第3章 勾股定理 单元自测·拔尖卷 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

第3章 勾股定理·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 题型及分值参照2026年苏州市中考数学，本卷内容仅限本章。请在本卷预留区域作答。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第5题）三角形三边满足。下列推断正确的是（　　） A．三角形的最大角为钝角 B．所对角为直角 C． D． 2．（选自2024·南京秦淮期中，公开重排版第10题）在中，，平分交于。过作于。已知，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（改编自2024·南京秦淮期中，公开重排版第12题）在中，，，于。若，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（改编自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第9题）正方形和正方形在同一平面，按顶点顺序排列，在线段上，两个正方形分别位于直线两侧。，，为中点，则等于（　　） A． B． C． D． 5．（选自2024·苏州振华期中，公开重排版第8题）在中，分别是中点，点在线段上，。已知，则等于（　　）。（可用结论：三角形两边中点连线长为第三边的一半。） A． B． C． D． 6．（选自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第1题）四边形中，，于，在线段上，在右侧；交于，为中点，。若， 则等于（　　） A． B． C． D． 7．（改编自2023·常州期中，公开重排版第26题）在中，，，在线段上且。则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第1题）矩形中，，点在线段上，依次为，。当四边形周长最小时，等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·南京金陵汇文阶段检测，公开重排版第25题）在平面直角坐标系中，为原点，在轴正半轴上，在轴正半轴上。四边形为直角梯形，，。 则________。 10．（改编自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第25题）在中，，，从出发沿射线以每秒的速度运动。除出发时刻外，时________秒。 11．（改编自2024·南京金陵汇文阶段检测，公开重排版第18题）正方形的边长为。点在线段上，；点在线段上，且。则________。 12．（选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第15题）在中，平分，且于。若的面积为，则的面积为________。 13．（选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第16题）一个等腰三角形的腰长为，两个底角均为。它的面积为________。 14．（选自2023·扬州江都三中期中，公开重排版第3题）直角三角形纸片中，。折叠使与重合，折痕分别交于。则________。 15．（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第19题）单位网格中。若，则________。 16．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第6题）等腰三角形中，。点在射线上且位于外侧，过作（垂足取所在直线）。则________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第10题）小杰看到三角形有，便写出：，所以。 （1）这段推理缺少什么条件？举一组三边长反驳其必然性； （2）若补充，请用正确的方法确定直角的位置。 18．（5分）（改编自2024·南京金陵汇文阶段检测，公开重排版第9题）矩形由四个等腰直角三角形与正方形无缝拼成，直角分别为；点的共线次序为、、，且在上。 （1）设中间正方形边长为，矩形高、宽为，证明，； （2）不测量边长，求中间正方形面积与矩形面积的比。 19．（6分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第5题）给定正整数，把作为三条边。 （1）不用逐个代入，证明它们满足勾股等式； （2）证明它们确能组成三角形（不能只说“看起来像三角形”）； （3）取，说明“公式生成的三条边一定没有大于的公因数”为什么错误。 20．（6分）（改编自2023·扬州江都三中期中，公开重排版第13题）凸四边形中，，，。过作，已知垂足在线段上；过作，在射线上且位于外侧。 （1）求四边形面积； （2）证明，并求。 21．（6分）（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第20题）在中，，。平分，在线段上，是正方形，。 （1）证明到三条直线的距离相等； （2）求； （3）若只把“在上”删去，保留其余条件，还唯一吗？用不同的正方形边长说明。 22．（8分）（改编自2023·扬州江都三中期中，公开重排版第19题）如图，依次在同一直线上，，，，。取在线段上，使；直线交于。 （1）证明并证明； （2）设，分别用为底表示； （3）利用同一图形的面积差证明（第（1）问可用勾股计算；本问请只用全等与面积推导等式）。 23．（8分）（改编自2023·扬州江都三中期中，公开重排版第20题）正方形边长为，在线段上，延长交射线于，且。将沿折叠，落在处，延长交于。 （1）求； （2）求。（图中依次共线，在线段内。） 24．（8分）（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第19题）城的正西方向千米处为。沙尘暴中心从出发，以每小时千米沿北偏东的直线方向匀速移动。 距离中心不超过千米的地方会受影响。 （1）求到中心移动路线的最短距离，并判断城是否受影响； （2）若受影响，求持续时间； （3）说明为什么必须检查垂足在从出发的运动射线上。 25．（10分）（改编自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第21题）在单位网格中，。在纵向坐标轴上运动，且不共线。 （1）求； （2）求周长最小值，并确定此时的位置； （3）若限制在轴上高度不小于的部分，周长最小值是否仍由（2）的点取到？求新的最小值。 26．（10分）（改编自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第22题）平面直角坐标系中，为原点，。点在射线上且，即。以为斜边，在直线与点同侧作等腰直角三角形，；为中点。 （1）用表示的坐标，并说明理由； （2）求所有使的； （3）说明所得两个值分别对应在原点哪一侧。 27．（10分）（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第27题）定义：一条直线若同时平分图形的面积和周长，就称为该图形的一条“等分积周线”。 （1）在中，。过能否画出一条等分积周线？说明理由； （2）在四边形中，，，，两平行边在同侧。的垂直平分线交于。求； （3）证明直线是该四边形的等分积周线。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第5题）三角形三边满足。下列推断正确的是（　　） A．三角形的最大角为钝角 B．所对角为直角 C． D． 【答案】B 【详解】展开得，所以，因此所对角为直角。 【易错提醒】先消去公共项，不能把当作结论。 2．（选自2024·南京秦淮期中，公开重排版第10题）在中，，平分交于。过作于。已知，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角平分线上的点到角两边等距。因为且，所以。点在上，故。 【易错提醒】DE等于到另一角边的垂距DC，不等于整条BC。 3．（改编自2024·南京秦淮期中，公开重排版第12题）在中，，，于。若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故；又，所以。故。 【易错提醒】不要把斜边高误认作斜边中线。 4．（改编自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第9题）正方形和正方形在同一平面，按顶点顺序排列，在线段上，两个正方形分别位于直线两侧。，，为中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两个正方形的对角线各与成，且分居其两侧，故。 ，，所以。斜边中点给。 【易错提醒】先说明两条对角线垂直，不能仅凭画面判直角。 5．（选自2024·苏州振华期中，公开重排版第8题）在中，分别是中点，点在线段上，。已知，则等于（　　）。（可用结论：三角形两边中点连线长为第三边的一半。） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。在直角三角形中，为斜边中点，故。因在线段上，有。 【易错提醒】必须在内，因此两段相减；若是整条直线会多一种点序。 6．（选自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第1题）四边形中，，于，在线段上，在右侧；交于，为中点，。若， 则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由平行得。为直角三角形，故，从而。 因为依次共线，，得。在直角三角形中，。 【易错提醒】是中点，等距应用于直角三角形。 7．（改编自2023·常州期中，公开重排版第26题）在中，，，在线段上且。则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则。，解得，故面积为。 【易错提醒】不能把默认成中点；等距的两段一条在边上、一条是斜线。 8．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第1题）矩形中，，点在线段上，依次为，。当四边形周长最小时，等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把向方向平移得，则；再把关于对称为。此时。 到的垂距都为，水平距离为，连线与相交于水平区间的中点，因此，满足。 【易错提醒】求总长度最小的位置要检查平移后的等号点在允许区间内。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·南京金陵汇文阶段检测，公开重排版第25题）在平面直角坐标系中，为原点，在轴正半轴上，在轴正半轴上。四边形为直角梯形，，。 则________。 【答案】 【详解】过作于。由，得；又，所以为等腰直角三角形，。故。 【易错提醒】斜腰AB不等于梯形的高；需先作垂线确定直角三角形。 10．（改编自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第25题）在中，，，从出发沿射线以每秒的速度运动。除出发时刻外，时________秒。 【答案】 【详解】。设，由得，所以。除外另一位置在另一侧，故路程，即。 【易错提醒】排除出发点后仍有越过垂足的对称位置。 11．（改编自2024·南京金陵汇文阶段检测，公开重排版第18题）正方形的边长为。点在线段上，；点在线段上，且。则________。 【答案】 【详解】，且，所以，得。因此。 【易错提醒】目标是两条边的积；证等长后可直接用平方，不必求两个近似根式。 12．（选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第15题）在中，平分，且于。若的面积为，则的面积为________。 【答案】 【详解】将关于对称到，则在射线上，为中点。于是到直线的距离等于到距离的一半。两三角形同以为底，故。 【易错提醒】角平分线一般不平分面积，此处面积关系还要用AP垂直BP。 13．（选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第16题）一个等腰三角形的腰长为，两个底角均为。它的面积为________。 【答案】 【详解】顶角为。将一腰所在直线延长，另一腰与这条延长线形成角，从底端作垂线到该延长线，所得高为。以腰为底，面积为。 【易错提醒】顶角为钝角时，腰上的高可能落在延长线上。 14．（选自2023·扬州江都三中期中，公开重排版第3题）直角三角形纸片中，。折叠使与重合，折痕分别交于。则________。 【答案】 【详解】、。设，由得，故。为中点，，且，所以。 【易错提醒】折痕交于中点，交处通常不是中点。 15．（改编自2024·苏州振华期中，公开重排版第19题）单位网格中。若，则________。 【答案】 【详解】，，。因直角在，，化简得，所以。 【易错提醒】不是任意两边平方和相等，须让指定直角的两条邻边在等式同侧。 16．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第6题）等腰三角形中，。点在射线上且位于外侧，过作（垂足取所在直线）。则________。 【答案】 【详解】设水平，底边高为。对外部点，面积相减满足。左边为，故。 【易错提醒】内点对应距离之和，外点需要先看面积的加减关系。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第10题）小杰看到三角形有，便写出：，所以。 （1）这段推理缺少什么条件？举一组三边长反驳其必然性； （2）若补充，请用正确的方法确定直角的位置。 【答案】（1）缺少三角形为直角及斜边身份的条件，例如；（2）。 【详解】没有给出直角条件，不能直接使用勾股定理。边长满足，能成三角形，但，且第三边为，构成反例。 补充后，应验证，再由逆定理得所对的。 【易错提醒】两条边长度不提供直角信息；不能先假设结论再计算。 【评分标准】（3分）没有给出直角条件，不能直接使用勾股定理。边长满足，能成三角形，但，且第三边为，构成反例。 （2分）补充后，应验证，再由逆定理得所对的。 18．（5分）（改编自2024·南京金陵汇文阶段检测，公开重排版第9题）矩形由四个等腰直角三角形与正方形无缝拼成，直角分别为；点的共线次序为、、，且在上。 （1）设中间正方形边长为，矩形高、宽为，证明，； （2）不测量边长，求中间正方形面积与矩形面积的比。 【答案】（1）见解析；（2）。 【详解】在等腰直角三角形中，；在中，所以。又，而，所以，即。 联立得，矩形面积，中间面积为，比为。 【易错提醒】四块不全等的三角形不能用“每块相同面积”平均分配。 【评分标准】（3分）在等腰直角三角形中，；在中，所以。又，而，所以，即。 （2分）联立得，矩形面积，中间面积为，比为。 19．（6分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第5题）给定正整数，把作为三条边。 （1）不用逐个代入，证明它们满足勾股等式； （2）证明它们确能组成三角形（不能只说“看起来像三角形”）； （3）取，说明“公式生成的三条边一定没有大于的公因数”为什么错误。 【答案】（1）见解析；（2）两小边和大于最大边；（3）得到，均是的倍数。 【详解】。 三数均为正，最大数为。两小边和减最大边为，所以满足三角形三边关系。 给，三数有公因数，因此该猜想错误。 【易错提醒】代数等式之外还应确认正长度及三边关系；原始勾股数与一般勾股数不能混淆。 【评分标准】（2分）。 （2分）三数均为正，最大数为。两小边和减最大边为，所以满足三角形三边关系。 （2分）给，三数有公因数，因此该猜想错误。 20．（6分）（改编自2023·扬州江都三中期中，公开重排版第13题）凸四边形中，，，。过作，已知垂足在线段上；过作，在射线上且位于外侧。 （1）求四边形面积； （2）证明，并求。 【答案】（1）；（2）。 【详解】。为等腰直角三角形，故，其面积为。面积为，四边形面积。 由、、，有。两直角三角形斜边，且一锐角相等，所以全等，得。四边形是矩形，故、。令，则，，由得，解得。 【易错提醒】垂足点序已明确，，不是两者相加。 【评分标准】（3分）。为等腰直角三角形，故，其面积为。面积为，四边形面积。 （3分）由、、，有。两直角三角形斜边，且一锐角相等，所以全等，得。四边形是矩形，故、。令，则，，由得，解得。 21．（6分）（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第20题）在中，，。平分，在线段上，是正方形，。 （1）证明到三条直线的距离相等； （2）求； （3）若只把“在上”删去，保留其余条件，还唯一吗？用不同的正方形边长说明。 【答案】（1）见解析；（2）；（3）不唯一，例如边长和。 【详解】过作，由角平分线的性质，；正方形又给，于是三距离相等。 。设，面积分割得，所以。 删掉角平分线限制后，以为一个顶点且两邻边沿的正方形，只要边长足够小都能放在三角形内，例如与均可，故不唯一。 【易错提醒】不能把任意内接于直角两边的正方形都看成三边等距。 【评分标准】（2分）过作，由角平分线的性质，；正方形又给，于是三距离相等。 （2分）。设，面积分割得，所以。 （2分）删掉角平分线限制后，以为一个顶点且两邻边沿的正方形，只要边长足够小都能放在三角形内，例如与均可，故不唯一。 22．（8分）（改编自2023·扬州江都三中期中，公开重排版第19题）如图，依次在同一直线上，，，，。取在线段上，使；直线交于。 （1）证明并证明； （2）设，分别用为底表示； （3）利用同一图形的面积差证明（第（1）问可用勾股计算；本问请只用全等与面积推导等式）。 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析。 【详解】直角三角形有斜边、直角边，由得两三角形全等，所以，且。这两角与直角相配，故。 依次共线，，故，。 一方面，。另一方面，面积差等于。两式比较得。此处用HL全等导出，没有把所证勾股等式作为本问的前提。 【易错提醒】只说两种面积相等不够，应明确减去的是哪一块，避免循环论证。 【评分标准】（3分）直角三角形有斜边、直角边，由得两三角形全等，所以，且。这两角与直角相配，故。 （3分）依次共线，，故，。 （2分）一方面，。另一方面，面积差等于。两式比较得。此处用全等导出，没有把所证勾股等式作为本问的前提。 23．（8分）（改编自2023·扬州江都三中期中，公开重排版第20题）正方形边长为，在线段上，延长交射线于，且。将沿折叠，落在处，延长交于。 （1）求； （2）求。（图中依次共线，在线段内。） 【答案】（1）；（2）。 【详解】设。以为底，到的距离为，所以。把该三角形分成与，其面积分别为及。故，解得。此处只使用三角形面积公式。 折叠得，且。设，则，故。又，由得。代入前式化简得。 ，代入，得，所以，，均满足点序。故。 【易错提醒】图上点序须核验；把写成会导致错误。 【评分标准】（3分）设。以为底，到的距离为，所以。把该三角形分成与，其面积分别为及。故，解得。此处只使用三角形面积公式。 （3分）折叠得，且。设，则，故。又，由得。代入前式化简得。 （2分），代入，得，所以，，均满足点序。故。 24．（8分）（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第19题）城的正西方向千米处为。沙尘暴中心从出发，以每小时千米沿北偏东的直线方向匀速移动。 距离中心不超过千米的地方会受影响。 （1）求到中心移动路线的最短距离，并判断城是否受影响； （2）若受影响，求持续时间； （3）说明为什么必须检查垂足在从出发的运动射线上。 【答案】（1）千米，会受影响；（2）小时；（3）垂足在前方，进入点也在前方。 【详解】移动方向与正东方向夹角为。过作路线的垂线，垂足为。在中，，，垂足在前方。因，会受影响。 设进入、离开影响区时中心在，则。。因此受影响路线长，持续小时。 若垂足在运动射线的反向延长线上，直线最短距离不一定能实际达到。本题，所以进入、最近、离开三位置都发生在出发以后，时间计算有效。 【易错提醒】直线距离结果须结合运动起点和方向检查，不能按无限直线自动取到。 【评分标准】（3分）移动方向与正东方向夹角为。过作路线的垂线，垂足为。在中，，，垂足在前方。因，会受影响。 （3分）设进入、离开影响区时中心在，则。。因此受影响路线长，持续小时。 （2分）若垂足在运动射线的反向延长线上，直线最短距离不一定能实际达到。本题，所以进入、最近、离开三位置都发生在出发以后，时间计算有效。 25．（10分）（改编自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第21题）在单位网格中，。在纵向坐标轴上运动，且不共线。 （1）求； （2）求周长最小值，并确定此时的位置； （3）若限制在轴上高度不小于的部分，周长最小值是否仍由（2）的点取到？求新的最小值。 【答案】（1）；（2），；（3），。 【详解】。 将关于纵轴对称为，则，故。直线与纵轴交于（两方向均移动），所以最小周长为。 设且。则，，两处等号同时在时成立。因此限定高度后，周长的最小值为，对应。 【易错提醒】得到无限直线上的最优点之后，还要检查是否落在允许射线上。 【评分标准】（4分）。 （3分）将关于纵轴对称为，则，故。直线与纵轴交于（两方向均移动），所以最小周长为。 （3分）设且。则，，两处等号同时在时成立。因此限定高度后，周长的最小值为，对应。 26．（10分）（改编自2024·宿迁泗洪期中，公开重排版第22题）平面直角坐标系中，为原点，。点在射线上且，即。以为斜边，在直线与点同侧作等腰直角三角形，；为中点。 （1）用表示的坐标，并说明理由； （2）求所有使的； （3）说明所得两个值分别对应在原点哪一侧。 【答案】（1）；（2）或；（3）正半轴、负半轴。 【详解】取中点。等腰直角三角形给且。过向轴作垂线，垂足；过向过的水平线作垂线，垂足为。当时，与都是直角三角形；因，对应锐角相等，且斜边，所以两三角形全等，得。由与在同侧，在上方；时在右方，时在左方，故。当时，水平，直接为，同样符合。中点公式给。 ，，故，等价于或，得或。两值均满足。 ，对应在内；，对应越过到负半轴。代回分别有及，没有增根。 【易错提醒】边长是，不能对负半轴仍写成。 【评分标准】（4分）取中点。等腰直角三角形给且。过向轴作垂线，垂足；过向过的水平线作垂线，垂足为。当时，与都是直角三角形；因，对应锐角相等，且斜边，所以两三角形全等，得。由与在同侧，在上方；时在右方，时在左方，故。当时，水平，直接为，同样符合。中点公式给。 （3分），，故，等价于或，得或。两值均满足。 （3分），对应在内；，对应越过到负半轴。代回分别有及，没有增根。 27．（10分）（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第27题）定义：一条直线若同时平分图形的面积和周长，就称为该图形的一条“等分积周线”。 （1）在中，。过能否画出一条等分积周线？说明理由； （2）在四边形中，，，，两平行边在同侧。的垂直平分线交于。求； （3）证明直线是该四边形的等分积周线。 【答案】（1）不能；（2）；（3）两部分面积均为，周长均为。 【详解】过平分三角形面积的直线须过中点。若也平分周长，则。因，必须，与题设矛盾，所以不能。 设，则。给，得、。 ，为中点，。两部分沿原四边形的边界长度分别为和，加上共同边后周长相等。 过作，过作的平行线，分别交直线、线段于。由于为中点，；，，故，得。又、，所以。因此。为梯形，面积；面积为，故。总面积，另一部分也为，因此同时平分面积和周长。 【易错提醒】面积相等与周长相等要分别证明，不能由其中一项推出另一项。 【评分标准】（3分）过平分三角形面积的直线须过中点。若也平分周长，则。因，必须，与题设矛盾，所以不能。 （3分）设，则。给，得、。 （2分），为中点，。两部分沿原四边形的边界长度分别为和，加上共同边后周长相等。 （2分）过作，过作的平行线，分别交直线、线段于。由于为中点，；，，故，得。又、，所以。因此。为梯形，面积；面积为，故。总面积，另一部分也为，因此同时平分面积和周长。 1 学科网（北京）股份有限公司 $