精品解析：北京首都师范大学附属中学2026-2027学年高一第一学期学科挑战赛数学试题

首都师大附中2026—2027学年第一学期学科挑战赛高一数学 第一部分（选择题 共60分） 一、选择题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】由题可得，解得且，所以函数的定义域为； 故选：B 2. 下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由元素与集合的关系和集合与集合的关系，判断符号是否正确 【详解】由元素与集合的关系，有，故B选项错误，C选项正确； 由集合与集合的包含关系可知，，，AD选项错误. 故选：C. 3. 下列选项中，表示的是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 两个函数的定义域、解析式、值域均相等，即为相等函数，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】选项A：函数的定义域为R，函数的定义域为，故这两个函数不是同一函数； 选项B：两个函数定义域均为R，但解析式不同，故这两个函数不是同一函数； 选项C：根据绝对值性质可知：，则两个函数定义域和值域相同，对应关系也相同，故这两个函数是同一函数； 选项D：函数的定义域为，函数的定义域为或}，故这两个函数不是同一函数. 故选：C 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由 , 故. 5. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 6. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】， 又， 由，可得；而不能推出； 所以是的必要不充分条件. 8. 已知函数对任意且时，有，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对任意且时，有得到函数单调递增,再根据分段函数的两段都递增且时的最大值小于等于时的最小值列不等式组解得即可. 【详解】因为对任意且时，有,所以为上的单调递增函数, 所以 ,解得:. 故选. 【点睛】分段函数的单调性除了要各段都单调外,还要考虑各段的最值关系. 9. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小． 【详解】依题意，有，所以， 同理，，所以， 同理，，所以， 所以． 故选：C． 【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题． 10. 定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】如图，由于， 故两个阴影部分均为， 于是， 若，则，， 而， 成立； 反之，若， 则由于，， ， ，， 故是的充要条件. 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题共5小题，每小题6分，共30分． 11. 已知函数对任意实数a ，b都满足，且则________. 【答案】 【解析】 【分析】赋值法，首先令得到，然后根据求解即可. 【详解】令时，有， 所以， 又， 故答案为： . 12. 在函数中，若，则的值是______________________ 【答案】 【解析】 【分析】通过分段讨论，分别解一次方程、二次方程即可. 【详解】由题意可得或或. 解得或. 所以若，则的值是. 13. 若实数，且满足，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知是方程的两个根，利用韦达定理求解即可. 【详解】根据题意可知是方程的两个根， 所以，， 则， 故答案为： 14. 不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】对的取值进行分类讨论进而去掉绝对值，再求解不等式. 【详解】当时，原不等式可化简为，解得； 当时，原不等式可化简为，即，故此时不等式无解； 当时，原不等式可化简为，所以． 综上，不等式的解集为． 15. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”，则下列说法中正确的是_________． ①不是“可分集合”； ②是“可分集合”； ③四个元素的集合可能是“可分集合”； ④五个元素的集合不是“可分集合”． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】去掉3，由“可分集合”的定义即可判断①；逐一去掉一个元素，列举即可判断②③；不妨设，讨论在集合中去掉元素后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可判断④. 【详解】对于①，去掉3后，不满足定义，不是“可分集合”，①正确； 对于②，集合所有元素之和为， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，②正确； 对于③，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，③错误； 对于④，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有（1），或者（2）， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有（3），或者（4）， 由（1）（3）或（2）（4）得，矛盾； 由（1）（4）或（2）（3）得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，④正确． 三、解答题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据并集的运算即可求解； （2）由，得，对集合分是否为空集进行讨论，结合子集关系即可求解. 【小问1详解】 因为集合，所以， 又，集合，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是，即. 17. 解关于的不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】先对不等式因式分解，再按参数的不同取值分类，通过数形结合求解即可. 【详解】由 （1）当时，不等式化为  解得，故解集为； （2）当时，方程的两根为，： ①当时，原不等式等价于（*），因， （i）当时，，不等式（*）的解为； （ii）当时，不等式（*）等价于，解为； （iii）当时，，不等式（*）的解为； ②当时，原不等式等价于 因，不等式的解为或. 综上：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 18. 已知函数． （1）求，的值： （2）判断函数的单调性并证明： （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）在上单调递增；证明如下： 设，且， 则 ， ，，，， 故，所以，则， 所以，即， 所以，故在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式代入运算得解； （2）利用函数单调性的定义判断证明； （3）问题转化为，结合单调性得对任意的恒成立，根据二次函数性质求解. 【小问1详解】 ，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若对任意的恒成立， 所以，即，故， 由（1），即对任意的恒成立，又在上单调递增. 所以，即对任意的恒成立， ，解得， 综上，的取值范围为. 19. 若有限集满足： ①且； ②对，均有； ③对，，若，则，，中至少有一个属于，称集合具有性质．（记为集合中的元素个数） （1）分别判断集合和是否具有性质（直接写出结论）； （2）判断是否存在具有性质的集合满足？并说明理由； （3）若集合具有性质，求的所有可能值． 【答案】（1）具有性质；不具有性质. （2）不存在具有性质的集合满足； 具有性质的有限集需满足①且； ②对，均有， ③对，，若，则，，中至少有一个属于， 根据①②可知， 满足条件③需满足时，，中至少有一个属于， 因为，，可以在集合内， 故具有性质的集合中必有元素， 假设存在具有性质的集合满足，设， 当时，令则， ，，故不合题意， 当时，令则， ，若则或两种情况均得与集合的互异性矛盾， 故，，若则不成立， 或，此时，令得， ，不合题意， 综上所述：不存在具有性质的集合满足. （3）或 【解析】 【分析】（1）任取两元素穷举即可，取验证即可. （2）假设存在，反证即可. （3）集合中一定有元素，假设存在反证即可. 【小问1详解】 ， 令有合题意；令有合题意； 令有合题意；令有合题意； 令有合题意；令有合题意； 令有合题意；令有合题意； 令有合题意；令有合题意； 故具有性质. ，令可知 ，，， 故不具有性质. 【小问2详解】 具有性质的有限集需满足①且；②对，均有， ③对，，若，则，，中至少有一个属于， 根据①②可知，满足条件③需满足时，，中至少有一个属于， 因为，，可以在集合内， 故具有性质的集合中必有元素， 假设存在具有性质的集合满足，设， 当时，， 令则，，， 故不合题意， 当时，令则，， 若则或两种情况均得与集合的互异性矛盾， 故，， 若则不成立，或，此时， 令得，，不合题意， 综上所述：不存在具有性质的集合满足. 【小问3详解】 由上可知集合中一定有元素， 当时，穷举验证，符合题意； 当时，由（2）可知不符合题意； 当时，由可知，符合题意； 当时，， 且， 其中集合中在内有个元素内有个元素， 令，则，，，若集合具有性质，则必有，同理可得， 因为所以， 所以在内至少有个元素，即； 令，则，，，若集合具有性质，则必有，同理可得， 因为，所以， 所以在内至少有个元素，即；所以， 即和内元素个数相等，又因为集合中元素是从小到大严格排列的， 所以一定有，，其中，联立可得， 根据集合互异性可知在集合中内最多有一个元素，同时内最多有一个元素，又因为集合中一定有元素，所以集合中最多个元素，即不成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大附中2026—2027学年第一学期学科挑战赛高一数学 第一部分（选择题 共60分） 一、选择题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项中，表示的是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数对任意且时，有，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 9. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（　 　） A. B. C. D. 10. 定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题共5小题，每小题6分，共30分． 11. 已知函数对任意实数a ，b都满足，且则________. 12. 在函数中，若，则的值是______________________ 13. 若实数，且满足，，则__________. 14. 不等式的解集为_____． 15. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”，则下列说法中正确的是_________． ①不是“可分集合”； ②是“可分集合”； ③四个元素的集合可能是“可分集合”； ④五个元素的集合不是“可分集合”． 三、解答题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 17. 解关于的不等式． 18. 已知函数． （1）求，的值： （2）判断函数的单调性并证明： （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 19. 若有限集满足： ①且； ②对，均有； ③对，，若，则，，中至少有一个属于，称集合具有性质．（记为集合中的元素个数） （1）分别判断集合和是否具有性质（直接写出结论）； （2）判断是否存在具有性质的集合满足？并说明理由； （3）若集合具有性质，求的所有可能值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $