3.5共点力的平衡 学案-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

3.5 共点力的平衡 情景导入 大家观察身边的现象：天花板悬挂的吊灯，静止不动；放在水平桌面上的书本，稳稳待在原地；匀速直线行驶的小车，速度保持不变。这些物体都受到不止一个力的作用，但是它们的运动状态没有发生改变，要么静止，要么做匀速直线运动。 大家想一想：物体受多个力，为什么还能保持运动状态不变？是不是这些力相互抵消了？多个共点力作用在物体上，满足什么条件，物体才能保持静止或匀速直线运动？今天我们就来学习 ——共点力的平衡。 学习目标 1. 知道平衡状态的概念，能正确判断物体是否处于平衡状态。 2. 知道共点力作用下物体的平衡条件是合力为0，理解二力平衡、三力平衡及多力平衡的推论，知道三力汇交原理。 3. 掌握合成法、正交分解法求解共点力平衡问题的基本方法和步骤，能求解常见共点力平衡问题。 4. 知道整体法与隔离法的选用原则，知道动态平衡问题的解析法、图解法两种分析思路。 知识点一　共点力的平衡条件 知识预习 1. 平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，这个物体就处于平衡状态。 如桌面上的书、屋顶悬挂的灯、随传送带匀速运动的物体、沿直线公路匀速行驶的汽车，以及沿斜面匀速滑下的小孩等，都处于平衡状态。 2.平衡状态两种表现： ①物体保持静止状态——速度v＝0，加速度a＝0； ②物体做匀速直线运动状态——速度恒定（v≠0），加速度a＝0。 3. 在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0，即F合＝0。 当物体受多个共点力作用时，常把各力沿两个互相垂直的方向分解，平衡条件可写为Fx合＝0且Fy合＝0，即沿两个正交方向所受的合力均为0。 4. 由平衡条件得出的三个重要推论 （1）二力平衡：物体受两个力平衡时，这两个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，是一对平衡力。 （2）三力平衡：物体受三个共点力平衡时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上；若三个力不平行，则它们的作用线必相交于同一点——此即三力汇交原理。 （3）多力平衡：物体受多个共点力平衡时，任意一个力与其他所有力的合力大小相等、方向相反。 要点提醒 1. 判断物体是否处于平衡状态，看加速度是否为零：a＝0即处于平衡状态，与速度大小、方向无关；速度为零不一定平衡（如竖直上抛最高点的物体）。 2. 共点力的平衡条件是矢量式F合＝0，应用时常写成两个正交方向的分量式Fx合＝0、Fy合＝0。 当堂练习 判断题 1. 竖直上抛的物体到达最高点的一瞬间，处于平衡状态（　） 2. 物体做匀速直线运动时，一定处于平衡状态（　） 3. 物体受三个共点力作用处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力等大、反向（　） 答案1：× 2：√ 3：√ 讨论探究 【例1】（单选）长方体木块静止在倾角为θ的斜面上，木块只受重力、斜面的支持力和静摩擦力作用而平衡，则木块对斜面的作用力的方向是（　） A．竖直向下 B．垂直于斜面向下 C．沿斜面向下 D．沿斜面向上 答案：A解析：木块受重力G、支持力FN、静摩擦力Ff三个共点力作用而平衡，斜面对木块的作用力（FN与Ff的合力）必与重力等大、反向，即方向竖直向上。由牛顿第三定律，木块对斜面的作用力方向竖直向下，A正确。 【例2】（单选）物体在五个共点力的作用下保持平衡，若撤去其中一个大小为10 N、方向水平向东的力F1，而保持其余四个力不变，则此时物体所受合力的大小和方向为（　） A．10 N，方向水平向东 B．10 N，方向水平向西 C．0 D．无法确定 答案：B解析：物体原来受五个共点力作用平衡，由多力平衡的推论知，其余四个力的合力必与F1等大、反向，即大小为10 N、方向水平向西。撤去F1后物体只受其余四个力作用，其合力即为10 N、方向水平向西，B正确。 知识点二　共点力平衡问题的求解方法 知识预习 1. 求解共点力平衡问题的一般思路 （1）确定研究对象：可以是单个物体、物体上某一结点或由几个物体组成的系统； （2）受力分析：按重力、弹力、摩擦力的顺序，画出研究对象的受力示意图； （3）选择方法：根据受力特点选用合成法、正交分解法、整体法或隔离法等； （4）列方程求解：由平衡条件列式，解出未知量并检验结果的合理性。 2. 合成法（适用于三力平衡） 物体受三个共点力作用而平衡时，任意两个力的合力必与第三个力等大、反向。可先把其中两个力合成，把三力平衡转化为二力平衡，再利用几何关系求出各力。如图，悬吊重物的绳索连接点O受F1、F2、F3三个力作用而平衡，F1、F2的合力F4与F3等大反向，F4＝F3＝G，由平行四边形可得F1＝、F2＝Gtanθ。 3. 正交分解法 （1）解题步骤：①建立直角坐标系，使尽可能多的力落在坐标轴上；②把不在坐标轴上的力分解到x、y轴上；③由平衡条件列方程：Fx合＝0、Fy合＝0；④解方程求出未知量。 （2）优点：不论物体受几个力作用都可使用，把矢量运算转化为代数运算，尤其适合受力个数较多或各力方向较复杂的问题。如上例用正交分解法（如图，以O为原点，水平向右为x轴、竖直向上为y轴）时， 列方程F2－F1sinθ＝0、F1cosθ－G＝0，同样解得F1＝、F2＝Gtanθ 当堂练习 讨论探究 【例3】如图所示，一物块放置在粗糙水平面上，对物块施加一斜向下的推力，发现当与水平方向的夹角达到某一临界值时，无论如何增大都不能将物块推动，已知物块与水平面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。则该夹角的正切值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A【详解】水平方向上，推力的水平分力竖直方向上，支持力最大静摩擦力推不动的条件整理得无论F多大，不等式恒成立。若F足够大时左边会大于右边，物块能推动；要让任意大的F都推不动，必须让F的系数临界条件解得故选A。 【例4】如图所示，在倾角为的粗糙斜面上放一物体重力为，斜面为矩形。现在用与底边平行的恒力推物体，物体恰好能沿斜面的对角线做匀速直线运动。已知、，，，。（     ） A．斜面对物体的支持力 B．斜面对物体的摩擦力 C．物体与斜面间的动摩擦因数 D．推力 【答案】D【详解】A．物体受重力、推力、支持力、滑动摩擦力共4个力作用，将重力分解到垂直于斜面方向，与支持力平衡，则有，故A错误；BD．位于平面内的受力分析如图所示设底边方向为轴，沿向上为轴，由几何关系可知物体运动方向与轴夹角满足 解得重力沿斜面下滑的分量为根据共点力的平衡有，联立解得，，故B错误，D正确；C．物体与斜面间的动摩擦因数满足，故C错误。故选D。 知识点三　绳结模型 1.活结、死结 轻绳上的弹力同一段轻绳上的弹力处处相等。 (1)活结：当轻绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的力的大小是处处相等的，即滑轮或挂钩只改变力的方向，不改变力的大小。例如图甲中，BC、BD两段绳中的拉力大小都等于重物的重力。 (2)死结：当轻绳某处打有死结时，由于结点对绳有约束，因此绳上的力的大小可能不是处处相等。例如图乙中，绳AOB中，AO和OB两段绳中拉力大小不相等。 2.活杆、死杆 (1)动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，轻杆只能起到“拉”或“推”的作用，否则会引起杆的转动。如图丙所示，若C处为转轴，则轻杆在缓慢转动中，杆上弹力方向始终沿杆的方向。 (2)定杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图甲所示。定杆的弹力方向应根据物体的运动状态，由平衡条件或牛顿第二定律分析判断。 3.晾衣杆模型 如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳左端固定在支架上O点处，右端系在c点，用较光滑的晾衣架（不计晾衣架和晾衣绳之间的摩擦）挂一衣服。先将轻绳右端沿水平杆缓慢移到b点，然后再沿竖直杆缓慢移至a点，整个过程衣服始终没与地面和杆接触。设轻绳张力为F，衣服左侧轻绳与竖直方向夹角为θ。 根据几何关系可知两段绳子间的夹角为，对衣服受力分析如图由共点力平衡的条件有解得绳子的张力为设衣服两侧绳子的长度分别为和，则有设绳子两端节点间的水平距离为，由几何关系有联立解得 轻绳右端沿杆由c到b的过程，变大，变大，变小，则变大，由几何关系可知衣服的位置上升； 轻绳右端沿杆由b到a的过程，、都不变，则θ不变，F不变，由几何关系可知衣服的位置下降。 当堂练习 讨论探究 【例5】如图所示，不可伸长、质量不计的绳子两端分别固定在竖直杆PQ、MN上，杂技演员利用轻钩让自己悬挂在绳子上，不计轻钩与绳间的摩擦。现将MN杆绕N点垂直纸面向外缓慢转动15°，该过程中关于绳子上张力大小的变化，下列说法正确的是(　　) A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．始终不变 D．先变大后变小 【答案】A解析：设杂技演员的质量为m，绳子上的张力大小为T，轻钩两侧绳子与竖直方向的夹角均为θ，对杂技演员和轻钩整体受力分析，如图所示，由平衡条件有2Tcosθ＝mg，解得T＝。设绳总长为L，绳的两悬点在水平方向的距离为d，根据几何关系有sinθ＝，将MN杆绕N点垂直纸面向外缓慢转动15°的过程中，L不变，d逐渐变大，则sinθ逐渐变大，cosθ逐渐变小，T逐渐变大，故A正确，B、C、D错误。 专题练习整体隔离、动态平衡 整体隔离 （1）整体法：把几个相互作用的物体组成的系统作为一个整体为研究对象，只分析系统受到的外力，系统内物体间的相互作用力为内力，不必分析。适用于求系统受到的外力（如地面对系统的支持力、摩擦力等）。 （2）隔离法：把系统内的某一个物体隔离出来单独作为研究对象，分析它受到的全部力（包括系统内其他物体对它的作用力）。适用于求系统内物体间的相互作用力。 注：实际解题时通常先整体后隔离，或将整体法与隔离法结合使用。 【例6】在恒力F作用下，a、b两物体一起沿粗糙竖直墙面匀速向上运动，则关于它们受力情况的说法正确的是（　　） A．a一定受到4个力 B．b可能受到4个力 C．a与墙壁之间一定有弹力和摩擦力 D．a与b之间不一定有摩擦力 【答案】A【详解】BD.对物体b受力分析，受重力、支持力和摩擦力，处于三力平衡状态，故BD错误；AC.对物体a、b整体受力分析，受重力、恒力F，若墙壁对整体有支持力，水平方向不能平衡，故墙壁对整体没有支持力，故也没有摩擦力；对物体a受力分析，受恒力F、重力、物体b对a的压力和摩擦力，即物体a共受4个力，故A正确，C错误。故选A。 【例7】如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等。弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等。弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°。设A、B中的拉力分别为FA、FB，小球直径相比弹簧长度可忽略，重力加速度为g，则(　　) A．tan θ＝ B．kA＝kB C．FA＝mg D．FB＝2mg 【答案】A[解析]　对下面的小球进行受力分析，如图甲，根据平衡条件得F＝mg tan 45°＝mg，FB＝＝mg，故D错误；对两个小球整体受力分析，如图乙，根据平衡条件得tan θ＝，又F＝mg，解得tan θ＝，FA＝＝mg，故A正确，C错误；由题意可知，两弹簧的形变量相等，则有x＝＝，解得＝＝，故B错误。 当堂练习 讨论探究 【例8】如图所示是我国传统石拱桥的一个简化模型，由支撑底座和5个构件组成，桥关于构件3中轴线左右对称，构件2的重力大小为，构件1对构件2的作用力大小为，构件3对构件2的作用力大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】构件2的受力情况如图所示，构件2处于平衡状态，则（与的合力）。结合题图可知，故选A。 动态平衡 在有关物体平衡的问题中，存在着大量的动态平衡问题，动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。分析动态平衡问题通常有4种方法。 动态平衡问题的分析方法 (1)解析法 适用条件：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变物理量与自变物理量的一般函数关系式，然后根据自变物理量的变化情况及变化区间确定因变物理量的变化情况。 (2)图解法 适用条件：当物体受三个力平衡且一个力是恒力，另外有一个力方向不变时，一般采用图解法。 ①选取研究对象在动态变化过程中的几个代表状态。 ②根据平行四边形定则或三角形定则，作出物体在这几个状态的力的矢量图。 ③由各边的长度变化及角度变化来确定力的大小及方向的变化。 (3)相似三角形法 物体受三个力平衡，其中一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 对于此图像有＝＝ (4)辅助圆（拉密定理） ①辅助圆：如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 ②拉密定理：如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝ ③正弦定理：如图所示的矢量三角形中，＝＝ 要点提醒 1. 三力平衡问题既可用合成法（把任意两力先合成，转化为二力平衡），也可作出矢量三角形，使三力首尾相接构成闭合三角形求解；受力较多时则宜用正交分解法。 2. 用正交分解法时，坐标轴应尽量沿“多力方向”建立，使尽可能多的力落在坐标轴上；分解不在轴上的力后，注意分力与坐标轴正方向的关系（正、负号）。 3. 求系统外力优先考虑整体法，求系统内力必须用隔离法；当系统内各物体都平衡且只需求外力时，整体法往往更简洁。 4. 动态平衡问题判断力如何变化时：一个力大小、方向不变，另一个力方向不变，用图解法最直观；若需精确数值关系，用解析法列式求函数关系。 当堂练习 判断题 1. 用整体法研究由多个物体组成的系统时，不需要分析系统内物体间的相互作用力（　） 2. 用正交分解法解题时，坐标轴必须沿水平方向和竖直方向建立（　） 3. 动态平衡问题中物体的状态缓慢变化，任一时刻都可看成处于平衡状态（　） 答案1：√ 2：× 3：√ 【例9】（多选）用轻绳将重力为G的小球悬挂于O点，现对小球施加一水平向右的力F，并缓慢增大F，使轻绳与竖直方向的夹角θ逐渐增大，此过程中小球始终处于平衡状态。下列说法正确的是（　） A．水平力F逐渐增大 B．水平力F先增大后减小 C．轻绳对小球的拉力逐渐增大 D．轻绳对小球的拉力先增大后减小 【答案】AC解析：小球受重力G、绳的拉力T、水平力F三个共点力作用而平衡。由平衡条件：竖直方向Tcosθ＝G，水平方向Tsinθ＝F，得T＝G/cosθ、F＝Gtanθ。当θ逐渐增大（0≤θ＜90°）时，cosθ减小、tanθ增大，故T、F都逐渐增大，A、C正确。 【例10】质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是(　　) A．推力F先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 【答案】C[解析]小滑块由A点向B点缓慢移动，合力为零，对其受力分析，并将各力首尾相接，由图中几何关系可知，该过程中推力F逐渐增大，凹槽对滑块的支持力N逐渐减小，选项A、B错误；凹槽始终静止不动，合力为零，对其受力分析，如图，由图1知N＝mg cos θ，而F墙＝N′sin θ＝N sin θ，代入得F墙＝mg sin θcos θ＝mg sin 2θ，当θ＝45°时，F墙有最大值，故F墙先增大后减小，选项C正确；而N″＝Mg＋N′cos θ＝Mg＋mg cos2θ，当θ增大时，N″减小，选项D错误。 【例11】如图所示，装卸工人利用斜面将一质量为m、表面光滑的油桶缓慢地推到汽车上。在油桶上移的过程中，人对油桶推力的方向由与水平方向成60°角斜向上逐渐变为水平向右，已知斜面的倾角为θ＝30°，重力加速度为g，则关于工人对油桶的推力大小，下列说法正确的是(　　) A．不变　　　　　　　 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．最小值为 【答案】D[解析]　分析油桶的受力情况，油桶受重力、斜面的支持力和推力，因工人缓慢地将油桶推到汽车上，油桶处于动态平衡状态，由三角形定则作出力的动态变化过程，如图，推力F由与水平方向成60°角斜向上逐渐变为水平向右的过程中，推力先变小后变大，最小时推力F和支持力FN垂直，即沿斜面方向，此时最小值为。故选D。 【例12】如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住。开始时绳与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　) A．绳与竖直方向的夹角为θ时，F＝mg cosθ B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大 C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大 D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变 【答案】D[解析]　绳与竖直方向的夹角为θ时，小球受到竖直向下的重力mg、圆环对小球沿半径向外的支持力FN以及沿绳方向的拉力F，画出力的示意图如图，由三角形相似得＝＝，可知FN＝mg，F＝2mg cos θ，A错误；小球沿光滑圆环上升过程中，FN＝mg不变，L变短，则F变小，D正确，B、C错误。 【例13】如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦。在转动过程中(　　) A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B【解析】选圆柱体为研究对象，设两根细绳的拉力的合力为FT，除此之外圆柱体还受重力G和木板对圆柱体的支持力FN，将三力首尾依次相接构成矢量三角形，如图所示，在木板缓慢转动过程中，两绳拉力的合力FT和木板的支持力FN同时顺时针转动，重力G恒定，两绳拉力的合力FT和木板的支持力FN之间的夹角不变，所以矢量三角形外接圆中弦AB所对的角不变，在木板转到水平的过程中，绳的拉力FT和木板的支持力FN的连接点C由初位置移到B点，由图可知支持力FN先增大后减小(由牛顿第三定律可知圆柱体对木板的压力先增大后减小)，两绳拉力的合力FT一直减小，B正确，A、C、D错误。 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