 C．5、10、20、30
【练习8】把下面的数按要求分一分。
12 24 6 27 54 18
36 9 72 42 45 63
6的倍数
9的倍数
同时是6和9的倍数
【典型例题9】20的因数有( )个，其中最小的因数是( )，最大的因数是( )，它最小的倍数是( )。
【练习9】如果a的最大因数是13，b的最小倍数是1，a＋b＝( )，a＋b的因数有( )，a－b的因数有( )，a×b＝( )，a×b的因数有( )。
【典型例题10】一个数，既是40的因数，又是5的倍数。这个数可能是( )。
【练习10】在4、5、8、16、24、40中，既是40的因数又是8的倍数的有：__________________________。
【典型例题11】课间小朋友在玩“猜7”游戏，游戏规则是从1开始每人报一个数：1，2，3，4，……你要报的数不是7的倍数时，就大声说出这个数，是7的倍数时，就拍手。从50到90的报数过程中，有6个小朋友拍了手（期间没有小朋友重复拍手），你认为他们拍手的次数对吗？为什么？
【练习11】乐乐到花店买了3盆价格相同的马蹄莲，单价是整数，付给营业员100元，找回12元，乐乐说营业员算错了，营业员一查，发现多算了，多算的钱数是一个一位数的偶数，一盆马蹄莲的价格是多少元？
考点3：2、5、3的倍数
【典型例题12】下面的数中，5的倍数有_____________，2的倍数有_____________。3的倍数有_____________。既是2的倍数，又是5的倍数的有_____________。
【练习12】分一分。
15 24 20 48 90 55 68 82 95 100
【典型例题13】三位数7，要使它是3和5的倍数，这样的三位数有________个；要使它是2、3、5的倍数，第1个里可以填________。
【练习13】按要求填一填。
（1）37□既是2的倍数，又是3的倍数，□里可以填（ ）。
（2）2□0既是5的倍数，又是3的倍数，□里可以填（ ）。
（3）在□里各填一个数字，使这些数都是3的倍数。
7 4 2 0 44 12 1
【典型例题14】一个是奇数的两位数，个位上的数与十位上的数的积是14，这个两位数是（ ）。
A．14 B．41 C．27 D．72
【练习14】我是一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，和是11，我是( )。
【典型例题15】a是偶数，b是奇数，下面的式子中，结果一定是偶数的是（ ）。
A．a＋b B．a－b C．a×b D．a÷b
【练习15】a是一个偶数，b是一个奇数。下面算式中，结果一定是奇数的是（ ）。
A．3ab＋2 B． C．2（a＋b） D．5a＋4b
【典型例题16】三个连续的偶数的和是78，这三个连续的偶数依次分别是多少？
【练习16】三个连续奇数的和是279，这三个奇数分别是多少？
【典型例题17】1＋3＋5＋7＋9＋……＋99这道算式的和是( )。（填“奇数”或“偶数”）
【练习17】判断：的和是偶数。( )
【典型例题18】王老师买了45个乒乓球分装在甲、乙两个袋子里。如果甲袋装的个数为偶数，那么乙袋装的个数是偶数还是奇数？
【练习18】爷爷在菜地里摘了26棵白菜，小华帮忙把这些白菜装在5个竹筐里，爷爷要求每个竹筐里装的个数不同，并且个数都是奇数，按照爷爷的要求，小华能做到吗？为什么？
【典型例题19】五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？
【练习19】八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推，在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数1、1、2、3、5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项所得商都接近0.618，所以称“黄金分割数列”。
（1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、（ ）、（ ）、…
（2）这组数的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。
【典型例题20】在3、5、0、6四个数字中任选三个组成三位数。
(1)有因数3的最大数是( )；
(2)同时是2和5的倍数的最小的数是( )；
(3)同时是2和3的倍数的最大的数是( )；
(4)同时是2、3和5的倍数的最小的数是( )。
【练习20】从数字中任选三个组成三位数。（每个数字只能用一次）
(1)摆出既是2的倍数又是3的倍数的最大三位数：( )。
(2)摆出既是2的倍数又是5的倍数的最小三位数：( )。
(3)摆出既是2的倍数又是3和5的倍数的最大三位数是( )，最小三位数是( )。
【典型例题21】在数字王国中，国王设置了一道关卡，只有找到同时是2、3和5的倍数的神秘数字组合，才能顺利通关。每个组合都由数字和字母“”构成（“”代表任意非零自然数，且同一个组合中所有“”数值相同），以下（ ）是正确的通关密钥。
A．数字精灵排列出的组合： B．神秘石碑上刻着的组合：
C．智慧之门旁闪烁的组合： D．古老卷轴上记载的组合：
【练习21】w表示1～9中任意一个自然数，下面的五位数中，有（ ）个数一定既是2的倍数又是3的倍数。
w0www www00 ww0w0 w0w0w
A．1 B．2 C．3 D．4
【典型例题22】一筐苹果有若干个（少于60个），2个2个地数正好数完，3个3个地数正好数完，5个5个地数也正好数完。这筐苹果可能有（ ）个。
A．20 B．30 C．45 D．50
【练习22】滨湾小学五年级科技小组的130名学生到深圳科技馆参观，他们分组体验地震逃生演习，如果每组2人，能正好分完吗？每组3人呢？每组5人呢？为什么？请分别说明理由。
考点4：素数和合数
【典型例题23】一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做( )；在8、11、15、19中，素数有( )个；最小的合数是( )。
【练习23】( )既不是素数，也不是合数；既是素数，又是偶数的数是( )；合数中最小的奇数是( )。
【典型例题24】将所有的非零自然数按照因数的个数分类，可以用图（ ）表示。
A． B．C． D．
【练习24】笑笑总结倍数和因数系列知识后，得出非零自然数按因数的个数分，可分为（ ）。
A．奇数和偶数 B．素数和合数 C．素数，合数和1 D．素数，合数和0
【典型例题25】猜我是谁。数宝宝可能是下面四个选项中的（ ）。
A．19 B．15 C．17 D．11
【练习25】校园里举办“数字寻宝”的数学周活动，五（1）班寻找到的宝箱密码有两个信息：①个位数字和十位数字加起来是素数；②密码本身是合数。符合条件的密码是（ ）。
A．61 B．63 C．65 D．67
【典型例题26】一个四位数，千位上数字是10以内最大的偶数，百位上数字是最小的素数，十位上数字是最小合数，个位上数字既不是素数也不是合数，这个四位数是( )。
【练习26】张阿姨家的电话号码是一个8位数，从前到后依次排列为：6的最大因数、7的最小倍数、最小的素数、最小的合数、最小的奇数、8的最小因数、最大的一位数、既不是素数也不是合数的非0自然数。张阿姨家的电话号码是多少？
【典型例题27】已知m、n都是素数，m＋n＝31，那么m×n＝( )。
【练习27】著名的哥德巴赫猜想中提到：任意一个大于2的偶数，一定能写成两个素数相加的和。利用这一猜想，拆分下面的偶数：20＝( )＋( )，28＝( )＋( )，34＝( )＋( )。
【典型例题28】小雅收到好朋友寄来的一张长方形的风景卡片，其周长是40厘米，长和宽中的长度有一个是素数、有一个是合数，这个长方形卡片的面积最大是多少平方厘米？
【练习28】（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是素数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？
（2）花坛里有两种花，一种花的数量是素数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是素数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？
【典型例题29】读一读、写一写。（有几个写几个）
如果一个奇素数（既是奇数又是素数）除以4，余1，那么这个奇素数可以写成“”的形式。这是由法国著名数学家费马提出的平方和定理。例如：29是一个奇素数，29÷4＝7……1，那么29可以写成“”的形式。请你找一找，20以内符合费马平方和定理的奇素数，并用“（ ）＝（ ）2＋（ ）2”的形式写下来。
【练习29】材料一：“孪生素数”是指相差为2的两个素数，如3和5都是素数，且5－3＝2，所以3和5就是一对“孪生素数”。
材料二：如果有间隔为2的连续的三个素数，我们称之为“三胞胎素数”；如果出现两组连续的“孪生素数”，即一组符合（P，P＋2，P＋6，P＋8）形式的素数，我们称之为“四胞胎素数”。
（1）写出20以内所有的“孪生素数”。
（2）请分别写一组“三胞胎素数”和“四胞胎素数”。
三胞胎素数：（ ） 四胞胎素数：（ ）
（3）若（a，b，c）是一组“三胞胎素数”，则a＋b＋c的和是（ ）。（填“奇数”或“偶数”）
考点5：分解素因数
【典型例题30】将28分解质因数的正确形式是（ ）。
A．28＝4×7 B．28＝1×2×2×7 C．2×14＝28 D．28＝2×2×7
【练习30】36的因数中最大的是( )，将最大因数分解质因数为( )。
【典型例题31】84分解素因数后，所有的素因数的和是____。
【练习31】数255的质因数分解中，最大的质因数是_________。
【典型例题32】已知甲数是2×3×7，那么甲数的因数共有( )个。
【练习32】已知A＝2×3×5，则A有_______个因数。
【典型例题33】小红在数学课外阅读中认识了“史密斯数”。如：，，即27是“史密斯数”：，，，而，即51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。那么，在4、15、22、56这四个数中，符合“史密斯数”特征的有( )。
【练习33】“质因数”源于“素数”和“因数”两个概念，是素数和因数的组合体。从“质因数”的视角研究数的组成，我们会发现一个数的因数就是由其所含有的质因数决定的（如表）。
例如12＝2×2×3＝22×3，那么20，21，22分别与30，31两两相乘会产生6个不同的数，即20×30＝1；20×31＝3；21×30＝2；21×31＝6；22×30＝4；22×31＝12。所以12的因数有1，2，3，4，6，12这6个数。（任何非零数的零次方都等于1）
根据这个方法，你觉得求得1323的因数一共有多少个？并说明理由。
【典型例题34】请将下列8个数平均分成两组，使每组4个数的乘积恰好相等：14、21、24、35、42、48、50、125。
【练习34】将14，30，35，75这四个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。你知道怎样分组吗？请写出分组方法。
【典型例题35】四个连续自然数的乘积是360，这四个自然数分别是多少？
【练习35】有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，他们的年龄相乘的积等于840，这4个孩子的年龄从小到大分别是多少？
考点6：公因数与最大公因数
【典型例题36】下面各组数中，最大公因数肯定是1的一组是（ ）。
A．素数与合数 B．偶数与偶数 C．素数与素数 D．奇数与偶数
【练习36】下面各组数中，（ ）的最大公因数是1。
A．45和24 B．19和76 C．39和40 D．39和13
【典型例题37】求下列各组数的最大公因数。
14和98 48和108 56，84和210
【练习37】用短除法求下面每组数的最大公因数。
66和24 39和52 48和56
【典型例题38】已知，所以48与72的最大公因数是（ ）。
A．4 B．6 C．12 D．24
【练习38】已知，所以60与45的最大公因数是（ ）。
A．6 B．10 C．15 D．30
【典型例题39】已知a÷b＝8（a、b均为非0自然数），则a和b的最大公因数是（ ）。
A．a B．b C．8
【练习39】如果y是x的倍数（x、y是不为0的自然数且x、y不相等），那么x、y的最大公因数是（ ）。
A．x B．y C．10 D．xy
【典型例题40】，，如果和的最大公因数是27，那么是( )。
【练习40】已知A＝2×3×m，B＝3×5×m，A、B的最大公因数是33，m是( )。
【典型例题41】判断：最小的素数与最小的合数是互素数。( )
【练习41】和是两个连续的自然数，它们的公因数是（ ）。
A．1 B． C． D．ab
【典型例题42】明明家要将长4.8米，宽4米的卧室重新铺地砖，要想正方形的瓷砖都用整块且正好铺完，瓷砖的边长最长是( )分米，至少需要( )块。
【练习42】幼儿园老师买了18个橘子，36个苹果，54个梨，分别平均分给班上每位小朋友，正好分完，这个班最多有多少位小朋友？每位小朋友分到橘子，苹果、梨各多少个？
【典型例题43】把46颗水果糖和38颗巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1颗，巧克力剩2颗，这个组最多有几位同学？每位同学分到的水果糖和巧克力各多少颗？
【练习43】阅读社团借阅图书，若借35本，平均分发给每人还差1本；若借56本，平均分发给每人还剩2本；若借69本，平均分发给每人还差3本；这个社团最多有（ ）人。
A．36 B．9 C．12 D．18
考点7：公倍数与最小公倍数
【典型例题44】已知两个不同的正整数，，下列四个说法：①若，有公因数1，则它们一定互素；②，互素就没有公因数；③，都是它们最小公倍数的因数；④，的乘积一定是它们的公倍数，其中正确说法的序号是____。
【练习44】判断：若M、N是两个不同的素数，则M和N的最大公因数是1，最小公倍数是MN。( )
【典型例题45】求下面各组数的最小公倍数。
（1）12和10 （2）9和15 （3）42和7 （4）11和17
【练习45】求下列各组数的最小公倍数。
10和21 15和18 104和182
【典型例题46】A、B都是非零自然数，如果A÷B＝5，则A与B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【练习46】如果，则和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【典型例题47】，，则和的最小公倍数是____。
【练习47】如果A＝2×3×5，B＝2×5×11，那么A和B的最大公因数是( )，A和B的最小公倍数是( )。
【典型例题48】A和B都是自然数，已知A＝2×5×M，B＝3×5×M，如果A和B的最大公因数是15，那么它们的最小公倍数是( )。
【练习48】已知a＝2×2×3×m，b＝3×5×m，如果a和b的最大公因数是9，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。
【典型例题49】若两个自然数和的关系是：，则和的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．ab D．1
【练习49】两个正整数互素，且它们的最小公倍数是35，那么这两个数的和是____。
【典型例题50】如果两个数的最小公倍数是60，最大公因数是10，求这两个数的和。
【练习50】两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少。
【典型例题51】两个整数和为90，最小公倍数为385，则这两个数的最大公因数是____。
【练习51】甲乙两个数的差为54，其中甲数是乙数的7倍，甲数和乙数的最小公倍数是( )。
【典型例题52】一根铁丝，如果剪成12厘米长的一段，正好剪完，没有剩余；如果剪成15厘米长的一段，也正好剪完，没有剩余。这根铁丝最短是( )厘米。
【练习52】小丽的爸爸每工作3天休息1天，妈妈每工作4天休息1天。6月1日他们同时在家休息，那么他们下一次同时在家休息是几月几日？
【典型例题53】五（1）班学生在运动会上进行队列表演，无论是4人一排、6人一排，还是8人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在40～50之间。五（1）班有多少人？
【练习53】如下图，芳芳在一张长方形纸条上摆小熊卡片，一共摆了三次，每次都正好从纸条的一端摆到另一端且没有剩余。已知小熊卡片长9厘米，宽6厘米，那么这张长方形纸条至少长（ ）厘米。
A．18 B．36 C．45 D．90
【典型例题54】李老师买来一些图书。如果平均分给7个班，剩下3本；如果平均分给5个班也剩下3本。那么李老师至少买来( )本书。
【练习54】每年6月5日是世界环境日，五（1）班同学手工制作了一些保护环境的宣传标语，准备分组进社区张贴。如果每组张贴5条，会剩下2条；如果每组张贴6条，也会剩下2条，那么他们至少制作了( )条标语。
【典型例题55】一盒棋子，4颗4颗地数余3颗，6颗6颗地数余5颗，15颗15颗地数余14颗。这盒棋子在150～200颗之间，这盒棋子共有_____________颗。
【练习55】你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带兵打仗，战后剩300余人，清点人数时，令12人一排，少1人，令5人一排，多出4人。韩信马上说出战后人数是( )人。
一、选择题
1．12是36和48的（ ）。
A．最大公因数 B．质因数
C．最小公倍数 D．以上都不正确
2．下列说法中，正确的是（ ）。
A．一个自然数，不是素数就是合数。
B．因为4.8÷0.6＝8，所以4.8是0.6的倍数。
C．所有非零自然数，它的最大因数都等于它的最小倍数。
D．两个连续自然数的和一定是偶数。
3．小明爸爸今年a岁，a＝2×3×7，a的因数一共有（ ）个。
A．3 B．5 C．7 D．8
4．在一次烟花节上，每16秒可以看到一次星星图案的礼花，每24秒可以看到一次花朵图案的礼花。在同时看到这两种礼花后，至少还要过（ ）秒可以再次同时看到这两种图案的礼花。
A．6 B．16 C．24 D．48
5．要使四位数2□5□能同时被2、3、5整除，□里应填（ ）。
A．2，6 B．4，0 C．5，0 D．3，2
6．下面说法正确的是（ ）。
A．一个自然数，不是素数就是合数。
B．一个自然数的最大因数是9，最小倍数也是9，这个数一定是9。
C．是2的倍数的所有自然数都是合数。 D．两个素数的积也是素数。
二、填空题
7．因为，所以28是4和7的( )，4和7是28的( )；28一共有( )个因数。
8．一个数的最大因数是16，那么这个数的最小倍数是( )，写出50以内这个数的所有倍数( )。
9．晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了16下开关，这时灯是( )着的。如果再按50下，这时灯是( )着的。（填“开”或“关”）
10．要使24是3的倍数，里最小填( )，最大填( )；要使81同时是3和5的倍数，里可以填( )。
11．20以内（包括20）的自然数中，既是奇数，又是素数的数有( )；既是偶数又是合数的数有( )。
12．三个素数的积是286，这三个素数的和是( )。
13．一个数最大因数是48，把这个数分解素因数是( )。
14．如果A＝2×5×7，B＝2×3×5。那么A和B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
15．若a、b都是大于0的自然数，a÷b＝9，则a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )；b是非0自然数，若a＝b＋1，则a、b的最小公倍数是( )。
16．深圳某科技创新企业研发了42套智能传感器和30套智能控制器，现在要将这两种产品分装到相同的展示盒里，每盒仅装一种产品且数量相同，全部装完无剩余。如果要使每个展示盒装入产品的数量最多，一共需要( )个展示盒。
17．校园手工实践活动中，同学们精心制作传统五谷摆件，若每6个摆件装进一个收纳盒，或是每9个装一盒，都能恰好装满没有剩余。这批摆件总数在个之间，一共有( )个摆件。
18．一堆苹果3个3个地分多1个，5个5个地分多3个，7个7个地分少2个，这堆苹果最少有( )个。
19．根据下面的信息，我知道一共有( )位客人用餐。
今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有宴。津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？
节选自《孙子算经》
上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭。”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？”
三、计算题
20．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
5和11 36和54 16和48
四、解答题
21．我国第一次参加奥运会的年份是一个四位数，如下。我国第一次参加奥运会是哪一年？
①千位上的数字既不是素数也不是合数；
②百位上的数字是一位数中最大的奇数；
③十位上的数字是3的最大因数；
④个位上的数字是最小的素数。
22．插花师计划用6朵百合和15朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？
23．有一个直角三角形，它的两条直角边的边长是两个不同的素数，并且和是18厘米，这个三角形的面积可能是多少平方厘米？
24．孙悟空回花果山给小猴子带来一些桃子。如果把110个桃子平均分给小猴子，则多5个；如果把240个桃子平均分给小猴子，则还少5个。花果山最多有多少只小猴子？
25．兄弟俩在操场上跑步锻炼，哥哥每4分钟跑一圈，弟弟每6分钟跑一圈，他们同时从起点出发后，哥哥至少跑几圈又能在起点和弟弟相遇？
26．黄河博物馆是万里黄河的一个缩影，是一座黄河知识宝库。一天，来了83名参观的游客，为了保证讲解效果，讲解员需要将他们分组。
（1）如果讲解员将他们分成两组，第一组的人数为奇数，那么第二组的人数是奇数还是偶数？为什么？
（2）如果讲解员将他们分成三组，第一组和第二组的人数都为奇数，那么第三组的人数是奇数还是偶数？为什么？
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