精品解析：上海市卢湾高级中学2026-2027学年高二上学期期中模拟考试数学试卷

2026学年卢湾高级中学高二期中模拟考试数学试卷 学校：____________姓名：____________班级：____________考号：____________ 一、填空题（54分） 1. 小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角，则上述各种“角”的取值范围是的有_______（请填写序号）. 【答案】 ③ 【解析】 【分析】根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的定义分别确定三者的取值范围判断即可. 【详解】两条异面直线所成的角的取值范围为，不符合要求； 直线与平面所成的角的取值范围为，不符合要求； 二面角的取值范围为，符合要求. 2. 下列情景可能发生或说法正确的是_____________（填上所有符合题意的序号） （1）Y老师在数学课上证明了“不在同一直线上的三点确定一个平面”； （2）J老师在数学课上证明了“两条平行直线确定一个平面”； （3）两平面向量夹角的范围记作集合A，线面角的范围记作集合B，二面角的平面角的范围记作集合C，则． 【答案】 （2） 【解析】 【详解】对于（1），由平面的性质基本事实1，可知不在同一直线上的三点确定一个平面，但基本事实是不需要证明的，故错误； 对于（2），由平面的性质推论可知，两条平行直线确定一个平面，J老师可证明这个结论，故正确； 对于（3），，，，则，故错误. 3. 已知，则直线与的位置关系为_________. 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】根据面面平行的性质即可判断. 【详解】因为，所以直线与不相交，可能平行或异面. 故答案为：平行或异面. 4. 空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接由等角定理求解即可. 【详解】根据等角定理可知与相等或互补，又， 所以或， 故答案为：或. 5. 已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据面面平行的性质定理可得答案. 【详解】由题意知，且， 根据面面平行的性质定理可得， 故答案为： 6. 下来命题中，真命题的编号为__________． （1）若直线与平面斜交，则内不存在与垂直的直线； （2）若直线平面，则内不存在与不垂直的直线； （3）若直线与平面斜交，则内不存在与平行的直线； （4）若直线平面，则内不存在与不平行的直线． 【答案】（2）（3） 【解析】 【分析】举例判断（1）；根据线面垂直的性质分析判断（2）；根据反证法及线面平行的判定定理分析判断（3）；举例判断（4）． 【详解】对于（1），如图，在长方体中，直线与平面斜交，，故假命题； 对于（2），若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都垂直， 所以内不存在与不垂直的直线，故为真命题； 对于（3），若直线与平面斜交，则内不存在与平行的直线，否则根据线面平行的判定定理可知与平面平行，这与已知条件相矛盾，故为真命题； 对于（4），如图，直线平面，，与不平行，是异面直线，故为假命题， 故答案为：（2）（3）． 7. 为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是____________. 【答案】平行 【解析】 【分析】由 ，可知四点共面，结合线面平行的判定定理和性质定理即可判断. 【详解】由题意，则四点共面， 因为平面，平面，，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面. 故答案为：平行. 8. 在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】由异面直线所成的角可求得长方体的高，即可得出结果. 【详解】如下图所示： 由长方体性质可知与平行， 所以即为异面直线与CD所成的角，即， 又因为为直角三角形，， 又，所以； 可得， 易知到底面ABCD的距离为. 故答案为： 9. 设直线与平面斜交于点，动点且不与重合，若直线与平面所成角为，则直线与直线所成角的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的定义可知与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，直线所成角的定义知最大角为直角. 【详解】由题可知直线与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以与直线所成的角的最小值为，又为相交直线，则直线与所成角的最大值为， 故直线与直线所成角的取值范围是. 10. 正四面体（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形）中，相邻两个面所成二面角的大小为________________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图形，结合对称性找出一个二面角的平面角，求解直角三角形可得解. 【详解】如图，四面体为正四面体，设正四面体的棱长为， 过点作平面，则为底面三角形中心， 连接，并延长交于点，则为中点，连接， 则，， 所以为二面角的平面角，，， 在中，， 所以， 即正四面体相邻两个面所成的二面角的大小为. 11. 图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为______．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】由题知直角顶点到中位线的距离为，再结合纸张的厚度与二面角的平面角为的关系求解即可. 【详解】因为等腰直角三角形的直角边长为4cm， 所以斜边上的高为cm， 因为中位线平行于斜边， 所以直角顶点到中位线的距离为， 设边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角为， 则纸张的厚度为，即， 因为边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张， 所以，解得， 所以，所求二面角的平面角至少为. 12. 如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可. 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 二、单选题 13. 已知，m是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，不在内，则l，m是异面直线 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判定定理及性质定理，逐一判断各选项命题的正误． 【详解】对于A，若，，则与的位置关系为平行、相交或异面，不一定为异面直线， 故A错误； 对于B，若，则与的位置关系为平行、相交或异面，不一定平行，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，由线面垂直的性质可知：若一条直线垂直于一个平面， 则该直线垂直于平面内的任意一条直线，因此当，时，，故D正确． 14. 在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（ ） A. 异面且垂直 B. 不异面且垂直 C. 异面且不垂直 D. 不异面且不垂直 【答案】A 【解析】 【分析】先通过投影证明垂直于平面POC，再有平面POC与平面POM共面，从而得到EF垂直于平面POM内的MP，最后结合两直线不共面，得出MP与EF异面且垂直的结论. 【详解】设在底面的投影为， 易得平面，因为平面，所以， 因为分别为的中点，且为底面中心，所以， 因为平面，平面，，所以平面， 易得平面与都在平面内，所以平面， 因为平面，所以，因为直线与直线不共面， 所以直线与直线异面且垂直. 15. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体的性质，借助平行关系转化异面直线所成角，即可求解. 【详解】如图： ①若两异面直线为和，因为平面，平面，所以，即此时两直线所成的角为，所以此时余弦值为 ②若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为，即此时余弦值为. ③若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为即此时余弦值为. ④若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为， 且， 则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是， 故选：B. 16. 在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】利用面面平行判定定理结合已知条件求出的轨迹，再求出点的轨迹长度． 【详解】 、、分别是棱、、的中点， ，平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又平面， 平面平面， 直线与平面无交点，等价于平面， 平面，且平面平面， 平面时，平面， 是正方体表面的点， 轨迹为平面与正方体表面的交线，即的三边， 正方体边长为2， ，，， 点的轨迹长度为，故D正确． 故选：D． 三、解答题（78分） 17. 在空间四边形中，； （1）若分别是的中点，求证：四点共面； （2）若分别是的中点，求：异面直线所成角的大小. 【答案】（1） 由于分别是的中点，故, 故四点共面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可求证， （2）由基底表示向量，即可模长公式以及数量积的运算律，结合向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 , 由于，不妨设棱长为2， 由于， 故 ， ， 故， 因此异面直线所成角的余弦值为，故所成角的大小为 18. 一山坡的倾斜度（山坡面与水平面所成二面角的度数）是，斜坡上一直道，它和坡脚成，为解决山腰处居民的饮水问题，有甲、乙两种方案． 方案甲：一次性投资12万元打深水井，取用与坡脚水平的暗河中的水（经检验符合饮用水标准）； 方案乙：沿铺设自来水管道，第一个费用为1万元，以后每往上一个所需费用比前一个的费用扩大1倍； 如果处高出暗河，那么选用哪个方案比较合理？请你说明理由．（不考虑其他因素） 【答案】甲合理，理由如下： 如图所示，是坡面，是直道，设． 设是点到水平面的垂线，垂足，作且交于，连结． 根据三垂线定理，得就是坡面和水平面所成的二面角的平面角． 由题意得，． 因此，．则． 方案乙：铺自来水管道所需费用万元，万元， 万元，万元， 总共需要费用万元万元． 故选用方案甲比较合算． 【解析】 【分析】先利用二面角的定义，结合正弦函数的定义求得的长，从而求得方案乙所需费用，进而得解. 【详解】略 19. 如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】（1） 在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2） 如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3） 如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明. （2）连接，由线线垂直可得线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可证明. （3）连接，，，可证平面平面，再由面面垂直可得平面，由面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求二面角的大小； （3）若平面平面，平面平面，试分析直线与的位置关系，并证明你的结论. 【答案】（1）记正方形对角线与交于点，则为中点，. 因为四边形是矩形，是中点，所以，且， 因此且，四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 由线面平行判定定理得平面. （2） （3），证明如下： 由（1）已证平面， 又平面，平面平面，根据线面平行的性质定理，得. 同理，平面，平面平面， 再由线面平行的性质定理，得. 由平行公理，可得. 【解析】 【分析】（1）找的中点，构造平行四边形，再结合线面平行的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系用向量的方法计算面面角，从而可得二面角； （3）直接根据线面平行的性质及平行公理可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，交线为，是矩形，故， 得平面，又因为，所以平面， 因此两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系： 则，则平面的一个法向量为， ，设平面的法向量为， 由​，得，取，得. 设平面与平面的夹角为： ， ，得，即二面角的大小为. 【小问3详解】 略 21. 如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. （1）证明：； （2）求证：平面； （3）直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为平面平面， 所以平面， 又平面平面平面，所以. （2）取中点，连接， 则在中，， 又在中，， 则， 即四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. （3）存在，为中点；当为中点时，平面平面. 证明如下：取的中点为，连接， 则在中，， 又平面平面，则平面， 同理可证，平面， 又平面 ， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）先证明线面平行，再用线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过构造辅助线，在平面找到与平行的线，利用线面平行的判定定理可证明. （3）构造中点，面面平行的判定定理证明平面平面，可确定的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年卢湾高级中学高二期中模拟考试数学试卷 学校：____________姓名：____________班级：____________考号：____________ 一、填空题（54分） 1. 小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角，则上述各种“角”的取值范围是的有_______（请填写序号）. 2. 下列情景可能发生或说法正确的是_____________（填上所有符合题意的序号） （1）Y老师在数学课上证明了“不在同一直线上的三点确定一个平面”； （2）J老师在数学课上证明了“两条平行直线确定一个平面”； （3）两平面向量夹角的范围记作集合A，线面角的范围记作集合B，二面角的平面角的范围记作集合C，则． 3. 已知，则直线与的位置关系为_________. 4. 空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 5. 已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是________. 6. 下来命题中，真命题的编号为__________． （1）若直线与平面斜交，则内不存在与垂直的直线； （2）若直线平面，则内不存在与不垂直的直线； （3）若直线与平面斜交，则内不存在与平行的直线； （4）若直线平面，则内不存在与不平行的直线． 7. 为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是____________. 8. 在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为________ 9. 设直线与平面斜交于点，动点且不与重合，若直线与平面所成角为，则直线与直线所成角的取值范围是__________. 10. 正四面体（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形）中，相邻两个面所成二面角的大小为________________ 11. 图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为______．（结果精确到） 12. 如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 二、单选题 13. 已知，m是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，不在内，则l，m是异面直线 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（ ） A. 异面且垂直 B. 不异面且垂直 C. 异面且不垂直 D. 不异面且不垂直 15. 从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（ ） A. B. C. D. 16. 在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 三、解答题（78分） 17. 在空间四边形中，； （1）若分别是的中点，求证：四点共面； （2）若分别是的中点，求：异面直线所成角的大小. 18. 一山坡的倾斜度（山坡面与水平面所成二面角的度数）是，斜坡上一直道，它和坡脚成，为解决山腰处居民的饮水问题，有甲、乙两种方案． 方案甲：一次性投资12万元打深水井，取用与坡脚水平的暗河中的水（经检验符合饮用水标准）； 方案乙：沿铺设自来水管道，第一个费用为1万元，以后每往上一个所需费用比前一个的费用扩大1倍； 如果处高出暗河，那么选用哪个方案比较合理？请你说明理由．（不考虑其他因素） 19. 如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 20. 如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求二面角的大小； （3）若平面平面，平面平面，试分析直线与的位置关系，并证明你的结论. 21. 如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. （1）证明：； （2）求证：平面； （3）直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $