上海市顾村中学2025-2026学年第一学期期末考试高二年级数学试题

上海市顾村中学2025学年第一学期期末考试 高二年级数学学科 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12 题每题5分) 1.已知空间向量a=(1,2,2),b=(1,x,-)且a1b,则x=_ 【答案】05 2.一组数据15,18,23,24,28,36,39,42,47,53,60,78的第75百分位数 是 47+53=50, 【详解】依题意，12x75%=9,所以所求的第75百分位数是2 故答案为：50 3.若P2=nP,则n= 详解】由题意知，P好=nP,则n-)=n6, 由n∈N,解得n=7. 故答案为：7 4.已知球的表面积是16π，则该球的体积为 【详解】设球的半径为，则表面积S=4πr2=16π， 解得r=2, 所以体积V=4r=4x×2=32严】 4 3 3 3 32π 故答案为： 3 5.设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=3n2,则{an}的通项公式为an= 【答案】6n-3 6.二项式(1+3x)°的展开式中含x3项的系数为 【详解】二项式(1+3x)°的展开式的通项公式为T,=C61-(3x), 令r=3得，C81-3.(3x=540x3,所以展开式中x3的系数为540 第1页共13 扫描全能王创建 故答案为：540. 7.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中m,n∈N若这两组数据的中位数相等，平均 数也相等，则mn= 甲乙 72n 93 248 【详解】根据茎叶图知，乙的中位数是二×(32+34)=33，所以m=3, 所以甲的平均数是二×(27+33+39)=33， 所以二×(20+n+32+34+38)=33,解得n=8. 4 ∴.mn=3×8=24. 故答案为：24， 8.如图正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，则二面角A-BD-A的大小为 D 【答案】arccos 的 3 D 9.某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌舞类节目， 则歌舞类节目互不相邻的概率为 【详解】先把4个语言类节目全排列，中间形成5个空，5个空中选3个空排三个歌舞类节 目， 共有？=1440种情况，又因为7个节目全排列有P种情况， 所以所求概率为 2 故答案为： 第2页共13 器 扫描全能王创建 10.若事件A与事件B是独立的，P(A)=0.3,P(AnB)=0.28,则P(B)= 【详解】由于事件A与事件B是独立的，故事件A与事件B也相互独立， P(B)=P(P(B)=0.28, 又P(A=1-P(4)=0.7,故P(B)=0.4, 进而可得P(B)=1-P(B)=0.6, 故答案为：0.6 11.将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环ABCD,OA=AD=6,∠COD=?,如图 3 1,用扇环ABCD制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 0 图1 图2 【答案】735m 3 【分析】根据扇形和圆台的几何关系，求上下底面圆的半径，以及高，最后代入圆台的体 积同时，即可求解。 【详解】由条件可知，OD=2OA=12, 设圆台上底面的半径为？，下底面半径为R, 弧长AB的长为04号=2弧长cCD=0D:号=4标， 3 所以2r=2π，r=1,2元R=4π，R=2, 圆台上下底面的高h=√AD2-(R-r=V62-(2-=V35, 所以圆台的体积/=(R2+广+R)h=7N55 3 故答案为：7V35元 3 12如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体 0(i=1,2,…,8),有1个以正方体体心为球心的球体0。，0与O(1=1,2,…,8)均相切，则 该9部分的体积和的范围是一 第3页共13 扫描全能王创建 0 00 【详解】设球体O的半径为，O,(i=1,2,…,8)半径为5， 所以2r+22=25,即得+5=5， 可得0<5≤1，所以V3-1≤5≤1， y=5=万×(5-小=-+3所开口向下，对称轴为5= 2 所以5-1sy=+5斯≤， 该9部分的体积和为 "-音+号时+)-号+G+-s) =49G*g旷-3]-w5-6 所以v∈[3m(&5-12)n], 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16 题每题5分) 13.在以下调查中，适合用普查的是()· A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.调查一批LED灯的寿命 C.调查某城市居民的食品消费结构D.调查一个班级学生的身高情况 【答案】D 第4页共13 器 扫描全能王创建 14.如图：在平行六面体ABCD-ABCD中，M为AC,BD的交点.若AB,=a, AD=b,AA=c,则向量BM=() D A.-a+3b+c 22 B.- c.-+d -5+ D. 【解析】因为在平行六面体ABCD-AB,CD中，M为AC,B,D,的交点，AB=a, AD=b,AA=c, 所以丽=丽+8M-4A+西=-4A+40-)=4瓜+40-4 =-1a+38-0. 22 故选：B 15.设A,B为两个随机事件，以下命题正确的为（） A.若A,B是对立事件，则P(AB)=1 B.若A,B是互斥事件，P0-号P8到=则PAUB)= 6 C.若P网=P回=且P(4)=号则A,B是独立事件 D,若A,B是独立事件、P-P到-子则P-号 【详解】对于A,若A,B是对立事件，则P(AB)=0,A错误； 对于8，若么B是互率作，0=P=令则P4U)=P团+P到=名B错 误； 对FC,P团=P画-片则P0=I-P闭号P=1-PN= 又P代4例-号利-P(.则AB是独立事件，C正确 对于D,若B是独立事件，则元万是独立事件，而P代=P代) 2 则R两=P国P画=--P到=号，D错误 故选：C 第5页共13 扫描全能王创建 16如图所示，在正方体ABCD-AB,CD中，P为线段BC上的动点，给出下列四个结论： ①DP长度为定值；②三棱锥P-AB,D,的体积为定值；③任意点P,都有DP⊥AC；④存 在点P.使得AP⊥平面AB,D其中正确的是() D A.①③ B.②④ C.②③ B D.①④ 【详解】如下图所示： D C ⊙ A D 设正方体ABCD-ABCD的棱长为1，以点D为坐标原点，DA、DC、DD,所在直线分 别为x、y、z轴建立空间直角坐标系 则A(1,0,0)、B(1,1,0)、C(0,1,0)、D(0,0,0)、A(1,0,1)、B(L,l,1)、C(0,1,)、 D(0,0,1).设点P(,l,1-t),其中0≤t≤1. 对于①，|DP=VP+1+(1-t)=V22-21+2不是定值.①错误： 对于2，在正方体ABCD-AB,CD,中，AB∥C,D,且AB=CD, 所以，四边形ABCD为平行四边形，则BC∥AD, BC文平面AB,D,AD,C平面AB,D,则BC∥平面AB,D, :P∈BC,则点P到平面AB,D的距离为定值，而△ABD,的面积也为定值， 所以，三棱锥P-ABD的体积为定值，②正确： 第6页共13 器 扫描全能王创建 对于3，AC=(-1,l,-1),Dp=(l,1-t),所以，Dp.4C=-1+1-1+t=0, 因此，对任意点P,都有DP⊥AC,3正确： 对于④，AP=(t-1,l,-),AB=(0,1,1),AD=(-1,0,). 4P.AB=1-t= AP.AD=1-21= 。,这样的1不存在，所以，不存在点P,使得AP⊥平面ABD,④错 误. 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分) 17.(本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分) 已知函数f(x)=a3-4x+b在x=2处取得极小值- 4 (1)求函数(x)的解析式及单调增区间： (2)求函数f(x)在区间[0,3]的最大值与最小值 【答案】/)=号式-4+4，单调递增区间为（←@，-习）和2+网). ②最大值为4，最小值为号 【详解】(1)由f(x)=ar3-4x+b,则f(x)=3ax2-4, 因为函数f)在x=2处取得极值，则∫(2)=12a-4=0,即a= 此时/)=写-4x+b,则r)=2-4, 令f'(x)>0,得x<-2或x>2:令f"(x)<0,得-2<x<2, 所以函数f(x)在(-0，-2)和(2，+∞)上单调递增，在(-2,2)上单调递减， 所以函数)在x=2处取得极小值- 31 则f回=手则6=4所以网-写式-4+4， 单调递增区间为(-∞，-2)和(2，+∞). (2)由(1)知，函数∫(x)在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增， 又o=4,@=-等f)=1, 第7页共13 扫描全能王创建 所以函数了)的最大值为4，最小值为-手 18、(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a,=3,且S。-S,=45,数列{bn}为等比数列，公比 为2，且b+b2+b=14. (1)求数列{an}与{b,}的通项公式： (2)设数列{cn}满足cn=an+b,求数列{cn}的前n项和T· 【详解】(1)设{an}的公差为d,因为S6-S3=45,所以a4+a+a。=45, 又a1=3,则(3+3d)+(3+4d)+(3+5d)=45.故d=3, 所以an=3+(n-l)3=3n: 因为b+b,+b=14,9=2,所以b+2b+46=14,解得b=2, 所以bn=b·2=22=2”」 (2)结合(1)可得： 无=4+++0.++++6-3+3刘，2-2.3n+3n+2-2, 21-2 2 19.(本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分)如图，已知圆锥 的底面半径r=2,经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB,点Q为半圆弧AB的中点， 点P为母线SA的中点. 0 (1)求此圆锥的侧面积： (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 第8页共13 器 扫描全能王创建 【答案】(1)8π： (2)6 4 【解析】 (1)因为圆锥的底面半径r=2, 经过旋转轴SO的截面是等边△SAB,可得SA=4, 所以圆锥的侧面积为π×2×4=8π. (2)以O为原点，OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，OS所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图， ZA 由题意可得S0=2√3，则S(0,0,25),O(0,0,0),A(0,2,0),Q(2,0,0), P0,1,V3), 则S0=(0,0,-25),P0=(2,-1,-5), 所以S0.P0=-25×(-5)=6,|SO=2W3, |PFV22+(-l)2+(-5)2=22, SO.PO 6 所以cos(SO,PO)= 6 |So|PO23×2√2 4 设异面直线PQ与S0所成角的大小为0,0∈0，， 则cos8cos(50,P0卡y5, 故异面直线PQ与S0所成角的余弦值为√Y6 第9页共13 扫描全能王创建 20、（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6 分) 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校 学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛.今随机对其中的1000名同学的初赛成绩（满 分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图（有数据缺失）. 个频率组距 0.035 0.010 0.005 0V5060708090100成绩/分 请大家完成下面的问题： (I)根据直方图求以下表格中x、y的值： 成 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 绩 频 250 350 y 100 数 (2)求参赛同学初赛成绩的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）： (3)若从这1000名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本， 再在该样本中成绩不低于80分的同学里任选2人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到 的2人中恰好1人的分数低于90分且另1人的分数不低于90分的概率 【详解】(1)因为个体在区间[50,60)内的频率是0.005×10=0.05， 所以频数x=1000×0.05=50: 在[80,90)内的频率是2×1-0.05-0.35-0.1)=025， 所以频数y=1000×0.25=250 (2)平均数为x=55×0.05+65×0.25+75×0.35+85×0.25+95×0.1=76, 方差s2=(-21)2×0.05+(-11)2×0.25+(-1)×0.35+92×0.25+192×0.1=109 201 (3)由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则抽样比例为 00050' 第10页共13 扫描全能王创建 所以在区间[30,90)利[010]内抽取的人数各为0×250-=5和010=2， 分别记这7人为a、b、c、d、e和M、N,则事件的总体是 2={《a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,M),(a,N),(b,c),(b,d),(b,e),(b,M), (b,N),(c,d),(c,e),(c,M),(c,N),(d,e,(d,M,(d,N),(eM),(e,N), (M,N)}, 其中共有21个基本事件， 记所求的事件为A,则A中包含的基本事件为： (a,M),(a,N),(b,M),(b,N),(c,M),(c,N),(d,M),（d,N),(e,M),(e,N)共 10个， 所以P风-” 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题第6分，第3小题8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形， ∠ABC=∠BAD=7PA=AD=2,AB=BC=1 B (1)证明：AB⊥PD: (2)线段CP上是否存在一点M,使得直线AM垂直平面PCD,若存在，求出线段AM的 长，若不存在，说明理由： (3)点O是线段BP上的动点，当直线C?与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 【解析】 【小问1详解】 由题意， 在四棱锥P-ABCD中， 第11页共13 器 扫描全能王创建 PA⊥面ABCD,ABC面ABCD,ADC面ABCD, ∴.PA⊥AB,PA⊥AD 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,∠ABC=∠BAD= 2 ,ADC面ADP,APC面ADP ∴.AB⊥面ADP ,PDC面ADP AB⊥PD 小问2详解】 由题意及(1)得，存在一点M,使得直线AM垂直平面PCD, 在四棱锥P-ABCD中，PA=AD=2,AB=BC=1 作出空间直角坐标系如下图所示： B D V 由几何知识得，A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2), ∴PC=(1,1,-2),CD=(-1,l,0),PD=(0,2,-2）， 设M(x,,乙)，则PM=(x,,1-2), :=4=-2= 11-2 .M(t,t,-2t+2),AM=(t,t,-2t+2) 若AM⊥面PCD AM.CD=-1+1+0=0 -P历=0+21-2-21+2)=0解得：1-号 第12页共13 器 扫描全能王创建 wM-后-oj+仔-0八+任-o°-号5 【小问3详解】 由题意及(1)(2)得， DP=(0,-2,2),C8=(0,-1,0),BP=(-1,0,2) 设B0=1Bp=(-,0,2)(0≤1≤1) :C0=CB+B0=(-,-1,22), os(CQ.DP- o·Dn 1+2) CODP √1022+2 设1+2九=4,1≤4≤3， C.DP) 2μ2 2 ,20 10 9 当且仅当丛号即=号时，os@丽最大为2 10 在y=cosx中，(0，)上是减数。 :cos(C②，DP列最大时，直线C2与DP所成的角最小， :lBPr=vP+22=-5, g=2n=25, 5 .当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长为 2W5 5 第13页共13 器 扫描全能王创建顾村中学2025学年第一学期期末考试 高二年级数学科 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分， 第7~12题每题5分) 1.己知空间向量a=(1,1,2,2),万=(1，x,-1)且a∠b,则x= 2.一组数据15,18,23,24,28,36,39,42,47,53,60,78的第75百分 位数是 3.若P2=nP,则n= 4.已知球的表面积是16m,则该球的体积为 5.设Sn是数列am}的前n项和，且Sn=3n2-n,则am}的通项公式为a,= 6.二项式(1+3x)的展开式中含x3项的系数为 7.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中m,n∈N,若这两组数据的中位数 相等，平均数也相等，则m·n=一。 8.如图正方体ABCD-ABCD1的棱长为2，则二面角A-BD-A1的大小为 9.某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌 舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为 10.若事件A与事件B是独立的，P(A)=0.3,P(A∩B)=0.28,则P(B)= 11.扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环ABCD,OA=AD=6,∠COD= π/3，如图1，用扇环ABCD制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 12.如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部 分球体Oi=1,2,,8),有1个以正方体体心为球心的球体O,0与O(=1, 2,,8)均相切，则该9部分的体积和的范围是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分， 第1516题每题5分) 13.在以下调查中，适合用普查的是()。 A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.调查一批LED灯的寿命 C.调查某城市居民的食品消费结构 D.调查一个班级学生的身高情况 14.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，M为AC、BD1的交点，若 AB=a,AD=b,AA=c,则向量BM=() A.-ia'+i -za'-b"-c B.-'a C.-+c D.+ 15.设A,B为两个随机事件，以下命题正确的为() A.若A,B是对立事件，则P(AB)=1 B.若A,B是互斥事件，P(A)=13,P(B)=1/2,则P(AUB)=1/6 C.若PA)=1/3,PB)=12,且P(AB)=13,则A,B是独立事件 D.若A,B是独立事件，P(A)=1/3,P(B)=2/3,则P(AB)=1/9 16.如图所示，在正方体ABCD-ABCD1中，P为线段BC上的动点，给出下 列四个结论： ①DP长度为定值； ②三棱锥P-ABD1的体积为定值； ③任意点P,都有DP⊥AC; ④存在点P,使得AP⊥平面ABD1。 其中正确的是() A.①③ B.②④ C.②③ D.①④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分) 己知函数fx)=ax-红+b在x=2处取得极小值-。 (1)求函数fx)的解析式及单调增区间； (2)求函数x)在区间[0,3]的最大值与最小值。 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知等差数列an}的前n项和为S,a1=3,且Ss-S2=45,数列{bn}为等比 数列，公比为2，且b1+b3=10。 (I)求数列{a}与{bn}的通项公式： (②)设数列{cn}满足cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn。 19.(本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分) 如图，已知圆锥的底面半径r=2,经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB, 点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点。 (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与S0所成角的余弦值。 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6 分) 为响应国家"学习强国"号召，培养同学们的"社会主义核心价值观"，某校团委 鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛。今随机对其中1000名同学 的初赛成绩（满分：100分）作统计，得到频率分布直方图（有数据缺失）。 (注：直方图横轴为分数段[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]，纵轴为频 率/组距。已知[70,80)对应高度0.035，[80,90)对应高度0.010，[90,100]对应高度 0.005) 请大家完成下面的问题： (1)根据直方图求以下表格中x,y的值： 成绩 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 X 250 350 y 100 (②)这参赛同学初赛成绩的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表)： (3)若从这1000名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量 为20的样本，再在该样本中成绩不低于80分的同学里任选2人继续参加教 育局组织的校际比赛，求抽到的2人中恰好1人的分数低于90分且另1人 的分数不低于90分的概率。 21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA1平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形， ∠ABC=∠BAD=909 PA=AD=2,AB=BC=1. (1)证明：AB1PD; (2)线段CP上是否存在一点M,使得直线AM垂直平面PCD,若存在，求出线段 AM的 长，若不存在，说明理由； (3)点0是线段BP上的动点，当直线CO与DP所成的角最小时，求线段B0的长 P 6