25.2.1 配方法——直接开平方法解一元二次方程教学设计 2026-2027学年人教版新版九年级数学上册

直接开平方法解一元二次方程 教学设计 一、课程基本信息 项目 内容 课题名称 直接开平方法解一元二次方程 适用年级 九年级上册 教材版本 人教版 课时安排 1课时（45分钟） 课型 新授课 二、教学目标 1. 掌握直接开平方法的步骤。 1. 能用直接开平方法解形如 x² = a 和 (x+m)² = n（n≥0）的一元二次方程。 1. 理解”降次”的数学思想方法。 1. 对方程右边为非负数这一条件的理解与运用。 四、教学方法与手段 教学方法 1. 情境教学法、启发式教学法、讲练结合法。 教学手段 1. 多媒体课件（PPT演示）、黑板板书、学生练习本。 五、教学过程 （一）情境导入（约5分钟） 设计情境：小明家有一块正方形花圃，面积为9平方米，求花圃的边长。 引导学生列出方程 x² = 9，回忆平方根概念，得出 x = ±3。由于边长不能为负，故边长为3。 提出问题：如果面积变为16平方米呢？x² = 16，x = ? 由此引出课题——如何系统地解这类方程。 （二）新知探究（约15分钟） 1. 回顾平方根的概念 - 一般地，如果一个数的平方等于a，即 x² = a，那么这个数叫做a的平方根。 - 正数a有两个平方根，记作 ±。 - 0的平方根是0。 - 负数没有平方根。 2. 从具体例题出发 例：解方程 x² = 4。 解：根据平方根的意义，x = ± = ±2。 即 x₁ = 2，x₂ = -2。 3. 归纳直接开平方法的定义 - 定义：一般地，对于形如 x² = p 或 (x+q)² = r（p≥0，r≥0）的一元二次方程，可以直接两边开平方来解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。 - 适用条件：方程的一边是完全平方式，另一边是非负数。 4. 用数学语言准确表述 - 若 x² = a（a≥0），则 x = ±。 - 若 (x+m)² = n（n≥0），则 x+m = ±，即 x = -m ± 。 5. 强调注意事项 - 开平方时必须注意”±“号，不能遗漏负根。 - 当方程右边为负数时，该方程无实数解。 - 开平方前需确保方程左边是完全平方式。 （三）例题精讲（约12分钟） 例1 解方程：x² = 9 解：直接开平方，得 x = ± x = ±3 即 x₁ = 3，x₂ = -3 【点评】这是最基础的形式，直接开平方即可。注意不要漏掉负根。 例2 解方程：x² - 4 = 0 解：移项，得 x² = 4 直接开平方，得 x = ± x = ±2 即 x₁ = 2，x₂ = -2 【点评】需要先移项，将方程化为 x² = a 的形式再开平方。 例3 解方程：(x+1)² = 4 解：直接开平方，得 x+1 = ± x+1 = ±2 即 x+1 = 2 或 x+1 = -2 解得 x₁ = 1，x₂ = -3 【点评】把(x+1)看作一个整体，直接开平方后解一元一次方程。 例4 解方程：4x² = 100 解：系数化为1，得 x² = 25 直接开平方，得 x = ± x = ±5 即 x₁ = 5，x₂ = -5 【点评】x²的系数不是1时，需先化为1再开平方。 （四）课堂练习（约8分钟） 基础题： 1. 解方程：x² = 16 2. 解方程：x² - 25 = 0 3. 解方程：(x-2)² = 9 提高题： 4. 解方程：2x² - 8 = 0 5. 解方程：(2x+1)² = 25 （学生独立完成后，教师巡视指导，选取典型答案投影展示并点评） （五）课堂小结（约3分钟） 项目 内容 方法名称 直接开平方法 适用方程 x² = p 或 (x+m)² = n（n≥0） 核心思想 降次——将二次方程转化为一次方程 关键步骤 ①化为完全平方式 ②两边开平方 ③解一次方程 易错点 ①遗漏”±“号 ②忽略非负条件 ③系数未化为1 （六）作业布置 必做题： 1. 教材PXX 练习1、2、3 2. 解方程：(1) x² = 81 (2) x² - 36 = 0 (3) (x+3)² = 16 (4) 3x² = 75 选做题（拓展）： 3. 已知 (x-1)² = 4，求 x 的值。 4. 若方程 (x+m)² = a 有两个相等的实数根，求 a 的值。 六、板书设计 板书分为左右两部分： - 左侧：课题 + 新知探究（定义、步骤、注意事项） - 右侧：例题精讲（例1-例4的完整解题过程） - 底部：课堂小结表格 七、教学反思 1. 学生对”降次”思想的理解程度如何？是否需要通过更多实例强化？ 1. 开平方时遗漏”±“号是学生常见错误，教学中是否给予了足够强调？ 1. 课堂练习的时间分配是否合理？提高题是否适合大部分学生？ 1. 多媒体演示与黑板板书如何更好地配合，提高课堂效率？ 学科网（北京）股份有限公司 $