3.2.1 双曲线及其标准方程的常用的十大题型专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

双曲线及其标准方程的常用的十大题型 题型一 双曲线定义与焦半径应用 题型二 轨迹方程（圆锥曲线定义法） 题型三 轨迹方程（动圆相切） 题型四 双曲线上点到圆/直线距离的最值 题型五 焦点三角形综合（周长、面积、正余弦定理） 题型六 方程表示双曲线、椭圆、圆（参数范围、充分必要条件） 题型七 判断曲线表示的圆锥曲线类型（多选题辨析） 题型八 求双曲线的标准方程 题型九 求椭圆、圆锥曲线的标准方程（含共焦点） 题型十 斜率之积与代数转几何的轨迹问题 题型一 双曲线定义与焦半径应用 【解题技巧】①双曲线定义：，其中，且。②已知一支上点到一焦点的距离，由定义求到另一焦点的距离；点所在支决定取＋2a或－2a，焦半径须满足。 1．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 2．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 3．已知双曲线上有一点P到一个焦点距离为12，则到另一个焦点的距离为（    ） A．4或20 B．20 C．4 D．6或18 4．双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 5．已知双曲线C：的两个焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则______． 6．如果双曲线上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一焦点的距离是______． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，上有一点到左焦点的距离为9，则点到的距离是________. 题型二 轨迹方程（圆锥曲线定义法） 【解题技巧】①到两定点距离之差的绝对值为定值2a（0＜2a＜2c）的点的轨迹为双曲线；②距离之和为定值（2a＞2c）的轨迹为椭圆；③动点到定点与定直线距离之比为定值时，按比值与1的大小判断椭圆/双曲线/抛物线。用定义法直接判定轨迹并设标准方程求解。 1．已知点，，动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知点和，动点满足，则的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．方程－＝12的化简结果为（    ） A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1(x＞0) D．－＝1(x＞0) 4．平面上动点到点的距离与它到直线的距离之比为，则动点的轨迹是（   ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 5．已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点.则点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 6．在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 7．已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为________． 8．已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为______. 题型三 轨迹方程（动圆相切） 【解题技巧】①两圆外切：圆心距；内切：。②动圆过定点并与定圆相切时，动圆圆心到定点与到定圆圆心距离之差（或和）等于半径差，据此判断轨迹为双曲线（或椭圆）并求方程。 1．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（    ） A．（） B．（） C． D． 3．一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 4．已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为__________. 5．如图，已知动圆与圆:外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程． 6．已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 题型四 双曲线上点到圆/直线距离的最值 【解题技巧】将动点到圆上点的距离问题转化为过焦点、圆心的距离：先由双曲线定义消去动点到焦点的项，再结合“圆上点到圆心的最值为半径±圆心到该点距离”求最值。 1．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 3．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C． D．5 5．已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为________． 7．已知是双曲线右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为_____________． 8．过点的双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为_________. 9．已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 题型五 焦点三角形综合（周长、面积、正余弦定理） 【解题技巧】①焦点三角形周长＝两焦点间距离与两条焦半径之和，常由定义求焦半径；②面积公式：，或用（余弦定理求夹角θ）。 1．已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 3．已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．3 4．记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 5．双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为_____. 6．已知点分别是双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为________. 7．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，为线段的中点，为坐标原点，若，则____________． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 题型六 方程表示双曲线、椭圆、圆（参数范围、充分必要条件） 【解题技巧】对：时为双曲线，m、n同号且不相等时为椭圆，m＝n＞0时为圆；焦点在y轴的双曲线要求y²项系数为正、x²项系数为负。据此解不等式即可，并注意充分必要条件的判定。 1．已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．命题 “”是命题曲线表示双曲线的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______. 7．当为何值时，方程表示下列曲线： (1)圆； (2)椭圆； (3)双曲线． 题型七 判断曲线表示的圆锥曲线类型（多选题辨析） 【解题技巧】对含参数的二次方程，按参数取不同值分类讨论系数符号，逐一判定表示圆（＞0）、椭圆（同号不等）、双曲线（异号）、直线（某系数为0）等，再逐项对照选项判断正误。 1．已知曲线，下列结论正确的有（   ） A．若，则是椭圆 B．若是圆，则 C．若，则是双曲线 D．若，则是两条平行于轴的直线 2．已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（   ） A．平行于轴的两条直线 B．单位圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的椭圆 3．已知方程表示的曲线为，则（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．存在，使得表示圆 C．当或时，曲线表示双曲线 D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为 4．已知曲线：，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则是两条直线 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是椭圆 D．若，则是椭圆，其焦点在轴上 5．对于曲线C：，则下列说法正确的有（    ） A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线 C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线 6．已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 7．已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得曲线为圆 B．若曲线C为椭圆，则 C．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则 D．当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值 8．若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为焦点在轴上的椭圆，则 题型八 求双曲线的标准方程 【解题技巧】用待定系数法设双曲线标准方程，代入点坐标，并利用、、渐近线；先求a、b、c再写方程。 1．椭圆以双曲线的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的一个焦点为，则的值为 A． B． C． D． 3．已知双曲线一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D．1 4．双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 8．与椭圆有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为___________. 9．在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程. 10．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上，且过点； (2)经过两点，. 11．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)焦点轴上，且过点，. 题型九 求椭圆、圆锥曲线的标准方程（含共焦点） 【解题技巧】求椭圆标准方程设，利用；求圆锥曲线方程用待定系数法，与椭圆共焦点则半焦距c相同，与抛物线焦点重合时先由抛物线求焦点坐标再代入。 1．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（　　） A． B． C． D．9 3．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)求与椭圆共焦点且过点的双曲线标准方程 (2)求焦点在坐标轴上，且经过两点和的椭圆的标准方程. 4．已知双曲线离心率为，且过点，过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为左焦点. (1)写出直线的方程； (2)求双曲线的标准方程； (3)求的面积. 5．求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 6．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 题型十 斜率之积与代数转几何的轨迹问题 【解题技巧】设动点M(x,y)，两定点为A、B，则由斜率之积＝定值列式并化简：若积为负常值且绝对值小于两定点半距平方之比对应椭圆、等于对应双曲线，整理即得轨迹方程（注意除去使斜率不存在的点）。 1．在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为__________. 3．设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 4．已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程. 参考答案 题型一 双曲线定义与焦半径应用 1．C 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 可得或， 又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，， 所以或. 故选：C 2．A 【详解】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A 3．A 【详解】设双曲线的左右焦点分别为，则， 设P为双曲线上一点，不妨令， ∴点可能在左支，也可能在右支， 由，得， 所以或4，均满足， 所以点到另一个焦点的距离是或． 故选：A． 4．9 【详解】由双曲线，可知：， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在左支上，所以. 故答案为：9. 5．18 【详解】双曲线C：的实半轴，半焦距， 而，则，所以. 故答案为：18 6．22 【详解】由题意得，又，所以. 故答案为：22 7．17 【详解】由双曲线方程可知：， 因为，所以点在的左支上， 由双曲线定义可得. 故答案为：17 题型二 轨迹方程（圆锥曲线定义法） 1．D 【详解】因为，所以的轨迹为双曲线，且焦点在轴上 设该双曲线的方程为，则，，. 所以的轨迹方程为. 故选：D. 2．B 【详解】解：设， 因为，所以， 即 ，两边平方整理得：，， 两边平方整理得：，即 ， 故选:B. 3．C 【详解】解：设A(−10,0)，B(10,0)，， 由于动点P(x,y)的轨迹方程为－＝12， 则|PA|−|PB|=12，故点P到定点A(−10,0)与到定点B(10,0)的距离差为12， 则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支， 由于2a=12，c=10，则， 故P的轨迹的标准方程为－＝1(x＞0). 所以原方程可以化简为－＝1(x＞0). 故选：C 4．A 【详解】设点，由题意可得， 化简可得，即，曲线为反比例函数图象， 故动点的轨迹是双曲线. 故选：A. 5．AC 【详解】由题，，圆的半径为3，连接， 则， 当点在圆内时，如图， 所以， 所以此时点的轨迹为以为焦点的椭圆； 当点在圆上时，如图，为圆的弦， 所以点的轨迹为点； 当点在圆外时，如图， 则， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线. 综上，点的轨迹可能为椭圆和双曲线. 故选：AC. 6．AD 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 7． 【详解】因为, 所以曲线的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线， 所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 8． 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 题型三 轨迹方程（动圆相切） 1．C 【详解】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 2．D 【详解】设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为4．动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以， 所以，即动点到两定点的距离之差为常数4，所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，所以动圆的轨迹方程是． 故选：D. 3．C 【详解】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨迹方程为：． 故选：C． 4． 【详解】当圆与圆均外切时，， 所以， 则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为， 则， 则， 所以轨迹方程为. 故答案为：. 5． 【详解】设动圆的半径为，由已知，得，． 所以， 又因为，，所以，所以， 根据双曲线的定义，知点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支． 因为，所以 所以动圆圆心的轨迹方程为． 6． 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 题型四 双曲线上点到圆/直线距离的最值 1．D 【详解】解：易得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，此时==6+3=9 2．B 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 3．D 【详解】设C为双曲线右焦点，则，， 而，故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 4．A 【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以． 故选：A    5．B 【详解】由题意可得，即， 渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为， 焦点为，，由双曲线的定义可得， 由圆可得，半径，， 连接，交双曲线于，交圆于， 此时取得最小值，且为， 则的最小值为. 故选：B.    6．/ 【详解】因为双曲线的焦点为, 圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点, ， (当且仅当三点共线时取等号)， (当且仅当,,三点共线时取等号), ， 的最小值为. 故答案为：. 7．2+ 【详解】由知，， 所以双曲线的焦点坐标（±2，0）， 因为， 显然三点共线，并且垂直直线y＝2x时， P到直线y＝2x的距离与P到点F（﹣2，0）的距离之和的最小值：2+＝2+． 故答案为： 2+． 8．8 【详解】如图所示：设双曲线右焦点为，    设双曲线方程为：，所以，所以， 连接，由双曲线定义可知：， 所以，取等号时三点共线， 又因为，所以，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 9． 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 题型五 焦点三角形综合（周长、面积、正余弦定理） 1．D 【详解】点是双曲线左支上的点，， 又，设，，解得，， 又双曲线，，， ， ， . 故选：D. 2．C 【详解】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. 3．A 【详解】双曲线 化为标准方程可得 即 由双曲线定义可知,所以, 又因为,所以, 由以上两式可得, 由得, 所以, 解得, 故选:A. 4．D 【详解】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为. 故选：D 5． 【详解】由题意，可设所求的双曲线的方程为，即. 椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点为，，所以，， 所以双曲线的方程为，则，， 如图： 的周长为. 当，，三点共线时，有最小值，最小值， 故的周长的最小值为. 故答案为： 6．16 【详解】因为是双曲线下支上的点，所以，两边平方得： |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100. 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2==0， 所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16 故答案为： 7． 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在双曲线中，，由双曲线的定义可得， 故. 故答案为：. 8．(1)； (2). 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 9．(1) (2) 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    题型六 方程表示双曲线、椭圆、圆（参数范围、充分必要条件） 1．C 【详解】若方程表示双曲线， 则，解得或， 所以实数m的取值范围为. 故选：C. 2．A 【详解】由题意知，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A． 3．A 【详解】由题意，解得， 故选：A. 4．A 【详解】曲线表示双曲线，则，解得， 因此是的充分不必要条件． 故选：A． 5．C 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 6． 【详解】由题意得， 解得. 故答案为： 7．(1) (2) (3)或 【详解】（1）因为方程表示圆， 所以，解得； （2）因为方程表示椭圆 所以，解得且， 所以的范围为； （3）因为方程表示双曲线， 所以，解得或. 题型七 判断曲线表示的圆锥曲线类型（多选题辨析） 1．CD 【详解】对于A选项，若且，则是椭圆； 对于B选项，则是圆，则； 对于C选项，若，则是双曲线； 对于D选项，若，方程为，则是两条平行于轴的直线. 故选：CD. 2．BC 【详解】对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误； 对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确； 对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，且时，则，所以， 因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：BC. 3．BC 【详解】A、B选项：当时，，，当时，， 此时曲线表示圆，A选项错误，B选项正确； C选项：当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线， 当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确； D选项：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则， 则椭圆的焦距，D选项错误； 故选：BC. 4．AD 【详解】对于A：若，，则曲线：，即，表示两条平行于轴的直线，故A正确； 对于B：若，方程化为，则是圆，其半径为，故B错误； 对于C：当，时满足，但是曲线：表示焦点在轴的双曲线，故C错误； 对于D：若，则可化为， 因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D正确； 故选：AD 5．BCD 【详解】当曲线C为圆时，则，无解，故错误； 当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确； 若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确； 若曲线C为双曲线，则，解得，故正确． 故选． 6．CD 【详解】因为曲线：. 当时，表示圆； 当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线； 当或时，表示两条直线. 所以CD正确. 故选：CD 7．AC 【详解】A正确：曲线C为圆即 ； B错误：C为椭圆 C正确：C为焦点在x轴上的双曲线， D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值. 故选：AC 8．BC 【详解】因为方程，即所表示的曲线为， 对于A，若为椭圆，则，且，故A错误； 对于B，若为双曲线，则，或，故B正确； 对于C，当，即时，曲线为圆，故C正确； 对于D，若为焦点在轴上的椭圆，则，，故D错误. 故选：BC. 题型八 求双曲线的标准方程 1．C 【详解】由 可得其焦点坐标为：，顶点坐标 所以椭圆长轴端点坐标：，焦点坐标为， 所以椭圆方程为：， 故选：C 2．D 【详解】由于双曲线的一个焦点为，则，，， 由可得，因此，. 故选：D. 3．C 【详解】因为抛物线的焦点为， 故可得， 又双曲线的离心率等于 故可得，解得， 则该双曲线的实轴长. 故选：C. 4．A 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 5．A 【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：. 则，解得：. 所以双曲线的标准方程为. 故选：A 6．D 【详解】由题意可知，，解得，， 所以双曲线的方程是． 故选：D． 7．B 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 8． 【详解】由椭圆可知双曲线中，，且焦点在轴， 又，，， 所以双曲线方程为. 故答案为： 9．（1）（2）. 【详解】（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以， 双曲线的标准方程为C：. （2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意； 当斜率存在时，设直线方程为，设， 则，化简可得， 因为有两个交点，所以 化简可得恒成立， 所以， 因为恰好为线段的中点，则， 化简可得， 所以直线方程为，即. 10．(1) (2) 【详解】（1）由于双曲线的焦点在轴上， 可设其标准方程为：， 因为双曲线过点， 所以， 又因为，所以， 解得：，， 故所求双曲线的标准方程为：. （2）设双曲线方程为， 把点与点代入， 有，解得：， 故所求双曲线的标准方程为：. 11．(1)； (2)． 【详解】（1）当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为， 将代入，得． 又点在双曲线上， 有，由此得，不合题意，舍去． 当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为0)， ∵a=4，故， 把点坐标代入，得，解得． 故所求双曲线方程为． （2）设双曲线方程为，将已知点坐标代入， 得，解得． ∴所求方程为． 题型九 求椭圆、圆锥曲线的标准方程（含共焦点） 1．B 【详解】因为，所以， 又因为点在上，所以， 即，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，故， 则，所以， 则，所以， 所以， 所以的方程为. 故选：B.    2．C 【详解】因为双曲线和椭圆有相同的焦点， 所以， 则 ，当且仅当时取等号， 故的最小值为， 故选：C. 3．(1) (2) 【详解】（1）由椭圆可知焦点为， 设所求双曲线的实轴长为，则， ∴， ∴与椭圆共焦点且过点的双曲线标准方程为； （2）设椭圆的方程为， 分别将两点的坐标，代入椭圆的一般方程， 得解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 4．(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意设双曲线方程为， 由题意可得， 所以，又直线斜率， ∴直线的方程为： （2）由（1）知， 所以， 故双曲线方程为：； （3）由题意联立， 消元整理得：， 由， 设，， ∴， . 5．(1) (2) 【详解】（1）设椭圆标准方程为，焦距为， 则有，解得，即该椭圆标准方程为； （2）由该双曲线焦点在轴上， 设其标准方程为， 则焦距为，即，又该双曲线经过点，则，则， 则， 故该双曲线标准方程. 6．(1)； (2). 【详解】（1）依题意，所求方程的曲线是椭圆，设方程为， 由离心率，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以所求曲线的标准方程为. （2）依题意，设双曲线方程为，而， 双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 题型十 斜率之积与代数转几何的轨迹问题 1．C 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 2． 【详解】方程变形后，几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，由双曲线定义得到点在双曲线左支上，代入求出. 得， 其几何意义为平面内一点到两定点距离之差为， 由于，由双曲线定义可得点在双曲线的左支上， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：. 3． 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 4． 【详解】设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即， 于是，即，整理得， 所以动点M的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $