3.1.3椭圆综合应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.1.3　椭圆的综合应用 导学案 课　题 椭圆的综合应用 学 校 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．掌握焦点三角形的周长与面积公式、焦半径公式，能灵活运用椭圆定义解决问题。 2．掌握直线与椭圆的位置关系，会用韦达定理求弦长，会用”点差法”处理中点弦问题。 3．了解椭圆在卫星轨道等方面的实际应用，体会数学建模思想。 二、学习重难点 重点：焦点三角形面积公式、弦长公式、中点弦的”点差法”。 难点：焦点三角形面积公式的推导；直线与椭圆相交时判别式的灵活使用。 三、知识链接 1．椭圆定义：，且 。 2．椭圆 的焦点为 、，离心率 。 3．思考：点 在椭圆上运动时， 的周长与面积怎样变化？ 四、探究新知 探究一：焦点三角形的周长与面积 设 是椭圆 上一点，、 为焦点。 周长　 的周长为 是一个定值。 面积　设 ，，。由余弦定理： 整理得 。于是 的面积 图1　焦点三角形 探究二：焦半径公式 设 是椭圆 上一点，则 其中 。由此可得 、 的取值范围都是 。 推导　将 代入距离公式： 探究三：直线与椭圆的位置关系 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到关于另一个未知数的一元二次方程。设其判别式为 ，则 直线与椭圆相交， 相切， 相离。 设直线 与椭圆交于 、 两点，则弦长 图2　直线与椭圆相交 探究四：中点弦与点差法 设弦 的中点为 ，、 在椭圆 上。由 两式相减，得 因为 ，，所以直线 的斜率 探究五：椭圆的实际应用 1．卫星轨道：人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，近地点、远地点到地心的距离分别为 、。 2．光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆反射后通过另一个焦点（如聚光灯反光镜面）。 图3　卫星轨道示意图 五、典例精析 例 1 已知 是椭圆 上一点，、 是椭圆的两个焦点。（1）求 的周长；（2）若 ，求 的面积。 解　（1）由方程知 ，，。 的周长为 。 （2）由焦点三角形面积公式，得 例 2 已知直线 与椭圆 交于 、 两点，求弦长 。 解　将 代入 ，得 整理得 。设 、，则 ，。由弦长公式： 例 3（中点弦） 已知椭圆 ，求以 为中点的弦所在直线的方程。 解　设弦的端点为 、，则两点坐标满足椭圆方程，两式相减得 因 ，，故直线斜率 。 所求直线方程为 ，即 。 例 4（实际应用） 某人造地球卫星的近地点、远地点分别距地心 、，求卫星轨道椭圆的长半轴长、半焦距和离心率。 解　设轨道椭圆的长半轴长为 、半焦距为 ，地心为一个焦点，则 ，，解得 ，，故离心率 。 六、巩固训练（当堂检测） 1．已知 为椭圆 上一点，、 为两焦点，求 的周长。 2．若 ，求第 1 题中 的面积。 3．已知直线 与椭圆 交于 、 两点，求 。 4．已知椭圆 ，求以 为中点的弦所在直线的方程。 5．某人造地球卫星的近地点、远地点分别距地心 、，求该轨道的离心率。 七、课堂小结 1．焦点三角形：周长 （定值）；面积 。 2．焦半径：，，范围均为 。 3．直线与椭圆：联立后用判别式判位置、韦达定理求弦长。 4．中点弦：点差法得 。 5．实际应用：卫星轨道以地心为焦点；椭圆的光学性质有广泛应用。 参考答案与解析 1．【答案】　 【解析】　由 知 ，。 的周长为 。 2．【答案】　 【解析】　由焦点三角形面积公式，。 3．【解】　将 代入 ，得 ，整理得 。设交点为 、，则 ，。由弦长公式： 4．【解】　设弦的端点为 、，中点 。两点代入椭圆方程相减，得 故 。所求直线为 ，即 。 5．【解】　设长半轴长为 、半焦距为 ，则 ，，解得 ，。离心率 。 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版（2019）选择性必修一 · 第三章 圆锥曲线 3.1.3　椭圆的综合应用 导学案 课　题 椭圆的综合应用 学 校 班　级 ____________ 姓　名 ____________ 一、学习目标 1．掌握焦点三角形的周长与面积公式、焦半径公式，能灵活运用椭圆定义解决问题。 2．掌握直线与椭圆的位置关系，会用韦达定理求弦长，会用”点差法”处理中点弦问题。 3．了解椭圆在卫星轨道等方面的实际应用，体会数学建模思想。 二、学习重难点 重点：焦点三角形面积公式、弦长公式、中点弦的”点差法”。 难点：焦点三角形面积公式的推导；直线与椭圆相交时判别式的灵活使用。 三、知识链接 1．椭圆定义：，且 。 2．椭圆 的焦点为 、，离心率 。 3．思考：点 在椭圆上运动时， 的周长与面积怎样变化？ 四、探究新知 探究一：焦点三角形的周长与面积 设 是椭圆 上一点，、 为焦点。 周长　 的周长为 是一个定值。 面积　设 ，，。由余弦定理： 整理得 。于是 的面积 图1　焦点三角形 探究二：焦半径公式 设 是椭圆 上一点，则 其中 。由此可得 、 的取值范围都是 。 推导　将 代入距离公式： 探究三：直线与椭圆的位置关系 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到关于另一个未知数的一元二次方程。设其判别式为 ，则 直线与椭圆相交， 相切， 相离。 设直线 与椭圆交于 、 两点，则弦长 图2　直线与椭圆相交 探究四：中点弦与点差法 设弦 的中点为 ，、 在椭圆 上。由 两式相减，得 因为 ，，所以直线 的斜率 探究五：椭圆的实际应用 1．卫星轨道：人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，近地点、远地点到地心的距离分别为 、。 2．光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆反射后通过另一个焦点（如聚光灯反光镜面）。 图3　卫星轨道示意图 五、典例精析 例 1 已知 是椭圆 上一点，、 是椭圆的两个焦点。（1）求 的周长；（2）若 ，求 的面积。 解　（1）由方程知 ，，。 的周长为 。 （2）由焦点三角形面积公式，得 例 2 已知直线 与椭圆 交于 、 两点，求弦长 。 解　将 代入 ，得 整理得 。设 、，则 ，。由弦长公式： 例 3（中点弦） 已知椭圆 ，求以 为中点的弦所在直线的方程。 解　设弦的端点为 、，则两点坐标满足椭圆方程，两式相减得 因 ，，故直线斜率 。 所求直线方程为 ，即 。 例 4（实际应用） 某人造地球卫星的近地点、远地点分别距地心 、，求卫星轨道椭圆的长半轴长、半焦距和离心率。 解　设轨道椭圆的长半轴长为 、半焦距为 ，地心为一个焦点，则 ，，解得 ，，故离心率 。 六、巩固训练（当堂检测） 1．已知 为椭圆 上一点，、 为两焦点，求 的周长。 2．若 ，求第 1 题中 的面积。 3．已知直线 与椭圆 交于 、 两点，求 。 4．已知椭圆 ，求以 为中点的弦所在直线的方程。 5．某人造地球卫星的近地点、远地点分别距地心 、，求该轨道的离心率。 七、课堂小结 1．焦点三角形：周长 （定值）；面积 。 2．焦半径：，，范围均为 。 3．直线与椭圆：联立后用判别式判位置、韦达定理求弦长。 4．中点弦：点差法得 。 5．实际应用：卫星轨道以地心为焦点；椭圆的光学性质有广泛应用。 学科网（北京）股份有限公司 $