第4章 图形与坐标课堂讲义 2026～2027学年浙教版数学八年级上册

第 4 章　图形与坐标　课堂讲义 第 4 章 图形与坐标 　　　　　　　　　　 课　堂　讲　义 2026~2027 学年　浙教版　八年级上册　数学 本册目录 讲次 课题 小节 典例精讲 当堂检测 课后巩固 第一讲 平面直角坐标系 4.1 3 例 3 变式 3 题 15 题 第二讲 用方向和距离确定物体的位置 4.2 2 例 3 变式 3 题 15 题 第三讲 坐标平面内图形的轴对称和平移 4.3 3 例 5 变式 4 题 15 题 合　计 三讲一册 全章 8 例 11 变式 10 题 45 题 核心结论速览 象限与符号 第一 、第二 、第三 、第四 ；坐标轴上的点不属于任何象限。 轴上点的坐标 轴上为 ， 轴上为 ，原点是 。 点到坐标轴的距离 到 轴为 ，到 轴为 ，到原点为 ；距离一定是非负数。 位置的三要素 参照点、方向、距离缺一不可。只说方向得一条射线，只说距离得一个圆。 方位角的读法 从正北或正南起算，向偏东或偏西旋转，取值在 与 之间；不写「东偏北」。 互逆表述 南北对调、东西对调，角度与距离都不变：北偏东 的反向是南偏西 。 方位转坐标 偏东的量给横坐标，偏北的量给纵坐标；边长借 与 求出。 关于 轴对称 ：横坐标不变，纵坐标变相反数。 关于 轴对称 ：纵坐标不变，横坐标变相反数。 关于原点对称 ：横、纵坐标同时变相反数。 平移的规律 右加左减改横坐标，上加下减改纵坐标，另一个坐标始终不动。 网格中求面积 补成长方形再减去三个直角三角形，比直接找底和高更稳。 说明　标 § 的当堂检测为提升题，供学有余力的同学选用。课后巩固按选择、填空、解答三组编排，每讲 15 题，可作一次课后作业使用。 第 1 讲 平面直角坐标系　4.1 本讲目标　能说出平面直角坐标系的组成，会由点的位置写出坐标、由坐标描出点；掌握四个象限内点与坐标轴上点的坐标特征；会求点到两坐标轴的距离，并能在网格中建立适当的坐标系描述图形的位置。 一、知识梳理 要点 核心内容 易错提醒 坐标系的组成 平面内两条互相垂直、有公共原点的数轴构成平面直角坐标系。水平的一条叫 轴（横轴），竖直的一条叫 轴（纵轴），交点 叫原点。通常取向右、向上为正方向，两轴的单位长度取得一致。 两轴必须垂直且共原点，缺一不可；单位长度不一致时，图上量出的距离与实际不符。 点的坐标 过点 分别向两轴作垂线，在 轴上对应的数叫横坐标，在 轴上对应的数叫纵坐标，合起来记作 ，横坐标写在前面。 与 是两个不同的点，次序不能颠倒。 象限与符号 两轴把平面分成四个部分，从右上角起逆时针依次为第一、二、三、四象限，坐标符号依次为 、、、。 坐标轴上的点不属于任何象限；由「点在某象限」可以列出关于横、纵坐标正负的不等式。 坐标轴上的点 轴上的点纵坐标为 ，形如 ； 轴上的点横坐标为 ，形如 ；原点的坐标是 。 「 轴上的点横坐标为 」是常见错记，实际是纵坐标为 。 到坐标轴的距离 点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ，到原点的距离是 。 距离一定是非负数。由距离反求坐标要去绝对值，必须分正、负两种情形，答案往往不止一个。 建立坐标系 同一个图形在不同坐标系下的坐标不同。建系时优先让尽量多的点落在坐标轴上，或以图形的对称轴作坐标轴，写出的坐标最简洁。 原点一旦选定，全图的坐标随之确定，中途不能更换参照点。 二、典例精讲 例 1　已知点 的坐标为 。 (1) 当 时，点 在第几象限？ (2) 若点 在 轴上，求 的值； (3) 若点 到 轴的距离是 ，求 的值。 〔思路点拨〕第（1）问代值后看横、纵坐标的符号；第（2）问抓住「 轴上的点横坐标为 」；第（3）问距离对应的是纵坐标的绝对值，去绝对值必然分两种情况。 解：（1）当 时，，，所以 。横坐标为正、纵坐标为负，点 在第四象限。 （2）点 在 轴上，则它的横坐标为 ，即 ，解得 ，此时 。 （3）点 到 轴的距离是 ，即 。由 得 ；由 得 。 〔答案〕（1）第四象限　（2）　（3） 或 变式 1-1　已知点 的坐标为 。 (1) 若点 在 轴上，求点 的坐标； (2) 若点 位于第二象限，且 为正整数，求点 的坐标。 变式 1-2　已知点 在 轴上方、 轴左侧。 (1) 判断 与 的正负； (2) 用含 、 的式子表示点 到 轴、 轴的距离。 例 2　如图，、 两点的坐标分别为 和 。 (1) 在图中描出下列各点：，，，； (2) 顺次连结 、、、、、，所得的六边形中写出三组互相平行的边，并结合坐标说明理由。 〔思路点拨〕判断两条线段是否平行，先看端点在坐标上的共同点：纵坐标相同，说明线段与 轴平行；从一个端点到另一个端点，横、纵坐标的变化量相同，说明两条线段方向一致。 解：（1）描点如图所示。 （2）① 。 与 的纵坐标都是 ， 与 的纵坐标都是 ，两条线段都与 轴平行，所以互相平行。 ② 。从 到 是横向 格、纵向 格，从 到 也是横向 格、纵向 格，两段斜线的倾斜程度相同，所以 。 ③ 。从 到 是横向 格、纵向 格，从 到 也是横向 格、纵向 格，倾斜程度相同，所以 。 〔答案〕（2），， 变式 2-1　 为坐标原点，点 ，点 在 轴上。若 的面积为 ，求点 的坐标。 例 3　如图，网格中每个小正方形的边长都是 ，点 、、、、 都在格点上。 (1) 以点 为原点，向右、向上分别为 轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系，写出这五个点的坐标； (2) 若改以点 为原点、两轴方向都不变，点 的坐标是多少？两组坐标的差别说明了什么？ 〔思路点拨〕同一个点在不同坐标系中坐标不同，但相对位置不变：先定原点，再数横、纵各几格。 解：（1）以 为原点，向右、向上分别为正方向，得 ，，，，。 （2）以 为原点时，， 在 左侧 格、上方 格，得 。 两次的坐标只差一个统一的平移，说明坐标系只改变坐标的数值，不改变图形的形状和相对位置。 〔答案〕（1），，，，　（2） 三、方法归纳 本讲要点 1．判断点在第几象限，只看横、纵坐标的符号，与绝对值大小无关。 2．「在 轴上」等价于纵坐标为 ，「在 轴上」等价于横坐标为 。遇到含参数的坐标，先把这句话写成方程。 3．到 轴的距离用 ，到 轴的距离用 ；去绝对值分两种情形，答案常常是两个。 4．建系三选：选特殊点为原点、选特殊线段所在直线为坐标轴、以对称轴为坐标轴。 四、当堂检测 1．点 在第几象限？ 2．下列各点中，位于第三象限的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．§ 在平面直角坐标系中，把点 到 轴、 轴的距离中较大的那个数叫做点 的「长距」；当点 到两坐标轴的距离相等时，称点 为「等距点」。 (1) 点 的长距是　　　； (2) 若点 是等距点，求 的值； (3) 若点 的长距为 ，且点 在第二象限，求 的值，并判断点 是否为等距点。 五、课后巩固 （一）选择题 1．在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（　　） A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 2．若点 在第一象限，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．点 到 轴的距离是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．已知点 ， 轴，且 ，则点 的坐标是（　　） A．　　B． C． 或 　　D． 或 5．若点 在 轴上，则点 的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题 6．若点 的坐标满足 ，则点 一定在　　　上。 7．已知点 ，则点 到 轴的距离是　　　，到 轴的距离是　　　，到原点的距离是　　　。 8．点 在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则 　　　。 9．长方形 的长 、宽 。以点 为原点、 所在直线为 轴、 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，若点 在第一象限，则点 的坐标是　　　。 10．规定：点 的「关联点」为 。则点 的关联点在第　　　象限。 （三）解答题 11．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系， 的三个顶点都在格点上，坐标分别为 、、。 (1) 求 的面积； (2) 若改以点 为原点、两轴方向都不变，写出点 、 的坐标。 12．已知点 。 (1) 若点 在 轴上，求点 的坐标； (2) 若点 的纵坐标是横坐标的一半，求点 的坐标； (3) 若点 到 轴的距离是 ，求 的值。 13．已知点 在第二象限。 (1) 求 的取值范围； (2) 若点 的横、纵坐标都是整数，写出所有满足条件的点 的坐标。 14．在平面直角坐标系中，点 、、，点 在 轴上。 (1) 求 的面积； (2) 若 的面积等于 的面积，求点 的坐标。 15．在平面直角坐标系中，已知点 、、。 (1) 求 的面积； (2) 若点 在 轴上，且 的面积与 的面积相等，求点 的坐标。 第 2 讲 用方向和距离确定物体的位置　4.2 本讲目标　能用「参照点、方向、距离」三要素准确描述物体的位置；掌握北偏东、南偏西一类方位的规范读法与互逆表述；能在方位描述与平面直角坐标之间互相转化。 一、知识梳理 要点 核心内容 易错提醒 三要素 确定一个点的位置，必须同时给出参照点、方向和距离。参照点是测量的起点，方向确定一条射线，距离确定射线上的一个点。 只说「北偏东 」确定不了位置，符合条件的点在一条射线上；只说距离也确定不了，在一个圆上。 方位的读法 「北偏东 」指以正北方向为始边、向东旋转 所得的射线方向。角度一律从正北或正南起算，取 与 之间的值。 不写「东偏北」；「与正东方向成 」指的是北偏东 ，两者相差 。 互逆表述 在 的北偏东 方向、距离 处，则 在 的南偏西 方向、距离 处。 互换时只把「南」与「北」、「东」与「西」对调，角度和距离都不变。 方位与坐标 以参照点为原点、正东为 轴正方向、正北为 轴正方向：偏东的量对应横坐标，偏北的量对应纵坐标。 遇 、、 的方位，借特殊直角三角形的三边比 、 求边长，不必用三角函数。 图上测量 在图上量角、量距时，角度精确到 ，长度按比例尺换算成实际距离。 实际距离等于图上距离乘比例尺，漏乘比例尺是最常见的失分点。 二、典例精讲 例 1　下列叙述中，能唯一确定位置的是（　　） A．学校的西北方向 B．北偏西 的方向 C．距离学校 m 处 D．从校门口出发，先向西走 m，再向南走 m 〔思路点拨〕判断能否确定位置，就看描述里是否凑齐了参照点、方向、距离三项；少一项，符合条件的位置就有无数个。 解：A 只给出方向，学校西北方向上的点有无数个，不能确定； B 同样只给出方向，也不能确定； C 只给出距离，与学校相距 m 的点构成一个圆，不能确定； D 以校门口为参照点，两个方向上的位移都给出了，终点唯一，能确定位置。 〔答案〕D 变式 1-1　如图，射线 绕点 逆时针旋转 后得到射线 ，点 在射线 上且 ，规定用 表示点 的位置。例如图中 ，，则点 的位置记为 。 若点 的位置记为 ，则 　　　，　　　。 变式 1-2　已知点 在点 的北偏东 方向、距点 km 处。 (1) 点 在点 的什么方向、距离多少？ (2) 把射线 绕点 顺时针旋转 得到射线 ，写出点 相对点 的方位（距离不变）。 例 2　如图是某公园的平面示意图，各景点都落在格点上，每个小正方形的边长代表 m。以正东为 轴正方向、正北为 轴正方向，已知公园入口的坐标为 ，牡丹亭的坐标为 。 (1) 在图中画出 轴和 轴； (2) 写出音乐台、望春亭、湖心亭、游乐园的坐标； (3) 用相对于公园入口的方向和距离，描述音乐台、湖心亭、游乐园的位置（方位角精确到 ，可用量角器）。 〔思路点拨〕先由入口与牡丹亭的坐标定出两轴：两点纵坐标相同，连线与 轴平行，再由入口的坐标反推原点位置。求方位时，横、纵坐标之差就是向东（西）、向北（南）的位移。 解：（1）入口 与牡丹亭 纵坐标相同，两点连线与 轴平行，向右为 轴正方向。由入口坐标可知，原点在入口右侧 格、上方 格处，过原点作水平、竖直两条数轴即得。 （2）音乐台 ，望春亭 ，湖心亭 ，游乐园 。 （3）以入口 为参照点： 音乐台在入口东 格、北 格处，图上距离 ，实际距离 （m），方位角为北偏东约 ； 湖心亭在入口西 格、北 格处，图上距离 ，实际距离 m，方位角为北偏西 ； 游乐园在入口西 格、南 格处，图上距离 ，实际距离 m，方位角为南偏西约 。 〔答案〕（2）音乐台 ，望春亭 ，湖心亭 ，游乐园 　（3）见解析 变式 2-1　点 在点 的北偏东 方向、距点 km 处。 以 为原点、正东为 轴正方向、正北为 轴正方向建立平面直角坐标系， km 记作 个单位长度，求点 的坐标。 三、方法归纳 本讲要点 1．完整的描述必须含参照点、方向、距离三项，缺一项就不能唯一确定位置。 2．方位角从正北或正南起算，向偏东或偏西旋转，角度在 与 之间。 3．互逆表述只需南北对调、东西对调，角度与距离都不变。 4．方位转坐标时，偏东的量给横坐标，偏北的量给纵坐标；、、 的三边比要熟。 四、当堂检测 1．下列描述中，能最准确地表示某纪念馆位置的是（　　） A．东经 ，北纬 B．在博物馆的东北方向 C．距离火车站 km D．在浙江省 2．某雷达探测器以正东方向为 、逆时针方向为角的正方向，用（距离，角度）记录目标的位置。已知目标 记为 ，目标 记为 。若目标 在距探测器 个单位、方位角为 的方向上，则 的位置可记为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．§ 沿用上面的记法：点 的位置记为 表示 、。若点 、 的位置分别记为 、，求 的面积。 五、课后巩固 （一）选择题 1．点 在点 的南偏西 方向，则点 在点 的（　　） A．北偏东 　　B．南偏东 C．北偏西 　　D．北偏东 2．点 在点 的北偏东 方向，则射线 与正东方向的夹角是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．一艘船从港口 出发，沿北偏东 的方向航行 海里到达 处，则 处到港口正东方向所在直线的距离是（　　） A． 海里　　B． 海里　　C． 海里　　D． 海里 4．在 处观测，目标 在 的南偏东 方向、距 km 处；目标 在 的正东方向、距 km 处。则 、 两目标之间的距离是（　　） A． km　　B． km　　C． km　　D． km 5．小明从家出发，先向北走 m，再向东走 m 到达学校。若以小明家为原点、正东为 轴正方向、正北为 轴正方向建立平面直角坐标系，则学校的位置可表示为（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题 6．「北偏西 」也可以说成「与正西方向成　　　度角，偏向北方」。 7．在 处观测， 在 的北偏东 方向、距离 km 处，则 在 的　　　方向、距离　　　km 处。 8．点 在点 的北偏东 方向， km。以 为原点、正东为 轴正方向、正北为 轴正方向， km 记作 个单位长度，则点 的坐标是　　　。 9．某探测器以正东方向为 、逆时针方向为角的正方向，用（距离，角度）记录目标的位置。若目标 记为 ，则点 在探测器的　　　方向。 10．甲船在灯塔 的南偏东 方向、距 海里处，乙船在灯塔 的正东方向、距 海里处，则甲、乙两船之间的距离是　　　海里。 （三）解答题 11．如图，在 处观测，目标 在 的北偏东 方向、距 km 处，目标 在 的正东方向、距 km 处。 (1) 求 的度数； (2) 求 、 两点之间的距离； (3) 用方向和距离描述点 相对点 的位置。 12．一条东西走向的公路旁有一座仓库 。以 为原点、正东为 轴正方向、正北为 轴正方向建立平面直角坐标系， 个单位长度表示 km。已知加油站 的坐标为 ，医院 的坐标为 。 (1) 求 、 两点之间的距离； (2) 用方向和距离描述医院 相对加油站 的位置（方位角精确到 ，可用量角器）。 13．规定：点 在射线 绕点 逆时针旋转 后所得的射线上，且 ，则点 的位置记为 。 (1) 若 、，求 的面积； (2) 若点 的位置记为 ，点 在点 的什么方向？ 14．甲、乙两船同时从港口 出发，甲船沿北偏东 方向以 海里/时的速度航行，乙船沿南偏东 方向以 海里/时的速度航行。 (1) 求 的度数（、 分别表示 小时后甲、乙两船的位置）； (2) 求 小时后两船之间的距离。 15．在平面直角坐标系中，点 为原点，点 。 (1) 求 的长，并用方向和距离描述点 相对点 的位置（方位角精确到 ）； (2) 若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标，并描述点 相对点 的方向。 第 3 讲 坐标平面内图形的轴对称和平移　4.3 本讲目标　掌握关于 轴、 轴、原点对称的两点坐标关系；掌握沿坐标轴方向平移时坐标的变化规律；会作简单图形关于坐标轴的对称图形，并能用坐标的变化解决含参数问题。 一、知识梳理 要点 核心内容 易错提醒 关于 轴对称 点 的对称点是 ：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 口诀「关于谁对称，谁不变」，但依据是对称轴垂直平分对应点的连线，不能只背不算。 关于 轴对称 点 的对称点是 ：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 这一条与上一条最容易混，动笔前先看清对称轴是哪一条。 关于原点对称 点 的对称点是 ：横、纵坐标都变相反数。 原点对称是中心对称，不是轴对称，三种情形要分开记。 沿 轴方向平移 向右平移 个单位得 ，向左平移 个单位得 ，其中 。 向右是横坐标加，不是减；「左加右减」是错的。 沿 轴方向平移 向上平移 个单位得 ，向下平移 个单位得 ，其中 。 「上加下减」只对纵坐标成立，横坐标始终不动。 平移与全等 平移只改变图形的位置，不改变形状和大小，对应点的连线平行（或共线）且相等。 平移前后的两个图形全等，面积、周长、角度都不变。 二、典例精讲 例 1　（1）在平面直角坐标系中，点 关于 轴的对称点 的坐标是　　　，关于原点的对称点 的坐标是　　　。 (2) 一幅轴对称的剪纸作品放在平面直角坐标系中，作品上关于 轴对称的两点 、 的坐标分别为 、，求 的值。 〔思路点拨〕第（1）问按「关于谁对称，谁不变」直接写；第（2）问关于 轴对称只需纵坐标相等，得到一个关于 、 的关系式，再把 整体代入。 解：（1）关于 轴对称，横坐标不变、纵坐标变相反数，得 ；关于原点对称，两个坐标都变相反数，得 。 （2）、 关于 轴对称，它们的纵坐标相等，即 ，整理得 。 所以 。 〔答案〕（1），　（2） 变式 1-1　已知点 与点 关于 轴对称，求 、 的值。 变式 1-2　点 关于 轴的对称点为 ，点 关于原点的对称点为 。 (1) 求 、 的坐标； (2) 直接写出点 与点 的位置关系。 例 2　如图， 的三个顶点分别为 、、。 (1) 作出 关于 轴对称的 ； (2) 写出 、、 的坐标； (3) 求 的面积。 〔思路点拨〕作图先求出三个关键点的对称点，再顺次连线。网格中求三角形面积，用「补成长方形再减去三个直角三角形」最稳，比直接找底和高省事。 解：（1）分别作 、、 关于 轴的对称点，顺次连结， 即为所求。 （2）关于 轴对称，纵坐标不变、横坐标变相反数，得 ，，。 （3）过 、、 三点作长方形，长为 、宽为 ，面积为 。长方形的三个角上各有一个直角三角形，面积分别为 ，，。 所以 。 〔答案〕（2），，　（3） 变式 2-1　已知点 、、 经同一次平移后分别得到 、、。 (1) 写出这次平移的方式； (2) 若 是 内的一点，写出平移后对应点 的坐标。 例 3　（1）在平面直角坐标系中，把点 先向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点 。若点 的横坐标与纵坐标相等，求 的值。 (2) 点 向右平移 个单位长度后得到点 ，求点 的坐标。 〔思路点拨〕先按平移规律写出平移后点的坐标，再把题目条件翻译成方程。第（2）问是逆推，把平移方向反过来即可。 解：（1）点 向右平移 个单位、向上平移 个单位后，得 。 因为点 的横坐标与纵坐标相等，所以 ，解得 。 （2）设 ，向右平移 个单位得 ，于是 ，，解得 ，，所以 。 〔答案〕（1）　（2） 变式 3-1　线段 的两个端点分别为 、，把它平移后得到线段 。已知 、，求 的值。 变式 3-2　点 在第四象限，且 ，。 (1) 求点 的坐标； (2) 求点 关于原点对称的点 的坐标，并判断点 在第几象限。 三、方法归纳 本讲要点 1．三种对称只清点坐标：关于 轴纵变号，关于 轴横变号，关于原点两个都变号。 2．平移只改一个坐标：左右改横坐标（右加左减），上下改纵坐标（上加下减），另一个坐标保持不动。 3．已知一对对应点求平移方式：横坐标之差是左右平移量，纵坐标之差是上下平移量，差为正说明向右或向上。 4．网格中求三角形面积，优先补成长方形再减去三个直角三角形，比直接找底和高更稳。 四、当堂检测 1．点 关于原点的对称点为 ，则点 在（　　） A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 2．点 在线段 上。将线段 向右平移 个单位长度后，点 的对应点为 ，则点 关于 轴的对称点的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．将 三个顶点的横坐标都乘 ，纵坐标都保持不变，所得图形与原图形的关系是（　　） A．关于原点对称　　B．关于 轴对称　　C．关于 轴对称　　D．不存在对称关系 4．§ 点 关于 轴的对称点在第四象限，求 的取值范围。 五、课后巩固 （一）选择题 1．点 关于 轴对称的点的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．点 关于原点对称的点在（　　） A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 3．将点 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得点的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．若点 与点 关于 轴对称，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．线段 的两个端点分别为 、，将线段 平移后得到线段 。若 ，则点 的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题 6．点 与点 关于 轴对称，则 　　　。 7．将点 沿 轴方向平移后得到点 ，则平移的方式是向　　　平移　　　个单位长度。 8．点 关于 轴的对称点为 ， 关于 轴的对称点为 ，则点 的坐标是　　　，点 与点 关于　　　对称。 9．若点 在 轴上，则点 关于原点的对称点的坐标是　　　。 10．已知点 、，把线段 平移后得到线段 。若 ，则点 的坐标是　　　。 （三）解答题 11．已知点 ，。 (1) 写出点 关于 轴的对称点 的坐标； (2) 写出点 关于原点的对称点 的坐标； (3) 求 的面积（ 为原点）。 12．如图，在正方形网格中， 的三个顶点都在格点上，坐标分别为 、、。 (1) 作出 关于 轴对称的 ，并写出 、、 的坐标； (2) 求 的面积。 13．已知点 关于 轴的对称点在第三象限。 (1) 求 的取值范围； (2) 若 为整数，求所有满足条件的 的值。 14．如图，在正方形网格中， 的三个顶点都在格点上，坐标分别为 、、。 (1) 求 的面积； (2) 将 向右平移 个单位长度、向下平移 个单位长度得到 ，写出 、、 的坐标，并求 的面积。 15．在平面直角坐标系中，已知点 、、。 (1) 求 的面积； (2) 将 沿 轴方向平移，使点 落到 轴上，求平移后三个顶点的坐标； (3) 若点 在 轴上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标。 参考答案与提示 例题的解答已随题给出，这里只收变式训练、当堂检测与课后巩固。 第 1 讲　平面直角坐标系 变式 1-1　（1）点 在 轴上，纵坐标为 ，即 ，，此时 。（2）点在第二象限，则 且 ，得 ； 为正整数，故 ，此时 。 变式 1-2　（1）点在 轴上方，纵坐标 ；点在 轴左侧，横坐标 。（2）到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 。 变式 2-1　 在 轴上，可设 。 以 为底、 为高，由 得 ，所以 或 。 当堂检测 1　，纵坐标 ，横坐标为正、纵坐标为负，所以点 在第四象限。 当堂检测 2　B。第三象限要求横坐标、纵坐标都为负。 当堂检测 3　（1）到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，长距是 。（2）等距点到两轴距离相等，即 ，得 或 。（3）点 在第二象限，则 ，到 轴的距离为 ，故长距由 取得，即 ，，此时 。又 到两坐标轴的距离都是 ，所以 是等距点。 巩固 1　B。横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限。 巩固 2　B。 且 ，取公共部分得 。 巩固 3　B。到 轴的距离是纵坐标的绝对值，。 巩固 4　C。 轴，点 的纵坐标也是 ；由 得横坐标为 或 。 巩固 5　A。在 轴上则横坐标为 ，，，纵坐标 ，故 。 巩固 6　坐标轴。由 得 或 ，点在 轴上或在 轴上。 巩固 7　，，。到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，到原点的距离为 。 巩固 8　。由 且 得 ；再由 ，在第二象限内即 ，解得 。 巩固 9　。点 在 右侧 格、上方 格处。 巩固 10　一。关联点为 ，横、纵坐标都为正，在第一象限。 巩固 11　（1）。（2）以 为原点时， 在 左侧 格、上方 格，得 ； 在 右侧 格、上方 格，得 。 巩固 12　（1），。（2）由 得 ，。（3）由 得 或 。 巩固 13　（1）由 且 得 。（2） 取整数 、、，对应 、、。 巩固 14　（1）。（2）由 得 ， 或 。 巩固 15　（1）。（2）由 得 ， 或 。 第 2 讲　用方向和距离确定物体的位置 变式 1-1　，。记法中第一个数是距离，第二个数是射线 逆时针旋转的角。 变式 1-2　（1） 在北偏东 方向，反过来看，南北对调、东西对调，角度不变，所以点 在点 的南偏西 方向、距离 km 处。（2）从正北向东偏 再顺时针转 ，射线越过正东，落到正南偏东 的位置，即点 在点 的南偏东 方向上，距离仍为 km。 变式 2-1　过 作 轴于 。射线 与 轴正方向成 ，所以 ，。在直角三角形 中，，，故 。 当堂检测 1　A。经度与纬度两个数据把位置定在唯一一点；B、C 各缺一项，D 的范围太大，都无法确定。 当堂检测 2　C。 距探测器 个单位、方位角 ，按（距离，角度）的规则记为 。 当堂检测 3　由记法得 ，。射线 、 相对 的旋转角分别是 、，所以 ，即 。于是 。 巩固 1　A。南偏西的反向是北偏东，角度不变，仍是 。 巩固 2　B。北偏东 指与正北方向成 ，与正东方向成 。 巩固 3　A。航行方向与正北方向成 ，向北的分量为 ，即 到正东方向所在直线的距离为 海里。 巩固 4　B。以 为原点建立坐标系，则 ，，（km）。 巩固 5　B。向东 m 记为横坐标 ，向北 m 记为纵坐标 。 巩固 6　。北偏西 与正北方向成 ，与正西方向成 。 巩固 7　南偏西 ，。互逆表述只换方向，角度与距离都不变。 巩固 8　。 与正北、正东方向各成 ，向东、向北的分量都是 。 巩固 9　北偏西 。 越过正北方向 ，落在正北偏西一侧。 巩固 10　。以 为原点，甲船位置为 ，乙船位置为 ，两点相距 海里。 巩固 11　（1）。（2） 且 ， 为等边三角形， km。（3），，点 在点 的南偏东 方向、 km 处。 巩固 12　（1） km。（2）医院在加油站的北偏西约 方向、 km 处。 巩固 13　（1），。（2） 与正南方向成 ，点 在点 的南偏西 方向、距离 处。 巩固 14　（1）。（2），， 海里。 巩固 15　（1），点 在点 的北偏东约 方向、距离 处。（2） 在正北方向， 在正南方向，距离都是 。 第 3 讲　坐标平面内图形的轴对称和平移 变式 1-1　关于 轴对称，横坐标相等、纵坐标互为相反数，得 ，，即 。联立解得 ，。 变式 1-2　（1）关于 轴对称得 ； 关于原点对称得 。（2） 与 横坐标相同、纵坐标互为相反数，两点关于 轴对称。 变式 2-1　（1）由 到 ，横坐标减少 、纵坐标减少 ，即向左平移 个单位长度、向下平移 个单位长度（用 、 验证同样成立）。（2）。 变式 3-1　 平移到 ，纵坐标增加 ，横坐标变化为 ； 平移到 ，横坐标减少 ，所以 ；纵坐标同样增加 ，所以 。故 。 变式 3-2　（1）由 得 ，由 得 ；点 在第四象限，横坐标为正、纵坐标为负，所以 ，，即 。（2）关于原点对称，两个坐标都变相反数，得 ，它在第二象限。 当堂检测 1　D。 关于原点对称得 ，横坐标为正、纵坐标为负，在第四象限。 当堂检测 2　B。向右平移 个单位得 ，再关于 轴对称得 。 当堂检测 3　C。横坐标都乘 、纵坐标不变，每个顶点的对应点都与原顶点关于 轴对称，所以整个图形与原图形关于 轴对称。 当堂检测 4　点 关于 轴的对称点为 。它在第四象限，则 且 ，解得 。 巩固 1　B。关于 轴对称，纵坐标不变、横坐标变相反数，得 。 巩固 2　D。关于原点对称得 ，横坐标为正、纵坐标为负，在第四象限。 巩固 3　A。横坐标加 得 ，纵坐标减 得 ，故所得点为 。 巩固 4　A。关于 轴对称，横坐标相等、纵坐标互为相反数，得 ，，所以 。 巩固 5　A。由 到 是向右平移 、向上平移 ， 同样平移得 。 巩固 6　。关于 轴对称，纵坐标相等得 ，即 ；横坐标互为相反数得 ，即 ，故 。 巩固 7　上，。横坐标不变，纵坐标由 变为 ，增加 。 巩固 8　，原点。，再关于 轴对称得 ； 与 的两个坐标都互为相反数，故关于原点对称。 巩固 9　。在 轴上则纵坐标为 ，，，横坐标 ，点 为 ，它关于原点的对称点为 。 巩固 10　。由 到 是向右平移 、向下平移 ， 同样平移得 。 巩固 11　（1）。（2）。（3）。 巩固 12　（1），，。（2）。 巩固 13　（1）对称点为 ，由 且 得 。（2） 取整数 、、。 巩固 14　（1）。（2），，，。 巩固 15　（1）。（2）、、。（3）由 得 ， 或 。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $第 4 章　图形与坐标　课堂讲义（学生版） 第 4 章 图形与坐标 　　　　　　　　　　 课　堂　讲　义 2026~2027 学年　浙教版　八年级上册　数学 本册目录 讲次 课题 小节 典例精讲 当堂检测 课后巩固 第一讲 平面直角坐标系 4.1 3 例 3 变式 3 题 15 题 第二讲 用方向和距离确定物体的位置 4.2 2 例 3 变式 3 题 15 题 第三讲 坐标平面内图形的轴对称和平移 4.3 3 例 5 变式 4 题 15 题 合　计 三讲一册 全章 8 例 11 变式 10 题 45 题 核心结论速览 象限与符号 第一 、第二 、第三 、第四 ；坐标轴上的点不属于任何象限。 轴上点的坐标 轴上为 ， 轴上为 ，原点是 。 点到坐标轴的距离 到 轴为 ，到 轴为 ，到原点为 ；距离一定是非负数。 位置的三要素 参照点、方向、距离缺一不可。只说方向得一条射线，只说距离得一个圆。 方位角的读法 从正北或正南起算，向偏东或偏西旋转，取值在 与 之间；不写「东偏北」。 互逆表述 南北对调、东西对调，角度与距离都不变：北偏东 的反向是南偏西 。 方位转坐标 偏东的量给横坐标，偏北的量给纵坐标；边长借 与 求出。 关于 轴对称 ：横坐标不变，纵坐标变相反数。 关于 轴对称 ：纵坐标不变，横坐标变相反数。 关于原点对称 ：横、纵坐标同时变相反数。 平移的规律 右加左减改横坐标，上加下减改纵坐标，另一个坐标始终不动。 网格中求面积 补成长方形再减去三个直角三角形，比直接找底和高更稳。 说明　标 § 的当堂检测为提升题，供学有余力的同学选用。课后巩固按选择、填空、解答三组编排，每讲 15 题，可作一次课后作业使用。 第 1 讲 平面直角坐标系　4.1 本讲目标　能说出平面直角坐标系的组成，会由点的位置写出坐标、由坐标描出点；掌握四个象限内点与坐标轴上点的坐标特征；会求点到两坐标轴的距离，并能在网格中建立适当的坐标系描述图形的位置。 一、知识梳理 要点 核心内容 易错提醒 坐标系的组成 平面内两条互相垂直、有公共原点的数轴构成平面直角坐标系。水平的一条叫 轴（横轴），竖直的一条叫 轴（纵轴），交点 叫原点。通常取向右、向上为正方向，两轴的单位长度取得一致。 两轴必须垂直且共原点，缺一不可；单位长度不一致时，图上量出的距离与实际不符。 点的坐标 过点 分别向两轴作垂线，在 轴上对应的数叫横坐标，在 轴上对应的数叫纵坐标，合起来记作 ，横坐标写在前面。 与 是两个不同的点，次序不能颠倒。 象限与符号 两轴把平面分成四个部分，从右上角起逆时针依次为第一、二、三、四象限，坐标符号依次为 、、、。 坐标轴上的点不属于任何象限；由「点在某象限」可以列出关于横、纵坐标正负的不等式。 坐标轴上的点 轴上的点纵坐标为 ，形如 ； 轴上的点横坐标为 ，形如 ；原点的坐标是 。 「 轴上的点横坐标为 」是常见错记，实际是纵坐标为 。 到坐标轴的距离 点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ，到原点的距离是 。 距离一定是非负数。由距离反求坐标要去绝对值，必须分正、负两种情形，答案往往不止一个。 建立坐标系 同一个图形在不同坐标系下的坐标不同。建系时优先让尽量多的点落在坐标轴上，或以图形的对称轴作坐标轴，写出的坐标最简洁。 原点一旦选定，全图的坐标随之确定，中途不能更换参照点。 二、典例精讲 例 1　已知点 的坐标为 。 (1) 当 时，点 在第几象限？ (2) 若点 在 轴上，求 的值； (3) 若点 到 轴的距离是 ，求 的值。 变式 1-1　已知点 的坐标为 。 (1) 若点 在 轴上，求点 的坐标； (2) 若点 位于第二象限，且 为正整数，求点 的坐标。 变式 1-2　已知点 在 轴上方、 轴左侧。 (1) 判断 与 的正负； (2) 用含 、 的式子表示点 到 轴、 轴的距离。 例 2　如图，、 两点的坐标分别为 和 。 (1) 在图中描出下列各点：，，，； (2) 顺次连结 、、、、、，所得的六边形中写出三组互相平行的边，并结合坐标说明理由。 变式 2-1　 为坐标原点，点 ，点 在 轴上。若 的面积为 ，求点 的坐标。 例 3　如图，网格中每个小正方形的边长都是 ，点 、、、、 都在格点上。 (1) 以点 为原点，向右、向上分别为 轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系，写出这五个点的坐标； (2) 若改以点 为原点、两轴方向都不变，点 的坐标是多少？两组坐标的差别说明了什么？ 三、方法归纳 本讲要点 1．判断点在第几象限，只看横、纵坐标的符号，与绝对值大小无关。 2．「在 轴上」等价于纵坐标为 ，「在 轴上」等价于横坐标为 。遇到含参数的坐标，先把这句话写成方程。 3．到 轴的距离用 ，到 轴的距离用 ；去绝对值分两种情形，答案常常是两个。 4．建系三选：选特殊点为原点、选特殊线段所在直线为坐标轴、以对称轴为坐标轴。 四、当堂检测 1．点 在第几象限？ 2．下列各点中，位于第三象限的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．§ 在平面直角坐标系中，把点 到 轴、 轴的距离中较大的那个数叫做点 的「长距」；当点 到两坐标轴的距离相等时，称点 为「等距点」。 (1) 点 的长距是　　　； (2) 若点 是等距点，求 的值； (3) 若点 的长距为 ，且点 在第二象限，求 的值，并判断点 是否为等距点。 五、课后巩固 （一）选择题 1．在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（　　） A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 2．若点 在第一象限，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．点 到 轴的距离是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．已知点 ， 轴，且 ，则点 的坐标是（　　） A．　　B． C． 或 　　D． 或 5．若点 在 轴上，则点 的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题 6．若点 的坐标满足 ，则点 一定在　　　上。 7．已知点 ，则点 到 轴的距离是　　　，到 轴的距离是　　　，到原点的距离是　　　。 8．点 在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则 　　　。 9．长方形 的长 、宽 。以点 为原点、 所在直线为 轴、 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，若点 在第一象限，则点 的坐标是　　　。 10．规定：点 的「关联点」为 。则点 的关联点在第　　　象限。 （三）解答题 11．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系， 的三个顶点都在格点上，坐标分别为 、、。 (1) 求 的面积； (2) 若改以点 为原点、两轴方向都不变，写出点 、 的坐标。 12．已知点 。 (1) 若点 在 轴上，求点 的坐标； (2) 若点 的纵坐标是横坐标的一半，求点 的坐标； (3) 若点 到 轴的距离是 ，求 的值。 13．已知点 在第二象限。 (1) 求 的取值范围； (2) 若点 的横、纵坐标都是整数，写出所有满足条件的点 的坐标。 14．在平面直角坐标系中，点 、、，点 在 轴上。 (1) 求 的面积； (2) 若 的面积等于 的面积，求点 的坐标。 15．在平面直角坐标系中，已知点 、、。 (1) 求 的面积； (2) 若点 在 轴上，且 的面积与 的面积相等，求点 的坐标。 第 2 讲 用方向和距离确定物体的位置　4.2 本讲目标　能用「参照点、方向、距离」三要素准确描述物体的位置；掌握北偏东、南偏西一类方位的规范读法与互逆表述；能在方位描述与平面直角坐标之间互相转化。 一、知识梳理 要点 核心内容 易错提醒 三要素 确定一个点的位置，必须同时给出参照点、方向和距离。参照点是测量的起点，方向确定一条射线，距离确定射线上的一个点。 只说「北偏东 」确定不了位置，符合条件的点在一条射线上；只说距离也确定不了，在一个圆上。 方位的读法 「北偏东 」指以正北方向为始边、向东旋转 所得的射线方向。角度一律从正北或正南起算，取 与 之间的值。 不写「东偏北」；「与正东方向成 」指的是北偏东 ，两者相差 。 互逆表述 在 的北偏东 方向、距离 处，则 在 的南偏西 方向、距离 处。 互换时只把「南」与「北」、「东」与「西」对调，角度和距离都不变。 方位与坐标 以参照点为原点、正东为 轴正方向、正北为 轴正方向：偏东的量对应横坐标，偏北的量对应纵坐标。 遇 、、 的方位，借特殊直角三角形的三边比 、 求边长，不必用三角函数。 图上测量 在图上量角、量距时，角度精确到 ，长度按比例尺换算成实际距离。 实际距离等于图上距离乘比例尺，漏乘比例尺是最常见的失分点。 二、典例精讲 例 1　下列叙述中，能唯一确定位置的是（　　） A．学校的西北方向 B．北偏西 的方向 C．距离学校 m 处 D．从校门口出发，先向西走 m，再向南走 m 变式 1-1　如图，射线 绕点 逆时针旋转 后得到射线 ，点 在射线 上且 ，规定用 表示点 的位置。例如图中 ，，则点 的位置记为 。 若点 的位置记为 ，则 　　　，　　　。 变式 1-2　已知点 在点 的北偏东 方向、距点 km 处。 (1) 点 在点 的什么方向、距离多少？ (2) 把射线 绕点 顺时针旋转 得到射线 ，写出点 相对点 的方位（距离不变）。 例 2　如图是某公园的平面示意图，各景点都落在格点上，每个小正方形的边长代表 m。以正东为 轴正方向、正北为 轴正方向，已知公园入口的坐标为 ，牡丹亭的坐标为 。 (1) 在图中画出 轴和 轴； (2) 写出音乐台、望春亭、湖心亭、游乐园的坐标； (3) 用相对于公园入口的方向和距离，描述音乐台、湖心亭、游乐园的位置（方位角精确到 ，可用量角器）。 变式 2-1　点 在点 的北偏东 方向、距点 km 处。 以 为原点、正东为 轴正方向、正北为 轴正方向建立平面直角坐标系， km 记作 个单位长度，求点 的坐标。 三、方法归纳 本讲要点 1．完整的描述必须含参照点、方向、距离三项，缺一项就不能唯一确定位置。 2．方位角从正北或正南起算，向偏东或偏西旋转，角度在 与 之间。 3．互逆表述只需南北对调、东西对调，角度与距离都不变。 4．方位转坐标时，偏东的量给横坐标，偏北的量给纵坐标；、、 的三边比要熟。 四、当堂检测 1．下列描述中，能最准确地表示某纪念馆位置的是（　　） A．东经 ，北纬 B．在博物馆的东北方向 C．距离火车站 km D．在浙江省 2．某雷达探测器以正东方向为 、逆时针方向为角的正方向，用（距离，角度）记录目标的位置。已知目标 记为 ，目标 记为 。若目标 在距探测器 个单位、方位角为 的方向上，则 的位置可记为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．§ 沿用上面的记法：点 的位置记为 表示 、。若点 、 的位置分别记为 、，求 的面积。 五、课后巩固 （一）选择题 1．点 在点 的南偏西 方向，则点 在点 的（　　） A．北偏东 　　B．南偏东 C．北偏西 　　D．北偏东 2．点 在点 的北偏东 方向，则射线 与正东方向的夹角是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．一艘船从港口 出发，沿北偏东 的方向航行 海里到达 处，则 处到港口正东方向所在直线的距离是（　　） A． 海里　　B． 海里　　C． 海里　　D． 海里 4．在 处观测，目标 在 的南偏东 方向、距 km 处；目标 在 的正东方向、距 km 处。则 、 两目标之间的距离是（　　） A． km　　B． km　　C． km　　D． km 5．小明从家出发，先向北走 m，再向东走 m 到达学校。若以小明家为原点、正东为 轴正方向、正北为 轴正方向建立平面直角坐标系，则学校的位置可表示为（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题 6．「北偏西 」也可以说成「与正西方向成　　　度角，偏向北方」。 7．在 处观测， 在 的北偏东 方向、距离 km 处，则 在 的　　　方向、距离　　　km 处。 8．点 在点 的北偏东 方向， km。以 为原点、正东为 轴正方向、正北为 轴正方向， km 记作 个单位长度，则点 的坐标是　　　。 9．某探测器以正东方向为 、逆时针方向为角的正方向，用（距离，角度）记录目标的位置。若目标 记为 ，则点 在探测器的　　　方向。 10．甲船在灯塔 的南偏东 方向、距 海里处，乙船在灯塔 的正东方向、距 海里处，则甲、乙两船之间的距离是　　　海里。 （三）解答题 11．如图，在 处观测，目标 在 的北偏东 方向、距 km 处，目标 在 的正东方向、距 km 处。 (1) 求 的度数； (2) 求 、 两点之间的距离； (3) 用方向和距离描述点 相对点 的位置。 12．一条东西走向的公路旁有一座仓库 。以 为原点、正东为 轴正方向、正北为 轴正方向建立平面直角坐标系， 个单位长度表示 km。已知加油站 的坐标为 ，医院 的坐标为 。 (1) 求 、 两点之间的距离； (2) 用方向和距离描述医院 相对加油站 的位置（方位角精确到 ，可用量角器）。 13．规定：点 在射线 绕点 逆时针旋转 后所得的射线上，且 ，则点 的位置记为 。 (1) 若 、，求 的面积； (2) 若点 的位置记为 ，点 在点 的什么方向？ 14．甲、乙两船同时从港口 出发，甲船沿北偏东 方向以 海里/时的速度航行，乙船沿南偏东 方向以 海里/时的速度航行。 (1) 求 的度数（、 分别表示 小时后甲、乙两船的位置）； (2) 求 小时后两船之间的距离。 15．在平面直角坐标系中，点 为原点，点 。 (1) 求 的长，并用方向和距离描述点 相对点 的位置（方位角精确到 ）； (2) 若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标，并描述点 相对点 的方向。 第 3 讲 坐标平面内图形的轴对称和平移　4.3 本讲目标　掌握关于 轴、 轴、原点对称的两点坐标关系；掌握沿坐标轴方向平移时坐标的变化规律；会作简单图形关于坐标轴的对称图形，并能用坐标的变化解决含参数问题。 一、知识梳理 要点 核心内容 易错提醒 关于 轴对称 点 的对称点是 ：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 口诀「关于谁对称，谁不变」，但依据是对称轴垂直平分对应点的连线，不能只背不算。 关于 轴对称 点 的对称点是 ：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 这一条与上一条最容易混，动笔前先看清对称轴是哪一条。 关于原点对称 点 的对称点是 ：横、纵坐标都变相反数。 原点对称是中心对称，不是轴对称，三种情形要分开记。 沿 轴方向平移 向右平移 个单位得 ，向左平移 个单位得 ，其中 。 向右是横坐标加，不是减；「左加右减」是错的。 沿 轴方向平移 向上平移 个单位得 ，向下平移 个单位得 ，其中 。 「上加下减」只对纵坐标成立，横坐标始终不动。 平移与全等 平移只改变图形的位置，不改变形状和大小，对应点的连线平行（或共线）且相等。 平移前后的两个图形全等，面积、周长、角度都不变。 二、典例精讲 例 1　（1）在平面直角坐标系中，点 关于 轴的对称点 的坐标是　　　，关于原点的对称点 的坐标是　　　。 (2) 一幅轴对称的剪纸作品放在平面直角坐标系中，作品上关于 轴对称的两点 、 的坐标分别为 、，求 的值。 变式 1-1　已知点 与点 关于 轴对称，求 、 的值。 变式 1-2　点 关于 轴的对称点为 ，点 关于原点的对称点为 。 (1) 求 、 的坐标； (2) 直接写出点 与点 的位置关系。 例 2　如图， 的三个顶点分别为 、、。 (1) 作出 关于 轴对称的 ； (2) 写出 、、 的坐标； (3) 求 的面积。 变式 2-1　已知点 、、 经同一次平移后分别得到 、、。 (1) 写出这次平移的方式； (2) 若 是 内的一点，写出平移后对应点 的坐标。 例 3　（1）在平面直角坐标系中，把点 先向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点 。若点 的横坐标与纵坐标相等，求 的值。 (2) 点 向右平移 个单位长度后得到点 ，求点 的坐标。 变式 3-1　线段 的两个端点分别为 、，把它平移后得到线段 。已知 、，求 的值。 变式 3-2　点 在第四象限，且 ，。 (1) 求点 的坐标； (2) 求点 关于原点对称的点 的坐标，并判断点 在第几象限。 三、方法归纳 本讲要点 1．三种对称只清点坐标：关于 轴纵变号，关于 轴横变号，关于原点两个都变号。 2．平移只改一个坐标：左右改横坐标（右加左减），上下改纵坐标（上加下减），另一个坐标保持不动。 3．已知一对对应点求平移方式：横坐标之差是左右平移量，纵坐标之差是上下平移量，差为正说明向右或向上。 4．网格中求三角形面积，优先补成长方形再减去三个直角三角形，比直接找底和高更稳。 四、当堂检测 1．点 关于原点的对称点为 ，则点 在（　　） A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 2．点 在线段 上。将线段 向右平移 个单位长度后，点 的对应点为 ，则点 关于 轴的对称点的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．将 三个顶点的横坐标都乘 ，纵坐标都保持不变，所得图形与原图形的关系是（　　） A．关于原点对称　　B．关于 轴对称　　C．关于 轴对称　　D．不存在对称关系 4．§ 点 关于 轴的对称点在第四象限，求 的取值范围。 五、课后巩固 （一）选择题 1．点 关于 轴对称的点的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．点 关于原点对称的点在（　　） A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 3．将点 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得点的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．若点 与点 关于 轴对称，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．线段 的两个端点分别为 、，将线段 平移后得到线段 。若 ，则点 的坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题 6．点 与点 关于 轴对称，则 　　　。 7．将点 沿 轴方向平移后得到点 ，则平移的方式是向　　　平移　　　个单位长度。 8．点 关于 轴的对称点为 ， 关于 轴的对称点为 ，则点 的坐标是　　　，点 与点 关于　　　对称。 9．若点 在 轴上，则点 关于原点的对称点的坐标是　　　。 10．已知点 、，把线段 平移后得到线段 。若 ，则点 的坐标是　　　。 （三）解答题 11．已知点 ，。 (1) 写出点 关于 轴的对称点 的坐标； (2) 写出点 关于原点的对称点 的坐标； (3) 求 的面积（ 为原点）。 12．如图，在正方形网格中， 的三个顶点都在格点上，坐标分别为 、、。 (1) 作出 关于 轴对称的 ，并写出 、、 的坐标； (2) 求 的面积。 13．已知点 关于 轴的对称点在第三象限。 (1) 求 的取值范围； (2) 若 为整数，求所有满足条件的 的值。 14．如图，在正方形网格中， 的三个顶点都在格点上，坐标分别为 、、。 (1) 求 的面积； (2) 将 向右平移 个单位长度、向下平移 个单位长度得到 ，写出 、、 的坐标，并求 的面积。 15．在平面直角坐标系中，已知点 、、。 (1) 求 的面积； (2) 将 沿 轴方向平移，使点 落到 轴上，求平移后三个顶点的坐标； (3) 若点 在 轴上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $