第1讲·一元二次方程及其解法·满分讲义 ·2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题一一元二次方程的定义和根 核心考点一一元二次方程的定义 01.(2025七一中学月考)下列方程是关于x的一元二次方程的是(D) A.+x=1 B.ax+bx+c=0 Cy+3x=2 D.(x+IP=2x 02.若方程m-1x2+mx=0是关于x的一元二次方程，则(C A.m≠1B.m≥0C.m≥0且m≠1 D.m为任意实数 核心考点二一元二次方程根的定义一一逢根必代 03.已知x=0是一元二次方程m-2x2+4x+4-m2=0的一个根，则m=-2. 04.若关于x的一元二次方程(k-3x2+6x+k2-k=0有一个根为-1，则k=-3 核心考点三由一元二次方程的根与变形代换①一降次代换 05.已知m为方程x2+x-3=0的一个根，则代数式m3+2m2-2m+6=9. 06.已知a,b是方程x-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5=23 核心考点四由一元二次方程的根与变形代换②一一整体代换 07.已知m,n是方程x2-2x-1=0的两个根，且7m2-14m+a3n2-6n-7=8, 则a=-9. 08.已知m,n是方程-x-3=0的两个根，则代数式m-n2- 2m+n-1=.5 核心考点五由一元二次方程的根与变形代换③—一分式化整 09若m是方程X-3x1=0的一个根，则m=3, m+1 =13. m m 10.若m是x-2x-3=0的一个实数根，则m2-2mm- 3.1=3 11.(2025人大附中月考)设α是方程x2-2029x+1=0的一个实根，则 a2-2028a+2029- 02+1 核心考点六一元二次方程的根与换元法 12.(2025武汉外校月考)若关于x的一元二次方程ax+bx+3=0的两根分别为 1=-2,x2=3,则方程ax+2?+bx+2+3=0的两根分别为x1=-4,x2=1. 解：在ax+2+bx+2+3=0中，设x+2=y,则ay2+by+3=0. .·关于x的一元二次方程Qx2+bx+3=0的两根分别为x1=-2,x2=3, ∴.ay+by+3=0的两根分别为y1=-2,y2=3,.x+2=-2或 X+2=3,.X1=-4,X2=1. 13.(2025东西湖月考)若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为1和-2，那么关 于x的一元二次方程ax-1+b(x-1=-c的解为X1=2,x2=-1. 14.已知关于x的方程mx+a2+n=0的解是x1=-3,x2=1,则关于x的方程 mx+a-22+n=0的解是x1=-1,x2=3. 15.(2025长郡中学月考)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=3 和为=-2，侧关于X的方程是+是+c=0的两极为写6号 核心考点七一元二次方程中的含参定根①一一特征根 16.关于x的一元二次方程ax+bx+c=0,当4a+c=2b时，该方程一定有一根为 X=-2. 17.已知a-2b+4c=0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为 18.定义：如果一元二次方程ax+bx+c=0a≠0满足a+b+c=0,那么我们称这个 方程为“凤凰”方程，已知ax2+bx+c=0a≠0)是“凤凰”方程，且有一个根为 -1,则下列结论正确的是(C)A.a=c,b=1B.a=b,c=0C.a=-c,b=0D.a=b=c 核心考点八一元二次方程中的含参定根②—一与参数无关 19.(2025武珞路中学月考)关于x的一元二次方程mx2+x-m+1=0必有一根为 x=-1. 20.无论m,n为何值，关于x的一元二次方程mx-2m-nx-3m+n=0总有一个 不变的根，则这个不变的根为x=-1. 核心考点九一元二次方程的公共根 21.已知关于x的方程x+x-3m=0与x-mx+3=0只有一个相同的实数根，则 m=4. 22.若关于x的方程x2-x+2=0与x2-m+1x+m=0有一个相同的实数根，则 m=3. 核心考点十一元二次方程中的倍根 23.(2025武汉二中月考)已知关于x的两个方程x2-x+3m=0,x2+x+m=0,若前 一个方程中有一个根是后一个方程中某个根的3倍，则m=0或-2. 24.(2025成都七中月考)已知关于x的两个方程x-x+5c=0,x2+x+c=0c≠0. 若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则©=-是 4· 解：设x2+x+c=0的一个根为t,则51为方程x2-x+5c=0的一个根， ∴.t2+t+c=0①，25t2-5t+5c=0,即5t-t+c=0②，②-①得4t2-2t=0,解得 21 t=0,t=2· 当t=0时，把t=0代入t+t+c=0得c=0,不合题意舍去； 当t号时把t号代入r+c=0得子+c=0解得c=子. 综上所述，e的值为是。 专题二解一元二次方程 核心考点一用指定的方法解一元二次方程 01.用指定的方法解下列方程： (1)2x+1=9;(直接开平方法)(2)3x2-5x-2=0;(配方法) 解：开方得，2x+1=±3， 解移项得，3-5x=2整理得，-号x-号， 解得：x1=1,X2=-2, 民方得，+瓷号瓷即 52_49 61 36, 亦方得，x后±名解得名=2，% 7 Γ3 (3)2x-4x-5=0;(公式法)(4)x-3-4x3-x=0.因式分解法) 解：：a=2,b=-4,c=-5,解：因式分解得：x-3x-3+4x=0, △=b2-4ac=16-4×2×-5=56>0,.x-3=0或5x-3=0, 结2牛平-3x 2×2 .X1=1+ V14 V14 22=1- 21 核心考点二解含参数的一元二次方程 02.解下列关于x的一元二次方程： (1)x-k+2x+2k=0:(2)x2+2t+1x+t2+t-2=0. 解：x-kx-2=0,解：x2+2t+1x+t-1t+2=0, ∴.x1=k,x2=2..∴.x+t-1x+t+2=0, ∴.X1=-t+1,X2=-t-2. 03.已知关于x的一元二次方程ax2+a2-1x-a=0的一个根为m.若2<m<3, 求a的取值范围. 解因式分解，得x+aax-1-0,解得X=a或X日. 当m=0时，2<-a<3解得3<a<-2;当m日时.2<合<3解得}a吃 综上3as2或青a 04.(2025武珞路中学月考)已知关于x的一元二次方程x2-k+3x+3k=0. (1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值： (2)若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值. (1)证明：：x-k+3x+3k=0,.x-3x-k=0,∴.无论k为何值，此方程 总有一个根是x=3. (2)解：由(1)得x1=3,x2=k, 当k为直角边长，则k=42-3=7;当k为斜边长，则k=42+3=5. 综上所述：k=V7或k=5. 专题三可化为一元二次方程的方程 方法解读：换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的 运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂 的问题简单化. 核心考点一换元法①—一换整式 01.解下列方程： (1)x-x2-6=0:(2)x2+2x2-x2+2x-12=0. 解：x1=3,x2=-3.解：x1=-1+V5,x2=-1-5. 02.若实数x,y满足x+y21-x2-y+6=0,则x+y2=3. 核心考点二换元法②一换分式 03(2025七中学周练已知实数x满足4宁3+引4=0，则x+2. X 核心考点三换元法③一换根式或绝对值 04.提出问题：解方程：x+2x2-3=0:提示：可以用“换元法”解方程. 解：设x2=tt≥0)，则原方程可化为t2+2t-3=0, 解得t1=1,t2=-3(舍去)，∴.x2=1,x1=1,x2=-1. 解决问题：解方程： (1)x2+2x+4x2+2x-5=0;(2)x2-3x+2=0. 解：设x+2x=t≥0，解：x2,3x+2=0,x2-3x+2=0,设x=t,则t≥0， 则原方程化为t2+4t-5=0,∴.t-3t+2=t-1t-2=0,∴.t-1=0或t-2=0, 解得：t1=-5,t2=1..t1=1,t2=2,.x=1或x=2, t20,.t=1,即x2+2x=1,.x1=-1,x2=1,3=-2,x4=2. 解得：x1=-1+/2,x2=-1-V2. 核心考点四消元法 05.(2025武汉外校月考)已知实数x,y满足x-y2=0,且x2-3y2+x-3=0,则 X=3, 核心考点五分类讨论法——解含绝对值的一元二次方程的方 程 06.已知方程x2-2x-1-4=0,求满足该方程的所有根之和. 解：分类讨论： ①当2x-10,即X时，原方程化为父-2x-3=0,解得X=3,=1 (舍) ②当2x-1=0,即X=之时，代入原方程不合题意，舍去 ⑧当2x-1<0,即X号时，原方程化为+2x-5=0,解得X=1.6, x=-1+6号舍去 ∴.方程的所有根为3与-1-6，所有根之和为3+-1-√6=2-V6. 专题一 一元二次方程的定义和根 核心考点一 一元二次方程的定义 01.(2025 七一中学月考)下列方程是关于 的一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 02. 若方程 是关于 的一元二次方程,则() A. B. C. 且 D. 为任意实数 核心考点二 一元二次方程根的定义——逢根必代 03. 已知 是一元二次方程 的一个根,则 _____. 04. 若关于 的一元二次方程 有一个根为 -1,则 _____. 核心考点三 由一元二次方程的根与变形代换① 降次代换 05. 已知 为方程 的一个根，则代数式 _____. 06. 已知 是方程 的两个根,则代数式 核心考点四 由一元二次方程的根与变形代换②——整体代换 07. 已知 是方程 的两个根,且 ,则 _____. 08. 已知 是方程 的两个根,则代数式 _____. 核心考点五 由一元二次方程的根与变形代换③——分式化整 09. 若 是方程 的一个根,则 _____, 10. 若 是 的一个实数根,则 11. (2025 人大附中月考) 设 是方程 的一个实根,则 _____. 核心考点六 一元二次方程的根与换元法 12. (2025 武汉外校月考) 若关于 的一元二次方程 的两根分别为 ,则方程 的两根分别为_____. 13. (2025 东西湖月考) 若 的两个实数根为 1 和 -2,那么关于 的一元二次方程 的解为_____. 14. 已知关于 的方程 的解是 ,则关于 的方程 的解是_____. 15. (2025 长郡中学月考) 关于 的一元二次方程 的两根为 和 ,则关于 的方程 的两根为_____. 核心考点七 一元二次方程中的含参定根①——特征根 16. 关于 的一元二次方程 ,当 时,该方程一定有一根为_____. 17. 已知 ，则关于 的一元二次方程 必有一根为_____. 18. 定义:如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为 “凤凰” 方程,已知 是“凤凰”方程,且有一个根为 -1,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 核心考点八 一元二次方程中的含参定根②——与参数无关 19.(2025 武珞路中学月考)关于 的一元二次方程 必有一根为_____. 20. 无论 为何值,关于 的一元二次方程 总有一个不变的根,则这个不变的根为_____. 核心考点九 一元二次方程的公共根 21. 已知关于 的方程 与 只有一个相同的实数根，则 _____. 22. 若关于 的方程 与 有一个相同的实数根，则 _____. 核心考点十 一元二次方程中的倍根 23.(2025 武汉二中月考)已知关于 的两个方程 ，若前一个方程中有一个根是后一个方程中某个根的 3 倍，则 _____. 24.(2025 成都七中月考)已知关于 的两个方程 ( ). 若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的 5 倍,则 _____. 专题二 解一元二次方程 核心考点一 用指定的方法解一元二次方程 01. 用指定的方法解下列方程: (1) ；(直接开平方法) (2) ；(配方法) (3) ；(公式法) (4) . (因式分解法) 核心考点二 解含参数的一元二次方程 02. 解下列关于 的一元二次方程: (1) ； (2) . 03. 已知关于 的一元二次方程 的一个根为 . 若 ，求 的取值范围. 04.(2025 武珞路中学月考)已知关于 的一元二次方程 . (1)求证:无论 为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为 4,另两边恰好是这个方程的两根,求 的值. 专题三 可化为一元二次方程的方程 方法解读:换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化. 核心考点一 换元法①——换整式 01. 解下列方程: (1) ; (2) . 02. 若实数 满足 ，则 _____. 核心考点二 换元法②——换分式 03.(2025 七一中学周练)已知实数 满足 ，则 核心考点三 换元法③——换根式或绝对值 04. 提出问题: 解方程: ; 提示: 可以用 “换元法” 解方程. 解: 设 ,则原方程可化为 , 解得 (舍去), . 解决问题: 解方程: (1) ; (2) . 核心考点四 消元法 05.(2025 武汉外校月考)已知实数 满足 ，且 ，则 _____. 核心考点五 分类讨论法——解含绝对值的一元二次方程的方程 06. 已知方程 ，求满足该方程的所有根之和. 学科网（北京）股份有限公司 $