期中培优：空间向量与空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专项训练 期中培优：空间向量与空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题专项训练 考点目录 空间向量与空间位置关系问题 空间向量与空间角度问题 空间向量与空间距离问题 考点一 空间向量与空间位置关系问题 例1．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．两条不重合的直线、的方向向量分别是、，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线、的方向向量分别为、，若，则 D．两个不同的平面、的法向量分别是、，则 【答案】D 【分析】对于选项A，根据空间直线方向向量的平行的判定规则判断； 对于选项B，根据空间直线方向向量、平面法向量的平行的判定规则判断； 对于选项C：根据空间直线方向向量垂直的判定规则判断； 对于选项D：根据平面法向量判断面面的位置关系. 【详解】对于选项A：两条不重合直线平行的充要条件为其方向向量共线. 已知 ，， 不存在实数满足（若，则对应第三分量应为2，与的第三分量1矛盾）， 故与不共线，与不平行，A错误. 对于选项B：若直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直. 已知， 即，故，B错误. 对于选项C：两条直线垂直的充要条件为其方向向量的数量积为0. 由得， 代入坐标计算：， 即，解得，C错误. 对于选项D：两个不同平面垂直的充要条件为其法向量的数量积为0. 计算， 故，即，D正确. 例2．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若直线与平面相交，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据直线与平面的位置关系结合法向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】当时，或， ，解得， 所以若直线与平面相交，则实数的取值范围为 例3．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，是棱的中点． (1)求证：平面； (2)平面与平面有可能垂直吗，若有可能，求出的长；若没有可能，说明理由． 【答案】(1)连接交于点，连接， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，则平面． (2)有可能， 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明. （2）建系，求出各个点的坐标，再分别求出平面与平面的法向量，根据两个平面垂直时法向量的关系列出方程就可求解. 【详解】（1）略 （2）假设当时，平面平面， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 即， 令，得， 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 当平面与平面垂直时，有，解得． 故当时，平面平面． 例4．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为线段，，的中点，，． (1)证明:． (2)证明：平面． 【答案】(1)以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，且不在同一条直线上，则． (2)由（1）可得，，则，． 设平面的法向量为，则， 令，则． 因为，所以，故平面． 【详解】（1）略 （2）略 变式1．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则（      ） A． B． C．或 D．是的斜线 【答案】D 【分析】由方向向量与法向量的数量积是否为、两向量是否共线，判断直线与平面的位置关系. 【详解】由已知得. 所以与不垂直，直线与平面不平行，也不在内，从而与相交. 又，所以与不共线，不垂直于. 所以与相交但不垂直，即是的斜线. 变式2．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________. 【答案】 【详解】平面的一个法向量，平面的一个法向量， 若，则， 所以，解得， 所以． 变式3．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，为上一点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)因为，，，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以底面. 故以为原点，、、分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则､､､､､， 所以，，， 则，， 即，，又，平面， 所以平面. (2)，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，所以. 所以，所以， 因为平面，所以平面． 【分析】（1）由得，又平面平面得底面，以A为原点，、、分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，证明，，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）求出平面的一个法向量，利用可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 变式4．（26-27高二上·福建南平·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，．    (1)以，，为基底向量，表示向量，； (2)求证：； 【答案】(1)，． (2)因为，，，， 所以，． 由（1）得． 又与均为非零向量，所以，即． 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用，，表示，； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为0，证明向量垂直. 【详解】（1）由空间向量的加法法则，得． 在平行六面体中，，，所以． （2）略 考点二 空间向量与空间角度问题 例1．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知三棱柱中，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若，点为线段上的四等分点（靠近点），求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明：在三棱柱中，四边形是平行四边形, 又，所以四边形为菱形，连接，则， 又因，平面，所以平面， 因为平面，所以， ，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2). 【详解】（1）略. （2）取中点，连接， 由，，是等边三角形，故， 由(1)可知，平面平面，交线为，平面， 所以平面， 以为原点，为轴，过作平行于的方向为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， 是上靠近的四等分点，，得， 则， 平面就是平面，该平面的一个法向量可取为， 设平面的法向量为， ，则可取， ， 由图知二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为. 例2．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． (1)若平面，求的值； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：利用三角形相似求解；解法二：建立空间直角坐标系，利用和平面法向量垂直求解； （2）解法一：建立空间直角坐标系分别求出两个面的法向量，再利用面面夹角公式求解；解法二：写出坐标，计算法向量再求解. 【详解】（1）解法一：连接与交于点N，连接，因为平面，且平面平面， 平面，所以，则，又因为，所以， 则，所以的值为． 解法二：取的中点O，连接，连接，因为是边长为4的等边三角形，所以，且， ，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 又因为，，所以．因为，所以，， 则，因为，所以四边形是矩形，以O为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设，因为，所以， 解得，，，则． 设平面的法向量为，则，． 则，即，， 取，解得，， 则平面的一个法向量， ，因为平面，所以，即， 所以，即，解得． （2）解法一：取的中点O，连接，连接，因为是边长为4的等边三角形，所以，且，， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因为，，所以． 因为，所以，，则， 因为，所以四边形是矩形， 以O为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， ， 设为平面一个法向量，则， 令，则所以， 平面法向量取，则，， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 解法二：当时，，平面的法向量， 平面的法向量取，设两面夹角为， 则．所以平面与平面的夹角的余弦值为． 例3．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面，如图2，的中点为. (1)求证：； (2)若的中点为，线段上靠近点的三等分点为. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为，当线段与线段的长度之和最小时，求直线与平面成角的正弦值. 【答案】(1)证明：因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）（i）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可；（ii）当线段PD与线段PC的长度之和最小时，要使最小，利用对称法，作D关于平面的对称点，连接，与平面的交点即为，再应用线面角正弦公式计算求解. 【详解】（1）（1）略 （2）（i）取的中点为，连接，则且， 由直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直， 分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 依题意，， 则，， 设平面的法向量为， 由，得到，则可取， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. （ii）设平面内一动点为， 不妨设关于平面的对称点，设与平面的交点即为， 因为平面的法向量为， 设，则中点为在平面上，， 所以， 因与平面法向量平行， 则，设比值为，则得， 代入中，得， 解得，故， 又因为， 设直线与平面的交点为， 且，则， 则有， 又因为， 将代入得，解得，则， 故，易得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 变式1．（2026·广西百色·一模）如图，和所在平面垂直，且，，． (1)证明:． (2)若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：过点作垂直于的延长线于点F 平面平面，平面平面，平面，， 平面， 平面， ． ，，平面， 平面， ． (2) 【分析】（1）过点作垂直于的延长线于点，由面面垂直的性质定理得到平面，再由线面垂直的判定定理以及性质定理即可证明； （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，再由线面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知．如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则令，解得，． 记直线与平面所成的角为，，． 变式2．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)为等腰梯形，， ， 又∵平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. （2）建系，求出各个点的坐标，求出的坐标和平面法向量的坐标，再利用线面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）略. （2），， ∵平面平面，平面平面，，平面， 平面，又，平面， ，，故，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形中，，，，，，， ，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，则， 设直线与平面所成角为，则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 变式3．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点在上，且，试判断，，，四点是否共面，并说明理由． 【答案】(1)证明：在中，因为为的中点，为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．     因为，为的中点，所以． 又因为，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面．     又因为，，平面，所以平面平面． (2) (3)共面，理由如下： 由已知，得，，，． 由，可得．     假设，，，四点共面，则存在实数，使得．     所以，解得． 所以，即，，，四点共面． 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再利用面面平行的判定定理求证； （2）以为坐标原点建系，计算两个平面的法向量，最后利用公式计算； （3）设，利用坐标计算. 【详解】（1）略 （2）连接，由（1）易知两两互相垂直．故以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．     则，． 则，，， 设平面的法向量为，设平面的法向量为， 所以，， 令，得，．     所以，则， 所以二面角的正弦值为． （3）略 考点三 空间向量与空间距离问题 例1．（26-27高三上·江苏·阶段检测）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出两条异面直线的方向向量，联立方程求解公垂线方向向量，再套用异面直线距离公式，计算连接两直线上点的向量在公垂向量上投影的绝对值得到距离． 【详解】设正四棱锥的底面中心为原点，建立下图所示空间直角坐标系， 已知，则 ， 为侧棱的中点，故， 则， 设异面直线与的公垂线方向向量为，则 ，令，则， 故异面直线与的距离． 例2．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）如图①所示，正三角形的边长为，是边上的高，，分别为和边上的中点，现将沿翻折成直二面角，如图②所示． (1)试判断翻折后的直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)平面. 理由如下：由题意知，平面平面，. 翻折后，，， 因为平面平面，则即为直二面角的平面角， 所以. 以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 因为，， 所以，所以，即. 又平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）结合直二面角的定义建立空间直角坐标系，利用平行关系的向量表示得到，根据线面平行的判定定理证明即可. （2）求出平面的法向量，根据点到平面的距离公式的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）在平面内，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 又， 所以，. 所以点到平面的距离. 例3．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，E为棱的中点，F是棱AC上的异于端点的一个动点． (1)求证：； (2)记点A，C到平面的距离分别为，，求的最小值． 【答案】(1)取和的中点和，连接，，则， 因为，可得，在直三棱柱中，可得底面，且底面，所以，所以， 又因为，且，可得， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，，， 因为为的中点，所以，所以，， 可得，所以，所以． (几何证法也可：例如取中点，证明面，从而实现) (2)． 【分析】（1）以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，用向量法证明. （2）先设点的坐标，用点到平面的距离公式算出，然后利用基本不等式可以求出其最小值. 【详解】（1）略. （2）如图所示； 因为是棱上的异于端点的一点，设点的坐标为，令，其中， 由，，可得，，， 所以点，即平面的三点为，，， 可得，，设平面的法向量为， 则，取，可得，所以， 又由，， 则点到平面的距离为，则， 点到平面的距离为，则， 所以， ， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为． 变式1．（26-27高三上·广西来宾·阶段检测）已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 【答案】/ 【分析】先求异面直线与公垂线的方向向量，再求在上投影的绝对值即可. 【详解】因为，， 设异面直线与公垂线的方向向量， 则，令，可得. 又，所以在上投影的绝对值为：. 即异面直线与之间的距离是. 变式2．（26-27高二上·重庆渝北·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 因为为中点，为中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，所以平面的一个法向量为， 则，所以， 而直线显然不在平面内，所以平面； (2) 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，并标注出相关点坐标，求出平面的一个法向量，应用空间向量的坐标运算判断与的位置关系，即可证； （2）应用向量法求点面距离即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离. 变式3．（26-27高二上·四川资阳·阶段检测）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)平面，平面，平面平面； 为等边三角形，为中点，， 又平面平面，平面，平面， 取中点，连接，则，平面， 则以为坐标原点，为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， ，，， ，平面，平面. (2) (3) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可知，由面面垂直的判定与性质可证得平面，取中点，可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可证得，，由线面垂直的判定可证得结论； （2）根据点到直线距离的向量法直接求解即可； （3）根据点到平面距离的向量求法直接求解即可. 【详解】（1）略 （2）由题意得，，， 所以点到直线的距离为； （3）由（1）知：平面的一个法向量为； 又，， 点到平面的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $专项训练 期中培优：空间向量与空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题专项训练 考点目录 空间向量与空间位置关系问题 空间向量与空间角度问题 空间向量与空间距离问题 考点一 空间向量与空间位置关系问题 例1．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．两条不重合的直线、的方向向量分别是、，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线、的方向向量分别为、，若，则 D．两个不同的平面、的法向量分别是、，则 例2．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若直线与平面相交，则实数的取值范围为______． 例3．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，是棱的中点． (1)求证：平面； (2)平面与平面有可能垂直吗，若有可能，求出的长；若没有可能，说明理由． 例4．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为线段，，的中点，，． (1)证明:． (2)证明：平面． 变式1．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则（      ） A． B． C．或 D．是的斜线 变式2．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________. 变式3．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，为上一点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 变式4．（26-27高二上·福建南平·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，．    (1)以，，为基底向量，表示向量，； (2)求证：； 考点二 空间向量与空间角度问题 例1．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知三棱柱中，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若，点为线段上的四等分点（靠近点），求二面角的余弦值. 例2．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． (1)若平面，求的值； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； 例3．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面，如图2，的中点为. (1)求证：； (2)若的中点为，线段上靠近点的三等分点为. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为，当线段与线段的长度之和最小时，求直线与平面成角的正弦值. 变式1．（2026·广西百色·一模）如图，和所在平面垂直，且，，． (1)证明:． (2)若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 变式2．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 变式3．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点在上，且，试判断，，，四点是否共面，并说明理由． 考点三 空间向量与空间距离问题 例1．（26-27高三上·江苏·阶段检测）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）如图①所示，正三角形的边长为，是边上的高，，分别为和边上的中点，现将沿翻折成直二面角，如图②所示． (1)试判断翻折后的直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求点到平面的距离． 例3．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，E为棱的中点，F是棱AC上的异于端点的一个动点． (1)求证：； (2)记点A，C到平面的距离分别为，，求的最小值． 变式1．（26-27高三上·广西来宾·阶段检测）已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 变式2．（26-27高二上·重庆渝北·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 变式3．（26-27高二上·四川资阳·阶段检测）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求点到平面的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $