第05讲 函数模型讲义-2027届高三数学一轮复习

高中数学·一轮复习讲义系列 第05讲 函数模型（复习讲义）（原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 6 大题型 · 30 题 · 10 道典例 · 8 道变式 · 12 道分层 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 2 03　题型精讲 4 题型一　指数函数模型（增长与衰减）（重点） 4 题型二　对数函数模型与量级换算（重点） 5 题型三　幂函数与经验公式模型（常考） 7 题型四　分段函数模型与优化决策（难点） 8 题型五　模型选择与数据拟合（重点） 9 题型六　基本不等式与实际最优化（难点） 11 04　易错核对 14 05　分层练习 15 使用说明 • 本讲义共 30 题：03 题型精讲 18 题（10 道典例 + 8 道变式），05 分层练习 12 题（A、B、C 各 4 题）；03 与 05 不重复。 • 题号为全讲统一编号，03 内按题型顺序排列；同一题型内先典例后变式，题号可能不连续。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案、分析与详解；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲（先典例、后变式）→ 04 易错核对 → 05 分层练习。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：以指数、对数、幂函数三类模型在生产和生活中的应用为主线，以增长与衰减、量级换算、经验公式、分段收费与优化、数据拟合和最值问题为载体。选填题要求快而准，解答题要求写全“设元—列函数—化简—求最值—代回解释”五步；定义域、等号能否取得和实际意义都要写清。 考查要求 方法与条件 常见设问 理解指数与对数模型的建立与求解 初始值、增长率、倍增期、半衰期；取对数解指数方程 第01、02、03、19、23、25题 掌握对数模型的量级换算与运算 比值化对数差、换底、参考数据分解 第04、05、06、20、22题 理解幂函数与经验公式模型 两式相除消参、数据比对定参 第07、08、09、26题 掌握分段模型与区间最值 分段列式、端点与极值点比较、等号条件 第10、11、12、21、30题 掌握模型选择与数据拟合 趋势判断、两点定参、第三点检验 第13、14、15、24题 掌握基本不等式求实际最值 凑型、等号条件、整数约束 第16、17、18、28、29题 命题预警 • 衰减比例不是剩余比例：“衰减到原来的 ”与“减少了 ”完全相反，先求剩余量占初始量的比值。 • 解指数方程 要两边取对数得 ，不要直接比较指数。 • 用基本不等式 前必须说明 ，并验证等号在定义域内取得。 • 应用题列式后先写定义域（时间、数量非负），再求最值并解释实际意义。 复习建议：先过指数与对数两类基本模型的定参与运算，再练幂函数与经验公式、分段模型与优化，随后集中突破模型选择与数据拟合和基本不等式求最值；每道应用题先写定义域，再判断等号能否取得。 02　知识梳理 按“指数模型—对数模型—幂函数与经验公式—分段模型—模型选择与数据拟合—基本不等式与最优化”六块整理，公式后注明使用条件；带“•”的条目是 03 题型直接调用的结论。 一、指数函数模型 • ： 为增长模型， 为衰减模型； 是 时的初始值。 • 平均增长率 对应 ；倍增期与半衰期只由 决定，与 无关。 • 半衰期 满足 ；求得 后可解出 。 • 与 只差底数；含 的模型取自然对数解方程更直接。 二、对数函数模型 • ：自变量成倍增长时，因变量只增加固定量；： 每增加 ， 变为原来的 倍，属指数增长，两者不要混用。 • 是量级换算的核心：比值扩 倍，对数值只加 。 • 运算性质：、、。 • 换底：；。 三、幂函数与经验公式模型 • ：两组数据代入后两式相除消 解 ，再代回求 。 • 、 等经验公式，两组数据定两个参数，第三组数据检验。 • 一次模型 最简单；与幂、指数、对数模型比较时用数据吻合程度判断优劣。 • （指数在自变量上）与 （幂在自变量上）的增长方式完全不同，不要混用。 四、分段函数模型 • 按条件分段列式，分段点归入唯一一段，注意分段点两侧函数值是否连续。 • 二次段：对称轴在区间内取顶点，不在则取端点；反比例段配成 用基本不等式。 • 指数段：化为 后用单调性；闭区间比端点，开区间说明端点取不到。 • 全局最值：各段最值汇总比较，不能只在一段上求最值就下结论。 五、模型选择与数据拟合 • 先看数据趋势：增长越来越快是指数型，增长越来越慢的典型是对数型，幂函数型介于二者之间（ 时越来越快， 时越来越慢）；有饱和上限的应另建先增后趋于稳定的模型或分段模型。 • 定参用两组数据，检验用第三组；残差更小的模型更合适。 • 预测值与极限值要回到实际意义解释，注意单位、有效数字与非负性。 • 数据明显分段变化（如前后期趋势不同）时，应另选模型或分段建模。 六、基本不等式与实际最优化 • 正数 满足 ，当且仅当 取等号。 • 凑型：（）； 先配出 。 • 等号条件 必须落在定义域内；整数约束时取最值点两侧最近整数比较。 • 实际问题设元后要写清定义域；几何题注意面积、周长、成本表达式的包含关系。 03　题型精讲 按解法分 6 个题型。每个题型先给方法条件，再给 1—3 道【典例】完整展示过程，并配 1—2 道【变式】当堂训练；解析版给出答案、分析与详解。 题型一　指数函数模型（增长与衰减）（共3题）　重点 【方法条件】 • 指数模型：（ 增长、 衰减）或 ； 是 的初始值。 • 定参：两组数据代入得方程组解 与 ；只给一组数据时先由物理意义（半衰期、倍增期）定 ，再求 。 • 增长率与倍增期：平均增长率 对应 ；倍增期只与 有关，与 无关。 • 半衰期：剩余量为初始的一半所需时间 ； 时间后剩余 。 • 解指数方程： 两边取对数，得 ；求时间用“取对数—解一元方程”。 【典例】 01．（解答题） （25-26高三上·北京·阶段检测） 某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米．该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）． (1)求出该模型的函数解析式； (2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？ （参考数据：，，月份保留到整数） 【变式1】 02．（单选题） （26-27高三上·辽宁·开学考试） 一个培养皿中的细胞初始数目记为（单位；个），研究人员向该培养皿中添加药物后，培养皿中的细胞数目（单位：个）与培养时间（单位：小时）的关系为（），其中为常数．若添加药物并培养4小时后，培养皿中的细胞数目为初始数目的2倍．则当培养皿中的细胞数目为初始数目的5倍时，所需的培养时间约为（   ）（附：） A．6.3小时 B．7.9小时 C．9.3小时 D．10.5小时 【变式2】 03．（单选题） （26-27高三上·安徽·开学考试） 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 题型二　对数函数模型与量级换算（共3题）　重点 【方法条件】 • 对数模型： 把“倍数关系”转化为“差”； 则 每增加 ， 变为原来的 倍，属指数增长。 • 量级换算：；比值扩 倍，对数值只加 。 • 求参：两个已知点代入 得方程组解 、；求真数时把对数式还原为指数式。 • 运算性质：、、；参考数据需把数分解成 2、3、5、10 的积。 • 换底：；跨底比较或计算时统一换成同底。 【典例】 04．（单选题） （2026·河南·模拟预测） 风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【变式1】 05．（单选题） （2026·北京顺义·一模） 一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为. 给出下列三个结论： ①； ②； ③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的，则声压级减少约为0.92dB； （参考数据：，） 其中正确结论的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】 06．（单选题） （25-26高三上·北京顺义·期末） 在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量.已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则（   ） A． B． C． D． 题型三　幂函数与经验公式模型（共3题）　常考 【方法条件】 • 幂模型：（、 为常数），两组数据代入后两式相除消 解 ，再代回求 。 • 比对定参：模型含多个常数时，用“代入—求差—比较”逐步消元；不要一次列含两个未知量的超越方程硬解。 • 一次模型： 最简单，两点确定一直线；与幂、指数、对数模型比较时用数据吻合程度判断优劣。 • 经验公式：形如 、，先看两组数据能否唯一确定两个参数，再用第三组验证。 • 易错：把 与 混为一谈； 求出多解未按范围取舍。 【典例1】 07．（单选题） （2026·福建厦门·模拟预测） 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（    ）（参考数据：，） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【典例2】 08．（单选题） （25-26高三下·四川成都·阶段检测） 人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（   ） A．10000 B．15000 C．20000 D．30000 【变式1】 09．（填空题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 某科技园引入“光伏+储能”微电网系统.该系统白天利用光伏发电，并将多余的电能储存在储能电池中，供夜间使用.假设储能电池的额定容量为（单位：），该系统每天的“综合调度成本”（单位：元）由两部分组成：一是容量配置与维护成本，与成正比，比例系数为0.2；二是容量不足风险成本（容量不足时需从主网高价购电的期望费用），与成反比，比例系数为800000.若使每天的综合调度成本最低，储能电池的额定容量应设计为__________. 题型四　分段函数模型与优化决策（共3题）　难点 【方法条件】 • 分段建模：按条件写出各段解析式，分段点归入唯一一段；分段点两侧的函数值通常应连续，否则要说明。 • 二次段最值：用对称轴是否落在区间内判断顶点；端点与顶点比较取全局最值。 • 反比例段：如 （），等号条件必须落在该段定义域内，否则最值改在端点取。 • 指数段：先化为 的形式，用单调性与端点在闭区间上取最值；开区间要说明取不到。 • 分段比较：各段分别求最值再比较大小；不能只在一段上求最值就下结论。 【典例1】 10．（填空题） （2026·江苏·三模） 某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时． 【典例2】 11．（解答题） （25-26高三上·河北雄安·期中） 手机实际充电过程中，为保护电池健康，在不同电量时往往采用不同的模式充电，某旧电池从某个电量开始充电到充满电为的模拟充电实验中，手机电量（单位：）与充电时间（单位：）近似满足：当时，；当时，；当时，.其中，，设为该旧电池开始充电的时刻，，.已知单调递增，当手机检测到电池已经充满电时，系统会自动断开充电连接，以避免电池损耗或其他安全问题. (1)求该旧电池开始充电时的电量及充满电的时间； (2)求，的值. 【变式1】 12．（多选题） （25-26高三下·云南怒江·开学考试） 蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为（k为参数），其中为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（    ） A．太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃ B．太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃ C．从到，蜥蜴的体温下降了6℃ D．存在太阳落山后的a时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降15℃ 题型五　模型选择与数据拟合（共3题）　重点 【方法条件】 • 模型选择：先看数据趋势（递增快慢、有无上限）筛掉不符合的模型，再用两组或三组数据定参。 • 拟合检验：把模型算出的函数值与实测值逐点作差，残差更小的更合适；后期趋势明显改变时要另选模型。 • 定参验证：至少保留一组数据用于检验，只用两点定参不去检验，容易选到“假拟合”的模型。 • 实际意义：定参后要回到问题求解释（如预测值、极限值、增长率），并注意单位与有效数字。 • 易错：模型选错后参数无意义；只代两点不检验第三点；忽略定义域（时间、数量的非负性）。 【典例1】 13．（解答题） （22-23高三上·甘肃定西·阶段检测） 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别如下表所示. 月份 1 2 3 4 产量（万双） 1.02 1.10 1.16 1.18 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.如果用表示月份，用表示产量，试比较和哪一个更好一些？（函数模型，要求用第1，4月份的数据确定，；函数模型，要求用第1，2，3月份的数据确定，，，精确到0.01，，） 【典例2】 14．（解答题） （25-26高三上·上海浦东新·期中） 某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为，在其上下各留的空白，左右各留的空白，而两个矩形栏目中间留的空白. 如图所示，设的长为，整个矩形版面的面积为. (1)试用的代数式表示； (2)当为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到） 【变式1】 15．（填空题） （26-27高三上·北京西城·阶段检测） 某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，该方案满足下列两个条件：①奖励金额（单位：万元）随着销售额（单位：万元）的增加而增加，且增长速度越来越慢；②销售额为8万元时，奖励金额为1万元，销售额为64万元时，奖励金额为4万元．从以下函数模型，，中选择最恰当的一个来描述奖励金额与销售额之间的关系，若某业务员要得到6万元的奖励，则他的销售额应为_________万元． 题型六　基本不等式与实际最优化（共3题）　难点 【方法条件】 • 基本不等式：正数 满足 ；凑型成“和为定值”再用。 • 凑型：（）； 要先配出 。 • 等号条件： 即 ，必须落在实际定义域（含整数约束）内，否则改在端点取。 • 整数约束： 时先求连续区间最值点，再取该点两侧最近整数比较函数值。 • 设元—列式—化简—求最值—代回解释，五步缺一不可；几何题注意面积或成本的正确表达式。 【典例1】 16．（解答题） （25-26高三上·上海嘉定·阶段检测） 已知某气垫船的最大船速是海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比．当船速为海里/时时，船每小时的燃料费用为元，而其余费用（不论船速为多少）都是每小时元．船从甲地行驶到乙地，甲乙两地相距海里． (1)试把船每小时使用的燃料费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数； (2)试把船从甲地到乙地所需的总费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数； (3)当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？ 【典例2】 17．（解答题） （24-25高三上·北京顺义·阶段检测） 《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1】 18．（解答题） （24-25高三上·江苏南通·阶段检测） 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1000万元，每生产x台，需另投入生产成本万元.当年产量不足25台时，；当年产量不小于25台时，且当年产量为10台时需另投入成本1100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. (1)求k的值； (2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量x（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）； (3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润. 04　易错核对 以下 8 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 把衰减比例当成剩余比例 “衰减到原来的 ”误当成“减少了 ”。纠正：先求剩余量占初始量的比值，再代入 。 第03、25题 易错二 对数运算性质用错 ； 与 的底混用；参考数据位数不足时过早取近似。纠正：只有同底对数才能相加减，比值先化成对数的差。 第04、05、06、20、22题 易错三 幂模型与指数模型混淆 把 与 混为一谈，用同一套方法定参。纠正：看自变量在指数上还是底数上，再选两式相除或取对数。 第07、08、09、26题 易错四 分段点归属与等号条件 分段点同时归两段导致重复计算；基本不等式等号不在该段定义域内仍取等号。纠正：分段点唯一归属，等号条件逐段验证。 第10、11、12、21、30题 易错五 只代两点不检验 两点定参后直接用于预测，未用第三组数据检验模型是否合适。纠正：至少保留一组数据检验，残差过大就换模型。 第13、14、15、24题 易错六 整数约束漏取两侧整数 忽略整数约束（如台数、瓶数、发车间隔），把连续变量的最值点直接当成取值；最值点为非整数时未比较相邻整数。纠正：先确认变量取整，再取最值点两侧最近整数分别代入比较。 第18、28、29题 易错七 几何最优化表达式错误 矩形面积、版面留白、容器容积等量之间的包含关系漏乘（如两个栏目之间漏加中间空白、上下留白漏乘 2），或漏掉高、半径等固定量。纠正：设元后先画图标量，再列函数。 第14题 易错八 忽略定义域与实际意义 时间为负、数量为负仍代入模型；忽略 才能用 。纠正：列式后先写定义域，再求最值并解释。 第10、12、16、30题 05　分层练习 另选 12 题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排；与 03 的典例、变式均不重复，解析版给出答案与详解。 A　基础达标（4题，建议用时约 20 分钟） 19．（填空题） （25-26高三下·上海·阶段检测） 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 20．（填空题） （2025·云南·模拟预测） 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则___________． 21．（填空题） （2026·北京海淀·二模） 某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元．基金会制定了如下使用方案：在第年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4年投入使用的资金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束． 22．（填空题） （26-27高三·全国·一轮复习） 在声学中，人们用分贝（）来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则等于_______． B　能力提升（4题，建议用时约 25 分钟） 23．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_______年.（参考数据：，，） 24．（单选题） （2026·山东烟台·二模） 已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（   ） A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片 25．（单选题） （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测） 为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 26．（单选题） （2025·广东汕尾·一模） 某投资公司计划投资A，B两种理财产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成本成正比例，其关系如图1所示，B产品的利润与投资成本的算术平方根成正比例，其关系如图2所示（利润与投资成本单位：万元）.假设该公司有20万元资金，并全部投入两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ） A．5.6万元 B．5万元 C．6万元 D．4.8万元 C　综合拓展（4题，建议用时约 30 分钟） 27．（单选题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 已知猕猴桃在运输过程中，其保鲜时间y(单位：小时)与温度t(单位：摄氏度)有如下关系：其中c，k为常数，且.已知在时保鲜时间为60小时，在时保鲜时间为40小时，则在时，保鲜时间为（    ） A．63小时 B．64小时 C．65小时 D．66 小时 28．（解答题） （24-25高三上·江苏南通·阶段检测） 绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂. (1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化多长时间？（精确到0.1小时） (2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？（每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计） （参考数据：，）. 29．（解答题） （24-25高三上·上海·期中） 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中. (1)请你说明的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益. 30．（解答题） （23-24高三上·安徽滁州·阶段检测） 每年的10月到次年的3月是诺如病毒感染高发期，某学校在诺如病毒感染高发期间，购入了一种消毒制剂用于环境消毒.已知按照给定标准每喷洒1次消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于5（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的诺如病毒的作用． (1)若按照给定标准喷洒一次消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若该校每天在12：00与18：00按照给定标准喷洒2次消毒剂，记从12：00经过小时消毒剂浓度为，求的解析式． 第1页 共1页 $高中数学·一轮复习讲义系列 第05讲 函数模型（复习讲义）（解析版） 2026-2027学年高三一轮复习数学 6 大题型 · 30 题 · 10 道典例 · 8 道变式 · 12 道分层 目　录 01　考情解码·命题预警 2 02　知识梳理 2 03　题型精讲 4 题型一　指数函数模型（增长与衰减）（重点） 4 题型二　对数函数模型与量级换算（重点） 6 题型三　幂函数与经验公式模型（常考） 9 题型四　分段函数模型与优化决策（难点） 10 题型五　模型选择与数据拟合（重点） 13 题型六　基本不等式与实际最优化（难点） 16 04　易错核对 20 05　分层练习 21 使用说明 • 本讲义共 30 题：03 题型精讲 18 题（10 道典例 + 8 道变式），05 分层练习 12 题（A、B、C 各 4 题）；03 与 05 不重复。 • 题号为全讲统一编号，03 内按题型顺序排列；同一题型内先典例后变式，题号可能不连续。 • 原卷版用于课堂演练与限时训练，解析版逐题给出答案、分析与详解；解答题先独立书写，再对照解析。 • 建议顺序：02 知识梳理 → 03 题型精讲（先典例、后变式）→ 04 易错核对 → 05 分层练习。 01　考情解码·命题预警 本讲复习定位：以指数、对数、幂函数三类模型在生产和生活中的应用为主线，以增长与衰减、量级换算、经验公式、分段收费与优化、数据拟合和最值问题为载体。选填题要求快而准，解答题要求写全“设元—列函数—化简—求最值—代回解释”五步；定义域、等号能否取得和实际意义都要写清。 考查要求 方法与条件 常见设问 理解指数与对数模型的建立与求解 初始值、增长率、倍增期、半衰期；取对数解指数方程 第01、02、03、19、23、25题 掌握对数模型的量级换算与运算 比值化对数差、换底、参考数据分解 第04、05、06、20、22题 理解幂函数与经验公式模型 两式相除消参、数据比对定参 第07、08、09、26题 掌握分段模型与区间最值 分段列式、端点与极值点比较、等号条件 第10、11、12、21、30题 掌握模型选择与数据拟合 趋势判断、两点定参、第三点检验 第13、14、15、24题 掌握基本不等式求实际最值 凑型、等号条件、整数约束 第16、17、18、28、29题 命题预警 • 衰减比例不是剩余比例：“衰减到原来的 ”与“减少了 ”完全相反，先求剩余量占初始量的比值。 • 解指数方程 要两边取对数得 ，不要直接比较指数。 • 用基本不等式 前必须说明 ，并验证等号在定义域内取得。 • 应用题列式后先写定义域（时间、数量非负），再求最值并解释实际意义。 复习建议：先过指数与对数两类基本模型的定参与运算，再练幂函数与经验公式、分段模型与优化，随后集中突破模型选择与数据拟合和基本不等式求最值；每道应用题先写定义域，再判断等号能否取得。 02　知识梳理 按“指数模型—对数模型—幂函数与经验公式—分段模型—模型选择与数据拟合—基本不等式与最优化”六块整理，公式后注明使用条件；带“•”的条目是 03 题型直接调用的结论。 一、指数函数模型 • ： 为增长模型， 为衰减模型； 是 时的初始值。 • 平均增长率 对应 ；倍增期与半衰期只由 决定，与 无关。 • 半衰期 满足 ；求得 后可解出 。 • 与 只差底数；含 的模型取自然对数解方程更直接。 二、对数函数模型 • ：自变量成倍增长时，因变量只增加固定量；： 每增加 ， 变为原来的 倍，属指数增长，两者不要混用。 • 是量级换算的核心：比值扩 倍，对数值只加 。 • 运算性质：、、。 • 换底：；。 三、幂函数与经验公式模型 • ：两组数据代入后两式相除消 解 ，再代回求 。 • 、 等经验公式，两组数据定两个参数，第三组数据检验。 • 一次模型 最简单；与幂、指数、对数模型比较时用数据吻合程度判断优劣。 • （指数在自变量上）与 （幂在自变量上）的增长方式完全不同，不要混用。 四、分段函数模型 • 按条件分段列式，分段点归入唯一一段，注意分段点两侧函数值是否连续。 • 二次段：对称轴在区间内取顶点，不在则取端点；反比例段配成 用基本不等式。 • 指数段：化为 后用单调性；闭区间比端点，开区间说明端点取不到。 • 全局最值：各段最值汇总比较，不能只在一段上求最值就下结论。 五、模型选择与数据拟合 • 先看数据趋势：增长越来越快是指数型，增长越来越慢的典型是对数型，幂函数型介于二者之间（ 时越来越快， 时越来越慢）；有饱和上限的应另建先增后趋于稳定的模型或分段模型。 • 定参用两组数据，检验用第三组；残差更小的模型更合适。 • 预测值与极限值要回到实际意义解释，注意单位、有效数字与非负性。 • 数据明显分段变化（如前后期趋势不同）时，应另选模型或分段建模。 六、基本不等式与实际最优化 • 正数 满足 ，当且仅当 取等号。 • 凑型：（）； 先配出 。 • 等号条件 必须落在定义域内；整数约束时取最值点两侧最近整数比较。 • 实际问题设元后要写清定义域；几何题注意面积、周长、成本表达式的包含关系。 03　题型精讲 按解法分 6 个题型。每个题型先给方法条件，再给 1—3 道【典例】完整展示过程，并配 1—2 道【变式】当堂训练；解析版给出答案、分析与详解。 题型一　指数函数模型（增长与衰减）（共3题）　重点 【方法条件】 • 指数模型：（ 增长、 衰减）或 ； 是 的初始值。 • 定参：两组数据代入得方程组解 与 ；只给一组数据时先由物理意义（半衰期、倍增期）定 ，再求 。 • 增长率与倍增期：平均增长率 对应 ；倍增期只与 有关，与 无关。 • 半衰期：剩余量为初始的一半所需时间 ； 时间后剩余 。 • 解指数方程： 两边取对数，得 ；求时间用“取对数—解一元方程”。 【典例】 01．（解答题） （25-26高三上·北京·阶段检测） 某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米．该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）． (1)求出该模型的函数解析式； (2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？ （参考数据：，，月份保留到整数） 【答案】(1)（）. (2)个月 【分析】（1）利用指数函数模型，结合经过2个月和3个月时的覆盖面积，列方程组求解； （2）先求出初始投放面积，再根据生物面积是初始投放的倍列方程求解． 【详解】（1）该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）， 又经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米， ，解得， ∴该模型的函数解析式为（）． （2）， 当时，， 此生物的初始投放面积为平方米， 设经过个月该水域的生物的面积是当初投放的倍，则 ，即，解得． ，取， 约经过个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍． 【变式1】 02．（单选题） （26-27高三上·辽宁·开学考试） 一个培养皿中的细胞初始数目记为（单位；个），研究人员向该培养皿中添加药物后，培养皿中的细胞数目（单位：个）与培养时间（单位：小时）的关系为（），其中为常数．若添加药物并培养4小时后，培养皿中的细胞数目为初始数目的2倍．则当培养皿中的细胞数目为初始数目的5倍时，所需的培养时间约为（   ）（附：） A．6.3小时 B．7.9小时 C．9.3小时 D．10.5小时 【答案】C 【详解】当时，，得，因，消去后得，对等式两边取自然对数，得，解得， 当时，代入公式得，消去得，取自然对数得， 将代入，得， 根据对数换底公式，得 ，因此小时. 【变式2】 03．（单选题） （26-27高三上·安徽·开学考试） 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 则， 所以， 所以污染物减少50%需要花的时间约为. 题型二　对数函数模型与量级换算（共3题）　重点 【方法条件】 • 对数模型： 把“倍数关系”转化为“差”； 则 每增加 ， 变为原来的 倍，属指数增长。 • 量级换算：；比值扩 倍，对数值只加 。 • 求参：两个已知点代入 得方程组解 、；求真数时把对数式还原为指数式。 • 运算性质：、、；参考数据需把数分解成 2、3、5、10 的积。 • 换底：；跨底比较或计算时统一换成同底。 【典例】 04．（单选题） （2026·河南·模拟预测） 风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【答案】B 【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【详解】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 【变式1】 05．（单选题） （2026·北京顺义·一模） 一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为. 给出下列三个结论： ①； ②； ③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的，则声压级减少约为0.92dB； （参考数据：，） 其中正确结论的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题可根据声压级的定义公式，结合对数的运算性质，分别对三个结论进行分析判断. 【详解】根据声压级定义，可得. 对于①：，①正确； 对于②：,②正确； 对于③：因为，可得， 因为实际声压降低到原来的，可得 所以，则声压级减少约为，③正确 【变式2】 06．（单选题） （25-26高三上·北京顺义·期末） 在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量.已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件列出方程通过对数运算计算出的值，然后再求对应条件下即可. 【详解】由于当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒， 所以，解得：, 当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒, 则，即， 解得：， 故选：D 题型三　幂函数与经验公式模型（共3题）　常考 【方法条件】 • 幂模型：（、 为常数），两组数据代入后两式相除消 解 ，再代回求 。 • 比对定参：模型含多个常数时，用“代入—求差—比较”逐步消元；不要一次列含两个未知量的超越方程硬解。 • 一次模型： 最简单，两点确定一直线；与幂、指数、对数模型比较时用数据吻合程度判断优劣。 • 经验公式：形如 、，先看两组数据能否唯一确定两个参数，再用第三组验证。 • 易错：把 与 混为一谈； 求出多解未按范围取舍。 【典例1】 07．（单选题） （2026·福建厦门·模拟预测） 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（    ）（参考数据：，） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【详解】由题意可得，又， 两式相除可得，两边取对数可得， 所以，所以. 【典例2】 08．（单选题） （25-26高三下·四川成都·阶段检测） 人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（   ） A．10000 B．15000 C．20000 D．30000 【答案】A 【详解】依题意，得， 则有，解得，. 当训练个单位的数据量所需的时间为时，则有，解得. 【变式1】 09．（填空题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 某科技园引入“光伏+储能”微电网系统.该系统白天利用光伏发电，并将多余的电能储存在储能电池中，供夜间使用.假设储能电池的额定容量为（单位：），该系统每天的“综合调度成本”（单位：元）由两部分组成：一是容量配置与维护成本，与成正比，比例系数为0.2；二是容量不足风险成本（容量不足时需从主网高价购电的期望费用），与成反比，比例系数为800000.若使每天的综合调度成本最低，储能电池的额定容量应设计为__________. 【答案】2000 【详解】由题意可知，容量配置与维护成本为0.2x元，容量不足风险成本为元， 因此每天的综合调度成本. 又， 当且仅当时，等号成立. 故每天的综合调度成本最低时，储能电池的额定容量应设计为. 题型四　分段函数模型与优化决策（共3题）　难点 【方法条件】 • 分段建模：按条件写出各段解析式，分段点归入唯一一段；分段点两侧的函数值通常应连续，否则要说明。 • 二次段最值：用对称轴是否落在区间内判断顶点；端点与顶点比较取全局最值。 • 反比例段：如 （），等号条件必须落在该段定义域内，否则最值改在端点取。 • 指数段：先化为 的形式，用单调性与端点在闭区间上取最值；开区间要说明取不到。 • 分段比较：各段分别求最值再比较大小；不能只在一段上求最值就下结论。 【典例1】 10．（填空题） （2026·江苏·三模） 某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时． 【答案】 4 32 【分析】分类讨论的范围得出的增减性，即可得出病毒载量达到峰值的时间；再分类讨论的范围，结合指数函数的单调性解不等式即可求解该病毒具有传染性的总时长． 【详解】当时，此时， 代入原函数指数部分：， 所以，， 已知，则， 所以当时，指数是关于的减函数， 因此在上单调递减， 当时，此时，代入原函数指数部分： ， 所以，， 同理得在上单调递增， 综合以上两种情况，在时单调递增，在时单调递减， 因此，病毒载量在时达到峰值． 在时，， 根据题意，对于任意，有：， 代入表达式：， 整理得，，， 所以， 病毒具有传染性的条件是，即， 整理得，， 当时，不等式变为：， 结合前提，得到； 当时，不等式变为：， 结合前提，得到， 综合两种情况，病毒具有传染性的时间段为， 题干要求计算从起的传染时长，即时间区间的长度， 故总时长为小时． 【典例2】 11．（解答题） （25-26高三上·河北雄安·期中） 手机实际充电过程中，为保护电池健康，在不同电量时往往采用不同的模式充电，某旧电池从某个电量开始充电到充满电为的模拟充电实验中，手机电量（单位：）与充电时间（单位：）近似满足：当时，；当时，；当时，.其中，，设为该旧电池开始充电的时刻，，.已知单调递增，当手机检测到电池已经充满电时，系统会自动断开充电连接，以避免电池损耗或其他安全问题. (1)求该旧电池开始充电时的电量及充满电的时间； (2)求，的值. 【答案】(1)， (2)，. 【分析】（1）由时的解析式，代入得开始充电时的电量；由时的解析式，令，解得充满电的时间； （2）由的解析式，代入，，联立解方程组即可求得，的值. 【详解】（1）由题意，开始充电的时刻为，此时，将代入得.故该旧电池开始充电时的电量为.          充满电即电量达到，即， 由于，已知单调递增， 故充满电的时刻必大于60.此时，           令，得，，即. 又，符合定义域，故充满电的时间是. （2）易知， 即.              ，化简得.      联立，解得，. 经检验，此时满足单调递增的要求，故，. 【变式1】 12．（多选题） （25-26高三下·云南怒江·开学考试） 蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为（k为参数），其中为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（    ） A．太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃ B．太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃ C．从到，蜥蜴的体温下降了6℃ D．存在太阳落山后的a时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降15℃ 【答案】AC 【详解】因为太阳刚落山时，蜥蜴的体温为，所以，解得. 因为，所以，所以太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于，A正确. 函数在上单调递减，，所以太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终不低于，B错误. ，，从到，蜥蜴的体温下降了，C正确. 令，即15，化简得，该方程的两个根为负数， 所以不存在太阳落山后的时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降，D错误. 题型五　模型选择与数据拟合（共3题）　重点 【方法条件】 • 模型选择：先看数据趋势（递增快慢、有无上限）筛掉不符合的模型，再用两组或三组数据定参。 • 拟合检验：把模型算出的函数值与实测值逐点作差，残差更小的更合适；后期趋势明显改变时要另选模型。 • 定参验证：至少保留一组数据用于检验，只用两点定参不去检验，容易选到“假拟合”的模型。 • 实际意义：定参后要回到问题求解释（如预测值、极限值、增长率），并注意单位与有效数字。 • 易错：模型选错后参数无意义；只代两点不检验第三点；忽略定义域（时间、数量的非负性）。 【典例1】 13．（解答题） （22-23高三上·甘肃定西·阶段检测） 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别如下表所示. 月份 1 2 3 4 产量（万双） 1.02 1.10 1.16 1.18 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.如果用表示月份，用表示产量，试比较和哪一个更好一些？（函数模型，要求用第1，4月份的数据确定，；函数模型，要求用第1，2，3月份的数据确定，，，精确到0.01，，） 【答案】更好些 【分析】通过计算可知：采取模型可知有两个数据有误差，采取模型可知只有一个数据有误差，由此即可得解. 【详解】（函数模拟）设， 将1，4月份的数据代入，则， 解得，所以. 把和3代入，分别得到和1.14， 又，. （函数模拟）设，将1，2，3月份的数据代入， 得，解得，所以. 把代入，得， 又. 相比两个函数的模拟结果，可知由模型计算得更好些. 【典例2】 14．（解答题） （25-26高三上·上海浦东新·期中） 某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为，在其上下各留的空白，左右各留的空白，而两个矩形栏目中间留的空白. 如图所示，设的长为，整个矩形版面的面积为. (1)试用的代数式表示； (2)当为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用表示，相乘即可得到结果； （2）利用基本不等式取等条件可求得结果. 【详解】（1），， . （2）（当且仅当，即时取等号）， 当时，整个版面的面积最小. 【变式1】 15．（填空题） （26-27高三上·北京西城·阶段检测） 某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，该方案满足下列两个条件：①奖励金额（单位：万元）随着销售额（单位：万元）的增加而增加，且增长速度越来越慢；②销售额为8万元时，奖励金额为1万元，销售额为64万元时，奖励金额为4万元．从以下函数模型，，中选择最恰当的一个来描述奖励金额与销售额之间的关系，若某业务员要得到6万元的奖励，则他的销售额应为_________万元． 【答案】256 【详解】由指对幂函数增长速度可知，应该选取，代入点， ，解得，所以，解得. 题型六　基本不等式与实际最优化（共3题）　难点 【方法条件】 • 基本不等式：正数 满足 ；凑型成“和为定值”再用。 • 凑型：（）； 要先配出 。 • 等号条件： 即 ，必须落在实际定义域（含整数约束）内，否则改在端点取。 • 整数约束： 时先求连续区间最值点，再取该点两侧最近整数比较函数值。 • 设元—列式—化简—求最值—代回解释，五步缺一不可；几何题注意面积或成本的正确表达式。 【典例1】 16．（解答题） （25-26高三上·上海嘉定·阶段检测） 已知某气垫船的最大船速是海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比．当船速为海里/时时，船每小时的燃料费用为元，而其余费用（不论船速为多少）都是每小时元．船从甲地行驶到乙地，甲乙两地相距海里． (1)试把船每小时使用的燃料费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数； (2)试把船从甲地到乙地所需的总费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数； (3)当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？ 【答案】(1) (2) (3)海里/时，元 【分析】（1）设，再根据条件得到，即可求解； （2）设船从甲地到乙地所需的时间为小时，从而有，再利用，即可求出结果； （3）利用（2）中结果及基本不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题设燃料费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数为， 又当船速为海里/时时，船每小时的燃料费用为元，所以，解得， 所以. （2）设船从甲地到乙地所需的时间为小时，所以，又， 得到. （3）由（2）知，， 当且仅当，即时取等号， 所以当船速为海里/时时，船从甲地到乙地所需的总费用最少，最少为元. 【典例2】 17．（解答题） （24-25高三上·北京顺义·阶段检测） 《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元 【分析】（1）代入售价和成本即可得到利润结果. （2）由二次函数图像与性质即可得到最大值点和最大值. 【详解】（1）解：由题意可得， , 所以函数的函数关系式为 （2）当时，的图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时. 综上：当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元. 【变式1】 18．（解答题） （24-25高三上·江苏南通·阶段检测） 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1000万元，每生产x台，需另投入生产成本万元.当年产量不足25台时，；当年产量不小于25台时，且当年产量为10台时需另投入成本1100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. (1)求k的值； (2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量x（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）； (3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2) (3)20台，200万元 【分析】（1）将代入即可求解， （2）根据销售额减去成本，即可得利润， （3）利用二次函数的性质以及基本不等式可分别求得相应范围上的最大值，进而比较求解. 【详解】（1）当，代入，得； （2）由题意可得：当时，， 当时， 所以年利润（万元）关于年产量x（台）的函数关系式为： ； （3）由（1）得时，， 此时（台）时，（万元） 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，（万元） 而，故（台）时，利润最大，最大利润是200万元， 综上所述：年产量为20台时，该企业所获利润最大，最大利润是200万元. 04　易错核对 以下 8 条来自本讲题目的常见失分点，每条给出典型表现、纠正方法和对应题号；做题时先对照，再回看原题。 序号 易错点 典型表现与纠正 对应题 易错一 把衰减比例当成剩余比例 “衰减到原来的 ”误当成“减少了 ”。纠正：先求剩余量占初始量的比值，再代入 。 第03、25题 易错二 对数运算性质用错 ； 与 的底混用；参考数据位数不足时过早取近似。纠正：只有同底对数才能相加减，比值先化成对数的差。 第04、05、06、20、22题 易错三 幂模型与指数模型混淆 把 与 混为一谈，用同一套方法定参。纠正：看自变量在指数上还是底数上，再选两式相除或取对数。 第07、08、09、26题 易错四 分段点归属与等号条件 分段点同时归两段导致重复计算；基本不等式等号不在该段定义域内仍取等号。纠正：分段点唯一归属，等号条件逐段验证。 第10、11、12、21、30题 易错五 只代两点不检验 两点定参后直接用于预测，未用第三组数据检验模型是否合适。纠正：至少保留一组数据检验，残差过大就换模型。 第13、14、15、24题 易错六 整数约束漏取两侧整数 忽略整数约束（如台数、瓶数、发车间隔），把连续变量的最值点直接当成取值；最值点为非整数时未比较相邻整数。纠正：先确认变量取整，再取最值点两侧最近整数分别代入比较。 第18、28、29题 易错七 几何最优化表达式错误 矩形面积、版面留白、容器容积等量之间的包含关系漏乘（如两个栏目之间漏加中间空白、上下留白漏乘 2），或漏掉高、半径等固定量。纠正：设元后先画图标量，再列函数。 第14题 易错八 忽略定义域与实际意义 时间为负、数量为负仍代入模型；忽略 才能用 。纠正：列式后先写定义域，再求最值并解释。 第10、12、16、30题 05　分层练习 另选 12 题，按 A 基础、B 提升、C 综合三层编排；与 03 的典例、变式均不重复，解析版给出答案与详解。 A　基础达标（4题，建议用时约 20 分钟） 19．（填空题） （25-26高三下·上海·阶段检测） 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 【答案】600 【详解】因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍，则， 即，又因， 所以. 20．（填空题） （2025·云南·模拟预测） 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，计算可求得的值. 【详解】依题意，， 即0.2， 即，，则． 故答案为：. 21．（填空题） （2026·北京海淀·二模） 某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元．基金会制定了如下使用方案：在第年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4年投入使用的资金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束． 【答案】 125 9 【分析】根据题意，依次分析各年的投入使用的资金与剩余资金情况即可求得答案. 【详解】初始资金（第1年开始时）：2000万元 第1年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第2年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第3年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第4年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第5年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第6年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第7年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第8年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第9年：资金小于10万元，投入全部资金7.8125万元，项目结束 综上，第4年投入使用的资金为125万元，该修复项目将在第9年结束. 22．（填空题） （26-27高三·全国·一轮复习） 在声学中，人们用分贝（）来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则等于_______． 【答案】/1000 【分析】根据题意及对数运算即可求解． 【详解】由题可得，且， 所以． B　能力提升（4题，建议用时约 25 分钟） 23．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_______年.（参考数据：，，） 【答案】2027 【详解】设第年开始超过200万元，则， 即，两边取对数可得， 根据参考数据可得，即， 因为为整数，取， 故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年. 24．（单选题） （2026·山东烟台·二模） 已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（   ） A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片 【答案】B 【详解】，将代入， 得， 整理得：， 两边取自然对数：， 解得：， 所以， 由，得， 即芯片投入量至少为4万片. 25．（单选题） （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测） 为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的函数关系，先通过前2小时的过滤比例求出，再计算前4小时的剩余污染物比例，进而得到过滤掉的污染物占比. 【详解】由题意知，，因为前2小时过滤掉了污染物的， 则剩余污染物为，即，得， 则前4小时的剩余污染物量：， 即剩余污染物是，则前4小时过滤掉的污染物比例为. 26．（单选题） （2025·广东汕尾·一模） 某投资公司计划投资A，B两种理财产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成本成正比例，其关系如图1所示，B产品的利润与投资成本的算术平方根成正比例，其关系如图2所示（利润与投资成本单位：万元）.假设该公司有20万元资金，并全部投入两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ） A．5.6万元 B．5万元 C．6万元 D．4.8万元 【答案】D 【分析】根据已给函数模型结合已知数据求出解析式，设A产品投入万元，则B产品投入万元，求出利润的表达式，然后利用换元法转化为二次函数求得最大值． 【详解】设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元. 由题意设. 由图知.又. 从而. 设A产品投入万元，则B产品投入（）万元， 设公司利润为万元， 则， 设，则， ， 当时，，此时. 所以A产品投入16万元，B产品投入4万元时，才能使公司获得最大利润，最大利润为4.8万元. 故选：D C　综合拓展（4题，建议用时约 30 分钟） 27．（单选题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 已知猕猴桃在运输过程中，其保鲜时间y(单位：小时)与温度t(单位：摄氏度)有如下关系：其中c，k为常数，且.已知在时保鲜时间为60小时，在时保鲜时间为40小时，则在时，保鲜时间为（    ） A．63小时 B．64小时 C．65小时 D．66 小时 【答案】B 【详解】由题意可得，所以，即， 所以，所以或（舍去）， 所以，当时，得小时. 28．（解答题） （24-25高三上·江苏南通·阶段检测） 绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂. (1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化多长时间？（精确到0.1小时） (2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？（每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计） （参考数据：，）. 【答案】(1)不能达到净化目的，最多可净化10.4小时； (2)第一次投放6瓶，第二次投放3瓶；或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶. 【分析】（1）利用条件建立函数模型，结合指数与对数的转化计算解不等式即可； （2）设第一次投放n瓶，利用条件建立不等式组，利用指数的近似值解不等式组即可. 【详解】（1）假设一次性投放9瓶，可持续净化x小时， 则，所以， 两边取常用对数得， 所以， 因为，所以不能达到净化目的，最多可净化10.4小时； （2）设第一次投放n瓶，第二次投放瓶，且， 依据题意得， 由第一个不等式可得，， 由第二个不等式可得，， 所以； 又因为，所以n可取6或7. 所以两次投放可能的投放方案为第一次投放6瓶，第二次投放3瓶； 或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶. 29．（解答题） （24-25高三上·上海·期中） 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中. (1)请你说明的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益. 【答案】(1)当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量； (2)发车时间间隔为6分钟，最大净收益为120元. 【分析】（1）根据给定的函数，直接得答案. （2）分段计算净收益，并求最值，比较大小得解. 【详解】（1）依题意，的实际意义是：当地铁的发车时间间隔为5分钟时，地铁载客量. （2）当时， ，当且仅当时取等号； 当时， ， 当且仅当时取等号，而， 所以当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. 30．（解答题） （23-24高三上·安徽滁州·阶段检测） 每年的10月到次年的3月是诺如病毒感染高发期，某学校在诺如病毒感染高发期间，购入了一种消毒制剂用于环境消毒.已知按照给定标准每喷洒1次消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于5（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的诺如病毒的作用． (1)若按照给定标准喷洒一次消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若该校每天在12：00与18：00按照给定标准喷洒2次消毒剂，记从12：00经过小时消毒剂浓度为，求的解析式． 【答案】(1)3.2小时 (2) 【分析】(1)分和两种情况讨论，结合二次函数的性质以及对数函数的性质即可解得x的范围，则答案可求； (2) 分、及三种情况讨论即可直接求得解析式. 【详解】（1）按照给出标准喷洒一次消毒剂， 当时，由得； 当时，由，得， 所以． 因为，所以有效杀灭时间可达小时． （2）当时，， 当时，； 当时，． 所以. 第1页 共1页 $