第10讲 电磁感应中的动量问题（模型与方法）物理人教版选择性必修第二册

第10讲 电磁感应中的动量问题 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.动量定理在电磁感应中的应用 模型02.电磁感应中“电容器＋棒”模型 模型03.动量守恒定律在电磁感应中的应用 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.动量定理在电磁感应中的应用 模型构建：安培力冲量可转化为BLq，结合电磁感应电荷量公式，不用分析变力过程，直接建立动量变化关系 模型剖析： 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解。 1.“单棒＋电阻”模型 (1)水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻阻值为R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从导体棒开始运动至停下来。求： ①此过程中通过导体棒横截面的电荷量q＝； ②此过程导体棒的位移x＝； ③若导体棒从获得初速度v0经一段时间减速至v1，通过导体棒的电荷量为q1，则v1＝v0－； ④导体棒从获得初速度v0经过位移x0，速度减至v2，则v2＝v0－。 (2)间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直导轨所在倾斜面向下(重力加速度为g，导轨电阻不计)。 ①经Δt1＝，通过横截面的电荷量为q，速度达到v1。 ②经Δt2＝，导体棒下滑位移为x，速度达到v2。 【例1】（多选）某电磁缓冲装置如图所示，足够长、间距为的平行金属导轨固定在水平面上，导轨左端与阻值为的定值电阻连接，导轨、粗糙，其余部分光滑，右侧存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场。一质量为的金属棒以一定初速度水平向右运动且始终和导轨垂直，从进入磁场，最终恰好停在处。已知金属棒接入导轨的阻值为，与粗糙导轨间的动摩擦因数为，与、与的间距均为。导轨电阻不计，重力加速度大小为，下列说法正确的是（     ） A．金属棒经过处的速度为 B．金属棒在、区间运动过程中，受到摩擦力的冲量大小为 C．金属棒在、区间运动过程中，流经电阻的电荷量为 D．整个过程中，定值电阻产生的热量为 【变式1-1】（多选）如图所示，足够长、间距为1 m的光滑平行金属导轨固定在水平面内，导轨左端连接有阻值为的定值电阻，质量为1 kg的金属棒ab垂直放置在导轨上，金属棒接入电路的电阻也为，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为1 T，给金属棒施加水平向右的拉力F，使金属棒从静止开始向右做加速度为的匀加速直线运动，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻不计，当金属棒速度为6 m/s时撤去拉力F，下列关于金属棒整个运动过程的判断正确的是（　　 ） A．拉力F随时间均匀增大 B．拉力F的最大功率为36 W C．金属棒加速运动的位移与减速运动的位移之比为4∶3 D．整个过程通过电阻R的电量为10.5 C 【变式1-2】如图所示，在光滑绝缘水平桌面的虚线1、2间存在垂直于桌面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.2 T，两虚线间的距离L=3 m。总长度为L、可任意弯折的导体棒围成边长为的正方形闭合线框PQMN，线框的总电阻R=0.25 Ω，总质量m=0.1 kg。正方形线框在桌面上以大小v0=4 m/s、方向水平向右的初速度从虚线1左侧开始运动。线框运动过程中PQ、MN两边始终与磁场边界平行。 (1)求PQ边刚进磁场时线框的加速度大小a； (2)求线框完全离开磁场时的速度大小v1； (3)维持线框的周长不变，将线框调整为长和宽均可变的矩形，线框仍以大小v0=4 m/s、方向水平向右的初速度从虚线1左侧开始运动，求线框完全离开磁场时的最小速度vmin及对应矩形线框的长（已知对于任意正数x、y、z，有，当且仅当x=y=z时等号成立）。 模型02.电磁感应中“电容器＋棒”模型 模型构建：导体棒切割对电容充电，充电电流恒定，安培力不变，导体棒做匀加速直线运动 模型剖析： 1.无外力充电式 　　　基本模型 规律 (导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C) 电路特点 导体棒相当于电源，电容器充电 电流特点 安培力为阻力，棒减速，E减小，有I＝，电容器充电UC变大，当BLv＝UC时，I＝0，F安＝0，棒匀速运动 运动特点和最终特征 棒做加速度a减小的减速运动，最终做匀速运动，此时I＝0，但电容器带电荷量不为零 最终速度 电容器充电电荷量：q＝CUC 最终电容器两端电压UC＝BLv 对棒应用动量定理： mv－mv0＝－BL·Δt＝－BLq v＝ v－t图像 2.无外力放电式 　　　　　基本模型 规律 (电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C) 电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动 电流特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝BLvm 运动特点及最终特征 做加速度a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0 最大速度vm 电容器初始电荷量：Q0＝CE 放电结束时电荷量：Q＝CUC＝CBLvm 电容器放电电荷量：ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm 对棒应用动量定理：mvm－0＝BL·Δt＝BLΔQ vm＝ v－t图像 【例2】（多选）如图所示，足够长形光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，宽度为，电阻不计。区域Ⅰ为正方形，直径为的内切圆内充满垂直轨道平面向外、磁感应强度大小随时间均匀变化的磁场，即（为大于零的常量）；导轨上接有开关、，导轨间接有电容为的电容器；区域Ⅱ内充满方向垂直轨道平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。初始时，质量为、有一定阻值的导体棒静止于区域Ⅱ中某处，现将闭合，断开，使电容器充电。充电完毕后，再断开，闭合，开始运动，经过一段时间后系统达到稳定状态，导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A．电容器充电完毕时，上极板带负电 B．电容器充电完毕时的电荷量为 C．最终的速度为 D．最终电容器所带的电荷量为 【变式2-1】（多选）如图所示，电阻忽略不计的光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝（狭缝宽度不计），取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，导轨左侧通过单刀双掷开关S可以与电容器C或电阻R相连，导轨上有一足够长且不计电阻的金属棒与x轴垂直，在开关S接1或接2时，都让金属棒在外力F作用下从O点开始向右匀速运动，电容器没被击穿。下列说法正确的是（     ） A．若开关S接1，通过金属棒的电流I保持不变 B．若开关S接1，外力F的大小与金属棒的位移平方成正比 C．若开关S接2，电容器储存的电荷量q与位移平方成正比 D．若开关S接2，外力F的大小与金属棒的位移成正比 【变式2-2】（多选）2025年9月22 日，我国福建舰（舷号18）舰载机完成首次电磁弹射训练，这标志着中国空军歼-35等战斗机具备了更强的远程打击能力。在此启发下，某实验小组设计装置，研究电磁弹射和电磁阻尼实验。如图所示，质量均为m=1kg、长度均为L=1m、电阻均为R=1Ω的金属棒PQ、MS、ST、TO静置于水平且平行的光滑金属导轨上，导轨间距也为 1m。导轨被M、O处的光滑绝缘小段分隔成左右两区：左区导轨平面内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1=1T；右区存在变化的磁场，其磁感应强度大小B2与O点的水平距离x满足关系式：，其中k=1T/m。储能装置由电源与电容器组成，电源电动势为E=10V，电容器电容为C=1F。单刀双掷开关先接1，电容器充电完成后再将开关接2，PQ随即向右弹射，到达左、右区分界处时，与金属棒MS、ST、TO组成的“线框”MSTO发生完全非弹性碰撞，碰后连在一起向右运动。已知导轨电阻不计且左右两区均足够长，各金属棒始终与导轨接触良好且PQ、ST始终与导轨垂直。不考虑空气阻力，则（     ） A．PQ向右弹射过程做匀加速直线运动 B．电容器充电完成后的电荷量为10C C．金属棒PQ可获得的最大速度为5m/s D．金属棒PQ最终停下的位置与O点的水平距离为10m 模型03.动量守恒定律在电磁感应中的应用 模型构建：光滑导轨双棒系统安培力为内力，动量守恒；动能损失转化为电热；存在外力或摩擦时动量不守恒 模型剖析： 1.在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便。 2.双棒模型(不计摩擦力) 模型示意图及条件 水平面内的光滑等距导轨，两个棒的质量分别为m1、m2，电阻分别为R1、R2，给棒2一个初速度v0 电路特点 棒2相当于电源；棒1受安培力而加速运动，运动后产生反电动势 电流及速度变化 棒2做变减速运动，棒1做变加速运动，随着两棒相对速度的减小，回路中的电流减小，I＝BL，安培力减小，加速度减小，稳定时，两棒的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 最终状态 a＝0，I＝0，v1＝v2 系统规律 动量守恒m2v0＝(m1＋m2)v 能量守恒Q＝m2(m1＋m2)v2 两棒产生焦耳热之比 类型 光滑平行导轨 光滑不等距导轨 示意图 两金属杆的质量分别为m1、m2，电阻分别为r1、r2，导轨间距为L，其他电阻忽略不计 两金属杆的质量分别为m1、m2，电阻分别为r1、r2，导轨间距为L，其他电阻忽略不计 两金属杆的质量分别为m1、m2，电阻分别为r1、r2，导轨间距L1＝2L2，其他电阻忽略不计 力学 观点 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 杆MN做加速度逐渐减小的减速运动，杆PQ做加速度逐渐减小的加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度做匀速运动 杆MN做加速度逐渐减小的减速运动，杆PQ做加速度逐渐减小的加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比vMN∶vPQ＝1∶2 动量观点 系统动量不守恒 系统动量守恒 能量 观点 外力做的功＝金属杆1增加的动能＋金属杆2增加的动能＋焦耳热 杆MN动能的减少量＝杆PQ动能的增加量＋焦耳热 【例3】如图所示，水平面内固定有两根平行且足够长的直金属导轨，导轨间距为，电阻不计，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为。细导体棒a、b置于导轨上并与导轨垂直，质量均为，长度均为，电阻均为，导体棒a与导轨间动摩擦因数为，导体棒b光滑。初始时，导体棒b静止，导体棒a的初速度大小为，方向水平向右。导体棒和轨道始终垂直且接触良好，两导体棒始终没有发生碰撞，重力加速度大小取。 (1)若初始时对导体棒a施加水平向右、大小为1 N的恒力，求初始时电流的大小及最终两导体棒的速度大小； (2)若初始时对导体棒b施加水平向右、大小为1 N的恒力，求最终两导体棒的速度大小； (3)若初始时对导体棒b施加水平向右、大小为1.4 N的恒力，求最终两导体棒间距的变化率。 【变式3-1】（多选）如图所示，间距为L的两平行光滑长直金属导轨水平放置。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。细金属杆N静置于磁场中，磁场外的细金属杆M以速度向右运动，此后两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为。已知两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，两金属杆与导轨接触良好且始终与导轨垂直，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。则（     ） A．N在磁场内运动过程中的最大加速度为 B．N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量为 C．N出磁场时，M中产生焦耳热为 D．N出磁场时，M相对N的位移为 【变式3-2】（多选）如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFGH矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在t=t1时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v0；一段时间后，流经a棒的电流为0，此时t=t2，b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b由相同材料制成，长度均为L，电阻分别为R和2R，a棒的质量为m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，则（　　） A．t1时刻a棒加速度大小为 B．t2时刻b棒的速度大小为 C．t1~t2时间内，通过a棒横截面的电荷量是b棒的2倍 D．t1~t2时间内，a棒产生的焦耳热为 （多选）如图甲所示，两根金属导轨固定在同一水平面内，其中段、段与坐标轴平行，间距，为等腰梯形，、的坐标为0，、的坐标为，导轨左端点、之间的距离为，导轨右端点、之间接有阻值的定值电阻。质量、长度略大于的金属棒垂直于轴置于导轨上，整个装置处于竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场中。金属棒与导轨间的动摩擦因数。金属棒以沿轴正方向的某一初速度，在外力的作用下从位置开始运动，其在导轨的、之间运动时速度的倒数与位移的关系图像如图乙所示，金属棒运动到处时撤去外力，最终金属棒恰能运动到处，金属棒从处运动到处共用时，运动过程中金属棒始终与轴垂直且与导轨接触良好。除定值电阻外其他电阻均忽略不计，取。下列说法正确的是（     ） A．外力的作用时间为 B． C． D．外力对金属棒做了的功 【基础夯实】 1. （多选）如图所示，足够长、间距为的光滑平行金属导轨固定在水平面内，导轨左端连接有阻值为的定值电阻，质量为的金属棒垂直放置在导轨上，金属棒接入电路的电阻也为，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为，给金属棒施加水平向右的拉力，使金属棒从静止开始向右做加速度为的匀加速直线运动，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻不计，当金属棒速度为时撤去拉力，下列关于金属棒整个运动过程的判断正确的是（     ） A．拉力随时间均匀增大 B．拉力的最大功率为 C．金属棒加速运动的位移与减速运动的位移之比为 D．整个过程通过电阻的电量为 2. 如图所示，固定在水平桌面上的足够长的光滑金属导轨cd、eg处于方向竖直向下的匀强磁场中，金属杆ab与导轨接触良好，在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻，其他部分电阻忽略不计。现用一水平向右的恒力F作用在金属杆ab上，使金属杆由静止开始向右沿导轨滑动，滑动中杆ab始终垂直于导轨，金属杆受到的安培力用表示，则下列说法正确的是（    ） A．金属杆ab做匀加速直线运动 B．金属杆ab运动时回路中有顺时针方向的感应电流 C．先不断增大，后保持不变 D．金属杆ab克服安培力做功的功率与时间的平方成正比 3. 如图1所示，、为两根水平放置、相距、平行且光滑的金属导轨，两点间接阻值的定值电阻，质量的导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好。时刻给导体棒施加水平向右、的恒力，导体棒从静止开始运动，时导体棒的速度。已知匀强磁场的磁感应强度，方向竖直向上，不计导轨、导体棒的电阻，重力加速度取。则在导体棒向右运动的过程中，求： (1)时导体棒切割磁感线产生的感应电动势的大小； (2)时导体棒的加速度大小，分析并在图2中定性画出导体棒运动过程的速度随时间变化的图像； (3)到的过程中，导体棒产生的热量。 4. （多选）如图所示，间距为L的光滑平行导轨水平固定放置，导轨的左端连接有电容为C、间距为的平行板电容器，导轨的中间段连接电源，一导体棒垂直导轨放置（距导轨的右端足够远），电源的右侧存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场（范围足够大）。先闭合开关，稳定后电容器的带电量为q。断开开关、闭合开关，导体棒从静止到匀速运动流过导棒棒某一横截面的电荷量也为q，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．电源的电动势为qC B．稳定时，电容器两极板间的电场强度大小为 C．导体棒匀速运动的速度大小为 D．导体棒的质量为 【培优拔高】 5. 如图所示，间距为的两条平行金属导轨固定在水平面上，导轨左端与直流电源相连，电源电动势和内阻分别为，，质量为，电阻为的金属杆垂直放在导轨上，它们之间接触良好，动摩擦因数为，导轨足够长，电阻不计，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为，闭合开关后，金属杆由静止开始向右加速运动，一段时间后达到最大速度。重力加速度。求： (1)闭合开关瞬间，金属杆的加速度大小； (2)金属杆的最大速度大小， 6. 如图所示，与为间距的平行导轨，导轨的上部分水平长度，下部分足够长且处于倾角的绝缘斜面上，水平导轨的左端接一阻值的电阻，水平部分处于竖直方向的匀强磁场中，时刻开始，磁感应强度从0开始均匀增大；倾斜部分处于垂直导轨平面向上的、磁感应强度的匀强磁场中。在时将一质量、电阻的金属棒静止放在倾斜导轨部分的上端，金属棒恰好不上滑，金属棒与两导轨间的动摩擦因数处处相同，均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。在时磁感应强度不再变化，此时给金属棒一个沿斜面向下的拉力使金属棒从静止开始运动，拉力的大小与金属棒运动的速度大小的关系式为，其中为定值。已知金属棒运动后测得电阻两端的电压随时间均匀增大，金属棒在运动过程中与两导轨接触良好且始终与导轨垂直，不计导轨的电阻，重力加速度取，，。 (1)求磁场随时间均匀增大时的磁感应强度变化率； (2)求时拉力的大小； (3)求到时间内通过金属棒的电荷量。 7. 如图所示，一水平放置的金属轨道间距为，左端接有阻值为的电阻，右端连接恒流源，电流大小恒为，方向如图所示。金属轨道上矩形区域Ⅰ，等腰三角形区域Ⅱ存在磁感应强度大小分别为和的匀强磁场，磁场方向均竖直向上。区域Ⅰ沿导轨方向足够长，区域Ⅱ的、两点分别在两导轨上，垂直于导轨，且顶点到底边的距离也为。导轨在、处各被一小段绝缘材料隔开。将一质量为、阻值为、长为的金属棒垂直导轨静置于右侧。金属棒与导轨接触良好，不计其他电阻和一切摩擦阻力。某时刻起，金属棒在水平恒力作用下由静止开始向右运动，在离开区域Ⅰ前已经达到匀速。当金属棒运动到时撤去外力，此时金属棒的速度为。已知；；；；；；；。（提示：简谐运动周期） (1)求金属棒在区域Ⅰ运动时流过导体棒电流的方向及水平恒力的大小； (2)金属杆到达时的速度大小； (3)金属杆通过区域Ⅱ的过程中，恒流源输出的能量。 8. 如图所示，、为光滑水平平行金属轨道，间距，左端接有输出电流可控的电源，轨道区域有竖直向上、磁感应强度大小的匀强磁场Ⅰ。倾斜光滑金属轨道、下端接有阻值的定值电阻，倾斜轨道与水平面的夹角，轨道间距也为，倾斜轨道处于竖直向上的匀强磁场Ⅱ中。质量、电阻、长度也为的导体棒垂直于水平轨道放置。现闭合开关且调节电源使得输出电流恒为，导体棒由静止开始运动，导体棒从水平轨道末端水平飞出后在空中运动了，恰好无碰撞地落在倾斜轨道顶端，导体棒落在倾斜轨道上立即做匀速直线运动。导体棒在轨道上运动时与轨道接触良好，不计各轨道的电阻和空气阻力，取重力加速度大小，，。求： (1)水平轨道末端到倾斜轨道顶端的水平距离； (2)导体棒在水平轨道上运动的时间； (3)匀强磁场Ⅱ的磁感应强度大小。 9. （多选）一倾角、间距的平行光滑金属导轨固定在绝缘桌面上，导轨上端连接一个阻值的电阻，虚线以下、长度的区域内存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小，如图。质量、电阻、长度也为的导体棒b从导轨上距离 处由静止释放。已知导体棒b运动到导轨底部前已经匀速，，重力加速度大小取，导轨电阻不计，导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。下列说法正确的是（     ） A．导体棒b刚进入磁场时产生的感应电动势为 B．导体棒b刚进入磁场时的加速度大小为 C．导体棒b刚进入磁场时两端的电压为 D．导体棒b在导轨上运动的时间为 10. 如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨JK、PQ倾斜放置，两导轨间距离为，导轨平面与水平面间的夹角为，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨的J、P两端连接阻值为的电阻，金属棒ab垂直于导轨放置并用细线通过光滑定滑轮与重物相连，金属棒ab的质量，电阻，重物的质量，如果将金属棒和重物由静止释放，金属棒沿斜面上滑的距离与时间的关系图像如图乙所示，不计导轨电阻，。求： (1)磁感应强度B的大小； (2)在0.6s内通过电阻R的电荷量。 11. （多选）如图所示，半径为r、间距为2L的光滑圆弧导轨与水平光滑导轨在M、N处相切且平滑连接，水平导轨由两个足够长的宽窄导轨组成，宽导轨的间距为2L，窄导轨的宽度为L，虚线MN右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两根粗细相同、材质相同的均匀金属棒a、b分别放在宽窄导轨上，长度与导轨宽度相同，a棒的质量为m，电阻为R。a棒从圆弧导轨顶端由静止沿圆弧导轨滑下。到a、b棒运动稳定的整个过程中，两棒始终与导轨接触良好且垂直于导轨，不计导轨的电阻，重力加速度为g。在a、b棒整个运动过程中，下列说法正确的是（     ） A．a棒克服安培力做的功大于安培力对b棒做的功 B．b棒的最大加速度大小为 C．b棒上产生的焦耳热为 D．流过b棒的电荷量为 12. （多选）如图所示，两根光滑平行金属导轨平放在绝缘水平面上，左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距为L，左、右两侧分别存在垂直导轨所在平面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．两根由相同材料制成的不同粗细的金属杆a、b恰好横跨在导轨上，a、b的质量均为m，b的电阻为R，初始时给a、b杆向左的瞬时速度，大小均为v，不计导轨电阻，a、b两杆到导轨两端及导轨间距变化处均足够远且运动过程中始终与导轨垂直，则（     ） A．刚开始运动时通过a的电流大小为 B．导体棒a先向左减速，再向右加速，最后匀速 C．从开始到运动恰好稳定的过程中通过b某横截面的电荷量为 D．从开始到运动恰好稳定的过程中b上产生的焦耳热为 13. 如图，光滑金属导轨、，其中、为半径为h的圆弧导轨，、是间距为3L且足够长的水平导轨，、是间距为2L且足够长的水平导轨。金属导体棒M、N质量均为m，接入电路中的电阻均为 R，导体棒 N静置在、间，水平导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将导体棒M自圆弧导轨的最高点处由静止释放，两导体棒在运动过程中均与导轨垂直且始终接触良好，导轨电阻不计，重力加速度大小为 g。求： (1)导体棒M运动到处时，对导轨的压力大小； (2)导体棒M由静止释放至达到稳定状态的过程中，通过其横截面的电荷量； (3)在上述过程中导体棒N产生的焦耳热。 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 电磁感应中的动量问题 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.动量定理在电磁感应中的应用 模型02.电磁感应中“电容器＋棒”模型 模型03.动量守恒定律在电磁感应中的应用 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.动量定理在电磁感应中的应用 模型构建：安培力冲量可转化为BLq，结合电磁感应电荷量公式，不用分析变力过程，直接建立动量变化关系 模型剖析： 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解。 1.“单棒＋电阻”模型 (1)水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻阻值为R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从导体棒开始运动至停下来。求： ①此过程中通过导体棒横截面的电荷量q＝； ②此过程导体棒的位移x＝； ③若导体棒从获得初速度v0经一段时间减速至v1，通过导体棒的电荷量为q1，则v1＝v0－； ④导体棒从获得初速度v0经过位移x0，速度减至v2，则v2＝v0－。 (2)间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直导轨所在倾斜面向下(重力加速度为g，导轨电阻不计)。 ①经Δt1＝，通过横截面的电荷量为q，速度达到v1。 ②经Δt2＝，导体棒下滑位移为x，速度达到v2。 【例1】（多选）某电磁缓冲装置如图所示，足够长、间距为的平行金属导轨固定在水平面上，导轨左端与阻值为的定值电阻连接，导轨、粗糙，其余部分光滑，右侧存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场。一质量为的金属棒以一定初速度水平向右运动且始终和导轨垂直，从进入磁场，最终恰好停在处。已知金属棒接入导轨的阻值为，与粗糙导轨间的动摩擦因数为，与、与的间距均为。导轨电阻不计，重力加速度大小为，下列说法正确的是（     ） A．金属棒经过处的速度为 B．金属棒在、区间运动过程中，受到摩擦力的冲量大小为 C．金属棒在、区间运动过程中，流经电阻的电荷量为 D．整个过程中，定值电阻产生的热量为 【答案】BD 【详解】A．对用动量定理 其中 整理得，故A错误； BC．对同理由动量定理 其中流经电阻的电荷量为 结合 代入得摩擦力的冲量大小为，故B正确，C错误； D．对全程用能量守恒 因此定值电阻产生的热量，故D正确。 故选BD。 【变式1-1】（多选）如图所示，足够长、间距为1 m的光滑平行金属导轨固定在水平面内，导轨左端连接有阻值为的定值电阻，质量为1 kg的金属棒ab垂直放置在导轨上，金属棒接入电路的电阻也为，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为1 T，给金属棒施加水平向右的拉力F，使金属棒从静止开始向右做加速度为的匀加速直线运动，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻不计，当金属棒速度为6 m/s时撤去拉力F，下列关于金属棒整个运动过程的判断正确的是（　　 ） A．拉力F随时间均匀增大 B．拉力F的最大功率为36 W C．金属棒加速运动的位移与减速运动的位移之比为4∶3 D．整个过程通过电阻R的电量为10.5 C 【答案】AD 【详解】A．金属棒从静止开始向右做加速度为的匀加速直线运动，产生的感应电动势大小为 故金属棒受到的安培力大小为 由牛顿第二定律可知，拉力满足 解得 因此拉力随时间均匀增大，故A正确； B．当金属棒速度为6 m/s时，金属棒运动的时间为 代入可知，拉力大小为，此时拉力的瞬时功率达到最大，为，故B错误； C．金属棒向右做匀加速直线运动时，运动的距离为 撤去拉力后，对金属棒由动量定理有 整理得 解得 因此金属棒加速运动的位移与减速运动的位移之比，故C错误； D．整个过程通过电阻的电量满足 代入数据解得，故D正确。 故选AD。 【变式1-2】如图所示，在光滑绝缘水平桌面的虚线1、2间存在垂直于桌面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.2 T，两虚线间的距离L=3 m。总长度为L、可任意弯折的导体棒围成边长为的正方形闭合线框PQMN，线框的总电阻R=0.25 Ω，总质量m=0.1 kg。正方形线框在桌面上以大小v0=4 m/s、方向水平向右的初速度从虚线1左侧开始运动。线框运动过程中PQ、MN两边始终与磁场边界平行。 (1)求PQ边刚进磁场时线框的加速度大小a； (2)求线框完全离开磁场时的速度大小v1； (3)维持线框的周长不变，将线框调整为长和宽均可变的矩形，线框仍以大小v0=4 m/s、方向水平向右的初速度从虚线1左侧开始运动，求线框完全离开磁场时的最小速度vmin及对应矩形线框的长（已知对于任意正数x、y、z，有，当且仅当x=y=z时等号成立）。 【答案】(1) (2) (3)；1m 【详解】（1）边刚进磁场时切割磁场产生的感应电动势 感应电流 对线框受力分析有 解得 （2）线框从进入磁场到完全进入磁场，有 线框从刚出磁场到完全离开磁场，有 其中， 解得 （3）设矩形线框切割磁场的有效长度为d，则线框的面积 矩形线框从进入磁场到完全离开磁场，有。 其中 整理可得 其中，当且仅当即时等号成立 线框完全离开磁场时的最小速度 解得，对应的，即此时对应矩形线框的长为1m。 模型02.电磁感应中“电容器＋棒”模型 模型构建：导体棒切割对电容充电，充电电流恒定，安培力不变，导体棒做匀加速直线运动 模型剖析： 1.无外力充电式 　　　基本模型 规律 (导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C) 电路特点 导体棒相当于电源，电容器充电 电流特点 安培力为阻力，棒减速，E减小，有I＝，电容器充电UC变大，当BLv＝UC时，I＝0，F安＝0，棒匀速运动 运动特点和最终特征 棒做加速度a减小的减速运动，最终做匀速运动，此时I＝0，但电容器带电荷量不为零 最终速度 电容器充电电荷量：q＝CUC 最终电容器两端电压UC＝BLv 对棒应用动量定理： mv－mv0＝－BL·Δt＝－BLq v＝ v－t图像 2.无外力放电式 　　　　　基本模型 规律 (电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C) 电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动 电流特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝BLvm 运动特点及最终特征 做加速度a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0 最大速度vm 电容器初始电荷量：Q0＝CE 放电结束时电荷量：Q＝CUC＝CBLvm 电容器放电电荷量：ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm 对棒应用动量定理：mvm－0＝BL·Δt＝BLΔQ vm＝ v－t图像 【例2】（多选）如图所示，足够长形光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，宽度为，电阻不计。区域Ⅰ为正方形，直径为的内切圆内充满垂直轨道平面向外、磁感应强度大小随时间均匀变化的磁场，即（为大于零的常量）；导轨上接有开关、，导轨间接有电容为的电容器；区域Ⅱ内充满方向垂直轨道平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。初始时，质量为、有一定阻值的导体棒静止于区域Ⅱ中某处，现将闭合，断开，使电容器充电。充电完毕后，再断开，闭合，开始运动，经过一段时间后系统达到稳定状态，导轨接触良好。下列说法正确的是（　　） A．电容器充电完毕时，上极板带负电 B．电容器充电完毕时的电荷量为 C．最终的速度为 D．最终电容器所带的电荷量为 【答案】BCD 【详解】A．左侧圆形区域内向外的磁通量增大，由楞次定律，充电电流沿图示回路顺时针流动，电流流入电容器上极板，因此上极板带正电，故A错误； B．设充电完毕时电容器的电荷量为，两极板间电压为。圆形磁场区域的面积为 由法拉第电磁感应定律，结合题给磁感应强度的变化率，充电电动势为 充电完毕时，电容器两极板间电压等于感应电动势，即 由电容定义式，充电完毕时的电荷量为，故B正确； CD．切换开关后，电容器放电，棒中的电流由流向，由左手定则，棒受到向右的安培力并向右运动。取向右为正方向，设稳定时棒的速度为，电容器的电荷量为、两极板间电压为。稳定时棒做匀速运动，安培力和电流均为零，电容器电压等于棒的动生电动势。由动生电动势公式和电容定义式，得 设放电过程中流经棒的总电荷量为，它等于电容器电荷量的减少量，即 将放电过程分成若干短时间段，任一段的时长为、平均电流为、通过棒的电荷量为，棒的速度增量为。由平均电流的定义有，所以 由安培力公式和动量定理，对棒有 各段相加，棒由静止运动到稳定状态，得到 代入稳定时的电荷量关系，整理得 结合前述充电电荷量，稳定速度为 电容器最终所带的电荷量为，故CD正确。 故选BCD。 【变式2-1】（多选）如图所示，电阻忽略不计的光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝（狭缝宽度不计），取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，导轨左侧通过单刀双掷开关S可以与电容器C或电阻R相连，导轨上有一足够长且不计电阻的金属棒与x轴垂直，在开关S接1或接2时，都让金属棒在外力F作用下从O点开始向右匀速运动，电容器没被击穿。下列说法正确的是（     ） A．若开关S接1，通过金属棒的电流I保持不变 B．若开关S接1，外力F的大小与金属棒的位移平方成正比 C．若开关S接2，电容器储存的电荷量q与位移平方成正比 D．若开关S接2，外力F的大小与金属棒的位移成正比 【答案】BD 【详解】AB．当开关接1时，经过时间后金属棒的位移 金属棒接入电路的有效长度为 根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律有 则若开关S接1，通过金属棒的电流I逐渐增大；金属棒受到的安培力为 代入 解得 由于金属棒向右匀速运动，则外力 则若开关S接1，外力F的大小与金属棒的位移平方成正比，故A错误，B正确； CD．当开关接2时，电容器所带电荷量为 代入 解得 则若开关S接2，电容器储存的电荷量q与位移成正比； 通过金属棒的电流为 金属棒受到的安培力为 解得 则若开关S接2，外力F的大小与金属棒的位移成正比，故C错误，故D正确。 故选BD。 【变式2-2】（多选）2025年9月22 日，我国福建舰（舷号18）舰载机完成首次电磁弹射训练，这标志着中国空军歼-35等战斗机具备了更强的远程打击能力。在此启发下，某实验小组设计装置，研究电磁弹射和电磁阻尼实验。如图所示，质量均为m=1kg、长度均为L=1m、电阻均为R=1Ω的金属棒PQ、MS、ST、TO静置于水平且平行的光滑金属导轨上，导轨间距也为 1m。导轨被M、O处的光滑绝缘小段分隔成左右两区：左区导轨平面内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1=1T；右区存在变化的磁场，其磁感应强度大小B2与O点的水平距离x满足关系式：，其中k=1T/m。储能装置由电源与电容器组成，电源电动势为E=10V，电容器电容为C=1F。单刀双掷开关先接1，电容器充电完成后再将开关接2，PQ随即向右弹射，到达左、右区分界处时，与金属棒MS、ST、TO组成的“线框”MSTO发生完全非弹性碰撞，碰后连在一起向右运动。已知导轨电阻不计且左右两区均足够长，各金属棒始终与导轨接触良好且PQ、ST始终与导轨垂直。不考虑空气阻力，则（     ） A．PQ向右弹射过程做匀加速直线运动 B．电容器充电完成后的电荷量为10C C．金属棒PQ可获得的最大速度为5m/s D．金属棒PQ最终停下的位置与O点的水平距离为10m 【答案】BCD 【详解】A．开关接2后，电容器放电，同时金属棒PQ运动产生反电动势，根据法拉第电磁感应定律有 回路电压满足 随着金属棒PQ速度增大，反电动势增大，电容器两端电压逐渐降低，回路电流减小。根据牛顿第二定律有 解得金属棒PQ的加速度为 所以金属棒PQ做加速度减小的加速直线运动，故A错误； B．电容器充电完成后，其两端电压等于电源电动势，根据电容的定义式 可得电容器充电完成后所带的电荷量为，故B正确； C．开关接2后，电容器放电，金属棒PQ受到安培力作用加速。当金属棒PQ的感应电动势等于电容器剩余电压时，电流为0，速度达到最大。设此时电容器剩余电荷量为，则有 对金属棒PQ应用动量定理有 其中 联立解得金属棒PQ可获得的最大速度为，故C正确； D．金属棒PQ与金属棒MS、ST、TO组成的“线框”MSTO发生完全非弹性碰撞过程，根据动量守恒定律有 可得碰后的速度为 线框在位置x处时，左右两边的磁感应强度分别为， 则感应电动势为 线框总电阻为4R，但MS和TO两个边与轨道接触，轨道无电阻，MS和TO两个边被轨道短路了，故回路中的总电阻为，则电路的感应电流为 安培力大小为 对整体应用动量定理有 解得 代入数据解得，金属棒PQ最终停下的位置与O点的水平距离为xm = 10m，故D正确。 故选BCD。 模型03.动量守恒定律在电磁感应中的应用 模型构建：光滑导轨双棒系统安培力为内力，动量守恒；动能损失转化为电热；存在外力或摩擦时动量不守恒 模型剖析： 1.在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便。 2.双棒模型(不计摩擦力) 模型示意图及条件 水平面内的光滑等距导轨，两个棒的质量分别为m1、m2，电阻分别为R1、R2，给棒2一个初速度v0 电路特点 棒2相当于电源；棒1受安培力而加速运动，运动后产生反电动势 电流及速度变化 棒2做变减速运动，棒1做变加速运动，随着两棒相对速度的减小，回路中的电流减小，I＝BL，安培力减小，加速度减小，稳定时，两棒的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 最终状态 a＝0，I＝0，v1＝v2 系统规律 动量守恒m2v0＝(m1＋m2)v 能量守恒Q＝m2(m1＋m2)v2 两棒产生焦耳热之比 类型 光滑平行导轨 光滑不等距导轨 示意图 两金属杆的质量分别为m1、m2，电阻分别为r1、r2，导轨间距为L，其他电阻忽略不计 两金属杆的质量分别为m1、m2，电阻分别为r1、r2，导轨间距为L，其他电阻忽略不计 两金属杆的质量分别为m1、m2，电阻分别为r1、r2，导轨间距L1＝2L2，其他电阻忽略不计 力学 观点 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 杆MN做加速度逐渐减小的减速运动，杆PQ做加速度逐渐减小的加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度做匀速运动 杆MN做加速度逐渐减小的减速运动，杆PQ做加速度逐渐减小的加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比vMN∶vPQ＝1∶2 动量观点 系统动量不守恒 系统动量守恒 能量 观点 外力做的功＝金属杆1增加的动能＋金属杆2增加的动能＋焦耳热 杆MN动能的减少量＝杆PQ动能的增加量＋焦耳热 【例3】如图所示，水平面内固定有两根平行且足够长的直金属导轨，导轨间距为，电阻不计，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为。细导体棒a、b置于导轨上并与导轨垂直，质量均为，长度均为，电阻均为，导体棒a与导轨间动摩擦因数为，导体棒b光滑。初始时，导体棒b静止，导体棒a的初速度大小为，方向水平向右。导体棒和轨道始终垂直且接触良好，两导体棒始终没有发生碰撞，重力加速度大小取。 (1)若初始时对导体棒a施加水平向右、大小为1 N的恒力，求初始时电流的大小及最终两导体棒的速度大小； (2)若初始时对导体棒b施加水平向右、大小为1 N的恒力，求最终两导体棒的速度大小； (3)若初始时对导体棒b施加水平向右、大小为1.4 N的恒力，求最终两导体棒间距的变化率。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）导体棒的初速度大小为，则回路的感应电动势为 根据回路欧姆定律可得，初始时电流大小为 导体棒受到水平向右的的恒力，同时受到水平向左的摩擦力，大小为 导体棒还受到水平向左的安培力，所以导体棒的合外力水平向左，将做减速运动；导体棒只受到向右的安培力，做加速运动；当导体棒、的速度相同时，感应电动势为零，感应电流为零，导体棒、受到的合外力均为零，最终导体棒、以相同速度做匀速直线运动。将导体棒、视为一个整体，整个过程合外力为零，由动量守恒可得 最终两导体棒的速度大小。 （2）初始时导体棒受到水平向右的的恒力，还受到水平向右的安培力，将做加速运动；导体棒受到水平向左的安培力和摩擦力，将做减速运动；当导体棒受到的安培力与恒力平衡时，将做匀速直线运动，同时导体棒受到的安培力与摩擦力也平衡，也做匀速直线运动。将导体棒、视为一个整体，整个过程合外力为零，由动量守恒可得 最终安培力等于恒力，则有 联立以上两式解得，。 （3）将导体棒、视为一个整体，整体受到的合外力不为零，所以最终导体棒、将做加速度相同的匀加速运动，根据牛顿第二定律有 解得最终的安培力为 最终两导体棒间距的变化率为。 【变式3-1】（多选）如图所示，间距为L的两平行光滑长直金属导轨水平放置。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。细金属杆N静置于磁场中，磁场外的细金属杆M以速度向右运动，此后两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为。已知两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，两金属杆与导轨接触良好且始终与导轨垂直，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。则（     ） A．N在磁场内运动过程中的最大加速度为 B．N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量为 C．N出磁场时，M中产生焦耳热为 D．N出磁场时，M相对N的位移为 【答案】ABD 【详解】M进入磁场后，两杆受到等大反向的安培力，系统动量守恒。 已知N离开磁场时速度，由动量守恒定律得 解得此时M的速度为 A．M刚进入磁场瞬间，速度差最大，N的加速度最大。此时回路总电阻为，感应电动势，电流 N所受安培力大小为 则最大加速度大小为，故A正确； B．对N应用动量定理，安培力冲量等于动量变化，有 所以通过回路的电荷量为，故B正确； C．系统损失的总动能转化为回路焦耳热，有 两杆电阻均为，故M中产生的焦耳热为总焦耳热的一半，有，故C错误； D．回路电荷量 代入 解得，故D正确。 故选ABD。 【变式3-2】（多选）如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFGH矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在t=t1时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v0；一段时间后，流经a棒的电流为0，此时t=t2，b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b由相同材料制成，长度均为L，电阻分别为R和2R，a棒的质量为m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，则（　　） A．t1时刻a棒加速度大小为 B．t2时刻b棒的速度大小为 C．t1~t2时间内，通过a棒横截面的电荷量是b棒的2倍 D．t1~t2时间内，a棒产生的焦耳热为 【答案】AB 【详解】A．在时刻，a进入磁场的速度方向向右，b进入磁场的速度方向向左，根据右手定则可知，a产生的感应电动势方向由E到F，b产生的感应电动势方向由H到G，则流过a、b的感应电流 感应电流方向从上往下看为逆时针方向，对a进行分析，根据牛顿第二定律有 解得，故A正确； B．金属棒a、b由相同材料制成，长度均为L，电阻分别为和，根据电阻定律有， 解得 已知a的质量为m，设b的质量为，则有， 解得 根据左手定则可知，a受到的安培力向左，b受到的安培力向右，由于流过a、b的电流一直相等，故两个力大小相等，方向相反，a与b组成的系统动量守恒，时刻流过a的电流为零时，表明a、b在时刻达到了共同速度，设为，根据系统动量守恒有 解得，故B正确； C．在时间内，根据 由于通过两棒的电流相等，所用时间相同，故通过两棒横截面的电荷量相等，故C错误； D．在时间内，对a、b组成的系统，根据能量守恒有 解得回路中产生的总热量为 由于流过a、b的电流一直相等，所用时间相同，故a、b产生的热量与电阻成正比，则有，故D错误。 故选AB。 （多选）如图甲所示，两根金属导轨固定在同一水平面内，其中段、段与坐标轴平行，间距，为等腰梯形，、的坐标为0，、的坐标为，导轨左端点、之间的距离为，导轨右端点、之间接有阻值的定值电阻。质量、长度略大于的金属棒垂直于轴置于导轨上，整个装置处于竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场中。金属棒与导轨间的动摩擦因数。金属棒以沿轴正方向的某一初速度，在外力的作用下从位置开始运动，其在导轨的、之间运动时速度的倒数与位移的关系图像如图乙所示，金属棒运动到处时撤去外力，最终金属棒恰能运动到处，金属棒从处运动到处共用时，运动过程中金属棒始终与轴垂直且与导轨接触良好。除定值电阻外其他电阻均忽略不计，取。下列说法正确的是（     ） A．外力的作用时间为 B． C． D．外力对金属棒做了的功 【答案】ACD 【详解】A．由图乙可知，图像与轴围成的面积表示时间，金属棒在、之间运动的时间 此过程外力作用，故外力的作用时间为，故A正确； BC．金属棒运动到处时速度，撤去外力后运动时间 根据动量定理有 代入数据解得，故B错误，C正确； D．在过程中，导轨宽度 速度表达式 安培力表达式 安培力随位移均匀变化，所以克服安培力做功 克服摩擦力做功 根据动能定理 解得，故D正确。 故选ACD。 【基础夯实】 1. （多选）如图所示，足够长、间距为的光滑平行金属导轨固定在水平面内，导轨左端连接有阻值为的定值电阻，质量为的金属棒垂直放置在导轨上，金属棒接入电路的电阻也为，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为，给金属棒施加水平向右的拉力，使金属棒从静止开始向右做加速度为的匀加速直线运动，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻不计，当金属棒速度为时撤去拉力，下列关于金属棒整个运动过程的判断正确的是（     ） A．拉力随时间均匀增大 B．拉力的最大功率为 C．金属棒加速运动的位移与减速运动的位移之比为 D．整个过程通过电阻的电量为 【答案】ABD 【详解】A．金属棒从静止开始向右做加速度为的匀加速直线运动，产生的感应电动势大小为 故金属棒受到的安培力大小为 由牛顿第二定律可知，拉力满足 解得 因此拉力随时间均匀增大，故A正确； B．当金属棒速度为时，金属棒运动的时间为 代入可知，拉力大小为，此时拉力的瞬时功率达到最大，为，故B正确； C．金属棒向右做匀加速直线运动时，运动的距离为 撤去拉力后，对金属棒由动量定理有 整理得 解得 因此金属棒加速运动的位移与减速运动的位移之比，故C错误； D．整个过程通过电阻的电量满足 代入数据解得，故D正确。 故选ABD。 2. 如图所示，固定在水平桌面上的足够长的光滑金属导轨cd、eg处于方向竖直向下的匀强磁场中，金属杆ab与导轨接触良好，在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻，其他部分电阻忽略不计。现用一水平向右的恒力F作用在金属杆ab上，使金属杆由静止开始向右沿导轨滑动，滑动中杆ab始终垂直于导轨，金属杆受到的安培力用表示，则下列说法正确的是（    ） A．金属杆ab做匀加速直线运动 B．金属杆ab运动时回路中有顺时针方向的感应电流 C．先不断增大，后保持不变 D．金属杆ab克服安培力做功的功率与时间的平方成正比 【答案】C 【详解】AC．金属杆受到的安培力为 金属杆在恒力作用下向右做加速运动，随速度v的增加，安培力变大，金属杆受到的合力减小，加速度减小，当安培力与恒力合力为零时金属杆做匀速直线运动，安培力保持不变，由此可知，金属杆向右先做加速度减小的加速运动，然后做匀速直线运动，故A错误，C正确； B．由右手定则或楞次定律可知，金属杆ab运动过程回路中有逆时针方向的感应电流，故B错误； D．安培力的功率为 如果金属杆做初速度为零的匀加速直线运动，则v＝at 金属杆克服安培力做功的功率与时间的平方成正比，由于金属杆先做加速度减小的加速运动后做匀速直线运动，因此金属杆ab克服安培力做功的功率与时间的平方不成正比，故D错误。 故选C。 3. 如图1所示，、为两根水平放置、相距、平行且光滑的金属导轨，两点间接阻值的定值电阻，质量的导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好。时刻给导体棒施加水平向右、的恒力，导体棒从静止开始运动，时导体棒的速度。已知匀强磁场的磁感应强度，方向竖直向上，不计导轨、导体棒的电阻，重力加速度取。则在导体棒向右运动的过程中，求： (1)时导体棒切割磁感线产生的感应电动势的大小； (2)时导体棒的加速度大小，分析并在图2中定性画出导体棒运动过程的速度随时间变化的图像； (3)到的过程中，导体棒产生的热量。 【答案】(1)6V (2)， (3)24J 【详解】（1）导体棒切割磁感线的动生电动势   代入数据解得 （2）由闭合电路欧姆定律，此时通过导体棒的电流   故导体棒所受安培力   由牛顿第二定律   故此时导体棒的加速度   导体棒做加速运动，随着棒的速度增大，其感应电动势和所受的安培力增大，加速度减小。当时，导体棒的加速度为零，解得速度最大值为   故图像如图所示 （3）对导体棒，由动量定理可得   其中安培力的冲量   导体棒的位移大小   代入数据解得 根据能量守恒可得   代入数据解得 4. （多选）如图所示，间距为L的光滑平行导轨水平固定放置，导轨的左端连接有电容为C、间距为的平行板电容器，导轨的中间段连接电源，一导体棒垂直导轨放置（距导轨的右端足够远），电源的右侧存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场（范围足够大）。先闭合开关，稳定后电容器的带电量为q。断开开关、闭合开关，导体棒从静止到匀速运动流过导棒棒某一横截面的电荷量也为q，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．电源的电动势为qC B．稳定时，电容器两极板间的电场强度大小为 C．导体棒匀速运动的速度大小为 D．导体棒的质量为 【答案】BD 【详解】A．对平行板电容器有 则电源的电动势为，故A错误； B．稳定时，电容器两极板间的电场强度大小为，故B正确； C．断开开关，则电容器无法放电，电源与导体棒构成闭合回路，当导体棒以速度匀速运动时，回路中的电流为0，则 解得，故C错误； D．对导体棒由动量定理可得 结合，解得，故D正确。 故选BD。 【培优拔高】 5. 如图所示，间距为的两条平行金属导轨固定在水平面上，导轨左端与直流电源相连，电源电动势和内阻分别为，，质量为，电阻为的金属杆垂直放在导轨上，它们之间接触良好，动摩擦因数为，导轨足够长，电阻不计，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为，闭合开关后，金属杆由静止开始向右加速运动，一段时间后达到最大速度。重力加速度。求： (1)闭合开关瞬间，金属杆的加速度大小； (2)金属杆的最大速度大小， 【答案】(1) (2) 【详解】（1）闭合开关瞬间，金属杆速度为0，无感应电动势，根据闭合电路欧姆定律 可得 金属杆受到的安培力 滑动摩擦力 根据牛顿第二定律 解得 （2）金属杆加速度为0时速度最大，安培力等于摩擦力。 此时金属杆切割磁感线产生的反电动势 电路电流： 平衡条件： 代入数据解得 6. 如图所示，与为间距的平行导轨，导轨的上部分水平长度，下部分足够长且处于倾角的绝缘斜面上，水平导轨的左端接一阻值的电阻，水平部分处于竖直方向的匀强磁场中，时刻开始，磁感应强度从0开始均匀增大；倾斜部分处于垂直导轨平面向上的、磁感应强度的匀强磁场中。在时将一质量、电阻的金属棒静止放在倾斜导轨部分的上端，金属棒恰好不上滑，金属棒与两导轨间的动摩擦因数处处相同，均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。在时磁感应强度不再变化，此时给金属棒一个沿斜面向下的拉力使金属棒从静止开始运动，拉力的大小与金属棒运动的速度大小的关系式为，其中为定值。已知金属棒运动后测得电阻两端的电压随时间均匀增大，金属棒在运动过程中与两导轨接触良好且始终与导轨垂直，不计导轨的电阻，重力加速度取，，。 (1)求磁场随时间均匀增大时的磁感应强度变化率； (2)求时拉力的大小； (3)求到时间内通过金属棒的电荷量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）金属棒恰好不上滑时电流大小为根据平衡条件有 法拉第电磁感应定律有 电阻中的电流 解得 （2）金属棒在倾斜导轨上向下运动时速度为时，电阻两端的电压 已知金属棒运动后测得电阻两端的电压随时间均匀增大，可知与时间成正比，故金属棒在倾斜导轨上做匀加速运动，此时，， 由牛顿第二定律有 代入数据有 由于不随变化，故有 可得 金属棒运动的加速度大小 时，金属棒的速度大小 此时 （3）到时间内金属棒在倾斜导轨上下滑的距离为 此段时间内通过金属棒的电荷量 7. 如图所示，一水平放置的金属轨道间距为，左端接有阻值为的电阻，右端连接恒流源，电流大小恒为，方向如图所示。金属轨道上矩形区域Ⅰ，等腰三角形区域Ⅱ存在磁感应强度大小分别为和的匀强磁场，磁场方向均竖直向上。区域Ⅰ沿导轨方向足够长，区域Ⅱ的、两点分别在两导轨上，垂直于导轨，且顶点到底边的距离也为。导轨在、处各被一小段绝缘材料隔开。将一质量为、阻值为、长为的金属棒垂直导轨静置于右侧。金属棒与导轨接触良好，不计其他电阻和一切摩擦阻力。某时刻起，金属棒在水平恒力作用下由静止开始向右运动，在离开区域Ⅰ前已经达到匀速。当金属棒运动到时撤去外力，此时金属棒的速度为。已知；；；；；；；。（提示：简谐运动周期） (1)求金属棒在区域Ⅰ运动时流过导体棒电流的方向及水平恒力的大小； (2)金属杆到达时的速度大小； (3)金属杆通过区域Ⅱ的过程中，恒流源输出的能量。 【答案】(1)流过导体棒电流的方向为从到， (2) (3) 【详解】（1）由右手定则可知，流过导体棒电流的方向为从到     因金属棒在离开区域Ⅰ前已经达到匀速，由平衡条件有 其中 由欧姆定律有 根据法拉第电磁感应定律有 得 代入数据，得     （2）依题意，金属轨道间距为，且顶点到底边的距离也为，设金属棒进入区域Ⅱ，离顶点的距离为时，金属棒切割磁感线的有效长度也为，此时金属棒所受安培力大小为，即力随位移均匀变化，对金属棒，在区域中运动的过程，由动能定理有 其中 得   （3）以水平向右为正，因金属棒在区域Ⅱ中运动的过程中，受到，符合回复力的表达式，所以认为此过程金属棒做简谐运动，可得 由 得 由频率与周期的关系得简谐运动的圆频率 以点为平衡位置，金属棒经过点时的速度为，设简谐运动的振幅为，在参考圆中，由线速度与角速度的关系有 得 设该简谐运动的方程为 得，当时，所用时间 由能量守恒定律有     得 【点睛】 8. 如图所示，、为光滑水平平行金属轨道，间距，左端接有输出电流可控的电源，轨道区域有竖直向上、磁感应强度大小的匀强磁场Ⅰ。倾斜光滑金属轨道、下端接有阻值的定值电阻，倾斜轨道与水平面的夹角，轨道间距也为，倾斜轨道处于竖直向上的匀强磁场Ⅱ中。质量、电阻、长度也为的导体棒垂直于水平轨道放置。现闭合开关且调节电源使得输出电流恒为，导体棒由静止开始运动，导体棒从水平轨道末端水平飞出后在空中运动了，恰好无碰撞地落在倾斜轨道顶端，导体棒落在倾斜轨道上立即做匀速直线运动。导体棒在轨道上运动时与轨道接触良好，不计各轨道的电阻和空气阻力，取重力加速度大小，，。求： (1)水平轨道末端到倾斜轨道顶端的水平距离； (2)导体棒在水平轨道上运动的时间； (3)匀强磁场Ⅱ的磁感应强度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设导体棒从水平轨道末端飞出时的速度大小为，导体棒在空中做平抛运动，竖直方向上有 水平方向上有   导体棒恰好无碰撞地落在倾斜轨道顶端，则有   解得， （2）导体棒在水平轨道上运动时有   又有   解得 （3）导体棒落在倾斜轨道上时的速度大小   导体棒切割磁场Ⅱ的磁感线产生的感应电流   对导体棒受力分析有   解得 9. （多选）一倾角、间距的平行光滑金属导轨固定在绝缘桌面上，导轨上端连接一个阻值的电阻，虚线以下、长度的区域内存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小，如图。质量、电阻、长度也为的导体棒b从导轨上距离 处由静止释放。已知导体棒b运动到导轨底部前已经匀速，，重力加速度大小取，导轨电阻不计，导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。下列说法正确的是（     ） A．导体棒b刚进入磁场时产生的感应电动势为 B．导体棒b刚进入磁场时的加速度大小为 C．导体棒b刚进入磁场时两端的电压为 D．导体棒b在导轨上运动的时间为 【答案】BCD 【详解】A．设导体棒进入磁场前沿斜面向下的加速度为，根据牛顿第二定律有 解得 根据运动学公式有 解得导体棒刚进入磁场时的速度为 根据法拉第电磁感应定律可知，导体棒刚进入磁场时的感应电动势为 代入数据得，故A错误； C．回路的总电阻为 则感应电流为 导体棒两端的电压为（外电阻电压），故C正确； B．设导体棒b刚进入磁场时的加速度为，则受到的安培力为 其方向沿斜面向上。根据牛顿第二定律有 解得，故B正确； D．进入磁场前导体棒的运动时间为 设导体棒匀速时的速度为​，则匀速时导体棒产生的感应电动势为 感应电流为 根据受力平衡有​​ 联立解得 已知磁场区域长度，对导体棒在磁场中的运动过程用动量定理有 其中 解得 则导体棒b在导轨上运动的总时间为，故D正确。 故选BCD。 10. 如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨JK、PQ倾斜放置，两导轨间距离为，导轨平面与水平面间的夹角为，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨的J、P两端连接阻值为的电阻，金属棒ab垂直于导轨放置并用细线通过光滑定滑轮与重物相连，金属棒ab的质量，电阻，重物的质量，如果将金属棒和重物由静止释放，金属棒沿斜面上滑的距离与时间的关系图像如图乙所示，不计导轨电阻，。求： (1)磁感应强度B的大小； (2)在0.6s内通过电阻R的电荷量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图乙的直线段可知，金属棒在后做匀速运动，其速度大小为 金属棒切割磁感线产生的感应电动势为 由闭合电路欧姆定律得 金属棒所受安培力大小为 以金属棒和重物组成的系统为研究对象，匀速运动时沿运动方向受力平衡，有 联立并代入数据得 （2）在一段时间内，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势 由闭合电路欧姆定律和电流的定义得 在内金属棒的位移为，磁通量的变化量为，故 11. （多选）如图所示，半径为r、间距为2L的光滑圆弧导轨与水平光滑导轨在M、N处相切且平滑连接，水平导轨由两个足够长的宽窄导轨组成，宽导轨的间距为2L，窄导轨的宽度为L，虚线MN右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两根粗细相同、材质相同的均匀金属棒a、b分别放在宽窄导轨上，长度与导轨宽度相同，a棒的质量为m，电阻为R。a棒从圆弧导轨顶端由静止沿圆弧导轨滑下。到a、b棒运动稳定的整个过程中，两棒始终与导轨接触良好且垂直于导轨，不计导轨的电阻，重力加速度为g。在a、b棒整个运动过程中，下列说法正确的是（     ） A．a棒克服安培力做的功大于安培力对b棒做的功 B．b棒的最大加速度大小为 C．b棒上产生的焦耳热为 D．流过b棒的电荷量为 【答案】AB 【详解】A．a棒克服安培力做功，使得a棒的动能转化为电能，安培力对b棒做正功，使得b棒的动能增加，同时电流流过整个回路还要将电能转化为焦耳热，所以a棒克服安培力做的功大于安培力对b棒做的功，故A正确； B．由于金属棒a、b粗细相同、材质相同，则a、b棒质量之比为2：1，电阻之比为2：1，b棒加速度最大时，回路中感应电流最大，对应a棒刚进入磁场时，对a棒有，， 对b棒，由牛顿第二定律得 解得，故B正确； C．当a、b棒运动稳定后，回路中没有感应电流，设此时a棒的速度为，b棒的速度为，则 即 对a棒，根据动量定理有 对b棒，根据动量定理有 解得， 回路中产生的总焦耳热 由于a、b棒电阻之比为2：1，所以b棒产生的焦耳热为，故C错误； D．对b棒，根据动量定理得 解得电荷量，故D错误。 故选AB。 12. （多选）如图所示，两根光滑平行金属导轨平放在绝缘水平面上，左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距为L，左、右两侧分别存在垂直导轨所在平面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．两根由相同材料制成的不同粗细的金属杆a、b恰好横跨在导轨上，a、b的质量均为m，b的电阻为R，初始时给a、b杆向左的瞬时速度，大小均为v，不计导轨电阻，a、b两杆到导轨两端及导轨间距变化处均足够远且运动过程中始终与导轨垂直，则（     ） A．刚开始运动时通过a的电流大小为 B．导体棒a先向左减速，再向右加速，最后匀速 C．从开始到运动恰好稳定的过程中通过b某横截面的电荷量为 D．从开始到运动恰好稳定的过程中b上产生的焦耳热为 【答案】BD 【详解】A．两杆材料、质量相同，则 又因为电阻率相同，根据电阻定律可知 a杆电阻为 初始时，根据右手定则可知两杆产生的电动势方向相同，总电动势为两电动势之和，根据闭合电路欧姆定律可知通过a的电流为，故A错误； B．开始运动时，可知a杆受到的安培力向右，b杆受到的安培力也向右，两杆均向左做减速运动，a杆所受的安培力大小为b杆所受安培力大小的2倍，两杆质量相同，则a杆做减速运动的加速度大小较大，先减速到零，然后在向右的安培力作用下向右做加速运动，产生与b杆相反的电动势，即，当两杆电动势大小相等时，闭合回路电流为0，此时a杆向右做匀速运动，b杆向左做匀速运动，达到稳定状态，故B正确； C．a杆向左减速至0，由动量定理得 得 b杆向左减速至， a杆向右加速至匀速， b杆向左继续减速至匀速， 当a、b杆电动势等大反向时，回路电流为0，即 得， 通过b某横截面的电荷量为，故C错误； D．设产生的总热量为 则b上产生的热量 由能量守恒定律有 解得，故D正确。 故选BD。 13. 如图，光滑金属导轨、，其中、为半径为h的圆弧导轨，、是间距为3L且足够长的水平导轨，、是间距为2L且足够长的水平导轨。金属导体棒M、N质量均为m，接入电路中的电阻均为 R，导体棒 N静置在、间，水平导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将导体棒M自圆弧导轨的最高点处由静止释放，两导体棒在运动过程中均与导轨垂直且始终接触良好，导轨电阻不计，重力加速度大小为 g。求： (1)导体棒M运动到处时，对导轨的压力大小； (2)导体棒M由静止释放至达到稳定状态的过程中，通过其横截面的电荷量； (3)在上述过程中导体棒N产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导体棒 M 从圆弧导轨最高点滑到 的过程中，由动能定理得 解得 在 处，由牛顿第二定律得 代入 得，根据牛顿第三定律，导体棒 M 对导轨的压力大小为 （2）最终两导体棒均做匀速直线运动，回路中电流为零，故两导体棒产生的动生电动势大小相等，有 设全过程通过导体棒 M 横截面的电荷量为 ，平均电流为 ，则 对导体棒 M 应用动量定理有 对导体棒 N 应用动量定理有 联立以上各式并代入 ，解得，， （3）全过程能量守恒，有 代入 、，得总焦耳热 两导体棒电阻相同且串联，电流始终相同，因此导体棒 N 产生的焦耳热 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $