精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2026-2027学年度高三上学期第二次定时练习数学试题

重庆实验外国语学校 2026-2027学年度（上）高2027届第2次定时练习 数学 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】复数， 所以. 2. 已知和的等比中项为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】等比中项满足，所以． 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的最小正周期为． 4. 已知点P是的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理逐项验证判断即得. 【详解】取的中点，根据中线性质可得， 因为是的重心，所以,将上式代入，得，故A,B错误； 又因,故C错误； ，故D正确. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设角对边分别为，根据题意，得到，且，再由，求得，得到，即可求解. 【详解】在中，设角对边分别为， 因为，可得，即，即， 又由， 又因为，所以，即， 因为，所以，所以. 故选：B. 6. 已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（ ） A. 63 B. 127 C. 255 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由得， 又，易得， 两边同时取以为底的对数得， 即， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. 故选：C. 7. 已知是定义在上的函数，且，，若，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得函数的周期为且为偶函数，再求得，，据此可得． 【详解】，， 又，则， ，即函数的周期为， ，即函数为偶函数， 由可得，，又，可得， ，则， ． 8. 设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据三角函数的对称性以及对数的运算性质可得，，即可结合二次函数的性质求解. 【详解】作出的图象如下所示： 设，，依题意，在上有两个根满足，故， 在上的两个根关于直线对称，因此，且 则 二、多选题（3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法来比较大小可判断AB，利用指数函数单调性可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】因为所以，即，故A正确； 因为，所以， 即，故B正确； 因为，不能确定指数函数是增函数，即不一定成立，故C错误； 因为，所以， 当且仅当时取等号，即，故D正确； 故选：ABD 10. 已知函数，其中，，、为图象上的两点，且的最小值为，是的一个对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在上有个极值点 C. 函数在区间上的最大值为，最小值为 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数的解析式，进而求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐项求解判断. 【详解】依题意，函数的最小正周期，解得，A正确； 由是的一个对称中心，得，则 而，则，，， 将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 则， 对于B，当时，， 由， 得函数的极值点，因此函数在上有个极值点，B错误； 对于C，由，得， 当时，即当时，， 当时，即当时，，C正确； 对于D，当时，， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 11. 若数列满足，且对任意正整数，，.记.则下列结论正确的是（ ） A. 对任意正整数， B. 对任意正整数， C. 对任意正整数， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题设化简即可判断；对于B，结合A及题设可得，进而得到，再举特例即可判断；对于C，结合B可知，进而求解判断即可；对于D，令，分析可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由，得， 而，则，则，故A正确； 对于B，由A知，， 而，， 则， 即， 又，则，， 所以 ， 当时，， 而，显然不满足，故B错误； 对于C，由，，则时，， 由B知，，所以， 又，则，故C正确； 对于D，令，则， ， 所以，又， ， 则， 故D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先缩小的范围，从而求出，再求出，再由结合两角和的正弦公式求出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 则， ， . 13. 已知等比数列的前n项和为，若，则______． 【答案】－144 【解析】 【分析】先利用前项和公式求出首项与时的通项，再根据等比数列的定义确定参数，最后由等比数列通项公式计算. 【详解】由，得. 当时，； 当时，. 因为为等比数列，故时的通项也满足时的表达式， 即，解得. 此时，公比，故. 14. 已知，曲线与相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，并得到三个交点的坐标，结合直角三角形条件列出方程求解即可. 【详解】设三个交点分别为. 因为， 整理得， 即 ， 令，解得， 令，得到，， ， 代入中得到，， ，， 因此三个交点为. 由勾股定理可得，代入得， 化简，解得. 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知数列的前项和为，且满足：，． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合和的关系化简可得数列是等比数列，进而求解即可； （2）先得到，再利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 由， 当时，， 两式相减得，，即，， 当时，，即，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. 【小问2详解】 由， 则 . 16. 已知分别为三个内角的对边，且； （1）求C； （2）若为上一点，为的平分线，且，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）；利用正弦定理及两角差的正弦公式化简得到，再根据辅助角公式得，解方程即可求解； （2）根据结合三角形的面积公式得到，利用余弦定理求出，结合基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 即， 又， 则， 所以， 因为，所以，故， 即， ，，. 【小问2详解】 由题可知：， 即，即； 由余弦定理知：， 即，当且仅当时取等， ， 即，当且仅当时等号成立， 所以线段长度的最大值为. 17. 如图，在等腰直角中，，点、分别是边、的中点，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，为的中点． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）取的中点，连接，则为的中位线， 则，且， 而，且，则，且， 得四边形为平行四边形，得，平面平面， 得平面． （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形即可求证； （2）设，建立如图所示的空间直角坐标系利用空间向量求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，得， 而平面，得平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 得， 设平面的法向量为， 由，取， 假设在棱上存在一点，使得二面角的余弦值为， 设，则， 得， 设平面的法向量为， 由，取， 则，得， 化简得，解得或（此时二面角为钝角，故舍去）， 故． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，线段的中点为，过的直线与交于，两点，在轴上方．当为的上顶点时，，且． （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若，与轴分别交于，，求与的面积之比． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标和题目条件表示出和的关系式，从而进行求解； （2）设出直线方程，进而将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和题目条件，从而进行求解； （3）根据第2小问得到的两个动点纵坐标之间的关系和直线方程，计算出三角形的高，从而表示出三角形的面积进行求解. 【小问1详解】 由题可知，，，，如下图所示： ，即， 因为，所以，即， 所以联立解得，， 因此椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，，， 设的直线方程为，，， 联立，可得， 根据韦达定理可得，， 因为，所以， 所以，即， 所以，，解得， 因此直线的方程为； 【小问3详解】 图象如下图所示： 由（2）可知，， 直线的方程为，所以，即， 同理可得， 所以， 所以，故与的面积之比为1． 19. 函数． （1）若，求函数在上的单调区间； （2）若存在，使得成立，求a的取值范围； （3）若函数有两个零点，，且，求的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，令，利用导数求得在单调递增，从而得到在单调递增，再结合，即可求解； （2）根据题意，转化为有解，从而等价于，再利用换元，构造函数，求导，分析函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据题意，转化为有两个不同的解，结合（2）得到，求得化简得到，令，求得，令，利用导数求得为增函数，得到，得到在递增，求得，即可得到答案． 【小问1详解】 当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 【小问2详解】 由不等式，可得， 即， 因为存在，使得成立，则在上有解，等价于， 令，则函数与函数的图象有交点， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以，即， 又函数在单调递增，则，即， 所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 若函数有两个零点，，即有两个不同的解， 由（2）知，即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，， 当时，的两个解为，，即，则，即， 令，由，则，且， 所以，，所以， 令， 则， 令， 则， 所以在单调递增，则， 所以，则在单调递增，则， 又因为时，，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校 2026-2027学年度（上）高2027届第2次定时练习 数学 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知和的等比中项为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P是的重心，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（ ） A. 63 B. 127 C. 255 D. 256 7. 已知是定义在上的函数，且，，若，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 8. 设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，其中，，、为图象上的两点，且的最小值为，是的一个对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在上有个极值点 C. 函数在区间上的最大值为，最小值为 D. 函数在区间上单调递增 11. 若数列满足，且对任意正整数，，.记.则下列结论正确的是（ ） A. 对任意正整数， B. 对任意正整数， C. 对任意正整数， D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则__________． 13. 已知等比数列的前n项和为，若，则______． 14. 已知，曲线与相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则___________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知数列的前项和为，且满足：，． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 16. 已知分别为三个内角的对边，且； （1）求C； （2）若为上一点，为的平分线，且，求线段长度的最大值． 17. 如图，在等腰直角中，，点、分别是边、的中点，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，为的中点． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，线段的中点为，过的直线与交于，两点，在轴上方．当为的上顶点时，，且． （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若，与轴分别交于，，求与的面积之比． 19. 函数． （1）若，求函数在上的单调区间； （2）若存在，使得成立，求a的取值范围； （3）若函数有两个零点，，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $