同底数的指数函数与对数函数交点个数问题

同底数的指数函数与对数函数交点个数的研究 李腾龙 前不久，看到贵阳市贵阳一中2026-2027学年度上学期高三质量检测卷压轴题出现了 一道研究同底数的指数函数和对数函数交点个数的问题，如下： 【原题】设a>0,a≠1，函数f(x)=a',gx)=log。x. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程； (2)当a=e时，证明：f(x)-g(x)>2: (3)若方程f(x)=g(x)有三个实数解，求实数a的取值范围. 笔者对同底数的指数函数和对数函数交点的各种情况通过改编题目后作了一个全面的 研究。 已知函数fx=a-log。x,a∈0,1U1,+ool. (1)若fx在其定义域上没有零点，求a的陬值范围； (2)若fx在其定义域上有一个零点，求a的取值范围； (3)若fx在其定义域上有两个零点，求a的取值范围； (4)若fx在其定义域上有三个零点，求a的取值范围； 【解析】函数fx=a-log。x,a∈0,1U1,+o∞的零点即fx=0的解的个数。 令fx=0变形得a'=logax,即 logax -1=0. ax 令h(x)=1o8.x-1 ax 若a>1,当x-0时，hx=1o8。X-1-0,X-+a时.hx-1, a 1a-log。x-alna 1_Inx.Ina 此时h(x)=lna xina ina=11-xIn a2x ax ax.x Ina 当0<x≤1时，xhx≤0，而na 11-xInx>0, >0,故a·xna 则hx>0,hx在0,1内单调递增，hx<h1=-1<0. 当xl,令x对。xhx则x)-1-nx0, 战k×在1，+上单调诺减1d。0, ke品e品1-e品<0 1 1} InaIna Ina 故存在，∈1，+w.使得x,=阳：品。=n一1=xh加ln=ln。n (1) 且当x∈1，xo时，k(x)>0即h(x)>0,当x∈(x,+oo时，k(x)<0即h(x)<0, 故h(X=1o3。X-1在0，X上单调递赠，在0+0上单调递减 a hle=ha)=1og,%a-1=Im xo-1=nx1,%(1,+) axolna axolnaxo 当hXh-1<0时fx在定义域上没有零点： axoln axo 当hxa =X,ln,-1=0时fx在其定义域上有一个零点： axoln axo 当h(xnax= X。l血X,-1>0时fx在其定义域上有两个零点： axoln axo 若hxa xlh-1<0,即ana xoln xo<1. axoln axo 因为x∈(1，+o),a>1,所以a>0,lna>0故xlnx<a*Ina。 设px=xnx,x∈1，+∞.则px=lnx+1>2>0在x∈(1，+∞恒成立。 所以px=xlnx在x∈1，+o∞上单调递增， 所以由xlnx<a*ona知x<ao一lnx<na一lnx}<lnao.lnx。=1 所以nx,<1一1<x,<e一xlhX,<e,所以7na =Xolnxo<e=Ina>1-aze 所以a>e时fx在其定义域上没有零点。（下图是a=2时的情形） 5 4f)=2 h:y =x g(x)=log2(x) 72345 xlam5Xonx-1=0.即aha aoln axo glnx=1则xlhx=alna。 同理由px=xlx在x∈(1，+o∞上单调递增 知x=a*o=lnxo=lna*=lnx2=lnao-lnx。=1 所h%-1一=e一6nX=e所以点xn=g一加-是一u=g 所以a=时fx在定义域上有一个零点。（如图所示） )=(e) g(x)=log(x) 若lXh。-I0,即加>1则xnx%>aha axoln axo axolnaxo 同理由px=xlnx在x∈(1，+oo上单调递增 知xo>a=lnx>lnao一lnx2>lna.lnx=1 议nx>=x>e=xnwe所To Inx,>e→na=1Ka心。 e 所以1<a<e时fx在其定义域上有两个零点。（下图是Q=1.12时的情形） 40 gx)=1og12() f(x)=112 0 20 30 40 由上也可以知道a>1时fx在其定义域上至多有两个零点，所以fx有三个零点要在 0<a<1的情况下研究。 4 当0<a<1时，因为当x≥1时，a>0≥logax,故a-logax>0, 故仅在0,1上讨论方程f（x)=0是否有三个实数解， 即当0<a<1,X∈(0,1时，hx138。X-1是否有3个不同的零点有3个不同的零点 a 时a的取值范围是什么？ 注意到当X-0时，hx13。X-1→+0，X-1时，hX-1 1·a-logax.a'Ina 1_Inx.Ina h'(x)=xIna ”_xIna Ina_= 11-xInx Q+ '·xlna 令mx刘。hx,xe@,m(x刘-1-lnx 1 当0<x<。时，m(x)=-1-lnx>0,当。<x<1时，m(x)=-1-lhx<0, mx在0，日上单调递增，在。，1上单调递减 e 又x,0时，mX。0,X,1时，mx。0, 1=1+1=e+lna e Ina e elna' 当m 日0，me≤a<1时，mx≤0，h(xs0, 故hx在0,1上单调递减，所以h(x在0,1上存在唯一零点； 1 e 所以e°≤a<1时fx在0,1上存在唯一个零点。（下图是a= 和a=0.08时的情形) e 5 g(x)=logoo8(x) h:y x 0.5 f(x)=0.08 阳=r同入四=（目” 020406 0.5 >0,m0<a<e时， 当me 在xeo,飞el 使得mx1=mx2=0 当0<x<x或x2<x<1时，m(x)<0,h(x)<0, 故hx在0，x,(x2,1上单调递减， 当x1<x<xz时，m(x>0,h(x)>0,故hx在x1,x2上单调递增 因为d。xhx=0,周 1=x;Ina, 1=x:Inxi,Inxi max-1-1=klbxf。:立-1e ennm-1,令rx=x-+lnX,X<0, 同理hx,=e 心x灯-1++是-小≥0，故xx女nx在-m,0上单两g 12 注意到nx1<-1,lnx,>-1,所以hx=e-1<e--1=0, hx2=e-1>e-1=0, 从而当0<a<e时，fx在其定义域上有三个零点。（下图是a=0.02时的情形） 6 fx)=0.02 g(x)=logoo2(x) 60402 0204060612 02 综上有如下结论： 当a>e时fx在其定义域上没有零点。 当a=e或e‘≤a<1时fx在其定义域上有-个零点。 当1<a<e时fx在其定义域上有两个零点。 当0<a<e时，fx在其定义域上有三个零点。