第3章 圆的基本性质期末单元复习练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

浙教版（2024）数学九年级上册期末单元复习 第3章　圆的基本性质 单元复习 【类型一】　有关垂径定理的计算 1．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离CD为6 m，桥拱半径OC为4 m，则水面宽AB为(　 　) (第1题) A. m B．2 m C．4 m D．6 m 2．如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥MN，点C在线段AB上，OC＝AC＝2，BC＝4.求⊙O的半径． 　　　　　　　　 　 　　　　 　(第2题)　 【类型二】　圆心角、圆周角、圆内接四边形 3．如图，在以AB为直径的⊙O中，C为⊙O上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G.若H是AG的中点，则∠CBF的度数为(　 　) (第3题) A．18° B．21° C．22.5° D．30° 4．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°. (1)求∠DAB的度数． (第4题) (2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F.若AB＝4，求DF的长． 5．如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的平分线． (1)求证：△ABD为等腰三角形． (第5题) (2)若∠DCE＝45°，BD＝6，求⊙O的半径． 【类型三】　正多边形 6．正十边形的每一个内角的度数为(　 　) A．120° B．135° C．140° D．144° 7．如图，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI的度数为(　 　) (第7题) A．10° B．12° C．14° D．15° 【类型四】　弧长和扇形的面积 8．如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD的长为(　 　) A. B．π C. D．2π 　　　　　　　　 　　　　　　 　(第8题)　 9．如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域的面积为(　 　) (第9题) A.π m2 B.π m2 C.π m2 D.π m2 10．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)． (第10题) 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________． (第11题) 12．如图，△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积为_________． (第12题) 【类型五】　圆的性质的综合 13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线相交于点F. (第13题) (1)求证：∠FGC＝∠AGD. (2)若GD平分∠AGC，∠ADG＝45°， AF＝，求弦DC的长． 【参考答案】 第3章　圆的基本性质 单元复习 【类型一】　有关垂径定理的计算 1．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离CD为6 m，桥拱半径OC为4 m，则水面宽AB为(　C　) (第1题) A. m B．2 m C．4 m D．6 m 【解析】 如答图，连结OA. ∵桥拱半径OC为4 m，∴OA＝4 m. ∵CD＝6 m，∴OD＝CD－OC＝2 m， ∴AD＝＝2 m， ∴AB＝2AD＝4 m.(第1题答图) 2．如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥MN，点C在线段AB上，OC＝AC＝2，BC＝4.求⊙O的半径． 　　　　　　　　 　 　　　　 　(第2题)　　　　 　　　　　　 (第2题答图) 解：如答图，连结OB，设AB与MN相交于点D. ∵AC＝2，BC＝4，∴AB＝AC＋BC＝6. ∵AB⊥MN，∴AD＝BD＝AB＝3，∠ODC＝∠ODB＝90°， ∴CD＝AD－AC＝1. 又∵OC＝2，∴OD＝＝，∴OB＝＝2，即⊙O的半径为2. 【类型二】　圆心角、圆周角、圆内接四边形 3．如图，在以AB为直径的⊙O中，C为⊙O上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G.若H是AG的中点，则∠CBF的度数为(　C　) (第3题) A．18° B．21° C．22.5° D．30° 【解析】 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠CAB＝90°. ∵＝3，∴∠CAB＝3∠ABC，∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°. 又∵CD⊥AB，∴∠ACE＝22.5°. ∵H是AG的中点，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝HG， ∴∠CAH＝∠ACE＝22.5°，∴∠CBF＝∠CAF＝22.5°. 4．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°. (1)求∠DAB的度数． (第4题) (2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F.若AB＝4，求DF的长． 解：(1)如答图，连结BD. (第4题答图) ∵∠ACD＝30°，∴∠B＝∠ACD＝30°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝90°－∠B＝60°. (2)∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2. ∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，∴∠ADE＝30°，DE＝EF， ∴AE＝AD＝1，∴EF＝DE＝， ∴DF＝2. 5．如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的平分线． (1)求证：△ABD为等腰三角形． (第5题) (2)若∠DCE＝45°，BD＝6，求⊙O的半径． (1)证明：∵∠DCB＋∠DAB＝180°，∠DCB＋∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝∠DAB. ∵CD平分∠ACE，∴∠ECD＝∠DCA. 又∵∠DCA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠DAB， ∴△ABD为等腰三角形． (2)解：如答图． (第5题答图) ∵∠DCE＝45°，∴∠DCA＝45°， ∴∠ACB＝90°， ∴AB是⊙O的直径， ∴∠BDA＝90°. 易知AD＝BD＝6， ∴AB＝＝6， ∴⊙O的半径为3. 【类型三】　正多边形 6．正十边形的每一个内角的度数为(　D　) A．120° B．135° C．140° D．144° 7．如图，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI的度数为(　B　) (第7题) A．10° B．12° C．14° D．15° 【类型四】　弧长和扇形的面积 8．如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD的长为(　B　) A. B．π C. D．2π 　　　　　　　　 　　　　　　　(第8题)　　　　　　　　　　 (第8题答图) 【解析】 如答图，连结OB，BD. ∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°. 又∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形． ∴∠BOD＝60°，∴劣弧BD的长为＝π. 9．如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域的面积为(　B　) (第9题) A.π m2 B.π m2 C.π m2 D.π m2 【解析】 易知小羊的活动区域是一个半径为5 m，圆心角为90°的扇形加一个半径为1 m，圆心角为60°的扇形， ∴面积＝＋＝π＋π＝π(m2)． 10．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为__π－__(结果保留π)． (第10题) 【解析】 ∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOB＝－×3×3＝π－. 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__96－25π__． (第11题) 【解析】 在菱形ABCD中，∵AC＝12，BD＝16， ∴AB＝ ＝10. ∵∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠DAB＝360°， ∴四个扇形的面积是一个以AB长为半径的圆， ∴S阴影＝×12×16－π×52＝96－25π. 12．如图，△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积为__4__． (第12题) (第12题答图) 【解析】 如答图，连结CD. ∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB. 又∵△ABC为等腰直角三角形， ∴CD垂直平分斜边AB. ∴CD＝BD＝AD，∴＝， ∴S弓形BD＝S弓形CD， ∴S阴影＝SRt△ABC－SRt△BCD. ∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线， ∴SRt△ABC＝2SRt△BCD. 又∵SRt△ABC＝×4×4＝8， ∴S阴影＝4. 【类型五】　圆的性质的综合 13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线相交于点F. (第13题) (1)求证：∠FGC＝∠AGD. (2)若GD平分∠AGC，∠ADG＝45°， AF＝，求弦DC的长． (1)证明：如答图①，连结AC. ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴＝，∴AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD. ∵点A，D，C，G在⊙O上，(第13题答图①) ∴易知∠FGC＝∠ADC. 又∵∠AGD＝∠ACD， ∴∠FGC＝∠AGD. (2)解：如答图②，连结BG，AC. ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴DE＝CE. ∵GD平分∠AGC，∴∠AGD＝∠CGD. 又∵∠FGC＝∠AGD， ∴∠AGD＝∠CGD＝∠FGC. 又∵∠AGD＋∠CGD＋∠FGC＝180°， ∴∠CGF＝∠AGD＝60°，(第13题答图②) ∴∠ADC＝∠ACD＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠CAD＝60°，AC＝AD. 又∵AB⊥CD，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAD＝30°. 又∵∠ADG＝45°，∴∠CAG＝∠CDG＝∠ADC－∠ADG＝15°， ∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAG＝45°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AE＝EF＝AF＝×＝. 在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，∴AD＝2DE. 又∵AD2＝DE2＋AE2，∴(2DE)2＝DE2＋()2， ∴DE＝1(负值舍去)，∴DC＝2DE＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $