精品解析：江西吉安市四所省重点中学2026-2027学年高二上学期10月联考数学试卷

吉安市四所省重点中学2026-2027学年上学期10月 高二联考数学试卷 一、单选题：每小题5分，共40分． 1. 经过点和点的直线的斜率和倾斜角，则有（ ） A. ，是 B. ，是 C. ，是 D. ，是 2. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最大值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 8. 设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题：每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且倾斜角为的直线方程为 10. 已知圆与圆的公共弦长为，直线与圆相切于点为上一点，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. 点的轨迹方程是 C. 直线截圆所得弦的最大值为 D. 设圆与圆交于两点，则的最大值为 11. 已知被、轴截得的弦长分别为、，则下列说法正确的是（ ） A. 可以取任意实数 B. 满足的有无数个 C. 若圆心在上，则的最大值为 D. 若圆心在直线上，则的最大值为 三、填空题：每小题5分，共15分． 12. 过定点且倾斜角是直线倾斜角的两倍的直线方程为________. 13. 直线与圆相交于A、B两点，当弦AB最短时，________. 14. 已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 四、解答题：本题有5小题，共77分；第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分． 15. 圆过、两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 16. 已知实数满足．求： （1）的最大值； （2）的最小值； （3）的最值． 17. 已知圆的圆心为，且过点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相切，求的值； （3）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线方程. 18. 已知动点与两个顶点，的距离之比为，动点的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程； （2）已知，过直线上的动点（）分别作圆的两条切线，（，为切点），与交于点. （i）证明直线的方程为，并判断直线是否过定点； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标和面积最大值；若不存在，请说明理由. 19. 已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市四所省重点中学2026-2027学年上学期10月 高二联考数学试卷 一、单选题：每小题5分，共40分． 1. 经过点和点的直线的斜率和倾斜角，则有（ ） A. ，是 B. ，是 C. ，是 D. ，是 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线上两点的坐标，得到斜率.根据，可求得倾斜角. 【详解】由已知得，， 又，即，， 所以，. 故选：A. 2. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简应用三角换元结合辅助角公式和三角函数值域计算可得. 【详解】因为， 所以， 设 则，所以. 故选：D. 3. 已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以，， 所以，两圆相交，故两圆的公切线条数为. 故选：B. 4. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 5. 已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 6. 过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点），画出图形，得到特殊位置的斜率，得到答案. 【详解】，两边平方得，即， 故表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点）， 如图所示，设，连接，并过点作半圆的切线，切点为， 其中，故， 设切线为，即， 圆心到直线的距离为1， 即，即， 解得或，由图形可知，切线斜率大于1， 故舍去， 所以直线的斜率范围为. 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最大值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出点的轨迹方程，只需直线与点的轨迹有公共点即可. 【详解】根据题意，设点，由可得， 又点在圆上，可得，即； 所以点既在直线上，又在以为圆心，半径为3的圆上， 即直线和圆有公共点，所以圆心到直线距离， 解得， 所以实数的最大值为0. 故选：A 8. 设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，设，建立平面坐标系，由得四点共圆，进而得圆心的坐标，即得圆的方程，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以， 设，如图所示， 由，所以，所以， 所以，所以四点共圆， 又过点三点的圆的圆心在轴上，所以， 连接，由，所以，解得， 所以过点三点的圆的方程为， 由，令，连接， 所以， 又点在圆上，且满足，所以，， 所以. 二、多选题：每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且倾斜角为的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用截距的概念分别讨论其是否为零可得出A正确；由斜截式方程可得B错误；再根据直线的一般方程求得直线斜率可得倾斜角为30°，即C正确；倾斜角为的直线斜率不存在，根据经过点的坐标可得其直线方程，可知D正确. 【详解】对于A，当在轴，轴截距为0时，此时直线方程为， 当在轴，轴截距不为0时，设直线方程为，代入点可得， 解得，所以直线方程为，即A正确； 对于B，直线在轴的截距是，即B错误； 对于C，易知直线的斜率为，因此可得其倾斜角为，即C正确； 对于D，倾斜角为的直线方程斜率不存在，所有点的横坐标相同，所以直线方程为，即D正确. 故选：ACD 10. 已知圆与圆的公共弦长为，直线与圆相切于点为上一点，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. 点的轨迹方程是 C. 直线截圆所得弦的最大值为 D. 设圆与圆交于两点，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】两圆方程作差求出公共弦方程，再由公共弦长求出，即可判断B，设，即可得到，从而求出点的轨迹方程，即可判断B，不妨取，设的坐标为，则直线的方程为，求出到直线的距离最小值，即可求出弦长最大值，即可判断C，设中点为，则，求出的最大值，即可判断D. 【详解】圆的圆心与坐标原点重合， 对于A：依题意，两圆方程相减得到， 由弦长为，所以，解得，故A错误； 对于B：设，由，所以，故B正确； 对于C：不妨取，则圆即， 设的坐标为，则直线的方程为， 则到直线的距离，因为， 所以当时，此时直线截圆所得弦的最大值为，故C正确； 对于D：取中点为，则 ， 圆的圆心为，则， 所以，故D错误； 故选：BC 其中圆上点处的切线方程为． 理由如下： ①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则， 所以， 又过点， 由点斜式可得，， 化简可得，， 又， 所以切线的方程为； ②若切线的斜率不存在，则， 此时切线方程为． 综上所述，圆上点处的切线方程为． 【点睛】关键点睛：本题关键是求出动点的轨迹方程，对于D中将转化为，从而只需求的最大值. 11. 已知被、轴截得的弦长分别为、，则下列说法正确的是（ ） A. 可以取任意实数 B. 满足的有无数个 C. 若圆心在上，则的最大值为 D. 若圆心在直线上，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据圆的弦长公式推导、与圆心坐标的关系，再结合各选项的约束条件逐一判断正误. 【详解】∵ ⊙的方程为，半径， 圆心到轴的距离为，到轴的距离为， 由弦长公式可得，， 且弦长存在，则，，即，. 对选项A：∵，即，不能取任意实数，A错误. 对选项B：若，则，即， 只要满足，即可，符合条件的圆心有无数个， B正确. 对选项C：若圆心在⊙上，则， ∴，，则， 因为，由基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立， ∴的最大值为，C正确. 对选项D：∵，，令，， ∴. ∵圆心在直线上，∴， 代入得：， 结合弦长存在的约束，可得当时，取得最小值， 此时取最大值，故， 由基本不等式可得 ∴，即，∴， 当且仅当（即，结合可解得，满足）时等号成立. 故的最大值为，D正确. 【点睛】方法归纳：本题考查圆的弦长公式、不等式求最值，解题时先推导弦长与圆心坐标的关系，再结合约束条件转化为代数最值问题求解. 三、填空题：每小题5分，共15分． 12. 过定点且倾斜角是直线倾斜角的两倍的直线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知直线的斜率，利用正弦的二倍角公式得到所求直线的斜率，点斜式求出直线方程. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 即可得，所以所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即， 故答案为：. 13. 直线与圆相交于A、B两点，当弦AB最短时，________. 【答案】0 【解析】 【分析】由题意可知当直线与过定点的直径垂直时，弦AB最短，通过垂直关系即可求出结果. 【详解】由题得，直线，即， ，解得：， 所以直线过定点， 圆的圆心为，半径为2， 当垂直直线时，弦最短， 此时直线为，则. 故答案为：. 14. 已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 四、解答题：本题有5小题，共77分；第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分． 15. 圆过、两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）先求得两点，的中垂线方程，再与联立，求得圆心即可； （2）先由直线且被圆截得的弦长为6，求得圆到直线的距离，再分截距为零和不为零求解. 【小问1详解】 解：两点，的中垂线方程为：， 联立，解得圆心， 则， 故圆的方程为：； 【小问2详解】 由直线且被圆截得的弦长为6， 故圆心到直线的距离为， A．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：， ，此时直线的方程为： A．若直线不过原点，设直线为：， ， 此时直线的方程为：， 综上：直线的方程为：，，. 16. 已知实数满足．求： （1）的最大值； （2）的最小值； （3）的最值． 【答案】（1） （2） （3）最小值为，最大值为． 【解析】 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【小问1详解】 已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆， 设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． 【小问2详解】 设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． 【小问3详解】 解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 17. 已知圆的圆心为，且过点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相切，求的值； （3）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于的等式，解之即可； （3）利用勾股定理求出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设该直线的方程为，结合点到直线的距离公式可得出关于的等式，求出的值，综合得出直线的方程. 【小问1详解】 由题意可知，圆的半径为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 直线的一般方程为，因为直线与圆相切，所以， 整理得，解得. 【小问3详解】 由题意可知，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18. 已知动点与两个顶点，的距离之比为，动点的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程； （2）已知，过直线上的动点（）分别作圆的两条切线，（，为切点），与交于点. （i）证明直线的方程为，并判断直线是否过定点； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标和面积最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）设，，易知为曲线C的圆心， 由与圆相切，可得直线的法向量为， 因此的方程为， 整理得，由在圆上得， 因此的方程为， 同理可得的方程为， 由两切线交于点，可得，这说明，在直线上， 因此直线的方程为，直线过定点； （ii）由，是圆的切线可得，因此为的中点， 由可得，在以为直径的圆上运动，该圆的圆心为，， 当位于点时，的面积最大，为， 此时，故，即， 因此存在使得面积最大，最大值为1. 【解析】 【分析】（1）设，由两点间距离公式将几何关系转为代数运算并化简即可求解； （2）（i）先设，利用圆的切线性质（圆心与切点的连线垂直于切线），推导出切线PQ、PR的方程，再将动点P的坐标代入切线方程，得到Q、R满足的直线方程，从而确定直线QR的方程，最后判断其过定点； （ii） 先根据切线相关性质（结合几何关系或向量垂直等）确定N的位置特征，再得出N在以OB为直径的圆上运动，结合的底固定，通过分析高的最大值情况，利用直线斜率关系求出p的值，进而确定点P坐标和面积最大值. 【小问1详解】 设，由题， 整理得，即； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）根据，得出动点的轨迹方程； （2）（i）两圆作差，得出公共弦所在直线的方程，求出圆心和半径，从而得出圆的方程； （ii）先假设存在这样的点，根据条件得，通过根与系数的关系，求出的值. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，. 【小问2详解】 （i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：， 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得. 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为. （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即. 联立，得，. 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得， 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $