第3章 圆（单元自测·拔尖卷） 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第3章 圆·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．线段的端点严格在圆内部，端点严格在圆外部。线段与圆周的公共点个数一定为（　　） A．个 B．个 C．个 D．不能确定 【答案】B 【分析】圆内外端点与有限线段交点个数。直线相交有两个交点，不代表有限线段也含两个。 【详解】直线从圆内点向的方向只会经过该方向上的一个圆周交点；另一个圆周交点在的反向射线上。因此有限线段恰有一个圆周交点。 【易错提醒】直线相交有两个交点，不代表有限线段也含两个。 2．（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第14题）同一个圆中，两条不相交的平行弦长度分别为，它们所在直线之间的距离为。该圆半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行弦间距反求圆半径。不能在未判断同侧、异侧前直接把弦距当弦心距之差。 【详解】较长弦到圆心距离较小，记为；较短弦到圆心距离为。由半弦直角三角形，，故。若异侧，则，但，不可能乘积为。所以同侧且，得，故，。 【易错提醒】不能在未判断同侧、异侧前直接把弦距当弦心距之差。 3．（改编自2025·南京联合体零模，公开重排版第3题）正五边形内接于一个圆。点在圆上且不与重合，则可能为（　　） A．只有 B．只有 C．或 D．或 【答案】D 【分析】正多边形一边所对圆周角的双值。“任一点”没有限定在哪一段弧上。 【详解】边所对劣弧的圆心角为。在优弧时角为；在劣弧时角为。 【易错提醒】“任一点”没有限定在哪一段弧上。 4．（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第2题）是半圆直径，，在半圆上且。点在不含的弧上运动（可与重合），过作于，连接。的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定点垂足轨迹与圆外点到圆最短距离。先找垂足轨迹的圆心，不能把误当原半圆上的点。 【详解】当时，，故在以为直径的圆上；当时，该结论仍成立。记中点为，这个圆的半径为。由半圆直径可知，所以。在直角三角形中，，由勾股定理得。于是。取线段与以为直径的圆靠近的交点为，此时且。点在线段内部，也在三角形内部，所以射线在内部，与原半圆第二交点位于指定弧内；由直径所对圆周角可知，因此该位置符合题意，最小值可以取到。 【易错提醒】先找垂足轨迹的圆心，不能把误当原半圆上的点。 5．（改编自2025·南京联合体零模，公开重排版第1题）反比例函数（）的图象上有两点。以为圆心的圆与轴相切，以为圆心的圆与轴相切。已知，前一个圆的半径是后一个圆的倍，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】坐标轴相切的半径与反比例函数。与轴相切看纵坐标，与轴相切看横坐标。 【详解】由得。圆心到轴距离为，所以圆心到轴距离为，在第一象限，故纵坐标为，横坐标为。 【易错提醒】与轴相切看纵坐标，与轴相切看横坐标。 6．圆半径为，圆外两点满足。从分别引切线，切线长记为。则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆外点距离与切线长度比较。切线长不是圆外点到圆的最近距离。 【详解】切线垂直切点半径，故，。因此。 【易错提醒】切线长不是圆外点到圆的最近距离。 7．（改编自2025·泰州兴化期末，公开重排版第9题）如图，将圆的劣弧沿弦翻折，点在折后弧的内部，点在原圆的优弧上。已知，且在内部。则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】折弧的圆周角与角的差。已不在原圆上，不能将、、、当共圆四点。 【详解】设翻折前对应点为。对称保持角度，故，由圆内接四边形可得。所以；又。在三角形内部，故所求角和为。 【易错提醒】已不在原圆上，不能将、、、当共圆四点。 8．点互不重合。关于经过这三点的圆，下列结论正确的是（　　） A．任意实数都能确定一个圆 B．当时有无数个这样的圆 C．当时能确定唯一的圆 D．所有这样的圆的圆心都是原点 【答案】C 【分析】三点定圆的非共线条件。互不重合不等于不共线。 【详解】时三点共线，不存在经过三点的圆；时三点不共线，存在唯一圆。圆心在的垂直平分线轴上，但仅在时可能为原点；所以正确的是。 【易错提醒】互不重合不等于不共线。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．半径为的圆内部有两点，满足。直线与圆相交于，则弦的长度为________。 【答案】 【分析】先从圆内两点确定弦心距，再由整条割线求弦长。圆内线段不是弦，不能把误当半径。 【详解】作于。在等腰直角三角形中，，，所以。都在圆内，才是真正的弦。由垂径定理及勾股定理，，故。 【易错提醒】圆内线段不是弦，不能把误当半径。 10．（改编自2024·无锡金桥零模，公开重排版第12题）直角三角形两条直角边长为， 其内切圆面积为________。 【答案】 【分析】内切圆半径与等面积分割。三角形面积与圆面积不能混用。 【详解】斜边长为。设内切圆半径为，按三边分割面积得，故，内切圆面积为。 【易错提醒】三角形面积与圆面积不能混用。 11．圆锥的母线长是底面半径的倍。将其侧面沿一条母线剪开，展开扇形的周长为。 该圆锥的高为________。 【答案】 【分析】圆锥展开周长与轴截面勾股逆求。展开周长包括两条母线，不能只把周长当成底面周长。 【详解】设底面半径为，则母线。扇形弧长等于底面周长，展开扇形的周长为，得。由圆锥轴截面中的直角三角形，高为。 【易错提醒】展开周长包括两条母线，不能只把周长当成底面周长。 12．（改编自2025·南京六十六中一模，公开重排版第5题）正方形的内切圆与外接圆的半径之和为。正方形面积为________。 【答案】 【分析】正方形内外接圆半径和的逆求。外接圆半径是对角线一半。 【详解】设边长为，两半径分别为。故，得，面积。 【易错提醒】外接圆半径是对角线一半。 13．圆中两条不重合的直径相交。已知，点在不含的劣弧上。 则________度。 【答案】 【分析】两条直径与圆周角弧的选择。先确定不含的弧，不能把直接除以。 【详解】与反向，故小圆心角。在劣弧内，不在劣弧内，所以。 【易错提醒】先确定不含的弧，不能把直接除以。 14．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第3题）圆内一点到圆周的最小距离为。经过的最短弦长为。该圆半径为________。 【答案】 【分析】定点最短弦与点到圆最短距离。圆内点到圆的最小距离为半径减圆心距。 【详解】设圆半径为，则。最短弦垂直，半弦长为，故，解得。 【易错提醒】圆内点到圆的最小距离为半径减圆心距。 15．（改编自2024·无锡金桥零模，公开重排版第26题）在直角三角形中，。以为圆心作与相切的圆，切点为；该圆与线段交于。 劣弧的长度为________。 【答案】 【分析】切圆半径与指定小弧长度。在线段上，所求小圆心角为，不是。 【详解】。圆半径为斜边上的高。由于，，故弧长为。 【易错提醒】在线段上，所求小圆心角为，不是。 16．半径为的圆上，弦。点在线段上运动，以为圆心、为半径作圆。若这个圆经过原圆心，则________。 【答案】 【分析】动圆经过定点与距离等式。移动的圆心不要求在原圆上。 【详解】设中点为，则。因，在的垂直平分线上；设，由直角三角形，。代入得，故为且。 【易错提醒】移动的圆心不要求在原圆上。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）圆内接梯形的顶点依次排列，，，且对角线。 （1）求梯形的高和面积； （2）求该圆的半径。 【答案】（1）高，面积；（2）半径。 【分析】圆内接等腰梯形、垂直对角线与两弦心距。对角线垂直不代表梯形为矩形；圆心未先定位，不能直接把高的一半作为弦心距。 【详解】（1）由得，同圆中等圆周角所对弦相等，所以，梯形为等腰梯形。作，则，。记对角线交点为。由等弦得；又，所以两底角均为。在直角三角形中，。故梯形面积为。 （2）以中点为原点、为横轴，取。由两底的垂直平分线，圆心为。半径相等给，即，解得。因此圆半径为。 【易错提醒】对角线垂直不代表梯形为矩形；圆心未先定位，不能直接把高的一半作为弦心距。 【评分标准】（2分）等腰梯形与度关系求高。 （1分）梯形面积。 （2分）圆心位置及半径。 18．（5分）（改编自2024·无锡金桥零模，公开重排版第27题）在中，。以为直径的圆交于，为中点，连接。 （1）证明，并求两三角形的面积比； （2）证明； （3）若，求。 【答案】（1）见证明，面积比为；（2）见证明；（3）。 【分析】半径、斜边中点、中位线与三边相似，投影数量关系。面积比应为相似比的平方；第二问要证明数量关系，不可只写熟记结论。 【详解】（1）由是直径，。为直角三角形斜边的中点，故。为中点，得；由三角形中位线，。所以，由三边对应成比例，，相似比为，面积比为。 （2）、为、中点，故。设。由、及，两式相减化简得，即。 （3），，故，。 【易错提醒】面积比应为相似比的平方；第二问要证明数量关系，不可只写熟记结论。 【评分标准】（2分）三边比例相似及面积比。 （2分）数量关系证明。 （1分）求。 19．（6分）（改编自2024·南京科利华三模，公开重排版第27题）等腰三角形中，，以为直径作圆，交于异于的点。过作于。 （1）证明是圆的切线； （2）若，求圆的直径。 【答案】（1）见证明；（2）。 【分析】等腰中线、中位线及切线判定。圆直径是，不能误当。 【详解】（1）由是直径得。等腰三角形顶角的高也是底边中线，故为中点。为中点，因此。又，故，于是为切线。 （2）。在直角三角形中，。设，则。由，得，所以直径。 【易错提醒】圆直径是，不能误当。 【评分标准】（3分）中点、中位线及切线证明。 （3分）勾股联立求直径。 20．（6分）（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第24题）如图，依次共线，在圆上，。已知。 （1）求圆心到弦的距离； （2）证明是圆的切线； （3）求。 【答案】（1）；（2）见证明；（3）。 【分析】同弧圆周角、切线及直角三角形。在延长线上，处角应取的补角。 【详解】（1）弦所对圆周角为，所对小圆心角为，所以。圆心到弦距离为。 （2），故。由及圆周角关系可得；此图中在之间，所以。因此为切线。 （3），，故，。过作，在含角的直角三角形中，、。所以，，故。 【易错提醒】在延长线上，处角应取的补角。 【评分标准】（2分）半径及弦心距。 （2分）切线证明。 （2分）计算。 21．（6分）（改编自2025·苏州三区二模，公开重排版第22题）是圆的直径，在上半圆上，是不含的弧中点。在射线上且位于外侧，直线与的夹角满足。连接交于。 （1）证明是圆的切线； （2）若，求。 【答案】（1）见证明；（2）。 【分析】弧中点的角平分与切线判定、交点比例。题中的不能含混写成；图上还连接直径端点时易误读成。 【详解】（1）因为弧中点，。同弧所对圆周角相等，，故。又是直径，。图中在射线、之间，所以，即，为切线。 （2），由，设。以建立坐标系。由直角三角形投影或两次勾股，得。为弧中点，垂直平分，设，可由及圆上关系确定所在直线为。直线上点写成，与联立得。故，得，。 【易错提醒】题中的不能含混写成；图上还连接直径端点时易误读成。 【评分标准】（2分）切线证明。 （2分）建立坐标及两直线。 （2分）求交点比及直径。 22．（8分）（改编自2025·泰州兴化期末，公开重排版第23题）圆半径为，为两条不重合的等弦。射线交线段内部于（在外侧）。 （1）证明； （2）若，求劣弧所对应的圆心角； （3）当为直角三角形时，求所有可能的。 【答案】（1）见证明；（2）；（3）或。 【分析】等弦全等、等腰角关系与直角顶点分类。第三问必须分别检验、、三个直角顶点。 【详解】（1）公共，，，由得两三角形全等。 （2）设。由（1），平分。，故在中，所以。在中，且、、同射线，故。解得，于是。 （3）直角若在，则，由勾股定理。直角若在，则，所以。又，且、、共线，是的垂直平分线，故，三角形为等边三角形，。若直角在，则，意味着弦所在直线在与圆相切，不可能还有另一交点，因此排除。两种有效构型均满足在线段内部且位于外侧。 【易错提醒】第三问必须分别检验、、三个直角顶点。 【评分标准】（2分）全等证明。 （3分）角度。 （3分）三类直角与两个边长。 23．（8分）圆中，弦在圆内交于，。 （1）证明，并求； （2）若，求圆的半径； （3）说明删除垂直条件后，圆的半径是否仍唯一。 【答案】（1）；（2）；（3）不唯一。 【分析】相交弦、弦中点的垂径逆用与条件必要性。相交弦乘积只确定圆幂，不单独确定圆半径。 【详解】（1）连接、。同弧所对圆周角相等，且处对顶角相等，得，所以，代入得。 （2），所以为中点。且过，故所在直线过圆心，是直径。半径为。 （3）不唯一。设，圆心可取，半径；也可取，半径。两圆都经过、且在圆内。过作垂直于的弦，其半长为，故都可取。因此存在至少两种半径。 【易错提醒】相交弦乘积只确定圆幂，不单独确定圆半径。 【评分标准】（3分）乘积关系与。 （2分）判断直径及半径。 （3分）两个满足条件的不同半径反例。 24．（8分）（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第25题）上半圆直径，在半圆弧上且。为不含的弧中点，为另一段弧中点。 （1）证明是圆的直径，并求； （2）过作圆的切线，交直线于。求。 【答案】（1），为直径；（2）。 【分析】两段弧中点构成直径、切线与坐标勾股。另一弧中点在下半圆，不要强行把也放到给定上半圆内。 【详解】（1）两段弧的中点都在的垂直平分线上，因此、、共线，是直径。取，圆心为。，由及得。中点为，。，所以，对径点。故。 （2）设切线与交于。与垂直，利用勾股定理，有，解得。因此，。 【易错提醒】另一弧中点在下半圆，不要强行把也放到给定上半圆内。 【评分标准】（2分）两弧中点确定直径。 （4分）点坐标及、。 （2分）切线位置与外分比。 25．（10分）（改编自2025·南京联合体3月模拟，公开重排版第20题）给定半径为、圆心为原点的圆。若存在圆上两个不同点，使且，则称点为该圆的“直角等腰生成点”。 （1）判断中哪些是生成点； （2）求所有生成点到的距离范围； （3）求直线上所有生成点的横坐标范围。 【答案】（1）只有；（2）；（3）或。 【分析】旋转生成圆及点圆距离、可实现性。三角形不等式只给必要界限，还应证明整个范围能实现并排除退化。 【详解】把点绕旋转得到。固定时，圆旋转为等半径圆；其圆心由绕旋转所得，所以且。由勾股定理，又，故三角形不等式给出。 反之，给定满足此距离范围的，以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆有公共点。对这样的，能在原圆上确定，使为以为直角顶点的等腰三角形；将逆旋转回，则在原圆上。若某一选择恰给，可选另一对称的，至少一个选择不退化。因此整个闭区间都能实现；端点时、、共线，生成的、不同，端点也可取。 （1）中，只有在该范围内，故只有。 （3）在上时，故，得到所列两个闭区间。 【易错提醒】三角形不等式只给必要界限，还应证明整个范围能实现并排除退化。 【评分标准】（2分）判断三点。 （3分）旋转像圆与距离必要条件。 （3分）充分性与退化检验。 （2分）两个横坐标区间。 26．（10分）圆半径为，圆外点引切线，切点为、，。接触弦与交于。将沿直线翻折，得到。 （1）证明且； （2）分别求在圆内、圆上、圆外时的范围； （3）在圆上时，判断的形状，并求其面积。 【答案】（1）见证明；（2）圆内，圆上，圆外；（3）等边三角形，面积。 【分析】切线接触弦、折叠圆心距离与参数分类。折后像点可能在两侧，距离必须取绝对值；是退化情形不在定义域。 【详解】（1），所以、都在的垂直平分线上，且。设，，则。又切线长平方。相减化简得，即。 （2）为中点，共线，所以。令。比较与，等价于比较与。的正根为（因排除），的正根为。由此时像点在圆内，在圆上，在圆外。 （3）时，，所以。又，故为等边三角形，面积。 【易错提醒】折后像点可能在两侧，距离必须取绝对值；是退化情形不在定义域。 【评分标准】（3分）接触弦垂直与关系。 （4分）完整位置分类及端点。 （3分）等边形状及面积。 27．（10分）圆以原点为圆心、半径为，定点。水平直线截圆于，其中在左侧，且、不同。 （1）写出及到的距离（用表示），并写出的范围； （2）当为直角三角形时，求所有； （3）记（2）中两个三角形面积为，求及。 【答案】（1），高，；（2）；（3）。 【分析】圆外定点所见弦的直角双解与面积不变量。对称只能说明等腰；直角顶点还应判定。平方后要检验解在非退化定义域内。 【详解】（1）由勾股关系，半弦长为。两交点不重合要求，此时在弦上方，高为。 （2）在垂直平分线上，，所以直角只能在。此时从向作高，得到两个等腰直角三角形，因此。两边都为正，平方得，解得。两值均在内，且满足未平方等式，故均有效。 （3）两面积分别为及。所以和为，乘积为。 【易错提醒】对称只能说明等腰；直角顶点还应判定。平方后要检验解在非退化定义域内。 【评分标准】（2分）弦长、高及定义域。 （4分）仅可为直角与两个有效解。 （4分）两面积及和积。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 答卷前请填写姓名、班级和考号。选择题选出唯一正确答案；非选择题在本卷预留区域作答，写出必要过程。考试结束后按教师要求交卷。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．线段的端点严格在圆内部，端点严格在圆外部。线段与圆周的公共点个数一定为（　　） A．个 B．个 C．个 D．不能确定 2．（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第14题）同一个圆中，两条不相交的平行弦长度分别为，它们所在直线之间的距离为。该圆半径为（　　） A． B． C． D． 3．（改编自2025·南京联合体零模，公开重排版第3题）正五边形内接于一个圆。点在圆上且不与重合，则可能为（　　） A．只有 B．只有 C．或 D．或 4．（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第2题）是半圆直径，，在半圆上且。点在不含的弧上运动（可与重合），过作于，连接。的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．（改编自2025·南京联合体零模，公开重排版第1题）反比例函数（）的图象上有两点。以为圆心的圆与轴相切，以为圆心的圆与轴相切。已知，前一个圆的半径是后一个圆的倍，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．圆半径为，圆外两点满足。从分别引切线，切线长记为。则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（改编自2025·泰州兴化期末，公开重排版第9题）如图，将圆的劣弧沿弦翻折，点在折后弧的内部，点在原圆的优弧上。已知，且在内部。则（　　） A． B． C． D． 8．点互不重合。关于经过这三点的圆，下列结论正确的是（　　） A．任意实数都能确定一个圆 B．当时有无数个这样的圆 C．当时能确定唯一的圆 D．所有这样的圆的圆心都是原点 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．半径为的圆内部有两点，满足。直线与圆相交于，则弦的长度为________。 10．（改编自2024·无锡金桥零模，公开重排版第12题）直角三角形两条直角边长为， 其内切圆面积为________。 11．圆锥的母线长是底面半径的倍。将其侧面沿一条母线剪开，展开扇形的周长为。 该圆锥的高为________。 12．（改编自2025·南京六十六中一模，公开重排版第5题）正方形的内切圆与外接圆的半径之和为。正方形面积为________。 13．圆中两条不重合的直径相交。已知，点在不含的劣弧上。 则________度。 14．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第3题）圆内一点到圆周的最小距离为。经过的最短弦长为。该圆半径为________。 15．（改编自2024·无锡金桥零模，公开重排版第26题）在直角三角形中，。以为圆心作与相切的圆，切点为；该圆与线段交于。 劣弧的长度为________。 16．半径为的圆上，弦。点在线段上运动，以为圆心、为半径作圆。若这个圆经过原圆心，则________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）圆内接梯形的顶点依次排列，，，且对角线。 （1）求梯形的高和面积； （2）求该圆的半径。 18．（5分）（改编自2024·无锡金桥零模，公开重排版第27题）在中，。以为直径的圆交于，为中点，连接。 （1）证明，并求两三角形的面积比； （2）证明； （3）若，求。 19．（6分）（改编自2024·南京科利华三模，公开重排版第27题）等腰三角形中，，以为直径作圆，交于异于的点。过作于。 （1）证明是圆的切线； （2）若，求圆的直径。 20．（6分）（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第24题）如图，依次共线，在圆上，。已知。 （1）求圆心到弦的距离； （2）证明是圆的切线； （3）求。 21．（6分）（改编自2025·苏州三区二模，公开重排版第22题）是圆的直径，在上半圆上，是不含的弧中点。在射线上且位于外侧，直线与的夹角满足。连接交于。 （1）证明是圆的切线； （2）若，求。 22．（8分）（改编自2025·泰州兴化期末，公开重排版第23题）圆半径为，为两条不重合的等弦。射线交线段内部于（在外侧）。 （1）证明； （2）若，求劣弧所对应的圆心角； （3）当为直角三角形时，求所有可能的。 23．（8分）圆中，弦在圆内交于，。 （1）证明，并求； （2）若，求圆的半径； （3）说明删除垂直条件后，圆的半径是否仍唯一。 24．（8分）（改编自2024·扬州梅岭期中，公开重排版第25题）上半圆直径，在半圆弧上且。为不含的弧中点，为另一段弧中点。 （1）证明是圆的直径，并求； （2）过作圆的切线，交直线于。求。 25．（10分）（改编自2025·南京联合体3月模拟，公开重排版第20题）给定半径为、圆心为原点的圆。若存在圆上两个不同点，使且，则称点为该圆的“直角等腰生成点”。 （1）判断中哪些是生成点； （2）求所有生成点到的距离范围； （3）求直线上所有生成点的横坐标范围。 26．（10分）圆半径为，圆外点引切线，切点为、，。接触弦与交于。将沿直线翻折，得到。 （1）证明且； （2）分别求在圆内、圆上、圆外时的范围； （3）在圆上时，判断的形状，并求其面积。 27．（10分）圆以原点为圆心、半径为，定点。水平直线截圆于，其中在左侧，且、不同。 （1）写出及到的距离（用表示），并写出的范围； （2）当为直角三角形时，求所有； （3）记（2）中两个三角形面积为，求及。 1 学科网（北京）股份有限公司 $