精品解析：江西宜春市丰城市第九中学2026-2027学年高二上学期日新班10月阶段性检测数学试题

丰城九中2026-2027学年高二日新班上学期10月阶段性数学检测 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 2. 定义在上的函数，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2026 D. -2026 3. 设等差数列的前项和为，若 ，则等于（       ） A. 30 B. 50 C. 60 D. 70 4. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6 5. 若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列.令，则数列的前50项和为（ ） A. 17 B. C. D. 6. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，其前项和为，且，则（ ） A. B. 是递减数列 C. D. 是等差数列 10. 已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在上的最小值为 D. 当时，关于x的方程有3个不同的实数根 11. 已知函数为定义在上的可导函数，为奇函数，的图象关于对称，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 为偶函数 C. D. 在上至少有5个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的单调增区间为___________ 13. 设函数，其中．若函数在区间上有三个零点，则的取值范围为______． 14. 若表示不大于的最大整数，曲线在点处的切线经过点，则___________，数列的前项和___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式及前n项和； （2）求数列的前20项和. 16. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； （2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 17. 若函数的导函数满足对恒成立，则称为T函数． （1）试问是否为T函数？说明你的理由． （2）若为T函数，求a的取值范围． 18. 已知数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）记，若对恒成立，求实数的取值范围； （3）记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的最大值与整数的最小值． 19. 若函数的导函数分别为，满足且，则称c为函数与的一个“好位点”，记作“C点”． （1）求与的“C点”． （2）判断函数与是否存在“C点”，若存在，求出“C点”，若不存在，请说明理由． （3）已知函数，若存在实数，使函数与在区间内存在“C点”，求实数q的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2026-2027学年高二日新班上学期10月阶段性数学检测 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由成等差数列及等比数列的性质可得，再由等比数列的通项公式可得. 【详解】因为成等差数列，所以， 因为是正项等比数列，设公比为，且， 所以，因为， 所以，解得：或（舍去）， 因此. 2. 定义在上的函数，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2026 D. -2026 【答案】C 【解析】 【详解】 3. 设等差数列的前项和为，若 ，则等于（       ） A. 30 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，由也成等差数列求解. 【详解】由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得 ． 4. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以，又， 所以在点处的切线方程为，即， 当时，；当时，. 所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 5. 若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列.令，则数列的前50项和为（ ） A. 17 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由数列的前两项都是奇数，两奇数之和为偶数，偶数与奇数之和为奇数， 可得各项依次为奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，…， 所以数列的前若干项依次为， 将看作一组，每组3个数的和为， 所以数列的前50项和为. 6. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求导法则和基本函数的导数，再根据题设定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则，， 因为，所以在区间上恒成立，所以选项A不正确， 对于选项B，因为，则，， 易知在区间上恒成立，所以选项B错误， 对于选项C，因为，则，， 易知易知在区间上恒成立，所以选项C错误， 对于选项D，因为，则，， 则在上不是凸函数，所以选项D正确， 故选：D. 7. 最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将表达式翻译为对应的几何意义，然后识别两个函数之间是反函数的关系，根据反函数的性质可得两曲线点的最短距离等于其中一条曲线上的点到直线最短距离的2倍，最后利用导数的几何意义计算上一点到的最短距离即可求解. 【详解】​的几何意义是： 曲线上的任意一点， 与曲线上的任意一点之间的距离的最小值. 与互为反函数，图像关于直线对称， 因此两条曲线上点的最短距离，等于其中一条曲线上的点到直线的最短距离的2倍. 对求导，令导数等于直线的斜率1： ， 代入得对应点为，该点到直线的距离为： . 故两条曲线的最短距离为.​ 8. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合拉格朗日中值定理，可得，再根据导数的几何意义，可得，只需求的最大值即可. 【详解】由题意，函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得， 又由， 可得， 所以，根据导数的几何意义知， 又由， 所以， 因为，且，所以， 令，，则， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 故当时，有最大值， 所以当时，取得最大值， 最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，其前项和为，且，则（ ） A. B. 是递减数列 C. D. 是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出的值，分析可知数列为等比数列，确定该数列的公比，可得出数列的通项公式，可判断AB选项；利用等比数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的定义可判断D选项. 【详解】因为数列满足，所以，， 所以，故，A对， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 故数列是单调递增数列，B错， ，C对， ，故数列是等差数列，D对. 故选：ACD. 10. 已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在上的最小值为 D. 当时，关于x的方程有3个不同的实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，利用赋值法求出，判断选项A；分解导函数，根据导函数在区间内正负，判断单调性，确定选项B；找出区间内极值点，计算极值和区间端点函数值，比较大小得到最小值，判断选项C；根据导函数得到完整单调区间，求出极大、极小值；利用图像，观察水平线和函数曲线交点数量，判断选项D． 【详解】已知，求导得， 把代入导函数得，解得，故A错误； 当时，，所以， 在上单调递减，故B正确； 令，得， ，，， 故在上的最小值为，故C正确； 当时，，递增； 当时，，递减； 当时，，递增，极大值，极小值， 当时，直线穿过极大值和极小值之间，与图象有3个交点， 方程有3个不同实根，故D正确． 11. 已知函数为定义在上的可导函数，为奇函数，的图象关于对称，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 为偶函数 C. D. 在上至少有5个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】本题先由函数图象变换得到原函数对称轴，结合奇函数条件推导函数对称关系；对函数求导，可得到导函数的对称与奇偶性质；判断选项时，既可以通过代数推导，也可借助举反例的方式排除错误选项. 【详解】的图象关于对称，所以， 所以，故的图象关于对称， 又因为为奇函数，所以以点中心对称， 所以的图象关于对称，故A正确； 因为，所以，所以，故B正确； 因为，所以，所以， 所以的图象关于对称， 又因为为偶函数，所以，故C错误； 取，满足条件，因为，此时函数只有3个零点，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则的单调增区间为___________ 【答案】 【解析】 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 13. 设函数，其中．若函数在区间上有三个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数零点问题，转化为函数图像交点问题，利用导数分析函数单调性、最值和极值，通过草图即可得到结果. 【详解】由函数在区间上有三个零点， 可得在上有三个不等的实根， 等价为在上有三个不等的实根． 设，， 令，得，令，得或， 可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的最小值为，的极大值为，， 画出在的图象，如图， 可得当时，和在上有三个不同的交点． 故的取值范围为． 14. 若表示不大于的最大整数，曲线在点处的切线经过点，则___________，数列的前项和___________. 【答案】 ①. 42 ②. 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求出切线方程，结合题意可得，根据的定义求出，再根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为，， 曲线在点处的切线方程为， 又因为切线过点， 所以，可得， 所以， 所以， . 故答案为：42；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式及前n项和； （2）求数列的前20项和. 【答案】（1）， （2）106 【解析】 【分析】（1）由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案； （2）由题可得数列是递增数列，当时，；当时，；当时，，从而，据此可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . 【小问2详解】 因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 16. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； （2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求，再求，即得的值，再求，从而得到切线的点斜式方程，进而得到的一般方程； （2）结合（1）及分离参数得到，再构造函数，求导，分析函数的单调性，从而得到最小值，进而即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意得， 则切线的斜率为，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 结合（1）得，又， 则，整理得， 令，则， 由于为上的单调递增函数，且当时，， 故当时，，则； 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，故的取值范围为． 17. 若函数的导函数满足对恒成立，则称为T函数． （1）试问是否为T函数？说明你的理由． （2）若为T函数，求a的取值范围． 【答案】（1） 为T函数，理由如下： 由，则， 则， 因为函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数， 所以， 所以对恒成立，故为T函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据T函数的定义结合导数判断即可； （2）根据T函数的定义可得对恒成立，设，，进而结合导数分析单调性求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则， 因为为T函数， 所以对恒成立， 即对恒成立， 设，， 则， 当，即时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 当，即时，，此时函数在上单调递增， 则，即. 综上所述，a的取值范围为． 18. 已知数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）记，若对恒成立，求实数的取值范围； （3）记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的最大值与整数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 的最大值为，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由递推关系式利用等比数列定义求通项； （2）先根据错位相减法求出前项和，得到数列的通项公式，再作差研究数列单调性找到最大值，进而由恒成立求得参数范围； （3）对裂项相消求和，再根据的单调性与取值范围确定的最大值和整数的最小值. 【小问1详解】 由递推关系，变形得， 因此数列是首项为、公比为的等比数列. 故，即. 【小问2详解】  ① ， 两边同乘得： ② ， ①②得：  ， 因此，则，故. ， 当时，，即； 当时，，即从第2项起单调递减， 因此的最大值为. 由对任意恒成立，得，即的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）得， ，因此. 前项和. 又为单调递增数列，故，且. 由对恒成立， 所以，. 即实数的最大值为，整数的最小值为 1. 19. 若函数的导函数分别为，满足且，则称c为函数与的一个“好位点”，记作“C点”． （1）求与的“C点”． （2）判断函数与是否存在“C点”，若存在，求出“C点”，若不存在，请说明理由． （3）已知函数，若存在实数，使函数与在区间内存在“C点”，求实数q的取值范围． 【答案】（1）1； （2）存在，； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“C点”的定义，列出解方程组求解即得. （2）假定存在“C点”，利用“C点”的定义列出解方程组并求解得结论． （3）设“C点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围即可. 【小问1详解】 依题意，，，由方程组，得，解得， 所以函数的“C点”为1. 【小问2详解】 依题意，，， 假定函数存在“C点”，令其“C点”为， 则，即，， 所以函数存在“C点”， “C点”为. 【小问3详解】 依题意，，， 存在使得，即， 解得， 由，又，解得， 令，则，在上增函数， ，而当时，，且当时，，则， 所以实数q的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $