上海市顾村中学2025-2026学年第一学期期末考试高二年级数学试题

顾村中学2025学年第一学期期末考试 高二年级数学科 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 已知空间向量，且，则________． 2. 一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是______. 3. 若，则______. 4. 已知球的表面积是，则该球的体积为________. 5. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 6. 二项式的展开式中含项的系数为________． 7. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则__________. 8. 如图正方体的棱长为2，则二面角的大小为________． 9. 某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为______． 10. 若事件A与事件B是独立的，，，则______． 11. 将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为________． 12. 如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体O，O与均相切，则该9部分的体积和的范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 在以下调查中，适合用普查的是（ ）. A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查一批LED灯的寿命 C. 调查某城市居民的食品消费结构 D. 调查一个班级学生的身高情况 14. 如图，在平行六面体中，为的交点，若，则向量（ ） A. B. C. D. 15. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是对立事件，则 B. 若，是互斥事件，，则 C. 若，且，则，是独立事件 D. 若，是独立事件，，则 16. 如图所示，在正方体中，P为线段上的动点，给出下列四个结论： ①DP长度为定值； ②三棱锥的体积为定值； ③任意点P，都有； ④存在点P，使得平面． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知函数在处取得极小值. （1）求函数的解析式及单调增区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值。 18. 已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前 项和． 19. 如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点. （1）求此圆锥的侧面积； （2）求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 20. 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失． 请大家完成下面的问题： （1）根据直方图求以下表格中、的值； 成绩 频数   （2）求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率． 21. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 顾村中学2025学年第一学期期末考试 高二年级数学科 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 【1题答案】 【答案】## 【2题答案】 【答案】50 【3题答案】 【答案】7 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】24 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】； 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1），单调递增区间为和 （2）最大值为4，最小值为 【18题答案】 【答案】（1）； （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）平均数为，方差 （3） 【21题答案】 【答案】（1） 由题意， 在四棱锥中， ⊥面ABCD，,， ∴， 在直角梯形中，， ∵， ∴ ∵ ∴ （2） 由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD， 在四棱锥中，， 作出空间直角坐标系如下图所示： 由几何知识得，，，，，， ∴，，， 设，则, ∴ ∴， 若AM⊥面PCD 解得： ∴ （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $