拓展专题06 圆锥曲线的离心率问题（期中复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题06 圆锥曲线的离心率问题 01 期中考情透视 02 知识体系构建 03 核心考点精讲 考点一 求解圆锥曲线的离心率的常见方法 考点二 求离心率取值范围的常用方法 04 重难题型突破 题型一 利用圆锥曲线的定义求离心率 题型二 利用渐近线求双曲线的离心率 题型三 利用正（余）弦定理求离心率 题型四 利用等量关系或不等关系求离心率 题型四 利用基本不等式求离心率 题型五 椭圆与双曲线离心率综合问题 05 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 本专题是第三章圆锥曲线期中高频热点小题，极少单独出解答大题，集中在单选、多选、填空位置；椭圆、双曲线考查为主，抛物线离心率固定为1，一般仅作辨析。基础考法直接利用关系计算离心率；中档、拉分题常结合焦点三角形、几何图形、垂直、平行、向量条件、渐近线构造的齐次方程或不等式，求解离心率的值或取值范围，多选题常结合离心率范围、曲线形状判断综合设问，侧重几何条件向代数关系式的转化。 二、试题难易度分布 本专题属于中档偏难题。 基础：直接给出或关系，代入公式计算，属于必拿分； 中档：依托焦点三角形、平面几何性质构造齐次式，是本专题主流考题； 难题：离心率范围问题，融合不等关系、最值、隐含限制条件，多作为多选压轴或填空压轴，区分度明显。 三、整体命题核心规律 解题核心思路是寻找a,c的等量或不等关系，优先齐次化处理，不必强求算出具体值；牢记椭圆、双曲线的范围限制，做完务必检验；容易忽略焦点位置不确定、双曲线渐近线与离心率关联、几何条件漏看等陷阱，复习时多训练几何条件翻译、数形结合画图习惯。 考点一 求解圆锥曲线的离心率的常见方法 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得c得值，根据离心率的定义求解离心率； 2、齐次式法：由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解； 3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题． 考点二 求离心率取值范围的常用方法 1、不等式法求离心率范围 （1）利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解； （2）利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解； （3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解； （4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解； 2、函数法求离心率的范围 （1）根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式； （2）结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； （3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围． 3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可． 题型一 利用圆锥曲线的定义求离心率 【典例1】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 【变式1-1】（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆方程，可得，即长半轴, 如图所示，设椭圆左焦点为，原点是的中点，是的中点， 则是的中位线，得； 因为，椭圆半焦距. 所以的周长为：. 由，可得：， 代入，得，即，故椭圆离心率. 【变式1-2】（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设在右支上， 设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形，所以， 因为，，所以， 因为，所以，所以. 【变式1-3】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵为等边三角形，∴，即， 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 题型二 利用渐近线求双曲线的离心率 【典例2】（25-26高二下·福建福州·期中）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为___________ 【答案】 【解析】由题意可得焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 因为一条渐近线经过点，所以， 故双曲线的离心率为. 【变式2-1】（25-26高二下·广西柳州·期中）已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：由题有，由双曲线性质有， 所以.所以， 所以.又双曲线方程，则， 所以，则双曲线离心率. 【变式2-2】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为______. 【答案】 【解析】如图，由题意可知，则，， 设，则， 于是， 即，则，解得离心率. 【变式2-3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知双曲线过左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，其中点在第二象限，点在第一象限，若，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】渐近线方程为，焦点，其中， 如图，，故， 其中，直线的斜率为， 故直线的方程为， 联立，解得，故， 故， 由得，其中， 解得，故，双曲线的离心率为. 题型三 利用正（余）弦定理求离心率 【典例3】（25-26高二下·广东汕头·期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 【变式3-1】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆焦距为，离心率，已知的垂直平分线过点， 则， 是椭圆上的点，由椭圆定义，故， 直线斜率为，故倾斜角为，在中，， ， 代入可得，解得， 故，解得， 故． 【变式3-2】（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，双曲线半焦距为，， 设， 则，所以， 又，所以， 所以， 因为，所以是等腰三角形， 过作于点， 所以， 在中，， 因为三点共线，所以即为，即， 因为点在以为直径的圆上， 所以，即， 在中，， 在中，由余弦定理得，， 所以， 化简整理得，①， 在中，由余弦定理得，， 因为三点共线， 所以，即， 所以，化简整理得，②， 联立①②得，， 因为，所以， 将代入①式得，， 所以双曲线离心率为. 【变式3-3】（24-25高二上·天津·期中）已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解. 如图，由椭圆的定义可知，且，又， 利用余弦定理可知： ， 化简可得， 所以的面积为， 设的外接圆半径为，内切圆半径为， 由正弦定理可得，可得， 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得， 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以， 即可得， 所以，离心率.故选：C 题型四 利用等量关系或不等式关系求离心率 【典例4】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在该椭圆上，且轴，直线与轴交于点.若，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】不妨设点 在第二象限,则 ，设 ,. ,. 由 得 比较 坐标:，即 . 化简得，得 ，故离心率 . 【变式4-1】（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，由，消去得，, ，解得， 设，则，则点， 由直线的斜率小于，得， 由，，得，椭圆焦点在轴上， 所以椭圆离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：C. 【变式4-2】（26-27高三上·云南昆明·开学考试）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 【解析】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上， 故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，， 代入题设条件，得 ， 得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 【变式4-3】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 题型五 利用基本不等式求离心率 【典例5】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为______. 【答案】 【解析】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接， 因为分别是、的中点，O为的中点， 则， 由以为直径的圆过原点，得，则有， 又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此， 当且仅当时取等号， 即有，， 则离心率有，而，解得， 所以椭圆离心率的最小值为. 【变式5-1】（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，则， 在中，， 所以，得， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，所以，所以， 所以，所以， 又，所以.故选：C 【变式5-2】已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【解析】由题意可得，，， 所以，当且仅当， 即时取等号，所以， 因为，， 所以，所以． 【变式5-3】（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，若以为斜边的直角三角形的面积的最大值为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为为直角三角形，所以， 又，所以， 因为为以为斜边的直角三角形， 所以的面积为， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，即面积的最大值为， 又面积的最大值为，所以，即， 代入，得即， 故离心率为. 题型六 椭圆与双曲线离心率综合问题 【典例6】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】由椭圆的定义得， 由双曲线的定义得， 两式联立得， 设焦距， 由余弦定理得， 整理得，即， 又的离心率，所以，代入上式得， 所以的离心率.故选：A 【变式6-1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，其中，， 则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， ，故， ，， 由双曲线定义得，所以， 设椭圆的长轴长为， 由椭圆和双曲线共焦点和椭圆定义得， 所以椭圆半轴长为， 所以椭圆的离心率为. 【变式6-2】（25-26高二上·河北衡水·期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 设椭圆：，双曲线：. 因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，， 因为点在椭圆上， 所以. 又， 所以. 又在双曲线上， 所以. 所以. 所以双曲线的离心率为：.故选：A 【变式6-3】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】由椭圆的定义知，①，， 由双曲线的定义知，②， 由①②解得，， 设， 因为点与右焦点的连线交轴于点，且平分， 所以， 在中，由余弦定理知，③， 设， 则， 由角平分线定理知，， 即，解得， 在中，④， 由③④得，，解得或（舍）， 所以双曲线的离心率为． 基础固本练（限时20分钟） 1．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 2．（26-27高二上·北京西城·阶段检测）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中， 即， 所以，所以. 4．（26-27高二上·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，则① ， 在中，由及余弦定理可得， 即② ， ①② 得，所以， 又， 又， 因为，所以，解得， 故椭圆的离心率为. 5．（25-26高二下·广东汕头·阶段检测）已知椭圆左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为48，且椭圆的短轴长为24，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令椭圆的半焦距为， 由的周长为48，得，即， 由椭圆的短轴长为24，得，则， 因此，解得，所以椭圆的离心率为. 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设是椭圆上异于A，B的点，，， 把代入椭圆方程， 得，， 又，， 又，，， ，故B选项正确. 7．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】由双曲线的对称性不妨设双曲线方程为， 可得虚轴的一个端点，，， 因为，可得，两侧平方可得， 可得，所以，所以. 8．（25-26高二下·河南·期中）已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接. 因为两点关于原点对称，所以， 所以由双曲线的定义可得，即， 所以的离心率为. 综合进阶练（限时：20分钟） 1．（25-26高二下·重庆·期中）如图，已知椭圆的左、右焦点是、，P为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于D点，与x轴相切于A点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设旁切圆与相切于B，由题意可知，， 设，则，， 又，且， ， 所以，即， 又，即， 所以. 2．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记椭圆的上顶点为，，由，得，所以为锐角， 中，由正弦定理，知，所以， 易知，所以，且， 又， 所以，解得或（舍去）. 又，故，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 3．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【解析】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，且，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】由题意，以为直径的圆的方程为， 不妨设双曲线的渐近线为． 设，则， 由，解得或， ∴，． 又为双曲线的左顶点，则， ∴，，， 在中，，由余弦定理得， 即，即， 则，所以，则， 即，所以 所以双曲线的离心率为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆锥曲线的离心率问题 01 期中考情透视 02 知识体系构建 03 核心考点精讲 考点一 求解圆锥曲线的离心率的常见方法 考点二 求离心率取值范围的常用方法 04 重难题型突破 题型一 利用圆锥曲线的定义求离心率 题型二 利用渐近线求双曲线的离心率 题型三 利用正（余）弦定理求离心率 题型四 利用等量关系或不等关系求离心率 题型四 利用基本不等式求离心率 题型五 椭圆与双曲线离心率综合问题 05 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 本专题是第三章圆锥曲线期中高频热点小题，极少单独出解答大题，集中在单选、多选、填空位置；椭圆、双曲线考查为主，抛物线离心率固定为1，一般仅作辨析。基础考法直接利用关系计算离心率；中档、拉分题常结合焦点三角形、几何图形、垂直、平行、向量条件、渐近线构造的齐次方程或不等式，求解离心率的值或取值范围，多选题常结合离心率范围、曲线形状判断综合设问，侧重几何条件向代数关系式的转化。 二、试题难易度分布 本专题属于中档偏难题。 基础：直接给出或关系，代入公式计算，属于必拿分； 中档：依托焦点三角形、平面几何性质构造齐次式，是本专题主流考题； 难题：离心率范围问题，融合不等关系、最值、隐含限制条件，多作为多选压轴或填空压轴，区分度明显。 三、整体命题核心规律 解题核心思路是寻找a,c的等量或不等关系，优先齐次化处理，不必强求算出具体值；牢记椭圆、双曲线的范围限制，做完务必检验；容易忽略焦点位置不确定、双曲线渐近线与离心率关联、几何条件漏看等陷阱，复习时多训练几何条件翻译、数形结合画图习惯。 考点一 求解圆锥曲线的离心率的常见方法 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得c得值，根据离心率的定义求解离心率； 2、齐次式法：由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解； 3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题． 考点二 求离心率取值范围的常用方法 1、不等式法求离心率范围 （1）利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解； （2）利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解； （3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解； （4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解； 2、函数法求离心率的范围 （1）根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式； （2）结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域； （3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围． 3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可． 题型一 利用圆锥曲线的定义求离心率 【典例1】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型二 利用渐近线求双曲线的离心率 【典例2】（25-26高二下·福建福州·期中）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为___________ 【变式2-1】（25-26高二下·广西柳州·期中）已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为______. 【变式2-3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知双曲线过左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，其中点在第二象限，点在第一象限，若，则双曲线的离心率为__________． 题型三 利用正（余）弦定理求离心率 【典例3】（25-26高二下·广东汕头·期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·天津·期中）已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四 利用等量关系或不等式关系求离心率 【典例4】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在该椭圆上，且轴，直线与轴交于点.若，则该椭圆的离心率为__________. 【变式4-1】（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27高三上·云南昆明·开学考试）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【变式4-3】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 题型五 利用基本不等式求离心率 【典例5】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为______. 【变式5-1】（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【变式5-3】（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，若以为斜边的直角三角形的面积的最大值为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型六 椭圆与双曲线离心率综合问题 【典例6】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（    ） A． B．2 C． D．3 【变式6-1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·河北衡水·期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________． 基础固本练（限时20分钟） 1．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·北京西城·阶段检测）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东汕头·阶段检测）已知椭圆左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为48，且椭圆的短轴长为24，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为______． 8．（25-26高二下·河南·期中）已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________. 综合进阶练（限时：20分钟） 1．（25-26高二下·重庆·期中）如图，已知椭圆的左、右焦点是、，P为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于D点，与x轴相切于A点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，且，则该双曲线的离心率为__________. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $