18.5 分式方程（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第18章　分式 18.5 分式方程（第1课时） 分式方程的概念与解法 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 问题 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用的时间，与以最大航速逆流航行所用的时间相等，江水的流速为多少？ 答：设水流速度为，方程为。 顺流速度为，逆流速度为。 路程除以速度得到各自时间；实际要求。 新知讲授 分式方程的定义 定义 像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程（fractional equation）。 与整式方程比较 的未知数出现在分母中，是分式方程；的分母为常数，是整式方程。判断时关注未知数的位置。 新知讲授 把新方程转化为熟悉的方程 转化目标 已经会解一元一次方程。面对分式方程，可尝试两边同乘适当的整式，把分母去掉，转化为能够求解的整式方程。 关键一步 先找各分母的最简公分母，再用它乘方程两边的每一项。不能只消去分式中的分母，却漏乘同一边出现的常数项或整式项。 例题讲解 示例 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用的时间，与以最大航速逆流航行所用的时间相等，江水的流速为多少？ 答：去分母得，解得。 两边同乘。 展开合并：，得。 例题讲解 示例 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用的时间，与以最大航速逆流航行所用的时间相等，江水的流速为多少？ 答：江水流速为。 代入原式，左边，右边。 两边有意义且相等，且，符合实际。 新知探究 示例 运用“去分母化为整式方程”的方法解方程，你发现了什么问题？ 答：去分母得，候选值为。 最简公分母为。 但候选值恰好使原分母为零，不能作为原方程的解。 新知讲授 去分母为什么需要检验 同乘含未知数的式子 去分母时同乘的公分母含未知数。求得的候选值可能使这个公分母等于，这时原分式没有意义，不能作为原方程的解。 本探究的结论 虽然满足整式方程，却不能代入原分式方程。因此该分式方程无解。求得整式方程的解只是中间步骤。 新知讲授 检验的方法 原话 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 双重核查 检验公分母可排除使原式无意义的候选值；必要时再代回原方程两边，能够进一步发现去分母或移项过程中的计算错误。 例题讲解 例 1 解方程。 答：。 两边同乘，得。 解得。 检验：，所以是原方程的解。 例题讲解 例 2 解方程。 答：原方程无解。 两边同乘，得。 化简得，候选值。 代入公分母得，因此不是原方程的解。 新知讲授 没有分母的一项也要乘 每一项都同乘 在中，去分母后变为，不能仍写成。 先写乘法再约去 初学时可以先把每一项都写成乘公分母的形式，再分别约去分母。这样虽多写一步，却能清楚检查是否漏乘了某一项。 方法归纳 解分式方程的完整步骤 转化并求解 ① 分母先分解，找最简公分母，两边每项都同乘。 ② 解所得整式方程，得到候选值。 检验再作结论 ① 将候选值代入最简公分母，排除使其为零的值。 ② 需要时再代原方程核对；无有效候选值则写原方程无解。 课堂练习 练习 解下列方程： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 去分母得，解得。 ，检验通过。 （2） 答：。 去分母得，解得。 。 课堂练习 练习 解下列方程： （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 去分母得，解得。 。 （4） 答：。 同乘，得。 解得，公分母不为零。 课堂练习 练习 解下列方程： （1） （2） （1） 答：无解。 去分母得，候选值。 ，不能取。 （2） 答：。 同乘，得。 解得，三个分母因式均非零。 课堂练习 练习 解下列方程： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 ，解得，代入公分母非零。 （2） 答：。 同乘，得。 解得，。 课堂练习 练习 解下列方程： （1） （2） （3） （4） （3） 答：无解。 去分母得，候选值。 原分母，舍去。 （4） 答：。 去分母得。 解得，公分母。 课堂练习 练习 解下列方程： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 去分母得。 化简解得，代入公分母非零。 （2） 答：。 右边改为，去分母得。 解得。 课堂练习 练习 解下列方程： （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 同乘，得。 解得，。 （4） 答：。 同乘，得。 解得，公分母非零。 课堂练习 练习 解下列关于的方程： （1） （2） （1） 答：。 由解得。 ，检验通过。 （2） 答：。 去分母得，解得。 由可知且。 例题讲解 示例 判断与中，哪个是分式方程？ 答：第二个是分式方程，第一个是整式方程。 关键看未知数是否出现在分母中。 例题讲解 示例 把去分母，写出得到的整式方程。 答：。 每一项都乘，常数项不能漏乘。 例题讲解 示例 若候选值使原方程某个分子为零，但全部分母非零，是否一定应舍去？ 答：不一定；分子为零是允许的，应核查原方程是否成立。 排除候选值的条件是原分母为零，而非分子为零。 例题讲解 示例 解方程。 答：无解。 原条件；去分母得，矛盾。 例题讲解 示例 方程的解是什么？ 答：所有满足的实数。 在原式有意义的范围内，左边恒等于1。 例题讲解 示例 解方程。 答：无解。 同乘得，化简成，不成立。 例题讲解 示例 解方程。 答：无解。 右边等于，去分母得。 例题讲解 示例 方程求得候选值。检验该值并写出结论。 答：是原方程的解。 公分母。 原方程左右分别为。 例题讲解 示例 对，为什么检验后可以确认转化有效？ 答：此时公分母非零。 两边乘非零数不会改变等式是否成立，且原方程两边均有意义。 课堂总结 分式方程的解法 定义 分母中含有未知数。 转化 找最简公分母，两边每项都同乘。 求解 解所得整式方程，得到候选值。 检验 候选值代入公分母，必须不为零。 结论 保留有效解；没有有效解时说明无解。 针对训练 训练 下列方程中是分式方程的是：A.；B.；C.；D.。 答：B 只有B的分母含未知数x。 分数系数不等于分式方程。 针对训练 训练 解方程时，可同乘的最简公分母是________。 答：。 两分母没有其他共同因式，取两因式的积。 右边的1也要乘公分母。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 整式方程求出的所有值都是原分式方程的解。 错误 还需排除使原分母为零的值。 （2） 去分母时，常数项不需要乘公分母。 错误 两边的每一项都要同乘。 （3） 分子为零的候选值一律舍去。 错误 只要分母非零且方程成立就可保留。 （4） 公分母为零的候选值不是原方程的解。 正确 原分式此时没有意义。 针对训练 训练 解方程。 答：。 去分母得。 解得，检验公分母为。 解完后单独写出检验结论。 针对训练 训练 解方程。 答：无解。 去分母得，候选值。 原分母为零，候选值舍去。 分解平方差后找到最简公分母。 针对训练 训练 解方程。 答：。 去分母得，解得。 检验。 右边2要乘完整的x−1。 针对训练 训练 解方程。 答：。 右边第一项改为。 去分母得，解得。 改变分母方向时同步改变分式符号。 针对训练 训练 解，有人约去左式后求得，未检验。补全解答。 答：是原方程的解。 原条件；去分母得，所以。 代入原公分母，检验通过。 约分过程中用到的非零条件需要在结论中落实。 针对训练 训练 甲车运输与乙车运输所用时间相同，乙车平均速度比甲车快。求甲车平均速度。 答：。 设甲速，列。 解得，公分母非零且速度为正。 相等关系是用时相等，路程除以各自速度。 针对训练 训练 甲加工个零件与乙加工个零件用时相同，乙每小时比甲多加工个。求甲每小时加工多少个零件。 答：个。 设甲效率，列。 去分母得，解得并检验。 件数不同但时间相同，用件数除以效率建立方程。 方法归纳 把检验写进解题流程 去分母要完整 ① 分母先分解，最简公分母乘到等式两边的每一项。 ② 相反分母先统一符号，再求整式方程的候选值。 候选值到解 ① 公分母非零才可保留，必要时回代原方程检查。 ② 实际问题还需满足正数、整数等情境条件，再写带单位的结论。 $