精品解析：辽宁朝阳市第一高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026-2027学年度上学期（10月）高二数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量共线的坐标关系，根据第三个坐标确定比例系数，再求． 【详解】因为，共线，且，所以存在实数，使． 比较第三个坐标，得，即，所以，，从而． 2. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点斜式方程求解即可. 【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上， 又直线的斜率为,根据点斜式方程得即. 故选：B. 3. 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【详解】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D 4. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若直线与直线的方程分别为与，则直线与的位置关系是（） A. 重合 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】 判断出两条直线斜率乘积为，由此确定两条直线垂直. 【详解】由已知得两条直线的斜率分别为，，因为中，所以，所以直线与垂直. 故选：C 5. 已知点，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点P的坐标，通过求出直线PA、PB的斜率结合图像，判断k的取值范围. 【详解】直线恒过点， 则直线PA斜率，直线PB斜率， 若直线与线段AB相交，结合图象得k的取值范围是. 故选：B． 6. 已知直三棱柱中，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值. 【详解】因为直三棱柱中，，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设与所成角大小为， 则. 故选：D 7. 在棱长为的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 在正四面体中，平面于，则为等边三角形的中心， 且，， 因为平面，平面，所以，， 则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 对于A选项，，， 所以，，所以，，A对； 对于B选项，，， 所以，，B错； 对于C选项，，，C对； 对于D选项， ，即，D对. 故选：B. 8. 在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将三棱锥补全为长方体，利用勾股定理求出长方体的长宽高，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法计算即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补全为长方体，设长方体的长宽高分别为， 则有，解得， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 故， 所以， 则当时，取得最小值， 此时. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将三棱锥补全为长方体，是解决本题的关键. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知，则在上的投影向量为 B. 已知两个向量，且，则 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据投影向量计算公式判断A；根据空间向量共线的知识判断B；根据空间向量共面的知识判断C和D． 【详解】对于A，因为，所以， 所以在上的投影向量为，故A错误； 对于B，因为，所以 因为，所以， 解得，所以，故B正确； 对于C，设是空间中的一组基底，则不共面， 假设共面，则，显然无解，所以不共面， 则也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，，但，则四点不共面，故D错误． 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D. 过两点的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD. 【详解】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确； 对于B，直线交轴分别于点， 该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确； 对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误； 对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误. 故选：AB 11. 如图，正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的点，且，平面AEF与棱交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足，则（ ） A. 点P的轨迹为四边形AEGF及其内部 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当时， D. 当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取上一点H，使得，证得四边形为平行四边形，结合空间向量基本定理可知，可判定A正确；当时，得到，得到P的轨迹长度为线段EG的长，可判定B正确；当时，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合，可判定C错误；当时，由，可得，求得平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，以及二次函数的性质，即可求解. 【详解】对于A中，取上一点H，使得，连接EH，FH，HB， 可得且，且， 所以四边形和四边形是平行四边形，所以， 所以四边形为平行四边形， 因为，由空间向量基本定理可知，所以在四边形内（或边界上），所以A正确； 对于B中，当时，，所以，即， 所以P在线段EG上，点P的轨迹长度为线段EG的长，所以，所以B正确； 对于C中，当时，可得点P为线段AF的中点， 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得， 则，可得， 所以不成立，所以C错误； 对于D中，当时，，分别取的中点， 连接，在线段上，, 由，可得， 平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 所以， 设，因为，则， 则，代入可得， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，所以D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（填空、计算题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用空间向量的坐标运算可得结果. 【详解】由题意知，，，所以. 故答案为：. 13. 若直线l经过点，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】当直线l的斜率不存在时，方程为，显然点，到直线l的距离相等，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 根据题意，得，即，可得，解得， ∴直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 故答案为：或． 14. 已知正四面体中，，是的中点，延长至，使得，点在线段上(不包含端点)，则直线与夹角的余弦值的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】选取为基底，用基底表示向量，，将直线与直线的夹角转化为两条直线的方向向量的夹角，由公式求解即可. 【详解】如图所示， 可设，选取为基底， 由题意知，， 而， 从而 ， ， 所以， 设，因为，所以， 而，因为， 设，则， 所以， 由解得 故直线与夹角的余弦值的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知空间三点，设． （1）若A，B，C三点共线时，求t的值； （2）若时，当向量与互相垂直，求k的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）应用向量线性关系坐标运算得，，再利用，即可求解； （2）首先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示列方程求参数k. 【小问1详解】 由题设， ． 由A，B，C三点共线，知，∴． 【小问2详解】 因为， ， 因为向量与互相垂直， 即． 即，所以或． 16. 已知直线. （1）求证：直线经过定点，并求出定点P； （2）经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程. 【答案】（1）证明:将直线l的方程改写为， 令，且， 两式联立，解得，， 所以直线过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）将直线l的方程改写为，令，且，解方程组即可. （2）设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线，把B的坐标代入直线，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线的方程. 【小问1详解】 证明略；定点 【小问2详解】 如图， 设直线l夹在直线，之间的部分是AB，且AB被平分， 设点A，B的坐标分别是，， 则有，， 又A，B两点分别在直线，上， 所以，， 由以上四个式子解得，，即， 所以直线AB的方程为. 17. 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． （1）求证：AM∥平面BDE； （2）求证：AM⊥平面BDF. 【答案】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE. 则N，E(0，0，1)，A(，，0)，M. ∴＝，＝. ∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM. ∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE. （2）由(1)知＝， ∵D(，0，0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)， ∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF. 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. （1）若，证明：平面； （2）是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 因为平面， 如图，以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、、，. 因为，设点，则， 则，解得，则， 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为，所以， 因为平面，所以，平面. （2）存在，与平面所成角的正弦值为，理由如下： 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 设，则， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，可得， 假设平面平面，则. 由，解得，所以. 设与平面所成的角为， 则， 所以存在，使平面平面，此时与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设，根据空间向量法结合平面平面，可求出的值，然后利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，平面直角坐标系下三边所在的直线方程为与轴分别交于点与轴交于点．将坐标平面沿轴翻折，为翻折过程中的轨迹上的动点，设二面角大小为． （1）若，求平面与平面的夹角； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明为二面角的平面角，并证明为平面与平面的夹角，通过等腰三角形的性质即可求出夹角的大小； （2）根据题意建立空间直角坐标系，确定二面角的平面角，根据翻折的性质算出点的坐标关系，再根据，求出具体长度，最后根据余弦定理求出的值. 【小问1详解】 在平面直角坐标系下由各边方程可知，， 且，，， 在空间图形中，因为，平面，所以平面 设平面平面，则且 因为且，， 所以平面，所以平面 所以为二面角的平面角，所以， 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以，为平面与平面的夹角 所以平面与平面的夹角． 【小问2详解】 由题可得，，以为轴，为轴，垂直于平面的方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 由题可知点在平面内，设点坐标为， 则① 因为，所以， 即② 由①②解得 所以， 由（1）得为二面角的平面角，所以 在中，由余弦定理得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期（10月）高二数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若直线与直线的方程分别为与，则直线与的位置关系是（） A. 重合 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定 5. 已知点，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 6. 已知直三棱柱中，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知，则在上的投影向量为 B. 已知两个向量，且，则 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D. 过两点的直线方程为 11. 如图，正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的点，且，平面AEF与棱交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足，则（ ） A. 点P的轨迹为四边形AEGF及其内部 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当时， D. 当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为 第Ⅱ卷（填空、计算题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，则__________. 13. 若直线l经过点，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程为______． 14. 已知正四面体中，，是的中点，延长至，使得，点在线段上(不包含端点)，则直线与夹角的余弦值的取值范围为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知空间三点，设． （1）若A，B，C三点共线时，求t的值； （2）若时，当向量与互相垂直，求k的值． 16. 已知直线. （1）求证：直线经过定点，并求出定点P； （2）经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程. 17. 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． （1）求证：AM∥平面BDE； （2）求证：AM⊥平面BDF. 18. 如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. （1）若，证明：平面； （2）是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 19. 如图，平面直角坐标系下三边所在的直线方程为与轴分别交于点与轴交于点．将坐标平面沿轴翻折，为翻折过程中的轨迹上的动点，设二面角大小为． （1）若，求平面与平面的夹角； （2）若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $