第二十六章 二次函数 单元检测 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数 单元检测卷 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 4．某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（　　） A． B． C．方程无解 D． 5．在同一坐标系中，画函数、、的图象，它们共同特点是（　　） A．开口向上 B．都是关于轴对称的抛物线，且随的增大而增大 C．开口大小相同 D．都关于轴对称的抛物线 6．已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的一部分，给出下列命题：①abc＞0；②b=-a；③9a-3b+c=0；④m（am+b）≥a-b（m为任意实数）；⑤4ac-b2＜0，其中正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 10．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 二、填空题 11．已知函数，若它是二次函数，则函数解析式为___________． 12．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 13．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 14．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．    15．已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 三、解答题 16．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而增大． 17．已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． (1)求这个二次函数的表达式； (2)判断点是否在这条抛物线的图象上． 18．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 19．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 20．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． (1)求出二次函数的解析式； (2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十六章 二次函数 单元检测卷》参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义，形如（其中 ）的函数是二次函数．根据二次函数的定义逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．，的最高次数为1，不是二次函数，故A不符合题意； B．，即，的指数为，不是二次函数，故B不符合题意； C．，的最高次数为1，不是二次函数，故C不符合题意； D．，的最高次数为2，且，是二次函数，故D符合题意． 故选：D． 2．B 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 3．C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 4．B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，解题关键是根据二次函数的图象和性质分别判断即可． 【详解】解：A、图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 图象与轴的另一个交点在和之间， 当时，，即，故选项A不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线， ， 由图象可知，当时，， ，故选项B符合题意； C、由图象可知顶点坐标为， ， 方程的解为，选项C不符合题意； D、时函数值为最大值， ，即，选项D不符合题意． 故选：B． 5．D 【分析】根据抛物线的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：的图像开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧的抛物线，且随的增大而增大； 的图像开口向下，对称轴为y轴，故A选项错误，不符合题意； 在对称轴右侧的抛物线，且随的增大而减小，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴三个抛物线开口大小不相同，故C选项错误，不符合题意； 的图像开口向上，对称轴为y轴，故D选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下． 点到对称轴的距离分别为： ． ∵抛物线的开口向下， ∴距离越大函数值越小． ∴． 故选 C． 7．C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴是x=-=-1， ∴b=2a＞0， ∵抛物线交于y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，①说法错误； ∵b=2a，∴②说法错误； ∵抛物线与x轴交于（1，0），对称轴是x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0）， ∴9a-3b+c=0，③说法正确； ∵抛物线的对称轴是x=-1，且开口向上， ∴函数最小值为a-b+c， ∴am2+bm+c≥a-b+c， ∴m（am+b）≥a-b，④说法正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴4ac-b2＜0，⑤说法正确； 正确的个数有3个. 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，掌握对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式是解题的关键． 8．A 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，令，求出对应的x的值，则可求出的长度，然后根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∵喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线， ∴， ∴， 即的长为， 故选：A． 9．D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 10．C 【分析】本题考查了利用函数图象解不等式，把不等式整理，可得：，即，由函数图象可知当时，不等式成立． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 即， 由函数图象可知，当时， 二次函数的图象在一次函数的图象上边， 不等式的解集为． 故选：C． 11． 【分析】由函数是二次函数，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 当时， 解得：，， 综上：， ∴函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握“二次函数的定义”是解本题的关键． 12． 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 13．， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 14．121 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得： ， 解得， ∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元， ， ∵1<0， ∴当时，w有最大值为121， 故答案为：121． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键． 15．①②③④ 【分析】根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为3，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为3 ∴y的最大值为3，故①正确； ∵对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②③④． 16．(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当时，随的增大而增大 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法化为顶点式，再根据二次函数的性质进行解答即可； （2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而减小进行解答即可． 【详解】（1）解：， 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大． 17．(1) (2)在这条抛物线的图象上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，这是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【详解】（1）解：∵顶点坐标是 ∴可设解析式为 把点代入得， ∴ ∴ （2）解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 18．(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 19．(1)， (2)或 【分析】（1）因为抛物线过A、B两点，所以将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值． （2）设直线交对称轴于点M，令代入抛物线解析式即可得到C点坐标；以为底，为高，用三角形面积公式计算的面积，将抛物线化为顶点式得对称轴，求出直线的解析式，得到点Ｍ坐标，由写出其表达式，根据，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到D点坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得； （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ∴，， 或． 20．(1)y=-x2+4x (2) (3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0） 【分析】（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案； （2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值； （3）当0<m<3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CD-PD=m2-3m，，分为三种情况：当OC=PC时，当OC=OP时，当PC=OP时，即可得到答案． 【详解】（1）解∶∵二次函数的图像经过点和原点O． ∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4）， 把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4）， 解得：a=-1， ∴二次函数的解析式为y=- x（x-4）=-x2+4x； （2）解：根据题意得：0<m<3，PC=PD-CD， 设直线OA的解析式为， 把点A（3，3）代入，得：3=3k， 解得：k=1， ∴直线OA的解析式为y=x， ∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上， ∴P（m，-m2+4m），C（m，m）， ∴PD=-m2+4m，CD= m， ∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m ， ∴当时，线段PC最大，最大；值为； （3）解：存在，理由如下： ∵C（m，m），P（m，-m2+4m）， ∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m， ，， 当0<m<3时，仅有OC=PC， 由（2）得：PC= PD-CD=-m2+3m， ∴，解得：或0（舍去）， ∴此时； 当m≥3时，点C在点P的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m， 当OC=PC时，， 解得：或0（舍去）， ∴此时点； 当OC=OP时，有OC2=OP2， ∴， 解得：m=5或3（舍去）或0（舍去）， ∴此时点P（5，-5）， 当PC=OP时， ， 解得：m=4或0（舍去）， ∴此时点P（4，0）； 综上所述，存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，（3）小题有一定的难度． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $