吉林省松原市实验高级中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段检测数学试题

2026-2027学年度上学期高二数学学科第一次阶段检测 一、单选题 1.直线x=cos180 的倾斜角为() A.0 B.45 C.90 D.135 2.已知直线4:x+y+6=0与直线l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则实数a的值为() A.-1 B.0 C.3 D.-1 或3 3.直线x+y+m=0(m>0)与圆x2+y2=3相交所得的弦长为m,则m=() A.1 B.2 C.2 D.3 4.经过点(-2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是(). A.y=x+6 B.y=-2x或y=x+6 C.y=2x+8 D.y=-2x或y=2x+8 5.在平面直角坐标系0y中,已知圆C:(x-1)+(y-2)2=r2(r>0),点A(-2,0),若 圆C上存在点M,满足MA+MO2=4,则r的取值范围是() A.(0,22+1] B.(0,22-1] C.[22-1,22+1] D.[22+l,+∞) 试卷第1页 6.已知实数x,y满足y=9-(x-2),则x-y的最大值是() A.5 B.4 C.3√2 D.7 7.已知圆C:(x-2)2+y2=1,点P是直线1:x+y=0上一动点,过点P作圆C的切线 PA,PB切点分别是A和B,下列说法正确的为() A,圆C上恰有一个点到直线1的距离为) B.切线长PA的最小值为√2 C.四边形ACBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点 31 22 8.已知曲线2:x2+y2=+y,点P(m,n)在曲线上,则下列结论错误的是() A.曲线Q围成的图形的面积为 +2 B.”。的最小值为-1 m-2 C.点P(m,m)到直线x+y+3=0的距离的最大值为5V2 D.曲线2有且仅有2条对称轴 二、多选题 9.下列说法正确的是() A.直线1的一个方向向量为d=(-1,2),则直线1的斜率等于-2 B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直的充要条件 C.当点P(3,2)到直线:mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为-1 D.已知直线1过定点P(1,0)且与以A(2,-3),B(-3,-2)为端点的线段有交点,则 直线的斜率k的取值范围足(-小[位+网 (共3页) 10.已知圆C:x2+y2-2x=0,圆C2:x2+y2+mx-4y+n=0,若圆C,平分圆C的周 长,则() A.圆C2的圆心在y=2上 B.圆C,面积的最小值是元 C.圆C,经过定点(1,2+V5和1,2-5) D.已知点A(1,5),B(4,3),则C2A+C,B的最小值为5 11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯.他发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值 入(几≠1)的点的轨迹是圆后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆, 简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满 PA-设点P,》 PB 2 的轨迹为C,下列结论正确的是() A.C的方程为(x+4)2+y2=16 B.点P,川,则之4的取值范围是-5,5 33 C.当A,B,P三点不共线时,射线PO是∠APB的平分线 D.在C上存在点M,使得MO=2|MA 三、填空题 12.已知直线4:x+my+3=0与l2:2x-6y+n=0平行,且Z与1,间的距离是V10,则 m+n= 13.已知k∈R,动直线+y-1=0和动直线x-y-k+3=0交于点P(x,y),则 V(x-2)?+y2的取值范围为 试卷第2页 14.设A是直线y=x-4上一点,P,Q是圆C:x2+(y-2)2=17上不同的两点,若圆心 C是 APQ的重心,则 APQ面积的最大值为 四、解答题 15.己知 ABC的顶点A(1,7),边AB上的高线CH所在的方程为x+2y-1=0,角B的 角平分线交AC边于点M,BM所在的直线方程为x+y-2=0. (1)求点B的坐标: (2)求直线BC的方程, 16.已知直线l:(3a-1)x-(a+2)y+2=0. (1)若直线1不经过第四象限,求实数的取值范围; (2)当直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时,求直线1的方程, 17.已知圆C:(x-a+(y-2)2=2(r>0)的圆心C在直线3x+4y-11=0上,圆C与直 线3x+4y-6=0相交于A,B两点,且∠ACB=2 3 (1)求圆C的方程: (2)已知直线1过点D(-1,5)且与圆C相切,求直线1的方程, (共3页) 18.已知圆C的圆心C在直线y=-2x上,且圆C与直线x+y-3=0相切于点A(3,0) (1)求圆C的方程: (2)已知点B(5,2),若圆C上存在点P满足PA PB=(2>-2),求实数1的取值范围 试卷第3页 19.经过原点O的直线与圆M:(x+1)+y2=4相交于A,B两点,过点C(1,0)且与AB 垂直的直线与圆M的另一个交点为D. (1)当点B的坐标为(-1,-2)时,求直线CD的方程: (2)记点A关于x轴的对称点为F(异于点A,B),求证:直线BF恒过x轴上的一个 定点: (3)求四边形ABCD的面积S的取值范围. (共3页) 2026-2027学年度上学期高二数学学科第一次阶段检测 参考答案 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B A 0 D ACD ACD 题号 11 答案 ABC 1.C【详解】直线x=cos180 等价于x=-1,该直线的斜率不存在,所以倾斜角为90 2.A【详解】当a=0时,直线l:x+6=0与直线l:-2x+3y=0,显然直线4与l2不平行; 当a≠0时,因为直线:x+y+6=0与直线l,:(a-2)x+3y+2a=0平行, 所以a-2-3≠2a 1a6 解得a=-1,检验符合 3.C【详解】圆x2+y2=3的圆心坐标为(0,0),半径r=V3, 则圆心到直线x+y+m=0(m>0)的距离为d=10+0+m_m VP+12V2' 因此有d2+ =3,化简得 .m2 =3, 24 即3m2 =3,解得m2=4,结合m>0的条件,得m=2. 4 4.B【详解】当直线过原点时,设直线的方程为y=x, 直线经过点(-2,4),则4=-2k,解得k=-2, 所以直线的方程为y=-2x, 此时直线在两坐标轴上的截距均为0,满足题意: 当直线不过坐标原点时,由直线在两坐标轴上的截距互为相反数, 设直线的方程为+y=1,a≠0, a-a 直线经过点(-2,4),则2+4=1,解得a=-6, a-a 则直线方程名+若=1,即y=+6, 综上所述直线方程为y=-2x或y=x+6, 故选:B 5.C【详解】设M(x,),则MA=V(x+2)2+y2,M0=V+y. 因为MA+M0=4,所以x+2y+y+x+=4,即(x++y2=l 答案第1页(共11页) 所以点M的轨迹是以N(-l,0)为圆心,以1为半径的圆N 又因为点M在圆C上,所以圆C与圆N有公共点,所以r-1≤CN≤r+1. 即r-1≤2V2≤r+1,解得2W2-1≤r≤2W2+1. 6.A【详解】y=V9-(x-2)}2可化为(x-2}+y2=9(y≥0),设x-y=k,则y=x-k. 由图可知,当直线y=x-k过点(5,0)时,k取得最大值5. 故选:A 7.D【详解】由圆C:(x-2)2+y2=1,则圆心C(2,0),半径r=1, 圆心C到直线hx+y=0的距离为月-反,而2-1<5+1,故A错误: 2 由圆的性质,切线长PA=VPC-r2=VPC-1, 当PC最小时,PA有最小值,又PC=2,则PA。=l,故B错误; 四边形AMBP面积为PACA=PA, 四边形AMBP面积的最小值为1,故C错误; 设P(t,-t),由题知A,B在以PC为直径的圆上,又C(2,O), (x-t)(x-2)+(y+t)(y-0)=0,即x2+y2-(t+2)x+y+2t=0, 又圆C:(x-2)2+y2=1,即x2+y2-4x+3=0, 直线AB的方程为:(2-t)x+y-3+2t=0,即2x-3-(x-y-2)=0, 2)2”0得x3=分即直线8恒过定[侵》 2x-3=0 由 故D正确: 故选:D. 8.D【详解】因为曲线2:x2+y2=+y, 当x≥0月y20时,曲线0的方程可化为-+0-方 答案第2页(共11页) 当x≤0且y≥0时,曲线Q的方程可化为+分+0之= 图x之0且y≤0时,曲线2的方程可化为cx=了+C+= 当x≤0且y≤0时,曲线2的方程可化为 ** 曲线 的图像如图所示: 由图可知,曲线 围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为√2的正方形面积的和, 从而曲线2围成的图形的面积为4 二元 3t+ +(22 =2+ ,故A正确; 2 m一2表示点P(m川与点(2,0)的连线的斜率, 由图可知当x-+0-= ,(x≥0且y≥0)与直线相切时”取得最小值, m-2 设切线为y=kx-2k<0,则222 _互,解得k=-1或k=7(舍去), Vk2+(-1)2 2 所以”。的最小值为-1,故B正确: m-2 2八 1,1 点)到直线+y+30的距商d-22 +二+3 =2V2, V12+12 结合图象可知点P(m,川到直线x+y+3=0的距离的最大值为2N2+5_55,故C正确; 2 2 答案第3页(共11页) x+y+3=0 -3 由曲线 的图像可知,曲线 围成的图形有4条对称轴, 分别是x轴、y轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线,故D错误; 故选:D 9.ACD【详解】对于A,因为直线1的一个方向向量为d=(-1,2),则直线1的斜率等于k=2=-2,所 -1 以A正确: 对于B,由直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直, 可得a 1+(-1) (-a)=0,即a2+a=0,解得a=-1或a=0, 所以“a=-1”是“直线ax-y+1=0与x-四y-2=0互相垂直”的充分不必要条件,所以B错误; 对于C,因为直线1:mx-y+1-2m=0,可化为m(x-2)-(y-l)=0, -1=0,解得x=2,y=1,即直线1恒过定点Q2,, 「x-2=0 由 当直线PQ与直线1垂直时,点P到直线l的距离最大, 所以04-) m=-1,解得m=-,所以C正确: 2-3 对于D,因为A(2-3).(-32).PL,0,可得kp4=3-0-3,kw=子-0-) 2-1 -3-12 如图所示,要使得过定点P的直线I与以线段AB有交点, 则满足k<-3或≥所以直线I的务车长的取值范用是(一一[+ 所以D正确, B 10.ACD【详解】对于A,圆C2:x2+y2+mx-4y+n=0的圆心坐标为 因此圆心C2在直线y=2 答案第4页(共11页) 上,故A正确: 对于B,由 [x2+y2-2x=0 x2+y2+mr-4y+n=0'两武相减得(m+2)x-4y+n=0, 即圆C与圆C,公共弦所在直线方程为(m+2)x-4y+n=0, 又圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心C(1,0), 因为圆C,平分圆C的圆周,所以公共弦所在直线过点C(1,0), 所以m+2+n=0,即n=-m-2, 圆C,的半径平方 +-格=-2代入可将- +22+m+2=(m+2}+5, 4 则≥5,所以圆C,面积的最小值为5 ,故B错误: 对于C,将n=-m-2代入圆C2的方程整理得m(x-1)+x2+y2-4y-2=0, x-1=0 x= x=1 +y-4-2=0解得=2+5政=2-5 令 所以圆C,过定点(山,2+V和1,2-V5),故C正确: 对于D,因为圆心C2在直线y=2上,作A(1,5)关于y=2的对称点A'(1,), 则C,A+C,B=C,A+C,B≥AB,计算得4B=V(4-)2+(3+}=5, 所以C2A+CB最小值为5,故D正确. B y=2 11.ABC【详解】对于A,设点P(x,y),则 PA_1-V(x+2)}2+y2 PB 2 (x-4)+ 化简整理得x2+y2+8x=0, 即(x+4)2+y2=16,故A正确: 对于B.点P代,设k=”4则y=k(x-,它表示过点B4,0)的直线, 4的几何意义是轨迹C上的点P心x,)与点B4,0)连线的斜率, 答案第5页(共11页) 轨迹C是圆心为C(-4,0),半径r=4的圆,当直线与圆相切时,则 4k-0-4W=4, V1+k2 、解得k二土3的取值范围是(3】 3’3 ],B正确: 对于C选项,c1P0-40,0∠Po-+PO-BO 2AP.PO 2BP.PO 要证PO为角平分线,只需证明cos∠APO=cos∠BPO,即证 AP2+PO2-A02 BP2+PO2-BO2 ,化简整理即证P02=2AP2-8, 2AP.PO 2BP.PO 设P(x,y),则PO2=x2+y2, 2Ap2-8=2x2+8x+2y2=(x2+8x+y2)+(x2+y2)=x2+y2,则证 coS∠APO=cos∠BPO,故C正确: 对于D选项,设M(o,),由M0=2M4可得√x2+2=2x+2)}+2, 整理得3x,2+3y。2+16x+16=0,而点M在圆上,故满足x2+y2+8x=0, 联立解得x。=2,y。无实数解,于是D错误. 故答案为:ABC. 2.7或23【解】直线x+m+30与2x-6v+n0平行,所?=6解得m=3 所以直线的方程为x-3y+3=0,即为2x-6y+6=0. 6-n 因为直线(与12间的距离是√10,即 6-n=0 22+(-6210 所以6-n=20,解得n=-14或n=26, 所以m+n=-3-14=-17或m+n=-3+26=23. 故答案为:-17或23 7-V137+V13 13 2 2 【详解】动直线x+y-1=0过定点A(0,I),动直线x-y-k+3=0过定点B(-3-I), 且两条直线的斜率乘积为-1,所以两条直线垂直, 3 所以P(x,)是在以AB为直径的圆上动,则B中点C20为圆心, √(x-2)+y2表示D(2,0)到点P距离,其最大值为CD+r,其最小值为CD-r. r4-o+3旷+*- 2 答案第6页(共11页) CD+r=7+v13 CD-r=7-3 2 所以V(x-2)}+y2的取值范围为 7-137+13 22 7-137+√13 故答案为: 2,2 14. 》【详解】分析:根据思意司出草图。根据集合关系写出面积表达式然后再根据函数思维求出最值 即可 D 详解:如图: 因为P,Q是圆C:x2+(y-2)2=17上不同的两点, 且圆心C是 APQ的重心,故CP=CQ=V17,设AC=2x,则DCX,因为CP=CQ,且D为中点,故AD1PQ, 所以0-27,放面积表达式为S=x2173x=17F.3x,73x≤307-+-故 2 AMPO面积的最大值为 点睛:考查基本不等式的应用,能正确表示面积表达式是解题关键 15. 【详解】(1)由题意,AB L CH,.k三-),所以k三2,…】 直线AB的方程为:y-7=2(x-1),即2x-y+5=0.3 2x-y+5=0「x=-1 联立直线AB与直线BM的方程, x+y-2=0y=3 所以点B的坐标为(-l,3)…6 (2)设点A(1,7)关于直线BM的对称点为(a,b), 答案第7页(共11页) b-7x(-)=-1 则/a1 6=1,所以点4(-5,), a=-5 a+1b+7-2=0 …10 2+ 2 因为直线A'B就是直线BC, 所以直线BC的方程为: 。2=大+》0x2y+7=0.…1B2 16.【详解】(1)当a=-2时,直线斜率不存在,方程为x= ,经过第四象限,不成立:…2 2 当a≠-2时,直线斜率存在,方程为y= 3a-1,2 x+ a+2a+2 3a-120 又直线不经过第四象限,则 a+2 1 ,解得a …4 2 ≥0 3 a+2 综上,实数a的取值范围是 3,to0 ,…7 6 (2)由题,直线l:(3a-1)x-(a+2)y+2=0,且a≠-2 令x=0,得y=2 >0,得a>-2; +2 令y=0,得x=-,2>0,得a< …9 3a-1 3即-2<a< 则s=x2x 2) 2 2a+2^3a-1-3a2-5a+2 1 …2 12 ,-2<a< 所以当a=- 时,S取最小值,最小值为 4 …14 6 9 此时直线1的方程为21x+7y-12=0.… …15 17.【详解】(1)由圆的方程得圆心C(a,2), 因为圆心C在直线3x+4y-11=0上,所以3a+4 2-11=0,解得a=1, 故圆心坐标为C(1,2), …2 取AB中点为E,连接CE,CA,CB,所以CE⊥AB, 答案第8页(共11页) E B 圆心CL,2)到直线3x+4y-6=0的距离C-Bx1+4x2-6-l, V32+42 因为∠ACB=答所以乙4E 31 在直角 ACE中,AC=CE =2,即r=2…6 coS∠ACE 所以圆C的方程为(x-1)+(y-2}2=4.… .7 (2)当直线1斜率不存在时,直线1方程为x=-1,圆心C(1,2)到直线1的距离为2, 此时直线l与圆相切,符合题意;…9 当直线l斜率存在时,设直线斜率为k,则直线I方程为y-5=k(x+),即c-y+k+5=0, 若直线1与圆相切,则圆心C(1,2)到直线1的距离等于半径, x1-2+k+5=2,解得k= 即 Vk2+12 12 5 55 所以直线的方程为2-y+ 7=0,即5x+12y-55=0.…13 综上,直线1的方程为x=-1或5x+12y-55=0.… …15 18.【详解】(1)设圆心C(t,-2t),由CA垂直直线x+y-3=0, 得,号1.能得11.放C化-2小2 半径r=C=V(3-1)2+(0+2)2=2√2,圆C的方程为(x-1)2+0y+2)2=8.6 (2)设P(x,y),PA=(3-x,-y),PB=(5-x,2-y), 则PA.PB=x2+y2-8x-2y+15.…8 由圆的方程得x2+y2=2x-4y+3, 代入得PA-PB=6x-6y+18=元,即x+y=3-2 00… 答案第9页(共11页) 号2会直线x+少当圆C有交点,放'≤22,解得153别…… 由1=32,得元=18-61,6l∈[18,30,所以=18-6[0,48].17 6 x-3(3,2)B +3 3x-4y-1=(0 =-2x (利用极化恒等式求解也可以) 19.【详解)D:B为,-2,00,0,∴B的斜率为0=2,又cD1B, D的斜率为7又C0).直线cD的方程y=(x-).即x+2y-1=0: (2)根据题意可得AB直线的斜率存在且不为0,又AB过原点O(0,0), 设直线AB方程为y=,…5 联立圆M:(x+1)2+y2=4, 可得k2+1)x2+2x-3=0,设A(x,),B(x,2), 2 则 x+3=R+1 …6 3 x3=一k2+1 又F(:,-)直线BF为y+y=+当(x-x), …7 x2-x 2 3 令y=0,可得x=+丛=2k5= 2xx2」 (k2+1 =3 ,……9 y+y2 kx+kxz x+x 2 k2+1 直线BF恒过x轴上定点(3,0);…I0 (3)设圆心M(-1,0)到直线AB的距离平方为m,则m∈(0,M0,即m∈(0,,设圆心M(-1,0)到直线 CD的距离平方为n, B 答案第10页(共11页) 根据圆的几何性质及平面几何知识易得(Vn+(2m=MC=4,∴n=4-4m,…12 又ABl=2NP2-m=24-m,CDl=2P2-n=2√4-n=2√4m=4Wm, 四边形A0CD的面积S=218CD=44-m)m=4m-2+4,…4 又m∈(0,刂,令f(m)=4V-(m-2)2+4 因为f(m)在(0,1上是增函数,f(o)=0,f()=4v3,所以f(m)∈(0,4v5], 即S∈(0,4v3], 四边形ABCD的面积S的取值范围为(0,4v3. …17 (3)法2: 当直线AB斜率不存在时,AB=25,CD=4,S=-4BCD=43.…12 当直线AB斜率存在时,可设直线AB的方程为y=x(k≠O), 所以,圆心M到直线AB的距离为d,= V1+k2 所以,AB=24 1+2=23+1 k2 V1+k2 直线CD的方程可设为y=- x-)整理得x+-1=0, 圆心M到直线CD的距离为d2= V+2,所以, 4 1 CD=241+e=4y 1+K2 所以,S=AaCD=4,3+ 1 W 1+k2V1+k 令1+=1e(0,),所以,上式可化为:S=43+0)0-可)=4-21+3,t(0,1). 所以,S∈0,4v3): ……l6 综上,s的取值范围是(0,4v3]。 …17 答案第11页(共11页)