18.4 第1课时 负整数指数幂（课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十八章 分式 18.4.1 负整数指数幂 22051 列式 实 际 问 题 分 式 类比分数 分式的概念 分式的基本性质 分式的约分与通分 分式有意义的条件 分式值为0的条件 分式的运算 分式的混合运算 复习导入 22051 合作探究 由分式的约分可知，当a≠0时， 思考1 你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？ ① 同底数幂的除法 am÷an=am-n(a≠0) m，n是正整数，m>n m，n是正整数 ② 22051 合作探究 思考1 你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？ 由①②两式，我们想到如果规定 (a≠0)，就能使am÷an=am-n这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形． 为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式， 数学中规定：一般地，当n是正整数时， 这就是说，a-n(a≠0)是an的倒数． 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数． 今后，如无特别说明，本书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0. 22051 溯源 　　幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示． 　　an 这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广．1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将 aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以我将 ， ， ，… 写成a－1，a－2，a－3，…．” 22051 知识点1 负整数指数幂 思考：你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果 am 中的 m 可以是负整数，那么负整数指数幂 am 表示什么？ 问题：根据以前学过的知识，你有哪些方法计算a3÷a5，有什么发现？ a3÷a5 = = = . （法一：利用分式的约分） 22051 合作探究 思考2 引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质am·an=am+n（m，n是正整数）能否推广到m，n是任意整数的情形？ 我们从特殊情形入手进行研究．例如， 即 即 即 可以换其他整数指数再验证这个规律. am·an=am+n（m，n是整数） 22051 合作探究 探究 类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用． 运算法则 指数的取值范围 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 分式的乘方 (am)n=amn m，n是正整数 (ab)n=anbn n是正整数 am÷an=am-n(a≠0) m，n是正整数，m>n ()n=(b≠0) n是正整数 22051 正整数指数幂的运算有哪些？请用式子表示出来. ①同底数幂的乘法： ②幂的乘方： ③积的乘方： ⑤商的乘方： （m，n 是正整数） （m，n 是正整数） （n 是正整数） ④同底数幂的除法： （a≠0，m，n 是正整数且 m > n ） （b≠0，n 是正整数） 思考：指数幂中指数可以是负整数吗？ 22051 问题：根据以前学过的知识，你有哪些方法计算a3÷a5，有什么发现？ （法二：如果把正整数指数幂的运算性质am÷an=am-n (a≠0，m，n 是正整数，m >n)中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像 a3÷a5 情形也能使用） a3÷a5=a3-5=a-2. a-2 22051 合作探究 探究 类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用． 运算法则 指数的取值范围 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 分式的乘方 (am)n=amn (ab)n=anbn am÷an=am-n(a≠0) ()n=(b≠0) m，n是整数 n是整数 m，n是整数 n是整数 22051 典例分析 例1 计算： （1） （2） （3） （4） 解 （1） 22051 规定：一般地，当n是正整数时，a-n 这就是说，a-n(a≠0)是an 的倒数． 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数. 负整数指数幂的意义： 22051 (1)5－² ＝ ； (2) -3-² ＝ ； (3) (-3)-3 =__________; (4)=__________. 填空： 8 22051 典例分析 例1 计算： （1） （2） （3） （4） （2） 22051 典例分析 例1 计算： （1） （2） （3） （4） （3） 22051 知识点2 整数指数幂 思考1：引入负整数指数和0指数后，am·an=am+n（m，n 是正整数）,这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？ a3 • a -5 = a 3+(-5)， a -2 = 即 a3 • a5 =a 3+(-5)； a -3 • a -5 = a (-3)+(-5)， a -8 = 即 a -3 • a -5 = a (-3)+(-5) ； a 0• a -5 = 1• = = a -5 = a 0+(-5)， 即 a 0• a -5 = a 0+(-5) . 一般地，am·an=am+n 这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用. 我们从特殊情形入手进行研究.例如， 22051 思考2：类似地，用负整数指数幂或 0 指数幂对其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否适用. (1)幂的乘方： （m，n是正整数）； (2)积的乘方： （n是正整数）； (3)同底数的幂的除法： （ a≠0，m，n是正整数，m＞n）； (4)商的乘方： （n是正整数）. 事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂. 22051 典例分析 例1 计算： （1） （2） （3） （4） （4） 22051 总结 根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， 因此 即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法． 特别地， ，所以 ， 即商的乘方 可以转化为积的乘方 ． 典例分析 22051 例1 计算: (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 对于(1) (2)两问，你还有其他的解法吗？ 22051 即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法. 即商的乘方可以转化为积的乘方. am÷an = am · a-n (a≠0). 22051 知识点2 负整数指数幂的相关计算 4. 定义一种新的运算：如果a≠0，则有a▲b＝a－2＋ab＋｜－b｜，那么▲2的值是(　　) A.－3 B.5　　 C.－ D. B 【点拨】∵a▲b＝a－2＋ab＋｜－b｜， ∴(－)▲2＝(－)－2＋(－)•2＋｜－2｜＝1(－)2－1＋2＝4－1＋2＝5. 返回 22051 5.在算式“(－3)□(－4)－2×”中的“□”里填入一个运算符号，使得它的结果最小，则填入的是(　　) A.＋ B.－ C.× D.÷ D 22051 (1) am · an = am+n ( m，n 都是整数)； (2) (am)n = amn ( m，n 都是整数)； (3) (ab)n = anbn ( n 是整数). 整数指数幂的运算性质可以归结为： 22051 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22051 一级标题：黑体， 26 整数指数幂 1. 零指数幂：当 a ≠ 0 时，a0 = 1 2. 负整数指数幂：当 n 是正整数时，a-n＝ (a ≠ 0) 3. 整数指数幂的运算性质： (1) am· an = am+n (m，n 为整数) (2) (ab)m = ambm (m 为整数) (3) (am)n = amn (m，n 为整数) 22051 谢谢大家聆听 22051 $