4.5.3 函数模型的应用-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 高中数学函数模型应用同步练，分A（基础）、B（单一知识点）、C（综合）、D（高考）四层，梯度清晰，从概念巩固到高考应用，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|函数模型概念、基础应用题|含教材改编题，限时10分钟，夯实基础| |B组|幂指对模型、模型选择|地区期末题改编，限时15分钟，深化单一知识点| |C组|多模型综合应用|实际情境题（如净水过滤），限时25分钟，提升综合能力| |D组|高考真题题型|高考改编题，限时10分钟，对接高考要求|

4.5.3　函数模型的应用 A组　教材夯基础限时10分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(数学与生活)一种专门占据内存的计算机病毒,开始时占据内存2 KB,然后每2分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机30分钟,该病毒占据　　　　内存(1 MB=210 KB).  2.(填一填,记一记) 常用函数模型汇总 　　　函数模型  y=kx+b(k,b为常数,　　　　)  　　　函数模型  y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,　　　　)  　　　函数模型  y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,　　　　)  　　　函数模型  y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,　　　　)  　　　函数模型  y=axn+b(a,n,b为常数,　　　　)  3.(判对错) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(　　) (2)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.(　　) (3)当a>1,k>0时,对任意x∈(0,+∞),总有logax<kx<ax.(　　) (4)函数y=x的衰减速度越来越慢.(　　) (5)解决某一实际问题的函数模型是唯一的.(　　) 4.(教材P149例4改编)考古学家在测定遗址年代的过程中,利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律,建立了样本中碳14的含量y随时间x(年)变化的数学模型:y=y0·(y0表示碳14的初始量).2020年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年代学检测,检测出碳14的含量约为初始量的55%,据此推测良渚遗址存在的时期距今大约是(参考数据:log25≈2.3,log211≈3.5)(　　) A.3 450年 B.4 010年 C.4 580年 D.5 160年 5.(教材P156习题4.5T10改编)一种药在病人血液中的量保持1 000 mg以上才有疗效,而低于500 mg时病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2 000 mg,如果药在血液中以每小时10%的比例衰减,为了充分发挥药物的利用价值,那么从注射起经过　　　　小时内向病人的血液补充这种药,才能保持疗效.(附:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,精确到0.1小时)  6.(教材P152例6改编)为响应“湘商回归,返乡创业”的号召,某企业回永州投资特色农业,为了实现既定销售利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:按销售利润进行奖励,总奖金额y(单位:万元)关于销售利润x(单位:万元)的函数的图象近似下图,现有以下三个函数模型供企业选择:①y=kx+b(k>0),②y=k·2x+m(k>0),③y=klog3+n(k>0). (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由; (2)根据你在(1)中选择的函数模型,如果总奖金不少于6万元,则至少应完成销售利润多少万元? B组　单一知识点限时15分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1　常见幂、指、对函数模型 7.(2025上海松江期末)根据经济学理论,企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响.若用Q表示产量,L表示劳动投入,K表示资本投入,A表示技术水平,则它们的关系可以表示为Q=A,其中A>0,K>0,L>0,α>1,β>1.当A不变,K与L均变为原来的2倍时,有关于Q的两个命题: ①存在1<α<2和1<β<2,使得Q变为原来的2倍; ②若2(α2+β2)=α2β2,则Q最多可变为原来的2倍. 则下列说法正确的是(　　) A.①②都是真命题 B.①是真命题,②是假命题 C.①是假命题,②是真命题 D.①②都是假命题 8.(2025江苏南京期末)根据国际标准,室内二氧化碳浓度应不超过1 000 ppm,在这个范围内,室内空气质量良好,人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度y(ppm)与开窗通风的时长t(分钟)之间的关系式为y=500+104λ(λ∈R).经测定,该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2 000 ppm,要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准,则需要开窗通风的时长至少约为(参考数据:ln 3≈1.099,ln 5≈1.609)(　　) A.6分钟 B.8分钟 C.10分钟 D.12分钟 9.(2025北京期末)已知国内某人工智能机器人工厂在2023年的机器人产量为300万台,根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加,为满足市场需求,该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%,那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　) A.2028年 B.2029年 C.2030年 D.2031年 知识点2　模型的选择 10.(2024贵州安顺期末)为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0,某运输公司提出了四种运输方案,每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图所示,其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是(　　) 11.(2024河北保定期末)有一组实验数据及对应散点图如下,则下列能体现这些数据的最佳函数模型是(　　) x 0 4 9 16 36 y 3 7 9 11 15 A.y=bx+c B.y=b+c C.y=blogax+c(a>0,且a≠1) D.y=ax+c(a>0,且a≠1) 12.(2025吉林期末)吉林位于“冰雪黄金带”,拥有世界上顶级的“粉雪”资源,是冰雪运动的理想之地,吸引了无数滑雪爱好者.吉林市拥有两个优质的滑雪胜地:“北大湖滑雪场”“万科松花湖滑雪场”.这两个滑雪场多年以来在推动中国的滑雪运动、冰雪旅游,带动城市周边农村经济发展等方面都做出了重要贡献.近几年,这两个滑雪场接待总人次的年增长速度越来越快,经统计发现,2021至2023年的年接待总人次近似值如下表所示: 年份 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 年接待总人次y/万 10 12 16 根据以上数据,两个滑雪场的年接待总人次y与年份代码x的关系有以下两种函数模型可供选择:①y=k+b(k>0),②y=kax(k>0,a>0,且a≠1). (1)试判断哪种函数模型更适合刻画两个滑雪场的年接待总人次的增长趋势,请简述理由,并利用表格中后两组数据求出相应的函数解析式; (2)根据(1)中选择的函数模型,按表格中的数据增长趋势,预测在哪一年两个滑雪场的年接待总人次达到25万.(参考数据:≈1.41,≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) C组　综合知识点限时25分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 13.(2025陕西商洛模拟)净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准,其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成,其结构是多层式的,主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,若过滤前水中大颗粒杂质的含量为80 mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L,则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 14.()用水清洗一堆蔬菜上的农药,设用x个单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为f(x),且f(0)=1.已知用1个单位量的水清洗一次,可洗掉本次清洗前残留农药量的,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上. (1)根据题意,直接写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质; (2)设f(x)=,现有a(a>0)个单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成两份后清洗两次,问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量更少?说明理由. 15.(2024甘肃定西期末)某生物研究者于某年元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,该年1月底测得凤眼莲的覆盖面积为16 m2,该年3月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2,凤眼莲的覆盖面积y(单位:m2)与经过的月份x(单位:月)的关系有以下两个函数模型可供选择:y=kax(a>1)与y=mx2+nx+. (1)分别使用这两个函数模型对本次研究进行分析,求出对应的函数解析式; (2)若测得该年6月底凤眼莲的覆盖面积约为95 m2,判断上述两个函数模型中哪个更合适. D组　高考怎么考限时10分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 16.(2020全国Ⅰ改编)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图: 由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个函数模型中最适宜作为发芽率y和温度x的函数模型的是(　　)　　　　　　　　 A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+bln x 17.(2020全国新高考Ⅰ改编)基本再生数R0与世代间隔T是某流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在某流行病初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在该流行病初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 18.(2023新课标Ⅰ)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.3　函数模型的应用 1.64 MB 2.一次　k≠0　二次　a≠0　指数　a>0且a≠1　对数　a>0且a≠1　幂　a≠0 3.(1)✕(提示:一次函数模型和常数函数模型的增长速度都不变)　(2)✕(提示:在(0,1)上y=x2的增长速度要慢于y=2x的增长速度)　(3)✕(举例:当x=1,k=3,a=2时,不等式不成立)　(4)√　(5)✕ 4.C　 5.答案　6.6 解题思路　设x小时后血液中的药物量为y mg,则y=2 000·(1-10%)x,令y≥1 000,得x≤≈≈6.6,故为了充分发挥药物的利用价值,从注射起经过6.6小时内向病人的血液补充这种药,才能保持疗效. 6.解题思路　(1)对于模型①,y=kx+b(k>0),图象为直线,故①错误;由题图可知,该函数的增长速度较慢, 对于模型②,指数型函数是爆炸式增长,故②错误; 对于模型③,对数型函数增长速度较慢,符合题意,故选模型③. (2)由(1)可知选模型③,所求函数图象过点(0,0),(18,3), 则解得 故所求函数为y=3log3-3, ∴3log3-3≥6,即log3≥3,∴+3≥27,∴x≥72,∴至少应完成销售利润72万元. 7.C　在Q=A中,当A不变,K与L均变为原来的2倍时,Q'=A(2K=A·=Q·, 对于①,当Q变为原来的2倍时,=2, 即+=1, 当1<α<2,1<β<2时,<<1,<<1, 则1<+<2, 因此+=1无解,即不存在1<α<2和1<β<2,使得Q变为原来的2倍,故①中命题是假命题; 对于②,由2(α2+β2)=α2β2,得2=1, 因此1=2=+≥,所以0<+≤1, 当且仅当=,即α=β=2时,+=1,故≤2, 所以Q最多可变为原来的2倍,故②中命题是真命题. 故选C. 8.C　依题意得,t=0时,y=2 000,则2 000=500+104λ, 解得104λ=1 500, 因此y=500+1 500, 由y≤1 000,得500+1 500≤1 000,解得≤, 则-≤-ln 3,即t≥9ln 3≈9×1.099=9.891, 所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟. 故选C. 9.B　设该工厂经过x年,人工智能机器人的产量达到900万台. 由题意可得300(1+20%)x=900, 所以1.2x=3,所以x=log1.23===≈=6. 故经过6年,该工厂人工智能机器人的产量才能达到900万辆, 即到2029年,该工厂人工智能机器人的产量才能达到900万辆.故选B. 10.B　由于运输效率逐步提高,故函数增长速率逐渐加快,选项B中的图象满足.故选B. 11.B　题图中的点显然不在一条直线上,模型y=bx+c不符合;若选择y=b+c,将(0,3),(4,7)代入,得解得则y=2+3,显然当x=9时,y=9,当x=16时,y=11,当x=36时,y=15,与表格中的实际值相同,因此y=b+c适合作为y与x的函数模型; 模型y=blogax+c(a>0,且a≠1)在x=0处无意义,故模型y=blogax+c不符合;散点图中的点对应的函数有单调递增的趋势,且增势逐渐变缓,模型y=ax+c(a>0,且a≠1)不符合.故选B. 12.解题思路　(1)选择y=kax(k>0,a>0,且a≠1)更合适,原因是年接待总人次随年份的增长呈爆炸增长趋势. 依题意得解得所以y=. (2)由(1)可知y=,设在年份代码为n时,两个滑雪场的年接待总人次达到25万,则=25, 所以n=lo===≈≈4.67, 所以预测在年份代码为5,即2025年两个滑雪场的年接待总人次达到25万. 13.A　设经过n(n∈N*)层PP棉滤芯过滤后,水中大颗粒杂质的含量为y mg/L,则y=80×=80×, 令80×≤2,得≤,两边取常用对数,得nlg ≤lg ,整理得n(lg 3-lg 2)≥1+2lg 2,所以n≥,解得n≥, 又因为n∈N*,所以n的最小值为9.故选A. 14.解题思路　(1)由题意知f(x)满足的条件和性质如下: f(0)=1,定义域为[0,+∞),f(1)=,0<f(x)≤1,f(x)在区间[0,+∞)上单调递减. (2)设清洗前残留的农药量为t(t>0), ①用a个单位量的水清洗一次, 设清洗后蔬菜上残留的农药量为t', 则=f(a)=,则t'=. ②把a个单位量的水平均分成两份后清洗两次, 设第一次清洗后蔬菜上残留的农药量为t1, 则=f ==,则t1=. 设第二次清洗后蔬菜上残留的农药量为t2, =f ==,则t2==. 下面比较t'与t2的大小. 易知-(1+a2)=-=, 当a2>8,即a>2时,-(1+a2)>0, 所以>1+a2>0, 由不等式的性质可得<, 所以当a>2时,把水平均分成两份后清洗两次,蔬菜上残留的农药量更少. 当a2=8,即a=2时,=1+a2,即=, 所以当a=2时,两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多. 当a2<8,即0<a<2时,-(1+a2)<0,所以0<<1+a2, 由不等式的性质可得>, 所以当0<a<2时,用a个单位量的水清洗一次,蔬菜上残留的农药量更少. 15.解题思路　(1)依题意可知,x=1时,y=16;x=3时,y=36. 对于函数模型y=kax(a>1),由解得 所以y=·,x∈N*. 对于函数模型y=mx2+nx+, 由解得 所以y=x2+x+,x∈N*. 故两函数模型的解析式分别为y=·,x∈N*,y=x2+x+,x∈N*. (2)对于y=·,x∈N*, 当x=6时,y=×==121.5, 对于y=x2+x+,x∈N*, 当x=6时,y=×62+×6+=≈89.33, 因为89.33比121.5更接近95, 所以函数模型y=x2+x+,x∈N*更合适. 16.D　观察散点图可知,散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数型函数的图象,故选D. 17.B　因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r==0.38,设累计感染病例数增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以t=≈≈1.8.故选B. 18.ACD　p0,p1,p2,p3均大于0,∵-=20×lg -20×lg =20×lg ≥0, ∴≥1,∴p1≥p2,故A正确; ∵-=20×lg ≥10,∴lg ≥,∴≥, ∴p2≥p3,故B错误; ∵=20×lg =40,∴=100,∴p3=100p0,故C正确; ∵-=20×lg≤90-50=40,∴lg≤2,∴≤100,∴p1≤100p2,故D正确. 故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $