第五章 等可能条件下的概率单元自测 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章 等可能条件下的概率 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：袋子中装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，总球数为． 随机摸出一个球是红球的概率为． 2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 【答案】C 【详解】解：摸到红球的频率稳定在左右， 摸到红球的概率为， 布袋中白球的个数为． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知符合题意的涂法有2种， 则概率为． 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图所示是一条线段，的长为5厘米，的长为1厘米，假设可以随意在线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】概率所求情况数与总情况数之比，先确定线段的长在线段的长度中所占的比例，根据此比例即可解答． 【详解】解：的长为5厘米，的长为1厘米， ∴随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为． 5．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确颜色都变化即两种溶液均能使酚酞变红，通过作树状图得到所有等可能结果，结合概率公式求解即可． 【详解】解：将蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，其中能使酚酞溶液变色的是，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中颜色恰好都发生变化的结果有2种， ∴所求概率为． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中个小球上恰好有个元音字母的结果有种， 则个小球上恰好有个元音字母的概率是． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意列表列举所有等可能结果，再根据事件概率的计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： E F G H A B C D 共有16种等可能结果，其中两人恰好选中同一根绳子的等可能结果分别是，，，，共4种，所以两人恰好选中同一根绳子的概率是． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）“石头、剪刀、布”是广为流传的一种游戏，游戏时甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次出这三种手势的可能性相同，那么一次游戏中乙获胜的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：甲、乙各有3种手势，所有等可能的结果共有种． 乙获胜的情况有3种：甲出石头乙出布，甲出剪刀乙出石头，甲出布乙出剪刀． 乙获胜的概率为． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有_________棵． 【答案】 800 【分析】观察折线统计图，发现随着移植数量增加，成活频率在0.8附近波动并趋于稳定，据此估计成活概率，再计算1000棵的成活数． 【详解】解：由折线统计图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.8附近． ∴ 这种树苗成活的概率约为0.8． ∵ 移植这种树苗1000棵， ∴ 成活的大约有 （棵）． 10．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】 【分析】由多次试验中频率稳定值近似等于概率，得到摸到黑球的概率，设出红球个数后根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率为， 设盒子中红球的个数为，则盒子中总球数为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为． 11．（2026·全国·模拟预测）“七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为________．（标点不计） 【答案】 【分析】先统计去掉标点后的总汉字数，再统计其中数词的个数，根据概率公式计算结果． 【详解】解：去掉标点后，这句诗词共有汉字：七、八、个、星、天、外、两、三、点、雨、山、前，总个数为， 其中属于数词的是七、八、两、三，总个数为， 数词出现的概率为． 12．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）2026年暑假期间，小鸣从《奥德赛》《空枪》《八仙》《牛来》四部影片中随机选一部观看，则他恰好选到《奥德赛》的概率为________． 【答案】 【分析】四部影片被选中的可能性相等，总共有种等可能结果，选中目标影片只有种结果，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从四部影片中随机选一部，所有等可能的结果共种，恰好选到《奥德赛》的结果只有种， ∴所求概率为． 13．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 【答案】 【分析】先计算小明和小华选车的所有等可能结果数，再计算两人同坐一辆车的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记三辆车分别为1， 2， 3， 根据题意画树状图得： 共有9种等可能的结果，其中两人同坐一辆车的结果数为3， ∴所求概率为 ． 14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 【答案】 【分析】先列表得到所有等可能的结果，再得出两次摸到的都是黑球的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：记两个红球分别为A，B，黑球为C，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到的都是黑球的结果有1种， ∴两次摸到的都是黑球的概率为． 15．（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）盒子中有个小球分别记为，，，，除上面的数字外完全相同，摸一个后放回，若先后两次摸到的数为和，且点在反比例函数的图象上，记为事件．当事件概率最大时，值可以是_______________． 【答案】2或 【分析】由点在反比例函数的图象上得到，画树状图得到所有等可能的结果数，及k的值的所有可能及其结果数，根据概率公式计算后求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 画树状图为： 由图可得共有16种等可能结果， 其中共有2种结果，则； 共有2种结果，则； 共有4种结果，则； 共有4种结果，则； 共有2种结果，则； 共有2种结果，则； 当事件概率最大时，值可以是2或． 16．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 【答案】 【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： 共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种， ∴能让灯泡发光的概率为． 17．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点及五个点分别位于小正方形的顶点上．先从两个点中任意取一个点，再从三个点中任意取两个不同的点，以取得的三个点为顶点画三角形，则所画三角形与面积相等的概率为______． 【答案】 【分析】根据题意得到画三角形共有6种等可能的结果，这6个三角形中与面积相等的有3个，根据概率公式即可求出答案． 【详解】解：从两个点中任意取一个点，再从三个点中任意取两个不同的点，画三角形共有6种等可能的结果，分别为． 由方格可求出 ，，， 因此这6个三角形中与面积相等的有3个， 故所画三角形与面积相等的概率为． 18．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并分别标上，2和，，8这5个数字，同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上时重转），转动停止后，两个指针指向的数字之和为正数的概率是___________． 【答案】 【分析】先根据题意画出树状图，再根据概率的计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能性结果，其中两个指针指向的数字之和为正数的等可能结果共有2种，所以两个指针指向的数字之和为正数的概率是． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全”“消防安全”“食品安全”三个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上三个主题中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．现将以上三个主题分别用A，B，C表示，请用画树状图或列表的方法求甲和乙选择相同主题的概率． 【答案】 【分析】选择列表法，枚举所有甲、乙选择主题的可能结果，因为每个主题被选中的概率相同，所以每个基本事件发生的可能性相等．从枚举的所有结果中，找出甲和乙选择主题相同的结果个数，再根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：用列表法分析所有等可能的结果如下：                             甲 乙 A B C A B C 由上表可知：共有种等可能的结果，其中甲和乙选择相同主题的结果有种（即，，． ∴甲和乙选择相同主题的概率为：． 恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率为． 20．（6分）文晖实验学校隐秀数学节活动中，答题卡片上写有，，3这三个数，从中任选两个数分别作为点P的横坐标与纵坐标（横坐标与纵坐标不相等）． (1)请用画树状图或列表的方法，列出所有可能； (2)图象过点P的正比例函数中，求y随自变量x的增大而增大的概率． 【答案】(1) 用列表法列出所有等可能的结果如下： 共有6种等可能的结果． (2) 【分析】（1）用列表法列出所有符合条件的点，得到全部等可能结果； （2）结合正比例函数增减性确定符合条件的结果数，计算概率． 【详解】（1）略； （2）解：∵ 正比例函数中，随的增大而增大， ∴ ， ∵ 点在的图象上， ∴ ，即， ∴ ， 即与同号， 由（1）得共有6种等可能的结果，其中横、纵坐标同号的结果有2种， ∴ 所求概率为． 21．（6分）为全面落实“五育并举”教育方针，学校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”三项活动，小长和小春分别从中随机选择一项活动参加（小长和小春选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． (1)小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为 ； (2)请用列表法或画树状图法，求小长和小春选择的活动不同的概率． 【答案】(1) (2)列表如下： 小春小长 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得出所有等可能的结果，再得出小长和小春选择的活动不同的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3个活动，且小长选择每项活动的可能性相同， ∴小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为； （2）解：由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中小长和小春选择的活动不同的结果有6种， ∴小长和小春选择的活动不同的概率． 22．（7分）吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． (1)为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． (2)利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 【答案】(1)①0.48；②0.4； (2)． 【分析】（1）① 因为频率=参加项目人数÷调查总人数，所以对应调查总人数为200时，用该组参加人数除以200即可得到所缺频率．② 因为大量重复试验时频率会逐渐稳定在概率附近，所以选取调查总人数最大的组对应的频率，按要求精确到0.1得到估算概率． （2）首先确定甲、乙各自分配项目的所有等可能结果，通过列表或画树状图枚举所有情况；再找出恰好有一人被分配到C项目的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到对应概率． 【详解】（1）解：① 频率的计算公式为：， 代入对应数据得：． ② 当试验总人数越大，频率会逐渐稳定在某个常数附近， 观察表格里的频率随样本量增大逐步趋近于0.405， 精确到0.1后结果为0.4． ∴本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率为0.4． （2）解： 甲            乙 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的结果有6种， ∴P（甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目）． 23．（7分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． (1)小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； (2)小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由如下： 列表如下： 由表可知，所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果， 所以小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为， 由知此游戏不公平． 【分析】（1）根据概率公式求出指针所指扇形中的数字是奇数的概率； （2）列表把所有可能出现的情况表示出来，可知所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果，所以游戏不公平． 【详解】（1）解：在标有数字、、的个扇形中，奇数有、这个， 指针所指扇形中的数字是奇数的概率为； （2）略 24．（7分）为了贯彻落实教育部“学生体质健康检测”新政策，切实提升青少年身体素质，我校体育组对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)若我校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间不足4小时的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名作为“运动小先锋”参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 【答案】(1)，， 补全条形统计图如图所示： (2)名 (3) 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以组的学生人数所占的百分比即可得出答案；求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用乘以样本中八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中七年级和八年级各名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：该校此次调查共抽取学生人数：（名）． 扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为． 组中八年级的学生人数为（名）． 补全条形统计图略； （2）解：根据题意，八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数为：（名）． （3）解：将七年级的名同学分别记为甲、乙，八年级的名同学分别记为丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能的结果，其中恰好选中七、八年级各名同学的情况有种， ∴（恰好选中七、八年级各名同学）． 25．（8分）某校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 人数 D 3 C a B 8 A 4 (1)统计表中的______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； (2)阅读时间在的众数是______min；20名学生每天阅读时间的中位数是______min； (3)A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)5，144 (2)40，40 (3) 【分析】（1）用总数减去其他组的人数求出的值，360度乘以B组人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）根据众数和中位数的确定方法进行计算即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：阅读时间在的数据中出现次数最多的是40； 故众数为40； 将数据排序后，第10个和第11个数据均为40， ∴中位数为： ． （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种； （一名男生和一名女生）． 26．（8分）为了让学生更加了解广州南沙湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（ ），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： (1)本次参加测评人数为 人，并补全条形统计图； (2)现有成绩为A等级的两位同学和B等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率是多少? 【答案】(1)100； (2) 【分析】（1）因为C等级的人数和对应扇形占比已知，所以用C等级人数除以其占比即可得到总人数；再根据D等级占比求出D等级人数，用总人数减去A、C、D等级人数得到B等级人数，补全条形统计图； （2）先列出所有等可能的抽取结果，再找出恰好抽到1名A等级和1名B等级的结果数，根据概率公式计算对应概率． 【详解】（1）解：等级有20人，占总人数的， 本次参加测评人数为：（人）， 等级人数：人；等级人数：（人）． 补全条形图略。 （2）解：记2名等级同学为，，2名等级同学为，，列表得所有等可能的抽取结果： 共12种等可能的结果，其中恰好1名等级、1名等级的结果有8种， 27．（9分）2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A、 ，B、 ，C、 ，D、），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩是：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、74、75、85、90、90、95、96． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 80 众数 82 90 方差 90 117 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________． (2)结合上述信息和所学的数学知识，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由． (3)现要将八年级的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 【答案】(1)，； (2)七年级更好；理由：七年级和八年级平均数都是81分，但七年级的竞赛成绩的中位数比八年级高，且七年级的方差小于八年级的方差，则七年级的竞赛成绩稳定性高于八年级竞赛成绩的稳定性． (3) 【分析】（1）根据中位数的定义求出a的值，得出位于七年级A组的人数，用A组的人数除以总人数即可求出m的值． （2）利用中位数和方差作决策即可． （3）列出表格求解即可． 【详解】（1）解：七年级10名学生竞赛成绩从小到大排列为：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． ∴中位数为， 在A组之间的人数有3人， ∴， ∴； （2）略 （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ∴共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学分到同一组有2种结果，丙、丁两位同学分到一组时甲、乙也在一组的情况有2种结果， ∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章 等可能条件下的概率 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图所示是一条线段，的长为5厘米，的长为1厘米，假设可以随意在线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）“石头、剪刀、布”是广为流传的一种游戏，游戏时甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次出这三种手势的可能性相同，那么一次游戏中乙获胜的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有_________棵． 10．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 11．（2026·全国·模拟预测）“七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为________．（标点不计） 12．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）2026年暑假期间，小鸣从《奥德赛》《空枪》《八仙》《牛来》四部影片中随机选一部观看，则他恰好选到《奥德赛》的概率为________． 13．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 15．（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）盒子中有个小球分别记为，，，，除上面的数字外完全相同，摸一个后放回，若先后两次摸到的数为和，且点在反比例函数的图象上，记为事件．当事件概率最大时，值可以是_______________． 16．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 17．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点及五个点分别位于小正方形的顶点上．先从两个点中任意取一个点，再从三个点中任意取两个不同的点，以取得的三个点为顶点画三角形，则所画三角形与面积相等的概率为______． 18．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并分别标上，2和，，8这5个数字，同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上时重转），转动停止后，两个指针指向的数字之和为正数的概率是___________． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全”“消防安全”“食品安全”三个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上三个主题中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．现将以上三个主题分别用A，B，C表示，请用画树状图或列表的方法求甲和乙选择相同主题的概率． 20．（6分）文晖实验学校隐秀数学节活动中，答题卡片上写有，，3这三个数，从中任选两个数分别作为点P的横坐标与纵坐标（横坐标与纵坐标不相等）． (1)请用画树状图或列表的方法，列出所有可能； (2)图象过点P的正比例函数中，求y随自变量x的增大而增大的概率． 21．（6分）为全面落实“五育并举”教育方针，学校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”三项活动，小长和小春分别从中随机选择一项活动参加（小长和小春选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． (1)小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为 ； (2)请用列表法或画树状图法，求小长和小春选择的活动不同的概率． 22．（7分）吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． (1)为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． (2)利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 23．（7分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． (1)小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； (2)小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 24．（7分）为了贯彻落实教育部“学生体质健康检测”新政策，切实提升青少年身体素质，我校体育组对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)若我校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间不足4小时的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名作为“运动小先锋”参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 25．（8分）某校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 人数 D 3 C a B 8 A 4 (1)统计表中的______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； (2)阅读时间在的众数是______min；20名学生每天阅读时间的中位数是______min； (3)A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 26．（8分）为了让学生更加了解广州南沙湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（ ），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： (1)本次参加测评人数为 人，并补全条形统计图； (2)现有成绩为A等级的两位同学和B等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率是多少? 27．（9分）2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A、 ，B、 ，C、 ，D、），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩是：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、74、75、85、90、90、95、96． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 80 众数 82 90 方差 90 117 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________． (2)结合上述信息和所学的数学知识，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由． (3)现要将八年级的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $