精品解析：浙江宁波市象山县第三中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026学年第一学期象山三中高二第一次月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 不存在 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线，垂直于轴的直线，所以倾斜角为. 2. 已知椭圆两个焦点为，点P在椭圆C上，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆的标准方程，可得，又，故. 根据椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值， 即对椭圆上的点，有. 因为，所以. 3. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设与直线平行的直线方程为，， 直线过点，将点的坐标代入得： ，解得. 因此所求直线方程为. 4. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线与抛物线交于两点，且， 根据抛物线的对称性可以确定，所以， 代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 5. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质，利用已知条件得出，再区分焦点x轴、y轴两类讨论求． 【详解】由题意知，，则有， 当焦点在轴时，，则，解得；符合， 当焦点在轴时，，则，解得；符合， 综上可得，m的值为或． 6. 双曲线的一条弦的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设弦端点，，中点，故， 点在双曲线上，满足方程， 两式作差并整理得：， 故，经检验符合题意． 7. 已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称求解圆的圆心，进而根据对称，结合三点共线即可求解. 【详解】如图，作圆关于直线对称的圆， 设，则，解得，则 连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为， 则（当M，，共线时取等号）， （当M，，共线时取等号）， 由于，则， 因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3. 8. P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，设，，延长交于A， 由题意知，O为的中点，故为中点， 又，即，则， 又由，则是等腰直角三角形， 故有，化简得，即， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（ ） A. 实轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相同 D. 渐近线相同 【答案】BD 【解析】 【详解】，， 不妨设， 的实轴长分别为，不相等，故A错误； 的焦距分别为，相等，故B正确； 的离心率分别为，不相同，故C错误； 的渐近线分别为，相同，故D正确． 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为1 C. 面积的最大值为 D. 存在点P，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，找出，，；对于A选项，利用椭圆的定义即可求解；对于B选项，分析出点在左顶点时，取最小值，计算即可；对于C选项，表示出的面积，，分析出，计算即可得的面积的最大值；对于D选项，假设点存在，设，将转化为，计算求. 【详解】椭圆，则，，， 所以，，，，， 对于A选项，由椭圆的定义可得，，故A正确； 对于B选项，当点在左顶点时，取最小值， 左顶点，此时，故B正确； 对于C选项，， ，， 所以，故C正确； 对于D选项，假设存在点，使得， 设点，则 因为，所以， ，， 由得，， 整理得，，则， 代入， 可得，解得，无实数解， 说明点不存在，故D错误. 11. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，交轴于点；过点作直线的平行线，交轴于点．则的值可能为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】CD 【解析】 【分析】先求出抛物线焦点，设点，设直线，联立求出点，设出处切线，求出点，利用平行条件得到直线方程求出点，最后用含的式子表达，再结合基本不等式求解即可. 【详解】根据已知，抛物线焦点. 若过焦点的直线为，则该直线与抛物线相交于一点，不满足题意，故舍去. 因此设过焦点的直线为，点. 联立直线和抛物线，得，化简得， 所以，，所以点. 设在点处的切线方程为，则， 化简得， 因为，则， 所以在点处的切线方程为，即. 令，则，所以，则. 过点作直线的平行线，则,所以直线的方程为， 令，则，所以，则， 所以， 当且仅当时等号成立，所以，故选项CD符合题意. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式可求解. 【详解】由平行线间的距离公式可得：, 所以两平行直线与之间的距离为3. 13. 已知直线：，圆．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合圆上恰有三个点到直线距离为的几何性质推导半径的取值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由圆C上恰有三个点到直线l的距离为， 圆心到直线的距离， 故与平行且距离为的两条直线中，一条过圆心与圆相交（交于2个点）， 另一条与圆相切（交于1个点）， 此时满足半径. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为．若存在一条过的直线，与双曲线C的左支交于两个不同的点，且的周长为焦距的3倍，则双曲线C的离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线定义结合周长条件求出焦点弦长，借助同支焦点弦中通径最短的性质建立不等关系，进而求解离心率范围. 【详解】 因为都在双曲线左支上，所以由双曲线的定义可得：，， 两式相加得：，即. 因为同在左支，所以焦点弦长，因此的周长为： . 因为的周长为焦距的3倍，所以，即. 过左焦点且与双曲线左支交于两个不同点的弦中，通径最短，且通径长度为， 因此弦长必须满足：，即 ， 两边同除以，结合离心率公式，整理得：. 又，所以，故双曲线C的离心率的取值范围为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点、是圆的一条直径的两个端点． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆C的切线，求切线所在的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直径端点坐标求得圆心和半径得到圆的标准方程； （2）分切线斜率存在、不存在两类，利用圆心到切线的距离等于半径求解切线方程. 【小问1详解】 由点、是圆的一条直径的两个端点， 则点为中点，故，又， 则圆半径为，故圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线斜率存在时，设为，即， 则有，解得， 即切线所在的直线方程为； 当切线斜率不存在时，直线方程为， 点到直线的距离为，符合切线定义； 综上所述：切线的直线方程为或. 16. 已知点，直线，直线． （1）求过点且与直线垂直的直线方程； （2）求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 直线，可化为，斜率. 设所求直线斜率为，两条直线垂直，则， ，解得. 又因为直线过点， 所求直线方程为：， 即. 【小问2详解】 联立， 解得，所以交点为，该点在对称直线上. 在直线上取一点，设关于的对称点为. 中点在上，且. 所以，解得 即. 直线过，， 斜率. 所以直线的方程为：， 即. 17. 已知双曲线的离心率为，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线过且与双曲线交于两点，求直线l的斜率k的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的倾斜角为，点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）的取值范围是 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用离心率得到，再将已知点代入双曲线方程求出参数，得到标准方程. （2）设出过定点的直线方程，和双曲线联立，转化为一元二次方程，结合二次项系数不为、判别式大于求解斜率范围. （3）先由倾斜角写出直线方程，联立双曲线求出弦长，设，求出点到直线的距离，利用三角形面积公式列方程求解. 【小问1详解】 由离心率，得. 又，代入得，所以. 双曲线方程化为，将点代入， ，解得，. 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立， 消去，整理得. 因为直线与双曲线交于两个点，所以 由，得. 由， 得. 综上所得，的范围是. 【小问3详解】 直线倾斜角为，斜率， 直线：，整理为. 联立， 代入化简得，即. 设，， ，. 所以 . 设，点到直线：的距离 . ， 得，. 解得或. 所以坐标为或. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点P是椭圆C上异于顶点的一点，当时，的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与椭圆C交于另一点A，且，求直线的斜率； （3）若，椭圆C上两个互不相同且均异于P的动点满足直线与的倾斜角互补，设线段的中点为G．证明：G在一条定直线上运动． 【答案】（1） （2） （3）证明：由直线与倾斜角互补，得两条直线的斜率互为相反数， 设直线的斜率为，则直线的斜率为. 设直线的方程为，联立，将代入椭圆的方程， 消去并整理得：.  由题意，点是直线与椭圆的一个交点，因此是方程的一个根. 设点的横坐标为，由韦达定理得：，解得， 代入直线方程得，即 . 将替换为，同理得点的坐标：，. 设中点，由中点坐标公式：， . 消去参数，对的分子因式分解得， 又，代入可得即. 故中点恒在定直线上运动. 【解析】 【分析】（1）由焦距得到，利用垂直条件与三角形面积得到的等量关系，结合解出参数，求得椭圆方程； （2）由向量条件得到坐标之间的关系式，将直线与椭圆联立，借助韦达定理求出两点横坐标，再利用两根之积建立关于斜率的方程，求解得到直线的斜率； （3）由倾斜角互补得到两直线斜率互为相反数，分别设出直线并联立椭圆，利用韦达定理求出横坐标，写出中点的参数坐标，消去参数，推导出中点满足的定直线方程，完成证明. 【小问1详解】 由，得焦距即，故焦点坐标为，且. 当时，的横坐标为，代入椭圆方程得. 的面积，即. 联立，.解得或（舍），故，， 因此椭圆标准方程为. 【小问2详解】  设直线的方程为，设，. 由向量条件​得：，即，. 将直线与椭圆联立：，消去得：. 由韦达定理：​，. 结合，代入韦达定理的和：，得​， 所以. 代入​的表达式得，去分母得， 整理得，解得.经检验，都满足题意. 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线的顶点为O，准线与x轴交于点K．以K为圆心、为半径作圆．直线l与抛物线C交于两点，若． （1）证明：直线过定点； （2）记点在x轴上的投影分别为，且．过分别作圆的切线，且切点分别位于x轴两侧，设直线交于点P．求动点P的轨迹方程，并注明取值范围； （3）在（2）的情况下，若，求弦的长度． 【答案】（1）因为直线l与抛物线C交于两点， 所以设直线的方程为，代入抛物线方程， 整理得， 由韦达定理得 ， 因为，因此，解得， 故直线的方程为，无论取何值，当时，， 所以直线恒过定点. （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）设直线方程并联立抛物线，利用韦达定理结合已知纵坐标乘积求出截距，确定定点坐标；（2）由切线的距离条件构造关于横坐标的二次方程，结合抛物线点的坐标关系消参，再根据几何约束确定取值范围； （3）利用距离平方比结合的定值条件，推出横坐标的比例关系，进而结合韦达定理求参数，代入弦长公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由抛物线得准线为，故，所以圆的方程为，圆心 ，半径 ， 在轴上的投影为、，设， 直线、均为圆的切线， 设交点 ， 轴上任意切点弦端点为 （对应题目中的 或，即 或 ）， 直线过两点 和 ，斜率为 所以直线的方程为，整理得， 因为直线与圆相切， 所以圆心 到直线的距离为 ， 等式两边同时平方，得，故， 分别展开左右两边得， 整理得的一元二次方程为，所以， 因为过 、 的两条切线都经过点 ， 所以 和 就是上述方程的两个实根， 所以由韦达定理得， 由 在抛物线上，，， 结合 ，得：，因此 ，化简得 ， 切点 在 轴两侧，故两条切线斜率一正一负， 的横坐标需介于 之间， 又 ，因此 ； ，得，结合，； 所以，且此时满足，且， 综上，， 设，则动点的轨迹方程为. 【小问3详解】 由得， ， 由两点间距离公式得， 结合和， ， 同理， 因此，即， 结合，得，解得，，故， 由直线过，设，联立抛物线得， 则，解得， 故， 代入，，得， 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期象山三中高二第一次月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 不存在 D. 2. 已知椭圆两个焦点为，点P在椭圆C上，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 双曲线的一条弦的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 8. P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（ ） A. 实轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相同 D. 渐近线相同 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为1 C. 面积的最大值为 D. 存在点P，使得 11. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，交轴于点；过点作直线的平行线，交轴于点．则的值可能为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为______． 13. 已知直线：，圆．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则______． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为．若存在一条过的直线，与双曲线C的左支交于两个不同的点，且的周长为焦距的3倍，则双曲线C的离心率的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点、是圆的一条直径的两个端点． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆C的切线，求切线所在的直线方程． 16. 已知点，直线，直线． （1）求过点且与直线垂直的直线方程； （2）求直线关于直线对称的直线的方程． 17. 已知双曲线的离心率为，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线过且与双曲线交于两点，求直线l的斜率k的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的倾斜角为，点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点P是椭圆C上异于顶点的一点，当时，的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与椭圆C交于另一点A，且，求直线的斜率； （3）若，椭圆C上两个互不相同且均异于P的动点满足直线与的倾斜角互补，设线段的中点为G．证明：G在一条定直线上运动． 19. 已知抛物线的顶点为O，准线与x轴交于点K．以K为圆心、为半径作圆．直线l与抛物线C交于两点，若． （1）证明：直线过定点； （2）记点在x轴上的投影分别为，且．过分别作圆的切线，且切点分别位于x轴两侧，设直线交于点P．求动点P的轨迹方程，并注明取值范围； （3）在（2）的情况下，若，求弦的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $