第3章 代数式 单元自测· 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

第3章 代数式·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·宿迁沭阳期中，公开重排版第9题）下列情境中，所求数量可以用表示的是（　　） A．原有元，又得到元后的钱数 B．每本书元，买本的总价 C．比小的数 D．把千克大米平均装入袋，每袋的质量 【答案】B 【分析】每本元，本共元。其余三项分别为、、，故选。 【详解】每本元，本共元。其余三项分别为、、，故选。 【易错提醒】乘法、加法及平均分所对应的数量关系不同。 2．（改编自2025·扬州广陵期末，公开重排版第5题）系数为，字母只允许为、（不要求同时出现）的二次单项式一共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】可写出、、，共个，故选。 【详解】可写出、、，共个，故选。 【易错提醒】二次指所有字母的指数之和为；先澄清是否要求两字母均出现。 3．（选自2023·镇江期中，公开重排版第13题）若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，故选。 【详解】，故选。 【易错提醒】对整个多项式乘系数；减去多项式时各项均变号。 4．（改编自2024·宿迁沭阳期中，公开重排版第16题）若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，故选。 【详解】，故选。 【易错提醒】；是的相反数。 5．（选自2025·苏州期末，公开重排版第3题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】与相同，因此。另外，与不能合并，，故选。 【详解】与相同，因此。另外，与不能合并，，故选。 【易错提醒】交换因数次序不改变单项式；合并同类项不改变字母指数。 6．（改编自2024·镇江丹徒期中，公开重排版第13题）若与互为相反数，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得。原式，故选。 【详解】由得。原式，故选。 【易错提醒】先用相反数的和为建立关系；不可错写。 7．（改编自2024·宿迁沭阳期中，公开重排版第10题）当时，的值为。则当时，该代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令。当时，，所以；当时，原式，故选。 【详解】令。当时，，所以；当时，原式，故选。 【易错提醒】换成相反数时常数项不变号。 8．（改编自2023·镇江期中，公开重排版第20题）将 化简，结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式，故选。 【详解】原式，故选。 【易错提醒】括号前是正号，各项原有符号不变；与合并为。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第3题）一组由、组成的四位编码从左到右记为，所代表的数为。例如代表。表示的编码是________。 【答案】 【分析】，故编码为。 【详解】，故编码为。 【易错提醒】每位的权值不同；从左到右依次为、、、。 10．（改编自2023·镇江期中，公开重排版第5题）若的值为，则的值为________。 【答案】 【分析】，所以。 【详解】，所以。 【易错提醒】不能把含常数项的整个已知式直接除以后当成目标式。 11．（选自2023·镇江期中，公开重排版第7题）多项式是________次三项式。 【答案】 【分析】三项的次数分别为、、，最大为，故是六次三项式。 【详解】三项的次数分别为、、，最大为，故是六次三项式。 【易错提醒】的次数为。 12．（选自2025·常州武进期中，第14题）《九章算术》中“女子善织，日自倍”意为每天织布的长度都是前一天的倍。若第一天织尺，则第四天织________尺。 【答案】 【分析】第二、三、四天依次为、、。 【详解】第二、三、四天依次为、、。 【易错提醒】第一天到第四天有次翻倍。 13．（选自2024·宿迁沭阳期中，公开重排版第12题）请举一个生活实例，解释代数式的意义：________。 【答案】示例：每本练习本元，买本，另买元的橡皮，共花元（为非负整数）。 【分析】能清楚交代与所表示的同类数量、相加符合情境，且取值合理，即可。答案不唯一。 【详解】能清楚交代与所表示的同类数量、相加符合情境，且取值合理，即可。答案不唯一。 【易错提醒】相加的两个量应具有相同单位；须说明字母表示什么。 14．（节选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第27题）当时，________。 【答案】 【分析】原式。代入得。 【详解】原式。代入得。 【易错提醒】分数前负号与各项系数都应参与运算；与不能合并。 15．（改编自2025·苏州期末，公开重排版第17题）已知，。当时，________。 【答案】 【分析】。代入得。 【详解】。代入得。 【易错提醒】括号内整体除以，外部作用于整个括号。 16．（改编自2025·淮安期末，公开重排版第13题）已知一个量连续两年的年增长率均为，初始值为，两年后的值为，则用含的代数式表示________。 【答案】（或） 【分析】第一年后为，第二年后为。 【详解】第一年后为，第二年后为。 【易错提醒】连续两次增长按前一年结果继续增长，不能把两次增长率简单相加。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2023·镇江期中，公开重排版第6题）某公园成人票每张元，儿童票每张元。购买张成人票、张儿童票，均为非负整数。三名同学列出总票价： 小明：；小华：；小丽：。 （1）哪位同学的式子能正确表示任意购买数量的总票价？说明另外两个式子的错误； （2）若购买张成人票、张儿童票，共需多少元？ 【答案】（1）小明正确；（2）元。 【分析】（1）小明正确。成人票费用为元，儿童票费用为元，两者相加得元。小华把不能合并的两项错误合并成；小丽把两类票价与数量配错了。 【详解】（1）小明正确。成人票费用为元，儿童票费用为元，两者相加得元。小华把不能合并的两项错误合并成；小丽把两类票价与数量配错了。 （2）当，时，总票价为（元）。 【易错提醒】先把单价与对应数量匹配，再把两类费用相加；不同字母项通常不能合并。 【评分标准】（1分）选小明并正确说明总票价数量关系。 （2分）解释另外两个式子的错误。 （2分）代入计算元。 18．（5分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第5题）小明计算时，写出，他的解释是：“系数为”。 （1）指出他的错误，并写出正确的计算结果； （2）当，时，求原式的值。 【答案】（1）第二项系数为，应相加，结果为；（2）。 【分析】（1）原式是，应将系数与相加：。不能把第二个系数再减一次。 【详解】（1）原式是，应将系数与相加：。不能把第二个系数再减一次。 （2）代入，，原式。 【易错提醒】式子已经写成减去正的，不能把运算符号与项的系数再重复计负号。 【评分标准】（2分）指出应将和相加，而不是减。 （1分）化简得。 （2分）代入求得。 19．（6分）（节选自2025·扬州广陵期末，公开重排版第26题）化简： （1）； （2）。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）原式。 【详解】（1）原式。 （2）原式。 【易错提醒】去括号后要保留每一项，常数项也要变号。 【评分标准】（3分）（1）去括号与合并同类项正确。 （3分）（2）去括号与合并同类项正确。 20．（6分）（改编自2023·镇江期中，公开重排版第4题）对有理数，定义一种新运算：。例如。 （1）求； （2）用含的式子表示，并化简，说明结果与哪些字母的取值无关。 【答案】（1）；（2），与无关。 【分析】（1），所以。 【详解】（1），所以。 （2）。结果只含，与的取值无关。 【易错提醒】新运算按定义计算，不能直接套普通乘法或忽略嵌套顺序。 【评分标准】（2分）先求星，再求星。 （2分）正确列出两个代数式之差。 （2分）去括号合并得并说明与、无关。 21．（6分）（选自2023·镇江期中，公开重排版第26题）先化简，再求值：，其中，，且。 【答案】；。 【分析】原式。 【详解】原式。 因为且，所以。又，故。 代入得。 【易错提醒】内层括号外负号、外层中括号外负号要逐层处理；由选定。 【评分标准】（2分）正确去掉内外括号。 （1分）合并得。 （1分）由条件确定。 （2分）代入得。 22．（8分）（改编自2024·宿迁沭阳期中，公开重排版第22题）已知，。 （1）化简； （2）单项式与的和仍是单项式，求的值； （3）的值与、是否有关？说明理由。 【答案】（1）；（2）；（3）无关，恒为。 【分析】（1）。 【详解】（1）。 （2）两个单项式的和仍是单项式，且原系数和，故它们为同类项。因此，，即。所以。 （3），故与、都无关。 【易错提醒】指数匹配要逐个字母进行；不能只要求总次数相等。 【评分标准】（2分）化简。 （3分）利用同类项确定、。 （1分）算出。 （2分）化简并说明无关。 23．（8分）（改编自2025·苏州期末，公开重排版第1题）用小木棒搭等边三角形网格：第个图形把大等边三角形的每条边等分为份，过分点画与三条边分别平行的网线，每一条最短线段放根小木棒，各棒只在端点接触。前个图形如图，所需小木棒依次为根。 （1）第个图形需要多少根小木棒？ （2）设第个图形需根小木棒，写出的表达式，并说明理由； （3）求第个图形的小木棒根数。 参考材料：（为正整数）。 【答案】（1）根；（2）；（3）根。 【分析】（1）第个图形中，沿任一方向的小木棒分别有根，共根；三个方向互不重复，共根。 【详解】（1）第个图形中，沿任一方向的小木棒分别有根，共根；三个方向互不重复，共根。 （2）三个方向各有根小木棒，故。 （3），所以第个图形需要根。 【易错提醒】按三个平行方向分类计数，不能只由三个数猜不受条件约束的通项。 【评分标准】（2分）第图根。 （2分）说明每方向有…根。 （2分）三个方向相加得正确通式。 （2分）算出第图根。 24．（8分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第20题）某服装厂生产西服，每套成本元。每套售价元时每天可售套；每套售价每降低元，每天可多售套，且在题设范围内此规律保持不变。 （1）原价销售每天获利多少元； （2）每套降价元时，每天销量、利润各是多少； （3）只研究售价不低于成本的降价档。设每套降价元，其中是满足的整数，用含的代数式分别表示售价、销量和日利润； （4）分别计算与时的日利润，比较哪种降价更合适。 【答案】（1）元；（2）套，元；（3），，；（4）元、元，更高。 【分析】（1）原价每天获利（元）。 【详解】（1）原价每天获利（元）。 （2）降价元，单套利润为（元），销量为（套），日利润为（元）。 （3）降价元后，售价为元，销量为套，单套利润为元，日利润为元。此问只列式，不要求展开多项式乘积。这里为的整数，表示从不降价到售价等于成本的各个降价档。 （4）时，日利润为元；时为元。两者比较，时日利润高元。 【易错提醒】日利润=每套利润×销量；降价后的售价不能直接当利润。 【评分标准】（2分）原价日利润正确。 （2分）降元的销量及利润正确。 （2分）售价、销量、利润三个式子正确。 （2分）两数值正确并比较。 25．（10分）（改编自2024·南京鼓楼期中，第24题，公开预览第4页）三阶幻方是一个方格，每行、每列和每条对角线上的个数之和都相等，这个和叫“幻和”。设中心数为、幻和为。 （1）证明； （2）图中方格为一个幻和为的三阶幻方，左上为、右上为、中左为、下中为。求中心数与； （3）把此幻方的每一个数都加上，求新中心数及新幻和，并说明二者仍满足何关系。 【答案】（1）；（2）中心数，；（3）中心数，幻和，仍有幻和为中心数的倍。 【分析】（1）九个数的总和等于三行之和，为。中间一行、中间一列与两条对角线的和为；其中除中心数被计算次以外，其余各数均被计算次。因此，得。 【详解】（1）九个数的总和等于三行之和，为。中间一行、中间一列与两条对角线的和为；其中除中心数被计算次以外，其余各数均被计算次。因此，得。 （2）中心数为。由右上、中心、左下的对角线可知左下为。由第一列得；由另一对角线得右下为；由最后一行得，故。 （3）每行、每列、每条对角线都恰有个数，各加后其和均增加，仍为幻方。新中心数为，新幻和为，仍为中心数的倍。 【易错提醒】计算四条中线、对角线总和时，中心重复计数次，而不是只多算一次。 【评分标准】（1分）用表示九数总和。 （2分）正确解释并得到结论。 （1分）求中心。 （2分）求、及和。 （2分）新中心、幻和正确。 （2分）说明仍为倍且仍是幻方。 26．（10分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第22题）在一个圆圈上依次放四个有理数。规定每次操作为：任选两个相邻的位置，把这两个数同时加上同一个有理数，其他两个数不变；首尾两个位置也相邻。 （1）说明无论怎样操作，代数式的值不变； （2）初始四数依次为，至少操作几次才能使四数相同？写出操作过程，并说明为什么次数最少； （3）能否把以某种次序放在圆圈上，再经若干次操作使四数相同？说明理由。 【答案】（1）不变；（2）次；（3）不能。 【分析】（1）四个相邻对依次为、、、。任一对中的两个数在中系数总是一正一负；同加后改变量为。故该式的值保持不变。 【详解】（1）四个相邻对依次为、、、。任一对中的两个数在中系数总是一正一负；同加后改变量为。故该式的值保持不变。 （2）先给第、个位置同时加，得到；再给第、个位置同时加，得到，共次。初始四个数互不相同，一次操作总有两个位置未改变，它们仍不相同，因此一次不可能，最少为次。 （3）若最终四数相同，则，从而初始相对两位置的和应相等。初始总和为，若两组相对位置和相同，则每组和应为；但原四数均为整数，任意两数之和是整数，不可能等于。因此无论怎样排列都不能。 【易错提醒】相邻操作保持的是交错和；最后四数相同会使交错和为。 【评分标准】（2分）枚举/解释相邻对在交错和中的相反系数。 （1分）说明交错和不变。 （2分）给出两次有效操作。 （1分）证明一次操作不可能。 （2分）由相对和相同推出总和平分。 （2分）利用整数与矛盾得不能。 27．（10分）（改编自2025·扬州广陵期末，公开重排版第27题）一个四位数的前两位数字相同且各位数字均不为，称为“同首数”。把它的个位数字移到最前面，其余三位顺序不变，得到“移位数”。记原数减移位数所得的差为。例如。 （1）计算与； （2）若一个同首数的千位、百位均为，十位为，个位为，用含的代数式表示； （3）若同首数的千位为，原数能被整除，移位数能被整除，求的最大值，并写出对应原数。（可用：一个整数能被整除，当且仅当各位数字之和能被整除。） 【答案】（1），；（2）；（3）最大值，原数。 【分析】（1）；。 【详解】（1）；。 （2）原数为，移位数为。故。 （3）原数为，由原数能被整除知为偶数，且能被整除；移位数为，由其能被整除知为偶数。因此均在中，。 当时，即使，也有。故最大值只能在时取得。此时能被整除，偶数数字只能为，所以。 检验：，移位数为偶数；。故最大值为。 【易错提醒】移位后各数字所占数位改变；被整除必须同时满足被和整除。 【评分标准】（1分）两个值各正确。 （2分）正确写出原数及移位数。 （1分）化简得。 （2分）确定、为非零偶数数字及的整除条件。 （2分）排除并确定、。 （2分）检验并求最大值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。题型及分值参照2026年苏州市中考数学，本卷内容仅限本章。请在本卷预留区域作答。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·宿迁沭阳期中，公开重排版第9题）下列情境中，所求数量可以用表示的是（　　） A．原有元，又得到元后的钱数 B．每本书元，买本的总价 C．比小的数 D．把千克大米平均装入袋，每袋的质量 2．（改编自2025·扬州广陵期末，公开重排版第5题）系数为，字母只允许为、（不要求同时出现）的二次单项式一共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（选自2023·镇江期中，公开重排版第13题）若，，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（改编自2024·宿迁沭阳期中，公开重排版第16题）若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（选自2025·苏州期末，公开重排版第3题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（改编自2024·镇江丹徒期中，公开重排版第13题）若与互为相反数，则的值是（　　） A． B． C． D． 7．（改编自2024·宿迁沭阳期中，公开重排版第10题）当时，的值为。则当时，该代数式的值为（　　） A． B． C． D． 8．（改编自2023·镇江期中，公开重排版第20题）将 化简，结果为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第3题）一组由、组成的四位编码从左到右记为，所代表的数为。例如代表。表示的编码是________。 10．（改编自2023·镇江期中，公开重排版第5题）若的值为，则的值为________。 11．（选自2023·镇江期中，公开重排版第7题）多项式是________次三项式。 12．（选自2025·常州武进期中，第14题）《九章算术》中“女子善织，日自倍”意为每天织布的长度都是前一天的倍。若第一天织尺，则第四天织________尺。 13．（选自2024·宿迁沭阳期中，公开重排版第12题）请举一个生活实例，解释代数式的意义：________。 14．（节选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第27题）当时，________。 15．（改编自2025·苏州期末，公开重排版第17题）已知，。当时，________。 16．（改编自2025·淮安期末，公开重排版第13题）已知一个量连续两年的年增长率均为，初始值为，两年后的值为，则用含的代数式表示________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2023·镇江期中，公开重排版第6题）某公园成人票每张元，儿童票每张元。购买张成人票、张儿童票，均为非负整数。三名同学列出总票价： 小明：；小华：；小丽：。 （1）哪位同学的式子能正确表示任意购买数量的总票价？说明另外两个式子的错误； （2）若购买张成人票、张儿童票，共需多少元？ 18．（5分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第5题）小明计算时，写出，他的解释是：“系数为”。 （1）指出他的错误，并写出正确的计算结果； （2）当，时，求原式的值。 19．（6分）（节选自2025·扬州广陵期末，公开重排版第26题）化简： （1）； （2）。 20．（6分）（改编自2023·镇江期中，公开重排版第4题）对有理数，定义一种新运算：。例如。 （1）求； （2）用含的式子表示，并化简，说明结果与哪些字母的取值无关。 21．（6分）（选自2023·镇江期中，公开重排版第26题）先化简，再求值：，其中，，且。 22．（8分）（改编自2024·宿迁沭阳期中，公开重排版第22题）已知，。 （1）化简； （2）单项式与的和仍是单项式，求的值； （3）的值与、是否有关？说明理由。 23．（8分）（改编自2025·苏州期末，公开重排版第1题）用小木棒搭等边三角形网格：第个图形把大等边三角形的每条边等分为份，过分点画与三条边分别平行的网线，每一条最短线段放根小木棒，各棒只在端点接触。前个图形如图，所需小木棒依次为根。 （1）第个图形需要多少根小木棒？ （2）设第个图形需根小木棒，写出的表达式，并说明理由； （3）求第个图形的小木棒根数。 参考材料：（为正整数）。 24．（8分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第20题）某服装厂生产西服，每套成本元。每套售价元时每天可售套；每套售价每降低元，每天可多售套，且在题设范围内此规律保持不变。 （1）原价销售每天获利多少元； （2）每套降价元时，每天销量、利润各是多少； （3）只研究售价不低于成本的降价档。设每套降价元，其中是满足的整数，用含的代数式分别表示售价、销量和日利润； （4）分别计算与时的日利润，比较哪种降价更合适。 25．（10分）（改编自2024·南京鼓楼期中，第24题，公开预览第4页）三阶幻方是一个方格，每行、每列和每条对角线上的个数之和都相等，这个和叫“幻和”。设中心数为、幻和为。 （1）证明； （2）图中方格为一个幻和为的三阶幻方，左上为、右上为、中左为、下中为。求中心数与； （3）把此幻方的每一个数都加上，求新中心数及新幻和，并说明二者仍满足何关系。 26．（10分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第22题）在一个圆圈上依次放四个有理数。规定每次操作为：任选两个相邻的位置，把这两个数同时加上同一个有理数，其他两个数不变；首尾两个位置也相邻。 （1）说明无论怎样操作，代数式的值不变； （2）初始四数依次为，至少操作几次才能使四数相同？写出操作过程，并说明为什么次数最少； （3）能否把以某种次序放在圆圈上，再经若干次操作使四数相同？说明理由。 27．（10分）（改编自2025·扬州广陵期末，公开重排版第27题）一个四位数的前两位数字相同且各位数字均不为，称为“同首数”。把它的个位数字移到最前面，其余三位顺序不变，得到“移位数”。记原数减移位数所得的差为。例如。 （1）计算与； （2）若一个同首数的千位、百位均为，十位为，个位为，用含的代数式表示； （3）若同首数的千位为，原数能被整除，移位数能被整除，求的最大值，并写出对应原数。（可用：一个整数能被整除，当且仅当各位数字之和能被整除。） 1 学科网（北京）股份有限公司 $