精品解析：广西壮族自治区崇左市龙州县响水镇中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年响水中学八年级上册第二次月考 数学 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是( ) A. 1 B. 6 C. 7 D. 10 3. 已知与全等，若，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 如图，已知，，则的根据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如果等腰三角形两边长是4cm和8cm，那么它的周长是（　　） A. 16cm B. 20cm C. 21cm D. 16或20cm 7. 如图，在中，，平分，于．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ） A. 1080° B. 540° C. 2700° D. 2160° 9. 对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 10. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 11. 如图，两外角（和）的平分线交于点．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 观察下面的式子：，，，…，可以发现它们的计算规律是（n为正整数）．若一容器装有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的，…，如此下去，第n次倒出的水量是升水的，…，按这种倒水方式，前n次倒出水的总量为（ ）升． A. 1升 B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 等边三角形是轴对称图形，它有___________条对称轴． 14. 因式分解______． 15. 如图，在等腰中，是底边上的中线，是腰上一点，连接，是延长线上一点，连接，若平分，，，则的长为_______． 16. 如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为_______. 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算、解分式方程： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）． （1）直接写出点关于轴的对称点的坐标为________； （2）画出关于轴对称的（不写画法）； （3）求的面积． 19. 如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 20. 如图，在等边中，点D，E，F分别是，，上的点，且，，连接，平分交于G． （1）求证：； （2）若，求的长度． 21. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 22. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 23. 如图，等边中，过点A在边的右侧作射线，，点B与点E关于射线对称，连接，，且交射线于点D，过C、E两点的直线交射线于点F，连接． （1）当时，求的度数； （2）求证：； （3）如图2，点M为射线上的一动点，过点M作于点N，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年响水中学八年级上册第二次月考 数学 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的概念可得：第一、二个图案是轴对称图形，第三、四个图案不是轴对称图形， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是( ) A. 1 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵4﹣3=1，4+3=7，∴1＜x＜7，∴x的值可能是6．故选B． 考点：三角形三边关系． 3. 已知与全等，若，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，根据全等三角形的性质分类讨论是解题关键．利用三角形的内角和定理即可求出，然后根据全等三角形的性质和对应情况分类讨论即可得出可能的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵中，， ∴ ∵与全等， ∴或或， 即无法确定的度数， 故选：D． 4. 如图，已知，，则的根据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理．利用证明即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， 故选：B． 5. 如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形．熟练掌握等边三角形的边角性质，等腰直角三角形的边角性质，等腰三角形角的性质，是解答此题的关键． 根据等边三角形性质可得，，，根据等腰直角三角形性质可得，，，得到，根据等腰三角形性质可得，． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如果等腰三角形两边长是4cm和8cm，那么它的周长是（　　） A. 16cm B. 20cm C. 21cm D. 16或20cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意等腰三角形的三边长有以下两种情况：4cm、4cm、8cm和8cm、8cm、4cm；然后根据三角形的三边关系进行排除求解即可． 【详解】解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm； 当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4＝8，不满足三角形的三边关系，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，关键是由题意得到等腰三角形三边长的情况，然后利用三角形三边关系进行排除． 7. 如图，在中，，平分，于．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知. 【详解】解：平分，， ， ， ． 故选：C． 8. 一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ） A. 1080° B. 540° C. 2700° D. 2160° 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解． 【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得： ， ∴这个多边形的内角和为：， 故选A． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键． 9. 对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，根据平方差公式的形式：逐项判断即得答案． 【详解】解：①不能用平方差公式进行因式分解， ②，能用平方差公式进行因式分解， ③，能用平方差公式进行因式分解， ④不能用平方差公式进行因式分解， 故选：D． 10. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案． 【详解】解：根据图甲可得阴影面积为， 根据图乙可得阴影面积为， ∴可以验证等式， 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确理解并计算两个阴影部分的面积是解题的关键． 11. 如图，两外角（和）的平分线交于点．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义；根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质以及三角形内角和定理可得，进而求得的度数． 【详解】解：∵． ∴， ∵两外角（和）的平分线交于点． ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 12. 观察下面的式子：，，，…，可以发现它们的计算规律是（n为正整数）．若一容器装有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的，…，如此下去，第n次倒出的水量是升水的，…，按这种倒水方式，前n次倒出水的总量为（ ）升． A. 1升 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律，理解数字规律的计算是关键． 根据题意，第k次倒出的水量为升，利用规律，将前n次倒出的水量求和，通过望远镜求和化简即可． 【详解】解：设前n次倒出水的总量为， ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 中间项相互抵消， ∴ 故前n次倒出水的总量为升， 故选：B． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 等边三角形是轴对称图形，它有___________条对称轴． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、等边三角形，掌握轴对称图形的定义和等边三角形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的定义和等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：等边三角形三条边上的高所在直线均为对称轴， 等边三角形有3条对称轴． 故答案为：3． 14. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案． 【详解】解：（x﹣1）2． 故答案为：（x﹣1）2． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 15. 如图，在等腰中，是底边上的中线，是腰上一点，连接，是延长线上一点，连接，若平分，，，则的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵在等腰中，是底边上的中线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 16. 如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的性质，推出C、A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP+CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP，根据正方形面积公式求出AB即可． 【详解】连接AC， ∵正方形ABCD， ∴AC⊥BD，OA=OC， ∴C、A关于BD对称， 即C关于BD的对称点是A， ∴CP=AP， ∴EP+CP=EP+AP 连接AE交BD于P’， EP+AP的最小值为AE 即EP+CP的最小值为AE， ∵等边△ABE， ∴EP+CP=AE=AB， ∵正方形ABCD的面积为16， ∴AB=4， ∴EP+CP=4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算、解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、整式的混合运算等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）直接运用整式的混合运算法则计算即可； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）． （1）直接写出点关于轴的对称点的坐标为________； （2）画出关于轴对称的（不写画法）； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） 即为所求； （3）3.5 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称变换及三角形面积的计算，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征以及割补法求格点三角形的面积． （1）根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：点关于轴的对称点坐标为； （2）别作点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到即为所求； （3）用割补法计算三角形的面积． 【小问1详解】 解：关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， 可得：点关于轴的对称点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，分别作点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、 【小问3详解】 解：的面积． 19. 如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 【答案】 证明：，为边的中点， ， ， ∴， ∴，， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定和性质解答． 根据等腰三角形的性质和平行线的判定得出，利用平行线的性质解答即可． 【详解】略 20. 如图，在等边中，点D，E，F分别是，，上的点，且，，连接，平分交于G． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵ 又∵ ∴, 在和中， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，灵活利用等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解决本题的关键． （1）是等边三角形，所以．又因为，通过角的关系可推出．结合已知，利用角角边可证，从而证得即可． （2）由可得，即是等腰三角形．因为平分，根据等腰三角形“三线合一”的性质，也是的中线，所以．已知，则．又因为是等腰且，所以是等边三角形，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， 又∵平分， ∴，， ∴ 21. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】（1）30天 （2）225000元 【解析】 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意列出方程，求解即可； （2）先计算出甲乙两队合作的天数，再计算费用即可． 【小问1详解】 解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得： ， 解得：x＝30． 经检验，x＝30是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． 【小问2详解】 该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（天）， 则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）． 答：该工程的费用为225000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 22. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）①根据长方形的周长是即可得出的值； ②由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据第一步中求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【小问1详解】 解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ． 答：的值为5． ②空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 23. 如图，等边中，过点A在边的右侧作射线，，点B与点E关于射线对称，连接，，且交射线于点D，过C、E两点的直线交射线于点F，连接． （1）当时，求的度数； （2）求证：； （3）如图2，点M为射线上的一动点，过点M作于点N，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）． 【答案】（1）， （2）证明：如图，在上截取，连接， 由（）得垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； （3）． 【解析】 【分析】（）由是等边三角形，则，，根据点与点关于射线对称，故有垂直平分，所以，，然后根据等腰三角形的性质和角度和差即可求解； （）在上截取，连接，通过角度和差，等腰三角形的性质可得出，然后证明，则，又，则是等边三角形，故有，然后由线段和差即可求证； （）连接，由（）得垂直平分，则，所以当点三点共线时，的值最小，通过三角形的外角性质，等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点与点关于射线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（）得垂直平分， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $