江苏无锡市天一实验学校2026-2027学年第一学期 九年级上学期数学10月学情自测

九年级数学学科作业检查(2026.10) 班级 姓名 学号 得分 全卷共28题，满分150分（选择题30分+填空题24分+解答题96分）。考查范围：一元二次方程、反比例 函数的图象与性质、圆（圆周角、切线、正多边形与圆、弧长与扇形面积）、以及函数与几何综合。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程中，属于一元二次方程的是（） A.x-2y=1 B.x2-2x+1=0 C.x2-2y+4=0 D.2+3=2 【答案】B 【解析】一元二次方程要同时满足三个条件：只含一个未知数：未知数的最高次数是2：是整式方程（分 母中不含未知数)。三者缺一不可。 A中含x,y两个未知数，是二元一次方程：C中同样含①，y两个未知数，虽然亚的次数是2，但不是 “一元”：D中2的分母含未知数心，属于分式方程，不是整式方程：只有B同时满足三个条件（二次项系 数为1)。 故选B. 2.圆锥的底面半径是4cm,母线长是l0cm,则圆锥的侧面积是() A.24π B.30元 C.40π D.48π 【答案】C 【解析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径是圆锥的母线1，扇形的弧长是底面圆的周长2π？， 所以 3=号2ml=m 代入r=4,l=10,得S=元×4×10=40元，即侧面积为40元cm2. 故选C.易错点：把底面半径误当成展开后扇形的半径，或漏掉“π”。 3.正比例函数y=2知和反比例函数g=2的一个交点为(1,2)，则另一个交点为() A.（-1,-2) B.（-2,-1) C.（-1,2) D.(2,1) 【答案】A 【解析】把两个函数联立： 2m=2→D2=1→0=士1 当x=1时y=2:当x=-1时y=-2.所以另一个交点为(-1，-2 更快的思路：正比例函数与反比例函数的图象都关于原点成中心对称，因此它们的两个交点也关于原 点对称，由(1,2)直接得（一1，-2）. 故选A, 4.如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE=82°，那么∠BOD的度数为 () 第1页共10页 0 第4题图 A.160° B.164° C.162° D.170° 【答案】B 【解析】因为ABCD内接于⊙O,所以对角互补，即∠BAD+∠BCD=180° 又∠DCE与∠BCD互为邻补角，∠DCE+∠BCD=180°，两式比较得 ∠BAD=∠DCE=82° 这就是“圆内接四边形的外角等于它的内对角” 而∠BAD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是同一条弧所对的圆心角，故 ∠B0OD=2∠BAD=2×82°=164 故选B.注意∠BOD指的是与∠BAD对着同一条弧的圆心角（即小于180°的那个），不要取它的补 角360°-164°. 5在同一坐标系中，函数=会和y=k+3k≠0)的图象大致是() 是头 【答案】C 【解析】两个函数含同一个参数k,因此两个图象必须与同一个飞相符，逐个检验即可。 两个函数的性质都与k的符号有关： ()k>0时，双曲线y=兰的两支在第、三象限：直线y=证+3中>0表示图象从左到右上升： 且与y轴交于(0,3)，即交点在y轴正半轴。 (2)k<0时，双曲线的两支在第二、四象限：直线从左到右下降，仍与y轴交于(0,3) 逐一判断： A中双曲线在第二、四象限(k<0),而直线上升(>0)，前后矛盾，排除： B中双曲线在第一、三象限(k>0),而直线下降(k<0),矛盾，排除： D中双曲线在第一、三象限(>0)，直线上升(k>0),两者一致，但这条直线与y轴的交点落在原点下 方，即截距为负，与y=x+3的截距3>0不符，排除： C中双曲线在第二、四象限(k<0),直线下降(<0)，且与y轴交于原点上方，完全符合 故选C.这类题的关键是“两图共用一个”，先由双曲线的位置定出飞的符号，再看直线是否与它相 符。 6已知点P(,-2、Q(2,2八(，3)三点都在反比例函数y=a+1的图象上，则下列关系正确的 是() 第1页共10页 A.D1<<D3 B.1<< C.x3<x2<D1 D.<<1 【答案】B 【解析】因为a≥0，所以a+1>0,即比例系数为正，图象的两支分别在第一、三象限，且在每一支内 y随x的增大而减小. 由g=1得0=+1，于是可以由y的大小直接比较： 点P的纵坐标-2<0，所以P在第三象限，其横坐标1<0： 点Q、R的纵坐标分别为2,3，都大于0，所以它们都在第一象限，横坐标都大于0，因此1最小 再用x=十史：分子相同且为正，分母越大，商越小.因2<3，故 =1>1=>0 2 3 综上1<0<<2，即D1<r<w 故选B.注意：只有在“同一支”上才能直接说“y随心增大而减小”，跨支时必须先判断象限。 7. 如图，直线=0+1与双曲线y=在交于第一象限的点A,与y轴交于点B,过点A作AC ⊥x轴于点C,连接BC.若△ABC的面积为2，则k的值为() 第7题图 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】在y=+1中令x=0得y=1,故B(0,1 设A(t,t+1)(t>0),则C(t,0),且k=t(t+1)-一这正是要求的目标，只需先求出t(t+1) 因为AC°心轴，所以AC所在直线为x=t,B到它的距离就是t:又 AC=(t+1)-0=t+1 于是 So=2ACt=号t+1t=2 得(t+1)=4,所以k=t·(t+1)=4. 故选C.本题不必解出，因为k=cy=t(t+1)与面积表达式恰好相同，这是“设点不解点”的典型用 法。 8.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的 面积逐步逼近圆的面积，以此实现对π的近似估算.如图，在⊙O中画内接正十二边形，设⊙O的 半径为1，将这个正十二边形的面积作为⊙O面积的近似值，据此计算，可得元的估计值为(） 第1页共10页 第8题图 A.月 B.3.14 C.3 D.3.13 【答案】C 【解析】正十二边形可分成12个全等的等腰三角形，每个三角形的腰是半径1，顶角（圆心角）为 360=30 12 所以每个三角形的面积为号×1X1×sn30-号×吉-于 正十二边形的面积为12×1 用这个面积近似圆的面积πr=元，得元≈3. 故选C.3.14和3.13是正十二边形给不出的精度（要更精确须用正二十四边形等），√3则是正六边 形的结果，都属于干扰项。 9.如图，矩形ABCD中，AB=√3，BC=1,动点E,F分别从点A,C同时出发，均以每秒1个单位 长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动，过点A作直线EF的垂线，垂足为G,则AG的最大值 为() D C G E B 第9题图 A.√5 B. C.2 D.1 【答案】D 【解析】第一步：发现直线EF恒过定点。 设运动时间为t秒.E沿AB从A出发、F沿CD从C出发，速度都是1，所以 AE=t,CF=t 又AB∥CD,故AE∥CF.于是四边形AECF中，一组对边AE与CF平行且相等，所以四边形 AECF是平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分，故EF必经过AC的中点，记矩形对角线的交点为O,则O既是 AC的中点，也是EF的中点，因此 第二步：用“垂线段最短”定出最大值。 AG⊥F,垂足为G,所以AG是点A到直线EF的距离：而O是直线BF上的点，故△AGO是 直角三角形，AO是它的斜边，于是 第1页共10页 AG≤AO 并且当且仅当垂足G与O重合，即EF⊥AC时，等号成立. 所以AG的最大值就是AO的长.由矩形性质和勾股定理： AC=√AB+BC=√/W3)P+1P=√4=2 A0=2AC=1 第三步：验证这个最大值真的能取到。 F⊥AC,说明平行四边形AECF的两条对角线互相垂直，所以它是菱形，于是邻边相等： AE-AF 在Rt△ADF中(F在CD上，AD⊥CD,DF=/3一)，由勾股定理 AF2=AD2+DF2=12+(W/5-t)2 令AF=AE=t,得 t2=1+(W3-t)2=1+3-2W5t+t 2W3t=4→=5=3 2-2W3 因为0<2等<（此时B尚未到达B,F也尚未到达D,这个时刻确实存在，最大值能够取到 故AG的最大值为，选D. 10.,在平面直角坐标系中，以P(2,2)为圆心作圆P,使其经过原点O和点A,若点B是圆P上异于 A的一点，点C是弦AB的中点，则OC长度的最小值是() y A 2 第10题图 A.2 B.√10 2 C.W10-√2 D.√5-√2 【答案】C 【解析】第一步，定出A的坐标与圆的半径 圆P过原点，故r=OP=√2+22=2W2.圆P与y轴的交点满足(0-2)+(y-2)2=8,即(y- 2)=4,y=4或y=0.其中y=0就是原点O,所以A(0,4): 第二步，求点C的轨迹 C是弦AB的中点，而A是定点、B在圆P上运动，由中点坐标公式 C=A+B 2 即点C由点B以定点A为中心作位似变换（位似比号）得到，所以C的轨迹是一个圆：圆心为AP 的中点M,半径为5 2,梦2)=1.3， 5=2 第三步，求OC的最小值 O是圆外的定点，O1M=√1P+3=√/10>√2，所以 第1页共10页 0C=0M-5=1o-2 (当O,M,C三点共线且C在O与M之间时取到.) 故选C.本题的实质是“中点轨迹是圆”，抓住这一点两个图形变换（位似、圆）就把动点问题化成了点 与圆的位置关系。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.已知⊙O的半径是9，当OP=8时，则点P与⊙O的位置关系是点P在·（填“圆内” “圆外”或“圆上”) 【答案】圆内 【解析】判断点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离d与半径r的大小：d<r在圆内，d=r 在圆上，d>r在圆外 这里d=OP=8,r=9,8<9,所以点P在圆内 12.若反比例函数y=6-2m的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是 【答案】m>3 【解析】反比例函数y=上的图象位置由飞的符号决定：>0时两支在第一、三象限：<0时两支 在第二、四象限 这里k=6-2m,由图象在第二、四象限得 6-2m<0→-2m<-6→m>3 注意不等式两边同除以一2时要变号，这是本题唯一的易错点。 13.如果关于x的一元二次方程x2+2如-k=0有两个相等的实数根，那么k的值为 【答案】-1 【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，等价于判别式△=0， △=b2-4ac=22-4×1×(-k)=4+4h=0 解得k=一1.（此时方程为x2+2x+1=0,即(x+1)P=0,确实有两个相等的实数根1=2=一1，可 作检验。) 14..己知△ABC的三边长分别是5,12,13，则△ABC外接圆的直径是 【答案】13 【解析】先判断三角形的形状：5？+122=25+144=169=132，满足勾股定理的逆定理，所以△ABC 是以13为斜边的直角三角形，∠C=90°. 直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径，所以斜边AB就是外接圆的直径， 直径为13（半径3）。 2 15.一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了 71平方米，则原正方形的边长是米. 【答案】7 【解析】设原正方形的边长为米，则原面积为x:扩建后成为一个长方形，两边分别为x+5和+ 3,面积为(x+5)(x+3) 由题意 (x+5)(c+3)-x2=71 展开得x2+8x+15-x2=71,即8c=56,解得x=7. (这里二次项恰好抵消，所以是一元一次方程.检验：12×10-49=120-49=71，符合题意。) 16.如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一 转弯车道时从圆弧起点A行驶至终点B,过点A,B的两条切线相交于点C,机动车在从点A到点 第1页共10页 B行驶过程中的转角为α.若这段圆弧的半径OA=9m,α=60°，则图中危险区（阴影部分）的面积 为m2. ⊙ 转 转 1 0 道 道 第16题图 【答案】23-号 【解析】汽车沿圆弧由A到B,车头方向的改变量就是半径OA转到OB所转过的角度，所以圆心角 ∠AOB==60°. 因为CA,CB是切线，所以CA°OA,CBOB,即∠OAC=∠OBC=90 在t△0AC中，∠A0C=号∠A0B=30(由切线长定理，C0平分∠A0B),OA=0,所以 AC=0A:tan30°=g×5=3√3 3 四边形OACB由两个全等的直角三角形拼成，其面积 S00m=2×号×0A×AC=0×3W5=275 扇形OAB的面积S为 5-0x×0-号。 2元 阴影部分（危险区）正是“四边形OACB去掉扇形OAB”,其面积S为 s=25-号x(m网 注意“转角”指的是圆心角而不是两切线的夹角：两切线的夹角∠ACB=180°-60°=120°，两者互补， 不要混用。 17.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC,直径CD与AB边交于点E,点B是弧CD的中 点.若CE=6,则⊙O的半径为 B E D 第17题图 【答案】3√2 【解析】设⊙O的半径为R,关键是“先定角、再用等腰三角形把CE与半径挂上钩”. 第一步，由B是弧CD的中点定出45°角。 CD是直径，B是弧CD的中点，所以半径OB°CD,弧BC=弧BD=90°，于是 ∠BCD=∠BDC=×90=45 又CD是直径，∠CBD=90°，故△CBD是等腰直角三角形，CD=2R, 第1页共10页 BC=BD=CD =R/2 √2 第二步，由AB=AC求出各角 AB=AC意味着弧AB=弧AC.设∠ACD=6,则弧AD=26,而弧AC=180°-2（因为弧CAD 是半圆)，所以弧AB=180°-20.又弧BC=90°，由三弧之和为360°： (180°-28)+90°+(180°-28)=360 解得0=22.5°.于是 ∠ABC-∠4CB=号×180°-29)=号×135°=67.5 第三步，在△BCE中“倒角” E在CD上，故∠BCE=∠BCD=5°：A,B,E共线，故∠CBE=∠CBA=67.5°.所以 ∠BEC=180°-45°-67.5°=67.5°=∠CBE 即△BCE是等腰三角形，CE=CB. 第四步，代值。 由CE=6及CB=R√2得R√2=6，所以 R=3W2 (也可设∠ACD=22.5°，在△ACD中用正弦定理直接求R,结果相同.) 18.·如图，点O为坐标原点，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，对角线AC,OB交于点 D,反比例函数y=k(x>0)的图象经过点A和点D,若菱形OABC的面积为3√2，则点A的 m 坐标为一 2 第18题图 【答案】(22) 【解析】设A(m,(m>0,>0),C(a,0)(a>0),则k=6 菱形的对角线互相平分，所以D是AC的中点： 0,婴》 D他在g=岳上，故 2 ·号=0→两+a=4)→a=30 0十a,0 菱形的面积等于底乘高：以OC=a为底，A到x轴的距离0为高， S=a0=3x0=3k 由S=3W2得k=√2，即x0=V2.① 再由菱形的四边相等：OA=OC=a=3xo,所以 i+y6=96→y6=8xi→y0=2W2c0 代入①得02W2m=V2,即226=V2,g=号， 号=兽，从而的=25×号=2 所以A2,2.(验证：a=3=39,0A-√2+1=2=0C,面积-2x2-3W2,全 2 2 部吻合。) 第1页共10页 三、解答题（本大题共10小题，共计96分） 19.（本题满分12分)解方程： (1)x2-4=0（2)x2-2x-8=0 (3)2x2-3c-1=0(4)3(x-2)2=x(x-2) 【答案】(10m=2,,=-2:2西=4,0=-2：3)m=3+亚，，=3-亚：4m1=2,=3. 4 4 【解析】解一元二次方程要“看式子选方法”：能直接开平方的用开平方法，能分解因式的用因式分解 法，都不行再用公式法。 (1)移项得2=4，直接开平方： x=土2 (2)用因式分解法（十字相乘）：找两个数，积为一8、和为一2，是一4和2 x2-2x-8=(x-4)(D+2)=0 所以c-4=0或G十2=0，即x1=4,x=-2. (3)a=2,b=-3,c=-1,因式分解不易，用公式法： △=(-3)2-4×2×(-1)=9+8=17>0 0=-b±v匹=3± 2a 即西1=3+V17 4 ,=3=厘 (4)不要急于展开！两边都有因式(x一2)，移项后提公因式： 3(x-2)2-x(c-2)=0→(x-2)[3(c-2)-x]=0 即(x-2)(2c-6)=0,所以x-2=0或2x-6=0,得x1=2,03=3. 注意：若两边同时除以(c-2),就会丢掉D=2这个根一-因为（一2）可能为0，不能随便除。 20.(本题满分8分)已知关于x的方程x2-2mc+2m-2=0. (1)求证：不论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为x=0,求m的值及该方程的另一个根。 【答案】(1)见解析：(2)m=1,另一个根为c=2. 【解析】(1)判断根的情况，只需看判别式的符号： △=(-2m)2-4×1×(2m-2)=4m2-8m+8 配方： △=4m2-2m)+8=4(m2-2m+1)+4=4(m-1)2+4 因为(m-1)≥0，所以4(m-1)°+4≥4>0，即对任意实数m都有△>0. 所以不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根. (2)把x=0代入方程： 02-2m×0+2m-2=0→2m-2=0→m=1 当m=1时，方程化为2-2x=0,即x(x-2)=0,所以 C1=0,x3=2 即另一个根为x=2. (也可用根与系数的关系：c1c2=2m-2,由x1=0得2m-2=0,同样得m=1, 再由1+=2m=2得2=2.)】 21.(本题满分8分)如图，BO平分∠ABC,AB与⊙O相切于点D,连接OD,延长DO交BC于 点E. (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)若⊙O的半径为4，OE=5,求BD的长. 第1页共10页 B A 【答案】(1)见解析：(2)BD=12. 【解析】(1)证明一条直线是圆的切线，常用“连半径、证垂直”或“作垂直、证等于半径”，本题BC与圆 的公共点未知，宜用后者。 过点O作OFBC,垂足为F. 因为AB与⊙O相切于点D,所以OD°AB,即OD是点O到AB的距离，且OD=r. 又BO平分∠ABC,即BO平分∠DBF,而ODBD、OF°BF,由角平分线的性质（角平分线上的点 到角两边的距离相等)得 OF=OD=T 即圆心O到直线BC的距离等于半径，所以BC与⊙O相切， (2)由(1)知BC与⊙O相切，设切点为F,则OF=r=4,且OFBC 在Rt△OFE中，OE=5,OF=4,由勾股定理 EBF=√OE2-OF0=√25-16=3 又D,O,E三点共线且O在D与E之间，故 DE=DO+OE=4+5=9 因为OD°AB,D在AB上，DE与DO在同一条直线上，所以DEAB,即∠BDE=90°，△BDE是 直角三角形， BD2+DE2=BE2 即BD2+81=BE2.① 另一方面，BD与BF都是从点B引出的切线长，所以BD=BF;而B,F,E依次在同一条射线上 (F在B与E之间)，故 BE=BF+FE=BD+3 代入①： BD2+81=(BD+3)P=BD2+6BD+9 解得6BD=72,BD=12. (此时BE=15,122+92=144+81=225=15,检验成立.) 2.(本题满分8分)如图，一次函数y=m+nm,n为常数，m≠0)的图象与反比例函数y=在(k≠ 0)的图象交于A(-2,-2),B(a,1)两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： 2)结合图形，请直接写出不等式在<m十n的解集： (3)若直线c=t(t<-2)与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M,已知N=2,求t 的值. 第1页共10页 IN O 【答案】(1g=士y=e-1:2-2<8<0或e>8t=-士 【解析】(1)点A(-2,-2)在双曲线上，所以 k=xy=(-2)×(-2)=4 即反比例函数为y=吉 点Ba,1也在双曲线上，1=去，得a=4,即B4,1 把A(-2,-2)、B(4,1)代入y=mx+n,得 -2m+n=-2,4m+n=1 两式相减得6m=3,即m=方代回得n=-1.所以 y=号-1 (2)6 <c+n即“双曲线在直线下方”，其分界点就是两个交点的横坐标一2与4.按图象分段判 断： 当x<-2(如x=-4:双曲线y=一1，直线y=一3)时，双曲线在直线上方，不符合： 当一2<x<0时，双曲线在第三象限的支位于直线下方，符合； 当0<x<4时，双曲线在第一象限的支在直线上方，不符合； 当c>4时，双曲线在直线下方，符合. 所以解集为-2<x<0或心>4. 3)由专<-2知Nt,)在第三象限的双曲线上，M(t,号-1)在直线上，N就是同一横坐标下两 点纵坐标之差的绝对值 先判断N,M的上下位置：以t=-4试算，青=-1，号-1=-3，一1>-3：故N在M上方.一 般地，由②)知<-2时专>专-1，所以 N=吉-（受-1=-+1=2 即圭-专=1.两边同乘2（注意t<0,乘负数不等号反向，这里只作等式变形，只需注意符号），得 8-2=2t→t2+2t-8=0→(t+4)(t-2)=0 所以t=-4或t=2.由t<-2舍去t=2,故t=-4. (检验：t=-4时N(-4,-1)、M(-4,-3),MN=2,符合.) 23.(本题满分10分)在力F(单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位：m),则力 F所做的功W(单位：J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)写出s关于F的函数解析式： (2)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m,求力的范围. 第1页共10页 s/mA 50-(10,50) O10 FN 【答案】(1s=500(F>0):2)F>5N. 【解析1山由W=居且V为定值，得s=',即s是F的反比例函数，设为5=严 F 图象过点(10,50，代入得50-货，所以w=500 故s=,自变量取值范围为F>0力是正数 (2)由题意s<100,即 500<100 因为F>0,两边同乘F不变号：500<100F,所以F>5. 即在做功相同（都是500J)的情况下，要使位移小于100，所施加的力应大于5N. 注意：反比例函数中F>0,所以解不等式时可以直接去分母：若忽略F>0这个隐含条件，容易得出 错误的“F<0或F>5”. 24.(本题满分10分)定义：如果c1,c2是一元二次方程ac2+bc十c=0的两个根，且c1-c2=1,那么 称这样的方程为“邻根方程”.例如：一元二次方程x2-3c十2=0的两个根是1=1，c2=2,此时c1 -=1-2=1,则方程x2-3x+2=0是“邻根方程”. (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是（填序号）： ①x2=1②x2+4x+4=0③x2-c=0 (2)已知方程(c-)(x-3)=0是“邻根方程”，求k的值： (3)若方程x2-3x+c=0是“邻根方程”，求c的值， 【答案】(1)③：(2)k=2或k=4:(3)c=2. 【解析】这类“新定义”题的套路是：先把定义翻译成可操作的条件1一x=1,再解出根或利用根与 系数的关系。 (1)逐个求根再验证： ①2=1的根为=1,2=-1,1-（-1川=2≠1，不是 ②x2+4c+4=0即(x+2)2=0,1=2=-2,-2-(-2川=0≠1，不是： ③x2-c=0即x(x-1)=0,1=0,x2=1,l0-1=1,是 故填③. (2)(x-)(x一3)=0的两根为c1=k,2=3.由“邻根方程”的定义 k-3=1 所以k-3=1或k-3=-1,得k=4或k=2 (3)设x2-3x十c=0的两根为西1,2，由根与系数的关系 T1+D2=3,x1c2=C 而 (x1-x)=(x1+x)°-4c12=9-4c 由“邻根方程”得(1-x)P=1,所以-4c=1→c=2 (检验：c=2时方程为x2-3e+2=0,△=9-8=1>0，两根为1,2,1-2=1，符合定义.) 第1页共10页 25.·(本题满分10分)某旅游景区2024年“十一”接待游客1000万人次，2026年“十一”接待游客 1690万人次.该景区内一家小吃店售卖特色小吃，每份成本7元，当售价为25元时，平均每天销售 300份：售价每降低1元，平均每天多销售30份. (1)求2024年至2026年“十一”假期游客人次的年平均增长率； (2)店员认为，通过降价，店铺每天至少能获利6000元.你认为该想法对吗？如果不对，求店家每天可 获得的最大利润. 【答案】(1)30%：(2)该想法不对，最大利润为5880元. 【解析】(1)设年平均增长率为x,则2024年的1000万人次经过两年增长到2026年的1690万人次： 1000(1+x)2=1690 (1+x)2=1.69→1+=±1.3 取1+x=1.3得x=0.3=30%:另一解1+x=-1.3即x=-230%,不符合实际（增长率为正），舍去 所以年平均增长率为30%， (2)设每份降价x元(0≤心≤18)，则售价为(25-x)元，每份利润为(25一c)-7=(18一x)元，每天销量 为(300+30x)份.设每天利润为V元，则 W=(18-x)(300+30x)=30(18-x)(10+x 展开： V=30(-x2+8x+180)=-30x2+240x+5400 配方： W=-30(x2-8x)+5400=-30(x-4)2+480+5400=-30(x-4)2+5880 因为一30<0，所以当=4时W取最大值 Wiax =5880 即每份降价4元、售价21元时，每天获利最多，最大利润为5880元. 因为5880<6000，所以即使把价格调到最优，每天也获利不到6000元，店员的说法不对 (若设售价为y元，则V=（y-7)[300+30(25-y)]=-30(y-21)2+5880,同样在y=21时取最大值 5880元：两种设法本质相同。) 26..(本题满分8分)矩形ABCD中，P在线段DC上. (1)请在图①中利用尺规画出点P,使得∠APB=90°（不写作法，保留作图痕迹）： (2)请在图②中利用尺规画出点P,使得∠APB=60°（不写作法，保留作图痕迹）. D C D B 图① 图② 【答案】见解析中的作法. 【解析】本题的落脚点是“圆周角定理及其推论”：动点P对定线段AB张定角，则P的轨迹是一段圆弧， 只要把这段弧所在的圆作出来，它与DC的交点就是所求的点P (1)∠APB=90°时，P在以AB为直径的圆上（直径所对的圆周角是直角）： 作法：①作AB的垂直平分线，交AB于中点M:②以M为圆心、MA为半径作圆：③该圆与DC的 交点即为所求的点P(一般有两个，任取其一或都画出). (2)∠APB=60°时，P在以AB为弦、所含圆周角为60°的圆上，此时该弧所对的圆心角为2×60°=120. 作法：①作AB的垂直平分线，交AB于中点M:②在AB的异侧（即与DC相反的一侧）以A为顶点 作∠BAQ=30°（先作等边三角形得60°，再平分即可），射线AQ与垂直平分线交于点O:③以O为圆 第1页共10页 心、OA为半径作圆，它与DC的交点即为所求的点P. 理由：由作法OA=OB,∠OAB=∠OBA=30°，所以∠AOB=180°-60°=120°，点P与圆心O在AB 的两侧，故P在优弧上，由圆周角定理 ∠APB=号∠AOB=O 两点提醒：圆心O一定要作在矩形外侧，否则P落在劣弧上，得到的是∠APB=120°而不是60°：此外，若 矩形的高AD不够大(AD<AB),该弧与DC可能没有交点，此时点P不存在-一-作图前可先作判 断。 27.·(本题满分10分)如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=一x+b的图象与反比例函数 y=6的图象交于A,B两点，点A的横坐标为1. 2 (1)求b的值： (2)若点C在y轴上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标； (3)如图2，若点P坐标是(m,2),将线段AB绕点P顺时针旋转90°至线段AB',且当线段 AB与反比例函数y=。在第三象限的图象有交点时，求m的取值范围。 图1 图2 【答案】(1)b=7:(2)C0,9)或C0,5:3)-5,3丽≤m≤5-y3 【解析】1)点A的横坐标为1，且在y=6上，所以g=9=6,即A1,6, A也在y=一x+b上，代入得6=-1+b,所以b=7,一次函数为y=一x+7. (2)先求B:联立一x+7=6,两边乘得一0+7m=6,即 x-7x+6=0→(x-1)(x-6)=0 所以c=1(即点A)或x=6,故B(6,1) 设C(0,c).用“面积的分割”或行列式公式： Su-VB-yc)+s(yo-ya)+*olya-V8ll 代入A(1,6),B(6,1),C(0,c): S=1(1-c)+6:(c-6j+0=5e-35 由S=5得|5c-351=10,所以5c-35=10或5c-35=-10, c=9或c=5 即C0,9)或C(0,5). (男解，更直现：1B=v6=1+1可=2.C0,c到直线工+y=7的距离为气方，于是8 55号=多e-7=5符e-1=2同样符e=9该5) (3)设点X(c,y)绕P(,2)顺时针旋转90°后的对应点为X.先平移使P到原点，得向量(-m,y 第1页共10页 一2)：顺时针旋转90°时(u,w)→(u,-u),故新向量为(y-2,m-x):再平移回去： X(m+y-2,2+m-x) 对A(1,6):A(m+4,m+1):对B(6,1):B(m-1,m-4) 观察两点的坐标差：B'一A=（一5，-5)，说明线段AYB的斜率恒为1，且 yr-r4=(m+1)-(m+)=-3 即无论m取何值，线段A'B都在直线y=c一3上，m只决定它在这一直线上的位置：横坐标的范围是 [m-1,m+4]. 求直线y=0-3与y=。在第三象限的交点：由亚-3=日得 x-3m-6=0→x=3±V83 2 取负根0=3二y丽（另一根为正，对应第一象限的交点，不合题意），此时0=0-3<0，交点 2 Q(3-)3丽，3-3觅-3)确在第三象限」 2 2 因为线段AB'是直线y=c一3上横坐标从m-1到m+4的一段，而这条直线与第三象限的双曲线只 有一个交点Q,所以“线段与图象有交点”等价于“Q的横坐标落在这段区间内”： m-1≤3-33 2 ≤m+4 由左边得m≤3-83+1=5-V3宽 2 2 由右边得m≥3-服-4=5二丽 2 2 所以 -5-v33 ≤m≤5-V3图 2 (约-5.37≤m≤-0.37.两个端点分别对应“A恰在双曲线上”与“B恰在双曲线上”，此时线段与图象恰 有一个公共点.) 28..(本题满分12分)如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以√cm5的速度从 点D向点A运动，以点P为圆心、1cm为半径作⊙P,设点P的运动时间为ts. B B D 图1 图2 备用图 (1)当⊙P与边AC相切时，求t的值： (2)如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cms的速度从点B向点C运动，一个点停止运 动时，另一个点也随之停止运动，过点Q作BA的平行线，交AC于点M.当QM与⊙P相切 时，求t的值； (3)在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围. 【答案】1t=3-2:2t=号-9或=号+9,80≤<9或t=3-2 2 3 3 【解析】先把基本量算清楚：等边三角形边长6，高 0=6×9=3方 第1页共10页 P从D向A运动，DP=√3t,故 AP=AD-DP=3W3-√3t=√3(3-t) 其中0≤t≤3(t=3时P到达A). 关键几何事实：AD既是高也是角平分线，所以∠BAD=∠CAD=30°.于是 点P到BC的距离： d1=DP=√3t 点P到AB、AC的距离： d=Ap·sin30=V3(3-t) 2 (P在AD上，由对称性，到AB与到AC的距离相等.) (1)⊙P与AC相切，即点P到直线AC的距离等于半径1： 53==1→3-t=2=23 2 √53 t=3-2y31.85 3 该值在[0,3]内，符合题意 (2)建立坐标系：取D为原点，BC所在直线为c轴，则 B(-3,0),C3,0),A(0,3W3),P(0,3t) Q从B沿BC运动，BQ=t,故Q(-3+t,0. QM∥BA,而BA的方向向量为A-B=(3,3√3)，与(1，√3)同向，所以QM的方程为 y=√3(x+3-t),即√3x-y+√3(3-t)=0 点P(0,√5t)到它的距离： d=0-y3t+V33--V33-2刘 √W3P+(-19 2 相切时d=1: 8-4=2=着2等 √/3 所以3-21=29或3-2处=-2。，解得 3 t=号-9002或t=号+号≈208 3 两者都在0,3内，需确认切点落在线段Q上由△CQ一△CAB相似比为C是6专海 6 QM=6-t:而切点到Q的距离为 (3-)+3t5=3+2 2 2 由3牛2≤6-七得6≤}=225，两个解都满足，故都成立。 2 (3)⊙P与三边的公共点个数，取决于圆心P到三条边的距离与半径1的大小关系.记 d1=√3t(到BC), d,=33利（到AB、AC 2 当d<1时该边与圆有2个公共点，d=1时相切(1个)，d>1时没有公共点. ①0≤t<3时，d<1而d>1:圆只与BC相交，得2个公共点： 3 ②t=5时d山=1，只有1个公共点，不合： 3 @写<<3-2时山>1且d山>1，圆与三边都不相交，0个公共点 3 ④=3-25时d=1,圆与AB、AC各相切于一点，共2个公共点： 3 第1页共10页 ⑤3-25<t≤3时d山<1，圆与AB、AC各交于2点，共4个公共点. 3 所以所求范用为≤t<9或专一32 3 补充说明（严谁性）：当AP<1,即>8-复时：圆会“越过顶点A,此时它与AB、AC各只有1个公 共点，合计也是2个，若把“边”严格理解为线段，则3-及<t≤3也应计入：按通常命题意图（只计直 3 线距离)，答案为上式. 第1页共10页 参考答案速查 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B C B D C 填空题 题号 答案 题号 答案 11 圆内 15 7 12 m>3 16 278-元 13 -1 17 3√2 14 13 18 (2) 解答题 题号 答案 19 (1m=±2：21=4，=-2,3z=3±V1厘 4 (4)c1=2,D2=3 20 (1)△=4(m-1)2+4>0,故有两个不等实根；(2) m=1,另一根为2 (1)作OFBC,由角平分线性质得OF=OD=r, 故BC是切线：(2)BD=12 22 w=甚g=2女-1：②-2<a<0或e> 4:(3)t=-4 23 (1)s=500,(2)F>5N 24 (1)③：(2)k=2或k=4:(3)c=2 25 (1)30%:(2)不对，最大利润5880元 26 (1)以AB为直径作圆，交DC于P;(2)以AB为 弦、圆心角120°作圆（圆心在AB异侧），交DC于 P 27 1b=7,(2C0,9)或C0,53)-5,3宽≤ 2 m≤5-33 2 28 (1)t=3 29:2=是±9：e0≤t< 2 5或t=3-25 3 3 第1页共10页九年级数学学科作业检查(2026.10) 班级 姓名 学号 得分 全卷共28题，满分150分（选择题30分+填空题24分+解答题96分）。考查范围：一元二次方程、反比例 函数的图象与性质、圆（圆周角、切线、正多边形与圆、弧长与扇形面积）、以及函数与几何综合。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程中，属于一元二次方程的是（▲) A.x-2y=1 B.x2-2x+1=0 C.x2-2y+4=0 D+3=2 2.圆锥的底面半径是4cm,母线长是10cm,则圆锥的侧面积是（▲) A.24π B.30元 C.40元 D.48π 3.正比例函数y=2z和反比例函数y=是的一个交点为(1,2)，则另一个交点为（▲） A.(-1,-2) B.（-2,-1) C.(-1,2) D.(2,1) 4.如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE=82°，那么∠BOD的度数为 (▲) 0 第4题图 A.160° B.164° C.162 D.170° 5.在同一坐标系中，函数y=上和y=k知十3（≠0）的图象大致是（▲） 必 6.己知点P(1,-2、Q(m2,2八R(,3)三点都在反比例函数刘=+1 的图象上，则下列关系正确的 是（▲） A.1<2<3 B.x1<r3<D2 C.3<<1 D.x2<x3<r1 ·1 7.如图，直线y=D+1与双曲线y=k交于第一象限的点A,与y轴交于点B,过点A作AC⊥C 轴于点C,连接BC.若△ABC的面积为2，则k的值为（▲) 第7题图 A.2 B.3 C.4 D.5 8.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的 面积逐步逼近圆的面积，以此实现对π的近似估算.如图，在⊙O中画内接正十二边形，设⊙O的 半径为1，将这个正十二边形的面积作为⊙O面积的近似值，据此计算，可得元的估计值为（▲） 第8题图 A.√5 B.3.14 C.3 D.3.13 9.如图，矩形ABCD中，AB=√，BC=1,动点E,F分别从点A,C同时出发，均以每秒1个单位 长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动，过点A作直线EF的垂线，垂足为G,则AG的最大值 为（▲） E 第9题图 A.3 B.③ 2 C.2 D.1 2 10.,在平面直角坐标系中，以P(2,2)为圆心作圆P,使其经过原点O和点A,若点B是圆P上异于 A的一点，点C是弦AB的中点，则OC长度的最小值是（▲） yA 心 第10题图 A.2 B.v10 2 C.√10-√2 D.√5-√2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.已知⊙O的半径是9，当OP=8时，则点P与⊙O的位置关系是点P在一· (填“圆内” “圆外”或“圆上”) 12.若反比例函数y=6-2m的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是】 13.如果关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根，那么k的值为一 14.·己知△ABC的三边长分别是5,12,13，则△ABC外接圆的直径是 15.一个正方形的林地，若将一边增加5米，另一边增加3米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了 71平方米，则原正方形的边长是米 16.如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一 转弯车道时从圆弧起点A行驶至终点B,过点A,B的两条切线相交于点C,机动车在从点A到点 B行驶过程中的转角为α.若这段圆弧的半径OA=9m,《=60°，则图中危险区（阴影部分）的面积 为m2. B 转 弯车 C 第16题图 17.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC,直径CD与AB边交于点E,点B是弧CD的中 点.若CB=6,则⊙O的半径为 B C 第17题图 ·3 18.·如图，点O为坐标原点，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，对角线AC,OB交于点 D,反比例函数y-冬(>0)的图象经过点A和点D,若菱形OABC的面积为3W2,则点A的 坐标为一 y 第18题图 三、解答题（本大题共10小题，共计96分） 19.(本题满分12分)解方程： （1)x2-4=0 (2)x2-2x-8=0 (3)2x2-3c-1=0 (4)3(x-2)2=x(x-2) 20.(本题满分8分)已知关于x的方程c2-2mc+2m-2=0. (1)求证：不论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为x=0,求m的值及该方程的另一个根。 21.(本题满分8分)如图，BO平分∠ABC,AB与⊙O相切于点D,连接OD,延长DO交BC于 点E. (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)若⊙O的半径为4，OE=5,求BD的长. E D ·4 22.(本题满分8分)如图，一次函数y=mm十n(m,n为常数，m≠0)的图象与反比例函数y=左(k≠ 0)的图象交于A(-2,-2),B(a,1)两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： 2)结合图形，请直接写出不等式在<mx+n的解集； (3)若直线x=t(t<-2)与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M,己知MN=2,求t 的值. 23.(本题满分10分)在力F(单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位：m),则力 F所做的功W(单位：J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)写出s关于F的函数解析式： (2)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100，求力的范围. s/mA 50-H(10,50) 010 FN 24.(本题满分10分)定义：如果1，c2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，且c1-x=1,那么 称这样的方程为“邻根方程”.例如：一元二次方程x2-3x十2=0的两个根是c1=1,x2=2,此时c1 -c2=1-2=1,则方程x2-3x+2=0是“邻根方程”. (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是一（填序号）： ①x2=1②x2+4x+4=0③x2-x=0 (2)已知方程(x-k)(x-3)=0是“邻根方程”，求k的值； (3)若方程x2-3x+c=0是“邻根方程”，求c的值. ·5 25.·(本题满分10分)某旅游景区2024年“十一”接待游客1000万人次，2026年“十一”接待游客 1690万人次.该景区内一家小吃店售卖特色小吃，每份成本7元，当售价为25元时，平均每天销售 300份：售价每降低1元，平均每天多销售30份. (1)求2024年至2026年“十一”假期游客人次的年平均增长率； (2)店员认为，通过降价，店铺每天至少能获利6000元.你认为该想法对吗？如果不对，求店家每天可 获得的最大利润. 26.·(本题满分8分)矩形ABCD中，P在线段DC上. (1)请在图①中利用尺规画出点P,使得∠APB=90°（不写作法，保留作图痕迹）： (2)请在图②中利用尺规画出点P,使得∠APB=60°（不写作法，保留作图痕迹）. C B 图① 图② 27.·(本题满分10分)如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=一x+b的图象与反比例函数 y=6的图象交于A,B两点，点A的横坐标为1. m (1)求b的值： (2)若点C在y轴上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标： (3)如图2，若点P坐标是(m,2),将线段AB绕点P顺时针旋转90°至线段A'B',且当线段 AB与反比例函数)=在第三象限的图象有交点时，求m的取值范围。 B 图 图2 ·6 28.,(本题满分12分)如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以√5cm5的速度从 点D向点A运动，以点P为圆心、1cm为半径作⊙P,设点P的运动时间为ts. B B D 图1 图2 备用图 (1)当⊙P与边AC相切时，求t的值； (2)如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm5的速度从点B向点C运动，一个点停止运 动时，另一个点也随之停止运动，过点Q作BA的平行线，交AC于点M.当QM与⊙P相切 时，求t的值； (3)在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围. ·7