2.13 导数与零点综合讲义-2027届高三数学一轮复习

第一编 · U2 函数与导数 2.13导数与零点综合 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 零点问题看起来是一个“解方程”的问题，真正考的是函数图象的形状：单调区间在哪里，极值有多大，两端往哪里走。本节先把最近三年真正考过的零点题找出来，再看这一讲必须记准哪些动作。 （一）高考怎么考 最新一届的五套卷子逐题过了一遍：全国Ⅰ卷把抽象函数的存在性讨论放在第 19 题，归 2.1；全国Ⅱ卷第 19 题是不等式与参数，归 2.11、2.12、2.14；全国Ⅱ卷第 13 题与北京卷第 15 题是基础零点题，已列在 2.6 的考情表内；天津卷第 20 题是指数与三角不等式，归 2.12、2.14；上海卷第 19 题第（2）问是切线与曲线无公共点，归 2.11、2.14；全国Ⅰ卷第 6 题由最大值反求参数，归 2.10。北京卷第 20 题的（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）已分别由 2.8、2.10 与 2.14 使用，本讲不再重复。往前两届，2025 年全国Ⅱ卷第 18 题的第（2）②问比较极值点与零点，已列在 2.14 的考情表内；第（1）问也已在 2.14 的例 4 里讲过，本讲只在表里保留这一行，不再重复解题。2025 年天津卷第 20 题第（2）②问的零点间隙不等式归本讲，2.12 已在引言里点名；2024 年北京卷第 20 题的第（1）问已列在 2.9 的表内，本讲只接第（3）问的零点个数。下面这张表只收以“数零点、定参数”为主要目标的题。 表 1: 高考导数与零点综合考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2025 天津卷 20（2） 三个零点反求参数范围；零点间隙不等式 2025 全国Ⅱ卷 18（1） 证明唯一极值点与唯一零点，先定单调再数点 2024 北京卷 20（3） 由面积条件建立方程，判断满足条件的点个数 表 1 能读出三条命题线索。 第一条是零点个数由“形”决定，不由“解”决定。2025 年天津卷第 20 题第（2）①问给出三个零点反求参数；2024 年北京卷第 20 题第（3）问把面积条件化成一个方程再数正根。两题都不是解出零点，而是先定单调与极值，再数水平线或交点。 第二条是隐零点与“不求根”成为压轴题的常用入口。2025 年全国Ⅱ卷第 18 题第（1）问要求证明唯一极值点与唯一零点，先化导数、由线性因子定出极大值点，再由 与两端趋势数零点；本讲例 4 更进一步，把 写成 ，把最小值里的指数与对数同时换掉。两题都不求根，只定形。 第三条是参数范围由“个数或位置”反推，零点间隙还要靠隐零点估计。2025 年天津卷第 20 题第（2）②问把三个零点转化为 的关系，再用极值点 的界证明间隙不等式；2024 年北京卷第 20 题第（3）问则用方程单调性数正根。凡是“恰有 n 个零点”“零点在区间内”“解集为某区间”，最后都要落到极值符号或端点符号上。 （二）必备知识清单 这一讲要用的知识只有六块：三种说法、存在与唯一、导数定形、四条数零点路线、隐零点三步、含参讨论与参数收口。先看清单，再逐条展开。 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 零点的三种说法 方程 的实根；图象与 轴交点的横坐标；两图象交点的横坐标 会三种说法互译 存在与唯一 闭区间连续、两端异号只保证存在；再加严格单调才保证唯一 会写全条件 导数定形 定义域、导数符号表、极值、两端极限，四件事定住图象 会列符号表 数零点四条路 显零点、极值定号、分离参数、隐零点 先认路再算 隐零点三步 设 ；用导数关系消去超越项；用 的范围估符号 设而不求 含参与收口 先问根有没有、在不在、变不变号；由个数或位置反推参数，边界代回 分类不重不漏 二、知识梳理：把定义变成可操作的动作 零点不是一个新的函数，而是方程 的根在图象上的名字。定义只有一句话，但高考把它翻成三种问法：根在哪、有几个根、根怎么分布。这一节把三种问法各自翻译成可以照着做的动作。 （一）零点问题的统一动作链 零点问题的题面千变万化，动作链只有一条：定域 → 求导 → 判号 → 定形 → 数点。 定域是第一件事。含 的函数要求 ，含 的要求 ，含分式的要排除分母为零的点。零点只可能在定义域内，定义域写错，后面数得再准也是错的。 求导之后先看能不能因式分解。能分解，就把驻点写成常数或参数的表达式；不能分解，就看 的单调性，或者把 的零点设成 暂时不解。判号时列符号表，驻点、不可导点、定义域端点都要进表。 定形是把符号表读成图象：哪段增、哪段减，极大值、极小值各是多少，两端往哪里走。最后数点：水平线与图象交几个点，或者 在每段上变号几次。相切时只算一个零点，端点恰为零点时直接写出，不要硬套两端异号。 图是草图，证据是符号表 只画一条草图就数零点，遇到相切、渐近线或端点为零时最容易多数或漏数。卷面上要写的是导数符号表、极值符号和两端趋势，图只是帮助定位。 （二）零点个数的四条路 第一条是显零点。导数的零点是常数，极值算得出，直接比较极值与两端趋势。三次多项式最典型：导数分解成两个一次因式，两个极值一正一负就是三个零点。 第二条是极值定号。函数只有一个极值点，极值的符号要靠估值判断，例如 、、。极值小于零且两端都趋于正无穷，就是两个零点；极值大于零且两端都趋于负无穷，就是零个零点。 第三条是分离参数。方程里参数只出现一次，能解成 ，就把零点个数变成水平线 与曲线 的交点个数。分离之后先写 的范围，再求 φ 的单调性与值域；水平线过极值点时只算一个交点。 第四条是隐零点。导数的零点是超越方程，解不出精确值，但可以证明它存在且唯一。设它为 ，用 把 里的超越项消掉，再用 所在的范围估计符号。这一条是压轴题最常用的入口。 分离参数后别丢范围 分离参数后，φ 的定义域就是原来 的范围。换元 后 ，换元 后 ，换元 后 。水平线与 φ 的图象交几个点，还要看每个点能不能换回 。 （三）隐零点：设而不求 隐零点的标准动作分三步。 第一步，证明零点存在且唯一。对 再求导，或者把 拆成“增函数减增函数”，说明 严格单调；再找两个点，让 在这两点异号。于是存在唯一的 ，使 。 第二步，用导数关系代换。把 写成可以消去超越项的形式。常见的有三类：由 得 ；由 把 用 表示；由 把参数 换掉。代换之后， 里不再同时出现指数、对数与参数。 第三步，估计 的范围，定符号。由存在性证明中的两个端点，已经知道 落在某个区间里；把这个区间代入代换后的式子，判断 的正负。很多题只需要“”或“”，不需要 的精确值。 隐零点三步 一设：设 ，先证 存在且唯一。二代：用 把 里的超越项换掉。三估：用 的区间判断 的符号，不求解 。 （四）含参讨论的三问 含参导数先问三件事，顺序不能乱。 一问根有没有：导数是二次式时看判别式；导数是 这类，就把方程化成 ，看 与 的值域有没有交点。 二问根在不在：根是否落在定义域内，是否落在题目给定的区间内。含 时负根要舍去；含 时根为零也要单独看。 三问变不变号：两根相等时，导数往往只是一个完全平方式，驻点处不变号，不是极值点。判别式为零、根与端点重合、两根相等，这三个边界都要单独讨论。 边界不单独讨论，答案必漏 含参题的分都在边界上：判别式为零时有没有极值，根恰等于区间端点时算不算零点，参数为零时导数是否退化。把这些边界先列成一张小表，再逐类数零点，比事后补漏可靠。 （五）由零点定参数：三类翻译 第一类，“恰有 个零点”。翻译成水平线与图象的交点个数，或者翻译成极值符号：三个零点通常要求极大值大于零、极小值小于零；两个零点还要看是不是相切。 第二类，“零点在区间 内”。若函数在区间上单调，翻译成 ；若不单调，还要说明极值点不在区间内，或者极值符号不改变零点个数。 第三类，“不等式 的解集为 ”。令 ，则 ，且 在 内为正、在区间外为负。端点处的函数值、导数值与单调性要一起用；只让两个端点等于零，往往不够。 参数算出来之后，必须做三件校验：端点能不能取，取等条件是否成立，定义域是否被遗漏。切点、重根都只算一个零点，不能按两个算。 参数收口三验 一验端点：区间开闭与等号是否取到。二验取等：相切、重根只算一个零点。三验定义域：负根、零根、增根都要回代原题。 （六）本节收束：三句话 零点问题先定形，再数点；参数问题先分类，再收口；隐零点设而不求，用导数关系代换。下面三只盒子分别是数零点、隐零点和含参讨论的检查清单。 数零点四查 一查定义域，二查极值符号，三查两端趋势，四查切点与端点是否被重复计算。四查都过，零点个数才落定。 隐零点代换的三种常见关系 指数与对数互为倒数时，用 换出 ；二次型驻点时，用 把参数换掉；对数型驻点时，用 把参数换掉。 含参三问 一问根有没有，二问根在不在，三问变不变号。三问都过，才能写“有极值”或“有 个零点”；边界值最后代回原题。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 零点题按题面情境分模型，不按解法分。先看函数是三次、超越还是含参，再看题面问的是“数几个”还是“反求参数”，模型就定了。六个模型覆盖了高中阶段绝大多数零点题面。 表 3: 导数与零点问题的六个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 例题 一·三次显零点 三次多项式，导数两根可解 求导分解，算极值 例 1 二·超越单峰 超越式，导数只有一个根 定唯一极值，估趋势 例 2 三·分离参数 参数只出现一次，可解出参数 分离参数，数交点 例 3 四·隐零点 导数为零解不出，但根存在 设隐零点，作代换 例 4 五·含参分类 导数根含参数，位置会动 按根的位置分类 例 5 六·零点定参 题面给零点个数或解集 翻成极值符号解参 例 6 （一）模型一：三次显零点 识别标志：解析式是三次多项式，求导后是二次式，能分解出两个常数根；题面问零点个数或零点所在区间。 标准动作：求导、因式分解、列符号表，算出极大值与极小值，再看两端趋势。两个极值异号就是三个零点；一个极值为零就是两个零点；两个极值同号就是一个零点。 易错：把驻点直接当零点；极值算对了却忘记看两端趋势；重根按两个算。 （二）模型二：超越单峰 识别标志：解析式含 、 或三角式，导数只有一个可解的零点；函数只有一个极值点。 标准动作：求导定唯一极值，判断极值的符号，再看两端极限。极值小于零且两端为正，就是两个零点；极值大于零且两端为负，就是零个零点；极值等于零就是相切，一个零点。 易错：只算极值不看两端；把 、 这些常数估错方向；忘记定义域。 （三）模型三：分离参数 识别标志：方程里参数只出现一次，能解成 ；题面问“有几个零点”或“参数范围”。 标准动作：分离参数，求 φ 的定义域、单调性与值域，画水平线 ，数交点。水平线过极大值或极小值时只算一个交点。 易错：分离后丢掉 的范围；把渐近线当成交点；水平线过极值点时算成两个。 （四）模型四：隐零点 识别标志：导数为零是超越方程，解不出精确根，但能证明根存在且唯一；题面要求证明零点唯一，或判断极值的符号。 标准动作：设 ，先证 唯一；用 把 里的超越项换掉；用 的区间判断 的符号，再数零点。 易错：设了 却不去代换，仍然硬解方程；只证存在不证唯一；代换后忘记 的范围。 （五）模型五：含参分类 识别标志：导数含参数，临界点的位置随参数移动；题面问“讨论零点个数”或“恰有 个零点”。 标准动作：先分解或因式判别，按“根有没有、在不在、变不变号”分类；每一类画出单调性，算极值，数零点；边界值单独讨论。 易错：默认参数为正；漏掉判别式为零；两根相等时仍写“两个极值点”；分类边界不合并。 （六）模型六：零点定参 识别标志：题面给出“恰有 个零点”“零点在区间内”“不等式解集为某区间”，反求参数。 标准动作：把条件翻译成极值符号、端点符号或水平线交点个数；解出参数后，把边界值代回原题，检查零点个数与解集是否真的符合。 易错：只列方程不验充分性；端点开闭没检查；把相切、重根算成两个零点。 四、例题精讲 六道例题一一对应上面六个模型。每题统一按四步展开：认模型 → 定域求导 → 判号定形 → 数零点校验。第四步专管三件事：定义域是否遗漏、切点与端点是否重复计算、参数边界是否取到。 （一）模型一：三次显零点 先看一道三次多项式题。导数能分解成两个一次因式，极值算得出，重点是把符号表读成零点个数。 例题 1（模型一·三次显零点） 讨论函数 的零点个数。 图 1: 三次函数的两个极值点 第 1 步 · 认模型：解析式是三次多项式，求导后是二次式，能分解出两个常数根，属于模型一。先求导、分解，再列符号表。 第 2 步 · 定域求导：定义域为 。求导得 令 ，得 或 。 第 3 步 · 判号定形：在 (−∞,−1) 上 ，在 (−1,1) 上 ，在 (1,+∞) 上 。所以 在 处取极大值，在 处取极小值： 又当 时 ，当 时 。 第 4 步 · 数零点校验：由 、，在 (−∞,−1) 内有一个零点；由 、，在 (−1,1) 内有一个零点；由 、，在 (1,+∞) 内有一个零点。两个极值都不为零，三个零点互不相同。故 共有 3 个零点。 极值异号才是三个零点 本题两个极值一正一负，所以每段各穿一次。若极大值或极小值恰好为零，零点就变成两个；若两个极值同号，只有一个零点。数零点前先把极值的符号写清楚。 （二）模型二：超越单峰 第二道题含对数，导数只有一个零点，函数先增后减。重点是用极值的符号和两端趋势定零点个数。 例题 2（模型二·超越单峰） 讨论函数 的零点个数。 第 1 步 · 认模型：解析式含 ，导数只有一个零点，函数只有一个极值点，属于模型二。先定域、求导，再看极值符号与两端趋势。 第 2 步 · 定域求导：由 要求 ，定义域为 (0,+∞)。求导得 令 ，得 。 第 3 步 · 判号定形：在 (0,2) 上 ，在 (2,+∞) 上 。所以 在 (0,2) 上递增，在 (2,+∞) 上递减，最大值为 又当 时 ，当 时 起主导作用，。 第 4 步 · 数零点校验：由 、，在 (0,2) 内有一个零点；由 、，在 (2,+∞) 内有一个零点。最大值不为零，两个零点互不相同。故 共有 2 个零点。 两端趋势要写出来 只写“最大值为正”只能说明函数有正有负，不能说明两边各穿一次。必须补上 与 的趋势，才能断言两个零点。 （三）模型三：分离参数 第三道题把参数单独解出来，零点个数变成水平线与曲线的交点个数。先求曲线的单调性与值域，再数水平线。 例题 3（模型三·分离参数） 讨论函数 （）的零点个数。 图 2: 函数 的图象 第 1 步 · 认模型：参数 只出现一次，方程可以写成 ，属于模型三。零点个数就是水平线 与曲线 的交点个数。 第 2 步 · 定域求导： 的定义域为 。求导得 令 ，得 或 。 第 3 步 · 判号定形：在 (−∞,−2) 上 ，在 (−2,0) 上 ，在 (0,+∞) 上 。所以 φ 在 处取极大值，在 处取极小值： 又当 时 ，当 时 。 第 4 步 · 数零点校验：按水平线 的位置分类： 当 时，无交点，0 个零点； 当 时，只与 相交，1 个零点； 当 时，与三段各交一次，3 个零点； 当 时，与 相切，另在 (0,+∞) 内交一次，2 个零点； 当 时，只在 (0,+∞) 内交一次，1 个零点。故当 时有 0 个零点；当 或 时有 1 个；当 时有 2 个；当 时有 3 个。 相切只算一个交点 时，水平线在 处与曲线相切，只产生一个零点；另一个零点在正半轴。很多同学把相切算成两个，零点个数就多了一个。 （四）模型四：隐零点 第四道题的导数是 ，令它为零就是超越方程，根解不出来。我们设这个根为 ，用 把最小值里的指数与对数一起换掉。 例题 4（模型四·隐零点） 证明：函数 在 (0,+∞) 上没有零点。 第 1 步 · 认模型：解析式同时含 与 ，定义域为 (0,+∞)。导数 的零点是超越方程，解不出精确值，属于模型四。先证导数有唯一零点，再用它定最小值。 第 2 步 · 定域求导： 所以 在 (0,+∞) 上严格递增。又当 时 ，；而 。由零点存在定理，存在唯一的 ，使 。 第 3 步 · 判号定形： 在 上为负、在 上为正，所以 在 上递减、在 上递增，最小值为 。由 得 两边取对数，得 。于是 因为 ，所以 。由基本不等式， 故 。 第 4 步 · 数零点校验：对一切 ，都有 ，所以 在 (0,+∞) 上没有零点。等号若成立，需要 ，与 矛盾，因此最小值严格大于零。故 在 (0,+∞) 上没有实根。 隐零点的关键是代换 只证明 存在，最小值仍然算不出来。必须把 写成 ，再换成 ，才能把 里的指数与对数同时消掉。设而不代，等于没设。 （五）模型五：含参分类 第五道题的三次函数含参数，导数的两个根随参数移动。分类的边界是“导数有没有根”和“极小值是否为零”。 例题 5（模型五·含参分类） 讨论函数 （）的零点个数。 第 1 步 · 认模型：解析式含参数 ，导数是二次式，临界点随 的正负与大小移动，属于模型五。先按“导数有没有根”分成 与 ，再按极值符号细分。 第 2 步 · 定域求导：定义域为 。求导得 第 3 步 · 判号定形：分两种情况。 （1）当 时，，且只在 时的 处为零。 在 上严格递增，又 、，所以恰有 1 个零点。 （2）当 时，令 ，得 或 。在 上 ，在 上 ，在 上 。所以极大值为 极小值为 令 ，得 。 第 4 步 · 数零点校验：在 中再分三小类： 当 时，极小值大于零，函数只在 内穿一次，1 个零点； 当 时，极小值等于零， 是切点，另在左侧穿一次，2 个零点； 当 时，极小值小于零，三段各穿一次，3 个零点。合并 的情形，得：当 时有 1 个零点；当 时有 2 个；当 时有 3 个。 分类边界是极小值为零 本题的分界点不是 ，而是极小值 ，即 。 只是“导数有没有根”的分界， 才是“零点个数变不变”的分界。两个边界都要在答案里体现。 （六）模型六：零点定参 第六道题给出“恰有三个零点”，反求参数。这道函数在 2.14 的 B6 里只作检测，本讲把它作为完整例题讲透，并把第（2）②问接在 C9。 例题 6（模型六·零点定参） 已知函数 若 恰有三个零点 ，且 ，求 的取值范围。 第 1 步 · 认模型：题面给出“恰有三个零点”，反求参数 ，属于模型六。先看参数对两端趋势的影响，再把“三个零点”翻译成“极大值大于零、极小值小于零”。 第 2 步 · 定域求导：定义域为 (0,+∞)。求导得 令 则 ，所以 在 上递增，在 上递减，最大值为 又 ，（），（）。 第 3 步 · 判号定形：先看 。当 时，方程 在 (0,1) 内有唯一解 ， 在 上为正、在 上为负，最大值 所以没有零点。当 时，，只有 一个零点。故 不符合“三个零点”。 再看 。当 时，，， 严格递增；又 、，恰有 1 个零点。 当 时， 有两个解： 与 。 在 上为正、在 上为负、在 上为正，所以 是极大值点， 是极小值点。由 且 在 上递增，得 又由 ，得 因为 ，所以 。于是 第 4 步 · 数零点校验：当 时，极大值大于零、极小值小于零，且 、，图象从下往上、再下、再上。于是 、、 内各有一个零点，依次记为 ，满足 ，共 3 个。当 时，极小值为零， 是重根，只有 2 个不同零点；当 时，极小值大于零，只有 1 个零点。故 三个零点要三次穿越 三零点的判据不是只看“极小值小于零”。本题左端 、右端 ，极大值为正、极小值为负，图象从下往上、再下、再上，才会三次穿越。若一端的趋势反了，零点个数就可能是两个或一个。 五、易错点辨析 下面六条是本讲最常见的失分点，每条都能在前面的例题里找到对应位置。考试时先对照这张表自查，再交卷。 表 4: 本讲六个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 只算导数为零就断言零点个数 没看极值符号与两端趋势 列符号表、算极值、写两端极限，再数零点 分离参数后不写定义域 水平线交点没换回 的范围 先写 的范围与 φ 的值域，再数交点 隐零点设了却不代换 仍然硬解超越方程 用 消去超越项，再用 的范围估符号 含参分类漏边界 判别式为零、根与端点重合没单独讨论 按“有没有、在不在、变不变号”三问分类 把切点或重根算成两个零点 水平线与图象相切只交一次 极值点处单独验，重根只算一个 参数范围不代回 端点开闭、等号是否取到没验 把边界值代回原题，检查零点个数与解集 六、当堂检测 A 组每题只走一条基本动作，B 组多一步含参或隐零点，C 组把零点个数与参数范围接成完整链路。做题时先写定义域，再求导；凡写“零点个数”，都要说明极值符号与两端趋势。 （一）A 组：基础过关 这四题分别练三次显零点、存在与唯一、分离参数和超越单峰，每题只走一遍基本动作。 A1 函数 的零点个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A2 证明：函数 在区间 (0,1) 内有且只有一个零点。 A3 若函数 有两个零点，求 的取值范围。 A4 讨论函数 的零点个数。 （二）B 组：能力提升 这四题各多一步：B5 要按参数分类，B6 要把“三个零点”翻译成极值符号，B7 要估极值，B8 要用隐零点证明“没有零点”。 B5 讨论函数 （）的零点个数。 B6 若函数 有三个零点，求 的取值范围。 B7 证明：函数 有两个零点。 B8 证明：函数 在 (0,+∞) 上没有零点。 （三）C 组：压轴突破 C9 来自天津卷，证三个零点之间的间隙不等式；C10 来自北京卷，把面积条件化成一个方程再数正根。两题都不要求解出零点，只要求把“个数”或“间隙”说清楚。 C9 沿用例题 6 中的函数 与三个零点 ，证明： C10 已知函数 ，直线 是曲线 在点 （）处的切线，，， 为直线 与 轴的交点。设 与 的面积分别为 与 。是否存在点 ，使得 ？若存在，这样的点 有几个？ 七、参考答案与提示 下面每题给出答案、关键那一步，以及本题最容易失分的地方。C 组两题只给思路与关键不等式，完整书写回到四步格式。 （一）A 组 A 组四题只走一遍基本动作，答案后只点关键一步，完整书写仍按四步格式。 A1答案：C。 提示：，极大值 ，极小值 ，两端分别为 −∞ 与 +∞，三段各穿一次。易错： 只是一个零点，不要把它当成两个。 A2答案：存在且唯一。 提示：，，由零点存在定理，(0,1) 内至少有一个零点；又 ， 严格递增，零点至多一个。易错：只写两端异号，不写严格单调，只能得到“至少一个”。 A3答案：。 提示：令 ，则 ，φ 在 处取最小值 ，且 φ(−∞)=0、φ(+∞)=+∞。水平线 与曲线有两个交点当且仅当 。易错： 时只有一个零点 ， 时相切，也只有一个零点。 A4答案：2 个。 提示：定义域为 (0,+∞)，， 在 (0,1) 上递减、在 (1,+∞) 上递增，最小值 ；又 、，所以两个零点，分别在 (0,1) 与 (3,4) 内。易错：只写“最小值为负”不够，还要写两端都为正无穷。 （二）B 组 B 组四题各多一步分类或估值，提示里把分类边界与取等条件写清楚。 B5答案：当 或 时，1 个零点；当 或 时，2 个零点。 提示： 恒成立， 始终是一个零点。。当 时 ， 严格递增，只有 ；当 时，极小值点为 ，极小值为 令 ，则 ， 在 处取最大值 0。所以 时极小值为零，只有一个零点； 且 时极小值小于零，两端都为正无穷，有两个零点。易错： 时 是重根，但零点个数按“不同实根”算，只算一个。 B6答案：(0,4)。 提示：，极大值 ，极小值 。三个零点要求极大值大于零、极小值小于零，即 且 ，所以 。易错： 与 时各有一个极值为零，只有两个零点，端点不能取。 B7答案：两个零点，分别为 与 内的一个零点。 提示：， 在 上递减、在 上递增，最小值 又 ，，所以在 内有零点 ，在 内还有一个零点。易错： 要用 说明；不要只写“最小值为负”就断言两个零点。 B8答案：没有零点，且 对一切 成立。 提示：，。； 在 上递减、在 上递增，且 ，，所以 在 内有唯一零点 。于是 在 上递减、在 上递增，最小值为 。由 得 取 ，由 得 ；而 在 上递增，故 ，于是 。所以 ，没有零点。易错： 是边界点，不能算作极小值点；最小值要代换 ，不能只写“最小值为正”。 （三）C 组 C 组两题只给思路与关键不等式，完整书写回到四步格式。 C9答案：证明见提示。 提示：令 （）。由 得 由 、 知 ，所以 。 对 两式作商，得 令 ，则 ，解得 于是 令 ，则 ，且 （因为 ）。所以 在 (1,+∞) 上递减，； 递减，。故 又由 得 ，所以 即 ，从而 令 ，则 ， 在 (0,4) 上递增、在 (4,+∞) 上递减，最大值 （等价于 ）。所以 于是 证毕。易错：不要直接对 与 分别放缩，必须先用 的关系把 压到 4 以下，再用 估计 。 C10答案：存在，这样的点 有 2 个。 提示：，。切线 的方程为 令 ，得 （因为 ）。又 ，。条件 化为 ，即 令 则 ，且 在 上正、在 上负，故 先增后减；由 、、 知 有两个零点 ， 的单调性为减—增—减。由 得 ，由 得 ，故 在 与 内各有一个零点，两根分别在 (1,2) 与 (6,7) 内。所以点 有 2 个。易错：只用“方程有解”不够，必须用单调性说明恰有两个正根； 不在 内。 学科网（北京）股份有限公司 $