第34讲 直线与圆的方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

第34讲 直线与圆的方程 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 直线的方程与位置关系 （重） 2 题型02 距离与平行垂直 （重） 3 题型03 圆的方程 重难 4 题型04 直线与圆的位置关系 重难 5 题型05 圆的切线方程与切点弦 重难 6 题型06 直线系与对称问题 重难 6 重难·创新演练 7 真题·实战演练 8 模拟·基础演练 考查重点：直线方程、圆的方程与距离公式 考点聚焦：直线方程的五种形式与适用条件 ▶ 题型01 直线的方程与位置关系 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）直线 的斜率是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·二模）直线 与 的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁大连·一模）圆 的圆心与半径分别是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 4．（2026·江苏镇江·二模）已知直线 经过点 ，且在 轴、 轴上的截距相等且不为 ，则 的方程是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·河北廊坊·二模）已知直线 与 平行，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 6．（2026·河南许昌·一模）已知直线 与 垂直，则 （　　） A． B． C． D． 7．（2026·湖北荆州·二模）经过点 且与直线 垂直的直线方程是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·湖南常德·三模）直线 恒过的定点坐标是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·山东淄博·三模）已知直线 经过点 ，且与 轴正半轴、 轴正半轴围成的三角形面积为 ，则 的方程是（　　） A． B． C． D． 10．（2026·山西太原·三模）已知直线 与直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．重合 11．（2026·河南郑州·二模）过点 且与直线 垂直的直线方程是（　　） A． B． C． D． 12．（2026·湖北武汉·三模）已知点 ，，则线段 的垂直平分线方程是（　　） A． B． C． D． 考点聚焦：点到直线距离、平行与垂直的条件 ▶ 题型02 距离与平行垂直 一、多选题 1．（2026·湖南长沙·二模）关于点到直线的距离，下列说法正确的是（　　） A．距离等于点代入直线方程左侧的绝对值除以系数的模 B．距离公式要求直线写成一般式 C．分子可以不取绝对值 D．分母是两个坐标系数平方和的算术平方根 2．（2026·浙江温州·三模）已知两平行直线 与 ，则（　　） A．两直线之间的距离为 B．两直线之间的距离为 C．原点到直线 的距离为 D．两直线平行但没有交点 3．下列说法正确的是（　　） A．两条直线平行对应一般式中两个坐标的系数分别相等 B．斜率不为0的两条直线垂直对应斜率乘积为负一 C．直线倾斜角的取值范围含九十度 D．两条直线系数比相等就一定是同一条直线 4．（2025·广东广州·三模）下列各点与直线 的距离正确的是（　　） A． 的距离为 B． 的距离为 C． 的距离为 D． 的距离为 5．（2026·湖南郴州·二模）关于点到直线的距离，下列说法正确的是（　　） A．点 到直线 的距离为 B．点 到 轴的距离为 C．两平行直线 与 之间的距离为 D．点 到直线 的距离为 6．（2026·浙江湖州·三模）已知直线 ，点 ，，则下列说法正确的是（　　） A．过 且与 平行的直线方程为 B．过 且与 垂直的直线方程为 C．点 到直线 的距离为 D． 7．（2026·四川宜宾·三模）已知直线 与 ，则下列说法正确的是（　　） A．当 时， B．当 时， C．当 时， 与 重合 D．存在实数 ，使 8．（2025·广东汕头·三模）已知圆 ，则下列说法正确的是（　　） A．圆 的圆心为 B．圆 的半径为 C．圆 与 轴相切 D．圆 上的点到原点距离的最大值为 考点聚焦：圆的标准方程与一般方程的互化 ▶ 题型03 圆的方程 一、填空题 1．（2026·福建厦门·二模）点 到直线 的距离为________． 2．（2026·山东济南·三模）原点到直线 的距离为________． 3．（2025·江西南昌·二模）圆 的圆心与半径是________． 4．（2025·河北唐山·二模）已知圆 经过点 、 与 ，则该圆的方程为________． 5．（2025·重庆·三模）圆 与直线 的公共弦长为________． 6．（2026·福建三明·二模）已知圆 的圆心为 ，半径为 ，则圆 的方程为________． 7．（2026·江西上饶·三模）已知圆 以线段 为直径，其中 ，，则圆 的方程为________． 8．（2025·安徽淮南·二模）圆 的圆心到原点的距离为________． 9．（2025·河北衡水·三模）圆 在点 处的切线方程为________． 10．（2026·重庆万州·三模）已知圆 与 轴相切，圆心在直线 上，且经过点 ，则圆 的半径之和为________． 考点聚焦：圆心到直线距离与半径比较判位置 ▶ 题型04 直线与圆的位置关系 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知圆 ：． (1) 求圆 的圆心坐标与半径； (2) 判断直线 与圆 的位置关系，并求它被圆截得的弦长． 2．（2026·全国·模拟预测）已知圆 ：，直线 ：． (1) 求圆心 到直线 的距离； (2) 判断直线 与圆 的位置关系． 3．（2026·云南保山·模拟预测）已知圆 ，直线 ． (1) 求圆 的圆心坐标与半径； (2) 判断直线 与圆 的位置关系； (3) 若直线 与圆 相交，求所得弦长． 4．（2026·全国·模拟预测）已知圆 ． (1) 若圆 与 轴相切，求 的值； (2) 若 ，求过点 的圆 的切线方程． 考点聚焦：圆上一点的切线用 x₀x+y₀y=r²，圆外一点先算距离 ▶ 题型05 圆的切线方程与切点弦 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·二模）过点 向圆 作切线，可以作（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D．无数条 二、多选题 3．（2026·湖南长沙·三模）关于过圆 外一点 的切线，下列说法正确的是（　　） A．切线条数为 B．切线长为 C．两切点所在直线方程为 D．过圆内一点也能作两条切线 三、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模）圆 在点 处的切线方程为________． 四、解答题 5．（2026·四川成都·模拟预测）求过点 且与圆 相切的直线方程． (1) 设点斜式并写出距离条件； (2) 解出斜率并写出方程． 考点聚焦：点关于直线对称用“中点在线上、连线垂直”两条 ▶ 题型06 直线系与对称问题 一、单选题 1．（2026·河北唐山·三模）点 关于 轴的对称点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南郑州·二模）点 关于直线 的对称点坐标是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北武汉·三模）关于点的对称，下列说法正确的是（　　） A．关于 轴对称，横坐标不变 B．关于 对称，横纵坐标互换 C．关于原点对称，横纵坐标都变号 D．关于 轴对称，纵坐标变号 三、填空题 4．（2025·江西南昌·二模）直线 关于 轴对称的直线方程为________． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）求点 关于直线 的对称点坐标． (1) 求过 的垂线与已知直线的交点； (2) 用中点公式求对称点． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：圆与圆的位置关系 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知圆 ：，圆 ：，则两圆的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（2026·北京·模拟预测）已知圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 ，则两圆的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知圆 ，圆 ，若两圆相交，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·北京·模拟预测）已知圆 ，直线 ，则圆 上的点到直线 距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 ． (1) 若两圆外切，求 的值； (2) 若两圆相交，求 的取值范围． 6．（2026·全国·模拟预测）已知圆 的圆心在直线 上，且经过点 ，． (1) 求圆 的方程； (2) 判断直线 与圆 的位置关系，若相交，求弦长； (3) 求圆 上的点到原点距离的最大值与最小值． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：直线与圆的高考真题 1．点 到直线 的距离是（　　） A． B． C． D． 2．圆 的圆心坐标与半径分别是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 3．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 4．直线 的斜率是（　　） A． B． C． D． 5．点 到直线 的距离是（　　） A． B． C． D． 6．圆 的圆心坐标与半径分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 8．圆 上的点到直线 的距离的最小值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．直线 的斜率是________． 10．直线 在 轴、 轴上的截距之和为________． 三、解答题 11．已知圆 ：． (1) 求圆 的圆心坐标与半径； (2) 判断原点与直线 、直线 与圆 的位置关系． 12．已知圆 ：，圆 ：． (1) 求两圆的公共弦长； (2) 求两圆的公共弦所在直线的方程． 13．已知圆 ，直线 ． (1) 求圆 的圆心坐标与半径； (2) 若直线 与圆 相切，求 的值； (3) 当 时，求圆 上的点到直线 距离的最小值． 14．已知圆 经过 ，， 三点． (1) 求圆 的方程； (2) 判断直线 与圆 的位置关系，若相交，求公共弦长； (3) 求过点 的圆 的切线方程． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第34讲 直线与圆的方程 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 直线的方程与位置关系 （重） 2 题型02 距离与平行垂直 （重） 5 题型03 圆的方程 重难 8 题型04 直线与圆的位置关系 重难 10 题型05 圆的切线方程与切点弦 重难 11 题型06 直线系与对称问题 重难 13 重难·创新演练 15 真题·实战演练 18 模拟·基础演练 考查重点：直线方程、圆的方程与距离公式 考点聚焦：直线方程的五种形式与适用条件 ▶ 题型01 直线的方程与位置关系 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）直线 的斜率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理成斜截式。 【详解】由 得 ，斜率为 ，选 A． 2．（2025·安徽合肥·二模）直线 与 的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两式相加解出横坐标，再代回。 【详解】两式相加得 ，即 ，代回得 ，选 A． 3．（2025·辽宁大连·一模）圆 的圆心与半径分别是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【分析】配方还原成标准式。 【详解】配方得 ，选 A． 4．（2026·江苏镇江·二模）已知直线 经过点 ，且在 轴、 轴上的截距相等且不为 ，则 的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】截距相等且不为 时设 ，代入已知点求 。 【详解】设直线方程为 （）． 代入点 得 ，即 ，所以 ． 故方程为 ，选 A． 5．（2026·河北廊坊·二模）已知直线 与 平行，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】由 求 ，再代回检验两直线是否重合。 【详解】两直线平行的必要条件是 ，即 ， 解得 或 ． 当 时，两直线分别为 与 ，平行且不重合； 当 时，两直线分别为 与 ，即 ，平行且不重合． 故 或 ，选 C． 6．（2026·河南许昌·一模）已知直线 与 垂直，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两直线垂直的条件是 。 【详解】由垂直得 ，即 ， 解得 ，选 C． 7．（2026·湖北荆州·二模）经过点 且与直线 垂直的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】垂直直线的法向量可互换为原直线的方向向量，用点法式写方程。 【详解】直线 的斜率为 ，与其垂直的直线斜率为 ． 由点斜式得 ，化为一般式 ，选 A． 8．（2025·湖南常德·三模）直线 恒过的定点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按参数 整理，令含 的项与常数项同时为零。 【详解】将方程整理为 ． 令 且 ，得 ，． 故直线恒过定点 ，选 A． 9．（2025·山东淄博·三模）已知直线 经过点 ，且与 轴正半轴、 轴正半轴围成的三角形面积为 ，则 的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设截距式方程，把面积条件与过点条件联立求两个截距。 【详解】设 在 轴、 轴上的截距分别为 ，，则 ． 由过点 得 ，由面积得 ，即 ． 由 得 ， 代入 得 ，即 ，所以 ，． 故 的方程为 ，即 ，选 A． 10．（2026·山西太原·三模）已知直线 与直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】B 【分析】把两直线化为斜截式比较斜率与截距。 【详解】由 得 ，斜率 ，在 轴上的截距为 ． 由 得 ，斜率 ，截距为 ． 因为 且截距不等，所以 ，故选 B． 11．（2026·河南郑州·二模）过点 且与直线 垂直的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】垂直直线的斜率之积为 ，再用点斜式写出方程并化为一般式。 【详解】直线 的斜率为 ，故所求直线的斜率为 ． 由点斜式得 ，即 ，故选 A． 12．（2026·湖北武汉·三模）已知点 ，，则线段 的垂直平分线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】垂直平分线过中点且与 垂直，先求中点再求斜率。 【详解】线段 的中点为 ． 直线 的斜率为 ，故垂直平分线的斜率为 ． 由点斜式得 ，即 ，故选 A． 考点聚焦：点到直线距离、平行与垂直的条件 ▶ 题型02 距离与平行垂直 一、多选题 1．（2026·湖南长沙·二模）关于点到直线的距离，下列说法正确的是（　　） A．距离等于点代入直线方程左侧的绝对值除以系数的模 B．距离公式要求直线写成一般式 C．分子可以不取绝对值 D．分母是两个坐标系数平方和的算术平方根 【答案】ABD 【分析】距离公式的准确表述。 【详解】A、B、D 正确； 分子必须取绝对值，C 错误．故选 ABD． 2．（2026·浙江温州·三模）已知两平行直线 与 ，则（　　） A．两直线之间的距离为 B．两直线之间的距离为 C．原点到直线 的距离为 D．两直线平行但没有交点 【答案】ACD 【分析】平行线间距离用常数项之差除以系数模。 【详解】A：距离为 ，正确； B：漏了分母，错误； C：原点代入得 ，分母为 ，正确； D：平行即没有交点，正确．故选 ACD． 3．下列说法正确的是（　　） A．两条直线平行对应一般式中两个坐标的系数分别相等 B．斜率不为0的两条直线垂直对应斜率乘积为负一 C．直线倾斜角的取值范围含九十度 D．两条直线系数比相等就一定是同一条直线 【答案】BC 【分析】平行垂直的判定条件。 【详解】两条直线平行对应一般式中两个坐标的系数成比例，A错误， 两条直线垂直对应斜率乘积为负一是斜率存在的情况下，B 正确； 倾斜角取值范围，含九十度，C 正确； 系数比相等还要看常数项，D 错误．故选 BC． 4．（2025·广东广州·三模）下列各点与直线 的距离正确的是（　　） A． 的距离为 B． 的距离为 C． 的距离为 D． 的距离为 【答案】ACD 【分析】逐点代入距离公式。 【详解】A：，正确，B错误； B：，正确；，D正确；故选ACD。 5．（2026·湖南郴州·二模）关于点到直线的距离，下列说法正确的是（　　） A．点 到直线 的距离为 B．点 到 轴的距离为 C．两平行直线 与 之间的距离为 D．点 到直线 的距离为 【答案】ABC 【分析】A、B、C 为基本公式；D 代入公式检验。 【详解】A、B、C 均为点到直线、平行线间距离的标准公式，正确． D 中 ，错误． 故选 ABC． 6．（2026·浙江湖州·三模）已知直线 ，点 ，，则下列说法正确的是（　　） A．过 且与 平行的直线方程为 B．过 且与 垂直的直线方程为 C．点 到直线 的距离为 D． 【答案】ABD 【分析】平行直线法向量相同，垂直直线法向量互换；距离与线段长分别用公式计算。 【详解】A：设所求直线为 ，代入 得 ，即 ，正确． B：设所求直线为 ，代入 得 ，即 ，正确． C：，错误． D：，正确． 故选 ABD． 7．（2026·四川宜宾·三模）已知直线 与 ，则下列说法正确的是（　　） A．当 时， B．当 时， C．当 时， 与 重合 D．存在实数 ，使 【答案】ACD 【分析】逐项代入 的值检验平行、垂直、重合；垂直的充要条件是 。 【详解】A： 时 ，，即 ，两直线平行且不重合，正确． B： 时 ，不垂直，错误． C： 时 ，，两方程等价，重合，正确． D：由 得 ，此时两直线垂直，正确． 故选 ACD． 8．（2025·广东汕头·三模）已知圆 ，则下列说法正确的是（　　） A．圆 的圆心为 B．圆 的半径为 C．圆 与 轴相切 D．圆 上的点到原点距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】配方得圆心与半径；与 轴相切需圆心到 轴距离等于半径。 【详解】配方得 ，故圆心为 ，半径为 ，A、B 正确． 圆心到 轴的距离为 ，故不与 轴相切，C 错误． 圆心到原点的距离为 ，故圆上点到原点距离的最大值为 ，D 正确． 故选 ABD． B：分子算错，错误； C：原点代入得 ，距离为 ，正确； D：，正确．故选 ACD． 考点聚焦：圆的标准方程与一般方程的互化 ▶ 题型03 圆的方程 一、填空题 1．（2026·福建厦门·二模）点 到直线 的距离为________． 【答案】 【分析】直接套距离公式。 【详解】． 2．（2026·山东济南·三模）原点到直线 的距离为________． 【答案】 【分析】原点代入左侧取绝对值。 【详解】分子为 ，分母为 ，距离为 ． 3．（2025·江西南昌·二模）圆 的圆心与半径是________． 【答案】， 【分析】配方还原。 【详解】配方得 ，圆心为 ，半径为 ． 4．（2025·河北唐山·二模）已知圆 经过点 、 与 ，则该圆的方程为________． 【答案】 【分析】设一般式，把三点代入解方程组。 【详解】设方程为 ； 代入 与 得 与 ，两式相减得 ，再得 ； 代入 得 ，即 ． 5．（2025·重庆·三模）圆 与直线 的公共弦长为________． 【答案】 【分析】把直线代入圆方程求交点。 【详解】代入得 ，即 ，两个交点的横坐标为 ，弦长为 ． 6．（2026·福建三明·二模）已知圆 的圆心为 ，半径为 ，则圆 的方程为________． 【答案】 【分析】直接写圆的标准方程，注意纵坐标的符号。 【详解】由圆的标准方程得 ， 即 ． 7．（2026·江西上饶·三模）已知圆 以线段 为直径，其中 ，，则圆 的方程为________． 【答案】 【分析】圆心为 的中点，半径为 长的一半。 【详解】圆心为 的中点 ． ，故半径 ． 所以圆 的方程为 ． 8．（2025·安徽淮南·二模）圆 的圆心到原点的距离为________． 【答案】 【分析】先配方求圆心，再用两点间距离公式。 【详解】配方得 ，圆心为 ． 圆心到原点的距离为 ． 9．（2025·河北衡水·三模）圆 在点 处的切线方程为________． 【答案】 【分析】过圆上一点 的切线方程为 。 【详解】点 在圆 上， 由过圆上一点的切线公式得 ， 即 ． 10．（2026·重庆万州·三模）已知圆 与 轴相切，圆心在直线 上，且经过点 ，则圆 的半径之和为________． 【答案】 【分析】设圆心 ，由与 轴相切得半径 ，再由过点建立方程。 【详解】设圆心为 ，因为它与 轴相切，所以半径 ． 由圆过点 得 ， 展开得 ，解得 或 ． 故半径分别为 与 ，其和为 ． 考点聚焦：圆心到直线距离与半径比较判位置 ▶ 题型04 直线与圆的位置关系 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知圆 ：． (1) 求圆 的圆心坐标与半径； (2) 判断直线 与圆 的位置关系，并求它被圆截得的弦长． 【答案】(1) 圆心 ，半径 　(2) 相交，弦长 【分析】先配方求出圆心半径，再比较距离并用勾股定理求弦长。 【详解】(1) 配方得 ，圆心为 ，半径为 ； (2) 圆心到直线 的距离为 ，小于半径 ，所以相交； 圆心到该弦的距离为 ，半径为 ，半弦长为 ，弦长为 ． 2．（2026·全国·模拟预测）已知圆 ：，直线 ：． (1) 求圆心 到直线 的距离； (2) 判断直线 与圆 的位置关系． 【答案】(1) (12)/(5) ；(2) 相交 【分析】配方求圆心半径，再用点到直线距离与半径比较。 【详解】圆化为 (x-3)^{2 +(y-2)^{2 =10 ，圆心 (3,2) ，半径 √(10) ． (1) d=(|3×3+4×2-5|)/(5)=(12)/(5) ． (2) 因 (12)/(5)<√(10) ，故直线与圆相交． 3．（2026·云南保山·模拟预测）已知圆 ，直线 ． (1) 求圆 的圆心坐标与半径； (2) 判断直线 与圆 的位置关系； (3) 若直线 与圆 相交，求所得弦长． 【答案】(1) 圆心 ，半径 ；(2) 相交；(3) 【分析】配方求圆心半径，比较圆心到直线的距离与半径判断位置关系，弦长用勾股定理。 【详解】(1) 配方得 ，故圆心为 ，半径 ． (2) 圆心到直线 的距离 ， 故直线 与圆 相交． (3) 弦长 ． 4．（2026·全国·模拟预测）已知圆 ． (1) 若圆 与 轴相切，求 的值； (2) 若 ，求过点 的圆 的切线方程． 【答案】(1) ；(2) 或 【分析】(1) 与 轴相切等价于圆心到 轴距离等于半径；(2) 先判断点在圆外，再分斜率存在与不存在讨论。 【详解】配方得 ，圆心为 ，半径 （）． (1) 圆与 轴相切，则圆心到 轴的距离等于半径，即 ， 解得 ． (2) 当 时，，圆心为 ，，点 在圆外． 当切线斜率不存在时，，圆心到它的距离为 ，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线为 ，即 ， 由 得 ， 两边平方得 ，解得 ，切线为 ． 故所求切线方程为 或 ． 考点聚焦：圆上一点的切线用 x₀x+y₀y=r²，圆外一点先算距离 ▶ 题型05 圆的切线方程与切点弦 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆上一点的切线：把 、 换成 、。 【详解】切线方程为 ， 即 ． 故选 A． 2．（2025·山东济南·二模）过点 向圆 作切线，可以作（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D．无数条 【答案】C 【分析】先判断点在圆外、圆上还是圆内。 【详解】，点 在圆外， 故可作 条切线． 故选 C． 二、多选题 3．（2026·湖南长沙·三模）关于过圆 外一点 的切线，下列说法正确的是（　　） A．切线条数为 B．切线长为 C．两切点所在直线方程为 D．过圆内一点也能作两条切线 【答案】ABC 【分析】切点弦方程与切线长都是固定结论。 【详解】圆外一点有两条切线，A 正确； 由勾股定理得切线长如 B，正确； 切点弦（极线）方程如 C，正确； 圆内一点不能作切线，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模）圆 在点 处的切线方程为________． 【答案】 【分析】圆心为 ，该点在最上方，切线水平。 【详解】圆心 与该点连线竖直， 故切线水平，方程为 ． 四、解答题 5．（2026·四川成都·模拟预测）求过点 且与圆 相切的直线方程． (1) 设点斜式并写出距离条件； (2) 解出斜率并写出方程． 【答案】 【分析】设点斜式，用圆心到直线距离等于半径。 【详解】设切线为 ，即 ． 由 得 ， 解得 ． 故切线为 ． 考点聚焦：点关于直线对称用“中点在线上、连线垂直”两条 ▶ 题型06 直线系与对称问题 一、单选题 1．（2026·河北唐山·三模）点 关于 轴的对称点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于 轴对称只改纵坐标符号。 【详解】对称点为 ， 故选 A． 2．（2025·河南郑州·二模）点 关于直线 的对称点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于 对称交换横纵坐标。 【详解】对称点为 ， 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖北武汉·三模）关于点的对称，下列说法正确的是（　　） A．关于 轴对称，横坐标不变 B．关于 对称，横纵坐标互换 C．关于原点对称，横纵坐标都变号 D．关于 轴对称，纵坐标变号 【答案】ABC 【分析】逐条对照坐标变化规律。 【详解】A、B、C 都正确； 关于 轴对称应是横坐标变号，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·江西南昌·二模）直线 关于 轴对称的直线方程为________． 【答案】 【分析】把 换成 。 【详解】令 得 ， 即 ． 四、解答题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）求点 关于直线 的对称点坐标． (1) 求过 的垂线与已知直线的交点； (2) 用中点公式求对称点． 【答案】 【分析】先求垂足，再用中点公式反算。 【详解】过 且垂直于 的直线为 ． 联立解得垂足 ． 设对称点为 ，则 ，， 解得 ，，即对称点为 ． 【答案】(1) 　(2) 相交 【分析】先求圆心半径，再用距离公式比较。 【详解】圆 的配方式为 ，圆心为 ，半径为 ； (1) 距离为 ； (2) 因为 ，所以直线与圆相交． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：圆与圆的位置关系 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知圆 ：，圆 ：，则两圆的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】A 【分析】比较圆心距与半径之和。 【详解】圆心距为 ，半径之和为 ； 圆心距大于半径之和，两圆外离，选 A． 2．（2026·北京·模拟预测）已知圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 ，则两圆的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【分析】圆心距等于半径之差的绝对值。 【详解】圆心距为 ，半径之差的绝对值为 ；距离等于差，两圆内切，选 D． 3．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知圆 ，圆 ，若两圆相交，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆相交的充要条件是 。 【详解】圆心距 ，两圆半径分别为 与 ． 由两圆相交得 ． 由 得 ；由 得 ． 综上 ，选 A． 4．（2026·北京·模拟预测）已知圆 ，直线 ，则圆 上的点到直线 距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆上点到定直线距离的最大值等于圆心到直线的距离加半径。 【详解】配方得 ，圆心为 ，半径 ． 圆心到直线 的距离 ． 故最大距离为 ，选 A． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 ． (1) 若两圆外切，求 的值； (2) 若两圆相交，求 的取值范围． 【答案】(1) d=5 ；(2) 1<d<5 【分析】用圆心距与两半径和、差比较。 【详解】(1) 外切时 d=r 1 +r 2 =5 ． (2) 相交时 |r 1 -r 2 |<d<r 1 +r 2 ，即 1<d<5 ． 6．（2026·全国·模拟预测）已知圆 的圆心在直线 上，且经过点 ，． (1) 求圆 的方程； (2) 判断直线 与圆 的位置关系，若相交，求弦长； (3) 求圆 上的点到原点距离的最大值与最小值． 【答案】(1) ；(2) 相交，弦长为 ；(3) 最大值为 ，最小值为 【分析】设圆心为 ，由到 距离相等求参数；弦长与距离最值都用圆心、半径处理。 【详解】(1) 设圆心为 ，则由 得 ， 化简得 ，解得 ． 故圆心为 ，半径 ， 圆 的方程为 ． (2) 圆心到直线 的距离 ，故直线与圆相交． 弦长 ． (3) 圆心 到原点的距离为 ， 故最大值为 ，最小值为 ． 【答案】(1) 　(2) 【分析】外切对应圆心距等于半径之和，相交对应介于和与差之间。 【详解】(1) 外切时圆心距等于半径之和，即 ； (2) 相交时圆心距大于半径之差的绝对值且小于半径之和，即 ， 所以 的取值范围是 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：直线与圆的高考真题 1．点 到直线 的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接套距离公式。 【详解】，选 C． 2．圆 的圆心坐标与半径分别是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【分析】配方还原成标准式。 【详解】配方得 ，选 A． 3．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】A 【分析】比较圆心距与半径之和。 【详解】圆心距为 ，半径之和为 ，两圆外离，选 A． 4．直线 的斜率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一般式化为斜截式读取斜率。 【详解】由 得 ， 故斜率为 ，选 B． 5．点 到直线 的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入点到直线距离公式。 【详解】，选 C． 6．圆 的圆心坐标与半径分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】配方得标准方程后读取圆心与半径。 【详解】配方得 ， 故圆心为 ，半径为 ，选 A． 7．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【分析】比较圆心距与两半径之和、之差。 【详解】两圆圆心分别为 ，，圆心距 ，半径分别为 与 ． 因为 ，所以两圆外切，选 D． 8．圆 上的点到直线 的距离的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆心到直线的距离减去半径即为最小距离。 【详解】圆心为 ，半径 ． 圆心到直线 的距离 ． 故圆上的点到该直线距离的最小值为 ，选 A． 二、填空题 9．直线 的斜率是________． 【答案】 【分析】整理成斜截式。 【详解】由 得 ，斜率为 ． 10．直线 在 轴、 轴上的截距之和为________． 【答案】 【分析】分别令 、 求两个截距再相加。 【详解】令 得 ；令 得 ． 故截距之和为 ． 三、解答题 11．已知圆 ：． (1) 求圆 的圆心坐标与半径； (2) 判断原点与直线 、直线 与圆 的位置关系． 【答案】(1) 圆心 ，半径 　(2) 与 相交，与 相切 【分析】先配方求出圆心半径，再比较圆心到直线的距离与半径。 【详解】(1) 配方得 ，圆心为 ，半径为 ； (2) 圆心到直线 的距离为 ，小于半径 ，所以相交； 圆心到直线 的距离为 ，等于半径 ，所以相切． 12．已知圆 ：，圆 ：． (1) 求两圆的公共弦长； (2) 求两圆的公共弦所在直线的方程． 【答案】(1) 　(2) 【分析】两式相减得公共弦所在直线，再求弦长。 【详解】两圆半径都是 ，圆心为原点与 ，圆心距为 ，大于半径之差的绝对值 且小于半径之和 ，所以两圆相交； (1) 两式相减得 ，即 ； 把 代入 得 ，两个交点的纵坐标为 ，弦长为 ． (2) 两式相减得 ，即 ； 13．已知圆 ，直线 ． (1) 求圆 的圆心坐标与半径； (2) 若直线 与圆 相切，求 的值； (3) 当 时，求圆 上的点到直线 距离的最小值． 【答案】(1) 圆心 ，半径 ；(2) ；(3) 【分析】相切时圆心到直线的距离等于半径；距离最小值等于圆心距减半径。 【详解】(1) 配方得 ，故圆心为 ，半径 ． (2) 圆心到直线 的距离为 ． 由相切得 ，即 ， 解得 或 ． (3) 当 时，圆心到直线的距离 ， 故圆上点到直线距离的最小值为 ． 14．已知圆 经过 ，， 三点． (1) 求圆 的方程； (2) 判断直线 与圆 的位置关系，若相交，求公共弦长； (3) 求过点 的圆 的切线方程． 【答案】(1) ；(2) 相交，公共弦长为 ；(3) 或 【分析】用待定系数法求圆方程；弦长用勾股定理；切线按斜率是否存在分类，再用圆心到直线距离等于半径求解。 【详解】(1) 设圆的一般式为 ． 代入 得 ；代入 得 ，即 ； 代入 得 ，即 ． 故圆 的方程为 ，即 ． (2) 圆心 到直线 的距离 ，故直线与圆相交． 公共弦长 ． (3) ，点 在圆外． 当切线斜率不存在时，，圆心到它的距离为 ，不合题意； 当切线斜率存在时，设切线为 ，即 ， 由 得 ， 两边平方得 ，即 ， 解得 或 ． 故切线方程为 或 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $