7.7 解析几何弦长与面积讲义-2027届高三数学一轮复习

第三编 · U7 解析几何 7.7弦长与面积 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 上一讲已经把直线代进曲线、拿到韦达定理，这一讲要回答的是拿到 与 之后干什么：把长度算出来，把面积算出来，再在含参的式子里求出最值。 （一）高考怎么考 弦长与面积很少单独出题，它们几乎总是解答题第二问的载体：题干给一条动直线，给出某个长度或某个面积，反过来要你确定直线，或者要你求出这个量的最值。小题里它换了个面孔——用不等式的形式出现，问“弦长最小是多少”“两条线段之积有没有下界”，甚至在三个等圆里比较三条弦。 表 1 先按最新一届到上一届排列四道题，四行题给出三条线索，表后逐条说明。取舍先说清楚：2025 年全国Ⅰ卷第 10 题已列在 7.9、7.10 的考情表内，2024 年新课标Ⅰ卷第 16 题已列在 7.8 的考情表内，本讲不重复列表；后者仍是本讲例题 2 的载体，只在这里点一次名。 表 1: 高考弦长与面积考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅰ卷 11（多选） 三个等圆被同一条直线所截，判断弦长相等的直线条数、弦长和的条件与最大值 2026 天津卷 15 抛物线上的四点，弦与 轴交点给出纵坐标乘积，再判断面积比 2025 全国Ⅱ卷 16 椭圆中过 轴上定点的弦，由三角形面积反求 2024 上海卷 20 双曲线中过定点的弦，等腰三角形转边长关系，再求参数范围 一是弦长不只属于圆锥曲线。2026 年全国Ⅰ卷第 11 题把三条弦放进三个半径相同的圆里，弦长 一步写出，等弦长立刻化成圆心到直线的距离相等；三个圆心又构成正三角形，三条弦长的和可以写成直线到三个圆心距离的函数。这类题不联立，考的是把几何条件翻成距离。 二是面积仍是“反求”的入口。2025 年全国Ⅱ卷第 16 题给 的面积为 ，要你倒出 ；2026 年天津卷第 15 题把面积比放到抛物线的四点之间，要你先用弦与 轴的交点写出纵坐标的乘积，再把面积比换成坐标比。两题的动作顺序相同：先把面积写成一个含参表达式，再令它等于题给数值。 三是弦长可以翻译成三角形的形状。2024 年上海卷第 20 题用“等腰三角形”给出边长相等，把几何条件换成坐标方程，最后落到参数范围。弦长在这里不是最终目标，而是列方程的抓手；看到“等腰”“等边”“中点”这些词，先把它们翻译成距离相等或坐标中点。 （二）必备知识清单 本讲的知识量不大，但每一条都带一个“什么时候用”的判断，清单里特意把判断写出来。 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 弦长公式（圆与圆锥曲线） 圆：， 为圆心到直线的距离；圆锥曲线：，设 时改用 会按载体与设线形式选公式，绝不混用 焦点弦 抛物线 ：，，；通径 是最短焦点弦 会用倾斜角写弦长并求下界 通径 椭圆、双曲线的通径长均为 ；椭圆的长轴 是过焦点的最长弦 会由 现推，不死记 面积三式 底乘高 ；铅垂分割 ；原点三角形 会按第三个顶点的位置选式 面积比 同底或等底的两个三角形，面积比等于对应线段比： 会把面积比换成坐标比 最值工具 换元后先写新元范围，再用基本不等式或单调性；（，） 会验等号对应的参数是否存在 二、知识梳理：把公式变成可操作的动作 这一节的五段内容是一条完整的流水线：先决定直线怎么设，再把长度写出来，再把面积写出来，最后把面积或长度当成函数求最值。每一步都有它的前提，跳步就出错。 （一）弦长公式：先定设线形式，再挑公式 弦长公式只有一个来源——两点间距离公式加韦达定理： 若 、 在直线 上，则 ，提出 得 其中 是联立后关于 的二次方程的二次项系数。若直线写成 ，同样的推导给出 此时 是关于 的二次方程的二次项系数。 还有一类弦长根本不需要联立：圆 被直线截得的弦，设圆心到直线的距离为 ，由垂径定理得 三个半径相同的圆比较弦长时，弦长相等等价于圆心到直线的距离相等；弦长的和也可以直接写成这三个距离的函数。圆看距离，圆锥曲线看韦达，这是两条不同的流水线。 第一个动作因此是看自己把直线设成了哪一种。根号里的字母、绝对值里的下标、判别式所在的那条二次方程，三者必须同属一种设法。 弦长公式的三条配套规矩 一、设 就用 的差与关于 的 ；设 就用 的差与关于 的 ，二者不可混搭。 二、 已经是 的正值，不必再讨论符号。 三、，先把韦达定理的两个量代进去再开方，不要试图单独解出两个交点。 （二）焦点弦：定义比联立快 过焦点的弦叫焦点弦，它有一批现成的结论，能用就用，不必每次联立。 抛物线 （焦点 ，倾斜角 ）： 这四条里，第一条来自定义（焦半径等于到准线的距离 ），第三条来自把 代入后韦达定理的乘积项。因为 ，所以 等号在 时取得，这条垂直于对称轴的焦点弦就是通径。一句话记牢：抛物线的焦点弦里通径最短。 椭圆与双曲线的通径长是 （把 代入即可），但“最短”这件事两边不同：椭圆里过焦点最长的弦是长轴 、最短的是通径；双曲线过焦点的弦要分同支与两支讨论，不能直接套。 （三）面积：三种算法，看第三个顶点在哪 设 、 是弦的端点， 是第三个顶点。三种算法对应三种情形。 算法一（底乘高）：把 当底， 到直线 的距离当高， 这是通用做法，代价是 与 都要算，两个根号相乘。 算法二（铅垂分割）：当 落在坐标轴上，或直线 恒过某个坐标轴上的定点时，用该定点到 的线段作底更省。例如直线过 轴上的点 ，则 若 在 轴上，则把 换成 的横坐标绝对值、把 换成 。它的依据是把三角形沿 轴（或 轴）切成两块，公共底在轴上，两个高正好是两交点横坐标的绝对值。 算法三（原点公式）：当 就是原点时， 把 或 用直线方程替换后，它同样能化成韦达定理的对称式。 见过定点先定底 第三个顶点在坐标轴上、或弦恒过坐标轴上一定点时，一律优先用算法二：它把面积直接写成 定长 ，一次韦达定理就出结果，完全绕开点线距。只有当定点不在坐标轴上、又不在曲线上时，才回到算法一去硬算点线距。 （四）面积比：把比的对象换成线段 两个三角形若共顶点且底边在同一条直线上，面积比就等于底边之比，与高的具体数值无关。最常用的两条： 因为 、 到直线 的距离在两个三角形里是同一个高。于是“面积是另一块的 倍”这类条件，可以立刻换成焦半径之比、换成向量共线的倍数，再换成纵坐标之比： 第二式前的负号来自两交点分居 轴两侧这一事实；若两点在同侧，则写成 。 反过来说，题目给 时，要求面积就直接用线段比转坐标比，不必先求点坐标。 （五）从目标式到最值：换元先写范围 面积与弦长写出来之后，几乎都是形如 的式子。求最值标准动作有三步： 第一步换元。看到 、 这类结构就令 或 ，把式子变成关于 的有理式。 第二步写范围。换元后新元的取值范围必须立刻写出来，它有两个来源：一是几何限制（、），二是分母不能为零。范围写错，后面的不等式全部作废。 第三步求界并验等号。能用基本不等式的（如 ）就用，然后回头检查等号所对应的 是否满足第二步的范围；不能用的就求导或看单调性。 本讲的三句话 凡是长度，先问“直线怎么设的”，再决定用哪条弦长公式；凡是面积，先问“第三个顶点在哪”，再决定用哪条面积公式；凡是最值，先问“新元范围写了吗”，再写不等号。三句话覆盖本讲全部的失分点。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 长度与面积的题面都很短，真正决定第一步走哪条路的是图形情境：弦是不是过焦点、第三个顶点在哪条轴上、给的是面积还是面积之比、要求的是值还是范围。按这四点把本讲分成六个模型。 表 3: 弦长与面积问题的六个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 焦点弦 出现焦点、准线或焦点弦的中点 焦半径换距离，弦长用 例 1 二 · 面积反求 两顶点已定，只给面积 定底定高，面积换平行线 例 2 三 · 铅垂面积 弦过坐标轴上一点，顶点是原点 轴上定长作底，横坐标差作高 例 3 四 · 面积比 说“面积是另一块的 倍” 面积比换线段比，再换坐标比 例 4 五 · 垂直弦 过焦点作两条互相垂直的弦 对角线垂直，两弦长积的一半 例 5 六 · 最值 问最大值、最小值或取值范围 目标式换元，先写新元范围 例 6 （一）模型一：焦点弦与准线 识别标志是题面同时出现焦点与准线，或直接说“过焦点的弦”。标准动作有两条：一是把焦半径写成到准线的距离（抛物线 ，椭圆 ），二是把弦长写成两段焦半径之和。易错处在用弦长公式硬算——明明一句话能出来的 讨论，被写成一大段联立。 （二）模型二：面积反求直线 识别标志是三角形里两个顶点都是已知的具体点，只给一个面积，反求第三个点或直线。标准动作是把面积翻译成平行线：定底长度可算，面积定高，第三个顶点必在一条与底边平行、距离等于该高的直线上，再让这条直线与曲线相交。易错处是翻译出来的两条平行线不检查与曲线有无交点，多写一条不合题意的直线。 （三）模型三：坐标轴上定点的铅垂面积 识别标志是弦恒过 轴或 轴上的一点（焦点、顶点、对称中心都属此类），另一个顶点是原点。标准动作是以轴上那段定长为底，把面积写成 定长 （底在 轴上）或 定长 （底在 轴上）。易错处是先去算点线距，绕一大圈；另一处是定点在曲线外时，忘了讨论斜率不存在的那条直线。 （四）模型四：面积比与分点 识别标志是条件用“倍”字描述两个三角形，或用向量写成共线倍数。标准动作是把面积比顺着往下换：共顶点、底共线 面积比 = 线段比 纵坐标（或横坐标）之比，再交给韦达定理。易错处是换成坐标比时漏了符号——焦点弦的两端点必在 轴两侧，应写 ，不是 。 （五）模型五：两条互相垂直的弦 识别标志是过同一点引出两条垂直的弦，问它们围成的四边形。标准动作是先用对角线公式 把面积拆开，各自求一条弦长，再把两式相乘。易错处是只算了一般情形：斜率为 0 与斜率不存在这两种位置恰好是四边形的两个极端，必须单独补算，最值常常就在那里。 （六）模型六：长度与面积的最值 识别标志是问“最大（小）值”“取值范围”。标准动作是把目标写成关于 或 的函数，看到 、 这类结构就换元，并用配方法或基本不等式求界。易错处有两个：换元后不写新元的范围，以及求出极值后不检查等号那一点是否落在范围里。 四、例题精讲 六道例题一一对应上面六个模型。每题统一按四步展开：认模型 → 设元 → 列目标式 → 验边界。这里“设元”包括设直线（ 或 ）、设点、以及最后的换元；第四步“验边界”专管三件事——判别式是否真为正、特殊位置（斜率为 0 与不存在）是否覆盖、等号点是否落在换元后的范围里。 （一）模型一：焦点弦与准线 焦点弦的题面通常同时出现焦点、准线和一条过焦点的直线，选项又全是长度比较。先把每条长度换成焦半径，再用“到准线的距离”把焦半径写成横坐标，最后才决定要不要联立。 例题 1（模型一·焦点弦与直径圆） 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点，则（） A. 以 为直径的圆与 的准线相切 B.  的最小值为 4 C.  的最小值为 2 D. 若 ，则 图 1: 过焦点的弦 AB、其中点 M 与准线 第 1 步 · 认模型：题面出现焦点 、过 的弦与准线，四个选项全是长度或位置判断——模型一。先把 定下来：，故 ，，准线 。焦点弦的端点满足 、，这是全题的第一把钥匙。 第 2 步 · 设元：过 的直线不可能是 轴（ 轴与 只交于原点，形不成弦），故设 ：。代入 ： 由韦达定理 、。于是 中点 的坐标为 。 第 3 步 · 列目标式：逐个翻译四个选项。 A：圆心为 ，半径为 。 到准线 的距离为 ；而 故半径 ，恰好等于 到准线的距离，圆与准线相切，✓ B：由上式 ，等号在 （弦为通径）时取得，✓ C：，故 ， 的最小值为 1，不是 2， D：由焦半径公式 。设 ，则 ，代入得 ，解得 ，故 ，✓ 第 4 步 · 验边界： 时 、、，，，B 的等号与 C 的反例同时兑现。D 的 对应 、，取 在下方得 ，代回 得 ，这样的直线确实存在。再看有没有漏掉的直线：只有 轴过 而未写进 ，但它与 仅有一个公共点，不构成弦，无需补。 故选 A、B、D。 焦点弦的四条结论 对 的焦点弦 （倾斜角 ）：，最小值为 ；；，；以 为直径的圆与准线相切。 前三条负责算长度，第四条负责判断位置关系。看到“直径圆”“中点”“准线”三个词同时出现，先想第四条；看到两条焦半径的倍数关系，先用第二条。 （二）模型二：面积反求直线 本例三角形里 、 两点的坐标都已给全，底边的长度与所在直线都能直接算出来，于是面积只剩一个未知量：第三个顶点到底边的距离。把面积值翻译成这个距离，再翻译成一条与底边平行的直线，交点即所求。 例题 2（模型二·定底反求第三点） 已知 和 为椭圆 ： 上两点。 （1）求 的离心率； （2）若过 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 9，求 的方程。 图 2: 椭圆上的定点 A、P 与定底 AP 第 1 步 · 认模型：、 都是已定的点，只给面积，问第三条边——模型二。底边 是定线段，面积只能决定第三个顶点到直线 的距离，于是 必落在一条与 平行的直线上。 第 2 步 · 设元：（1） 在 上，得 ； 在 上，得 故 ，。 （2）：（即上式两边同乘 的化简形式）。直线 的斜率为 ，方程为 第 3 步 · 列目标式：设 到直线 的距离为 ，则 到 的距离为 的平行线写成 ，则 即 或 。 留到第 4 步处理。取 ，即 ，代入 ： 解得 或 ，对应 、。 第 4 步 · 验边界：先查 ：把 代入 得 ，，与椭圆没有公共点，这一支必须舍去（也可以一眼判断： 在该椭圆上的最大值为 ）。再查两点是否可用：、 均在 上且都不与 重合； 那一条就是 本身，面积为 0，本不在候选之列。 最后写直线： 的斜率 ， 的斜率 。 故 的方程为 或 。 平行线反求点之后要回头查交点 面积条件翻成“到定底等距的两条平行线”时，一次会得到两条直线，但它们未必都与曲线相交。本题 那一支就完全在椭圆外。跳过这一步，就会多写出一条根本不存在的答案——这是模型二最典型的失分点。 （三）模型三：坐标轴上定点的铅垂面积 弦恒过坐标轴上的一个定点，另一个顶点又是原点，这是铅垂式最典型的场景。先认出那条轴上的定长，再把面积写成“定长乘横坐标之差”的一半。 例题 3（模型三·轴上定点作底） 已知椭圆 ：。过点 的直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。若 的面积为 ，求 。 图 3: 弦过 y 轴上定点时，以 OQ 为底 第 1 步 · 认模型：弦 恒过 轴上的定点 ，另一顶点是原点 ，底 落在坐标轴上——模型三，用铅垂式，不去算点线距。 第 2 步 · 设元： 在 外（）。若 为 轴（斜率不存在），则 、 为 ，与 共线，面积为 0，不合题意，故可设 ：。代入 ： 两个交点要求 且 、。 第 3 步 · 列目标式：铅垂式的依据是一行代数：把 代入原点公式 于是 ，即“底 、高换成横坐标之差”。由 得 ，两边平方并代入韦达定理： 去分母整理：，即 ，也即 ，恰为完全平方 最后一步用弦长公式收口： 第 4 步 · 验边界： 满足前提 ，，两交点确实存在； 给出关于 轴对称的同一种构型，弦长相同，故 唯一。斜率不存在的情形已在第 2 步排除。 故 。 铅垂式的通用写法 直线过 轴上的点 时，；过 轴上的点 时，。 一行推导：把 代入 ， 项自动抵消，只剩 。它不要求两交点分居轴的两侧，所以同侧、异侧都能直接用。 （四）模型四：面积比与分点 题面用“倍”字描述两个三角形，或给出向量共线倍数，先把面积比换成同底线段比，再换成纵坐标之比。 例题 4（模型四·面积倍数换焦半径） 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线与 交于 、 两点（ 在第一象限）， 为坐标原点。若 的面积是 面积的 3 倍，求 与 的面积。 图 4: 共顶点 O 的两个三角形与同一条焦点弦 第 1 步 · 认模型：两个三角形共用顶点 ，底 、 在同一条直线上——模型四，面积比直接就是线段比。 第 2 步 · 设元：，。设 、，直线过 且不可能是 轴，设 ，代入 ： 乘积为负，说明 、 必在 轴两侧，这一点决定下一步的符号。 第 3 步 · 列目标式： 到直线 的距离是 与 的公共高，故 焦半径就是横坐标加 ，即 、；换成纵坐标更直接：两点分居 轴两侧，纵坐标绝对值之比等于焦半径之比，所以 代入 ：，。 在第一象限，故 、： 于是 底 在 轴上，用铅垂式（模型三）收尾： 第 4 步 · 验边界：代回检验：、，比恰为 3；焦点弦恒等式 同时成立。再确认直线确实存在：，用它回代 ，与上面一致。 故 ， 的面积为 。 换坐标比时必须带符号 换成坐标是 ，负号来自两点分居 轴两侧，而“分居两侧”这件事由 保证。若弦不过焦点而是过抛物线内某点，乘积的符号会随直线而变，此时应先算 的正负再决定符号，不能照抄。 （五）模型五：两条互相垂直的弦 两条弦过同一点且互相垂直，四边形以它们为对角线；先各求一条弦长，再用对角线公式把面积拆成两半。 例题 5（模型五·垂直弦围成的四边形） 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过 作两条互相垂直的弦 、，顺次连接 、、、 得四边形 。求该四边形面积的取值范围。 图 5: 过右焦点的两条垂直弦围成的四边形 第 1 步 · 认模型：两条弦过同一点且互相垂直，四边形以它们为对角线——模型五。面积公式 把问题切成两半：各求一条焦点弦长。 第 2 步 · 设元：、、，。先处理 存在且 的一般情形：设 ：，则 ：。把 代入 ： 故这样的弦恒存在。，，于是 第 3 步 · 列目标式： 与 同形，把 换成 ： 从而 分子分母都是 的二次式，且系数对称（1,2,1 对 2,5,2），正是换元的信号。同除 ： 分离常数：，它在 上单调递增，故 等号在 即 （）时取到。 第 4 步 · 验边界： 在这个换元里没有上界， 对应 或 ，而这两种位置恰好被“ 存在且不为 0”的假设排除，必须单独补算： （1）： 是长轴，； 垂直于 轴，是通径，，故 。 （2） 斜率不存在：与（1）是同一种构型，只是两弦互换，面积仍是 2。 又 ，所以一般情形把 2 作为上确界，由（1）（2）真正取到。 故四边形 面积的取值范围为 ：最小值在两弦与坐标轴成 时取得，最大值在两弦分别为长轴与通径时取得。 换元 v 之后仍要看两端 出现 就令 ，范围 立刻写在旁边，等号点是 。 但 取不到无穷大对应的几何位置是真实存在的： 与斜率不存在这两条弦并不在题面之外。凡是设了斜率 的题，收尾前都要回到这两条线补算一次，本讲的最大值正是从那里出来的。 （六）模型六：长度与面积的最值 弦固定、点在动，面积的最值只剩一个高；先把动点设成单参数，再配方或求导。 例题 6（模型六·曲线上动点到定弦的距离） 已知抛物线 ： 与直线 ： 交于 、 两点，点 是 上位于 、 之间那一段弧上的动点（含端点）。求 与 面积的最大值，及此时点 的坐标。 图 6: 弦 AB 固定，动点 P 在 A、B 之间的弧上 第 1 步 · 认模型：弦 已经固定，只有 在动——模型六。底是常数，面积最值全在高，即点 到直线 的距离。 第 2 步 · 设元：先定 、。由 代入 ： 这里用的是 形式的弦长公式（）。再设动点 抛物线上的点用纵坐标设，根号就不会出现。 第 3 步 · 列目标式： 写成 ，点 到它的距离 当 在 、 之间的弧上时，弧位于弦的左侧，（该二次式在两端点处恰为 0、开口向上），所以绝对值可以直接去掉负号： 第 4 步 · 验边界：配方后的顶点在 ，而 ，顶点落在允许范围内部，可以直接取： 此时 的坐标为 ，代入 得 4=4，点确在 上。端点处 、面积为 0，是区间上的最小值，符合“含端点”的设定。 故 ， 面积的最大值为 ，此时 。 同一个最值的第二种做法：平行切线 面积最大 ⟺ 高最大 ⟺ 过 的切线与 平行。对 ，，令它等于 的斜率倒数 1，得 ，即 ，与配方法同一点。 两种做法都能用，但切线法只给位置不给最值，最终仍要回去算距离；考试作答时优先写配方法，把切线法用在草稿上验算。 五、易错点辨析 本讲六个高频错误分成两类：前三条是公式选错——工具本身没错，套错了情境；后三条是前提没查——式子列对了，却漏掉了题目没保证的条件。检查顺序也按这两类来：先确认公式与设法、情境配套，再确认符号、交点、范围三个前提都成立，最后才动笔算数。 表 4: 公式选用类的三个错误 错误表现 错因 正确做法 设 ，弦长却写 根号内的字母、绝对值里的下标、 所属方程分属两种设法 设哪种用哪种： 配 焦点弦也去联立硬算 忘了定义能把焦半径换成到准线的距离 先写 ，再决定要不要联立 面积一律用 定点已在坐标轴上，仍去算点到直线的距离 轴上有定点就用铅垂式，底换成轴上那段定长 表 5: 前提校验类的三个错误 错误表现 错因 正确做法 面积比换成 只比长度大小，没判两点在轴的同侧还是两侧 先看 的符号，异侧必须补负号 平行线反求点后直接往下算 两条等距平行线里可能有一条与曲线根本不相交 分别回代查 ，无交点那一支舍掉 换元后不写新元范围 把代数上的极值当成几何上能取到的最值 范围与换元写在同一行，另补算 与斜率不存在 六、当堂检测 A 组练六个模型的基本动作，限时 20 分钟；B 组练焦点弦的范围、比值与最值，限时 20 分钟；C 组两道压轴，需要把两个模型串起来用。 （一）A 组：基础过关 A 组四题只查公式与定义：焦点弦用 或焦半径倒数和，一般弦用韦达定理，通径用 ，每题都应在一两分钟内收口。 A1 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点。若 、 的横坐标之和为 10，求 。 A2 求直线 被抛物线 截得的弦长。 A3 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、，过 且垂直于 轴的直线交 于 、 两点。求 与 的面积。 A4 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点。若 ，求 。 （二）B 组：能力提升 B 组四题都要先把目标写成单参数的函数，再看范围与特殊位置；不要急着用基本不等式，先确认等号点能不能取到。 B5 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过 的直线与 交于 、 两点， 为坐标原点。求 面积的最大值，及此时 的长。 B6 求椭圆 的过右焦点的弦长 的取值范围。 B7 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过 的直线与 交于 、 两点。若 ，求 。 B8 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 作两条互相垂直的弦 、，顺次连接 、、、 得四边形 。求该四边形面积的最小值。 （三）C 组：压轴突破 C 组两题都要多走一步：先把面积条件翻译成直线或坐标，再回到弦长与面积公式；C9 还要检查另一支平行线是否与曲线相交。 C9 已知 、 是抛物线 ： 上的两点，过 的直线 与 交于另一点 。若 的面积为 30，求 的方程。 C10 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线与 交于 、 两点，、 在 的准线上的射影分别为 、。求四边形 面积的最小值。 七、参考答案与提示 十道题都写明关键那一步与一个易错点。做完先对答案，再回到第三、五节找到对应的模型，把四步重走一遍。 （一）A 组 A 组四题只查公式，做完先对答案，再回到第二节把对应的公式默写一遍。 A1答案：。 提示： 中 ，故 ，焦点弦 ，不必联立。易错点：把 当成 8，答成 18。 A2答案：。 提示：代入得 ，即 ，故 ，再乘 。易错点：把 直接当成弦长。 A3答案：，。 提示：这条弦就是通径，； 以 为底，高为焦距 。易错点：，不是 13；通径长漏掉因子 2。 A4答案：。 提示： 的 ，用 配上 ，解得 、，和为 。易错点：把倍数条件写成 ——焦半径是 ，不是 。 （二）B 组 B 组四题的关键都在换元后的范围，提示里把等号点单独标了出来。 B5答案：最大值为 ，此时 （弦为通径）。 提示：设 ，得 ，，于是 。令 ，则 ，它在 上单调递减，故 即 时取最大值 ，此时 。易错点：用基本不等式得 ，但等号要求 ，落在范围外，取不到。 B6答案：。 提示：设倾斜角为 ，则 。 时最短，为通径 3； 时最长，为长轴 4。易错点：与抛物线混记——抛物线的焦点弦只有下界 ，椭圆上下界都有。 B7答案：。 提示：椭圆里 ，配上 解得 、。易错点：把抛物线的 照搬到椭圆上；求出后还要验 ，即 ，弦才真的存在。 B8答案：最小值为 32。 提示：设 的倾斜角为 ，则 的为 ，、。两对角线互相垂直，故 ，等号在 时取得。易错点：两条弦用了同一个 ，漏掉垂直带来的角度差。 （三）C 组 C 组两题的关键步骤不同：C9 靠判别式舍去无交点的一支，C10 靠焦点弦长公式与取等位置。 C9答案： 的方程为 或 。 提示：、 已定，先算定底 ，直线 ：。由 得 ，故 在 上且 ， 或 。 代回得 ， 或 ，即 与 ，对应两条直线； 代回得 ，，与抛物线无公共点，舍去。易错点：漏舍无交点那一支；或把两个 点合成一条直线。 C10答案：最小值为 8。 提示：、 都平行于 轴， 是梯形，两底长 、（正是两段焦半径），高为 ，故 。设 代入 得 ，、，于是 ，等号在 （弦为通径）时取得。易错点：把 写成 ，漏掉 。 本讲自查 合上讲义前，按顺序自查三件事：一、设线形式与弦长公式是否配套；二、面积用的是底乘高、铅垂式还是原点式，第三个顶点在哪；三、换元后的新元范围与等号点是否都验过。三件事都能说清楚，本讲的六个模型才算真正过手。 学科网（北京）股份有限公司 $