第6讲 带电粒子在叠加场中的运动（模型与方法）物理人教版选择性必修第二册

第6讲 带电粒子在叠加场中的运动 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.叠加场 模型02.速度选择器 模型03.霍尔元件 模型04.电磁流量计 磁流体发电机 模型05.配速法的应用 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.叠加场 模型构建：同一空间多种场共存，优先判断重力与电场力是否抵消；二力抵消时，粒子仅受洛伦兹力做匀速圆周运动 模型剖析： 1.叠加场解题步骤 1.分析清楚叠加场的种类： 电场、磁场、重力场两两叠加或三三叠加。 2．正确分析带电粒子的受力及运动特点 一般涉及重力、电场力、洛伦兹力、摩擦力、弹力等。 3．画出粒子的运动轨迹，选择不同的运动规律 根据受力情况，结合动力学，判断粒子运动状态： 一般分为：匀变速运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、非匀变速曲线运动、螺旋运动等。 4.利用运动学、牛顿力学、功能关系求解 列运动学公式、结合电场力、其他外力做功的功能关系，列动能定理，联立求解。 2. 平衡状态下叠加场 3.B与E平行（螺旋运动） 【例1】如图所示，空间存在着垂直向里的匀强磁场B和竖直向上的匀强电场E，两个质量不同电量均为q的带电小球a和b从同一位置先后以相同的速度从场区左边水平进入磁场，其中 a小球刚好做匀速圆周运动，b小球刚好沿直线向右运动。不计两小球之间库仑力的影响，重力加速度为则（     ） A．a球一定带正电，b球可能带负电 B．a小球的质量等于 C．b小球的质量等于 D．a小球圆周运动的半径为 【变式1-1】如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量m=0.2kg，电荷量大小q=0.2C，从倾角的光滑绝缘斜面最高点由静止开始下滑，当沿绝缘斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小E； (2)求小球脱离斜面时的速度大小v； (3)求斜面的长度L。 【变式1-2】（多选）如图1所示，倾角为37°的光滑斜面处在垂直纸面向外、磁感应强度大小为 B0 的匀强磁场中，一质量为m、带电量为+q的小球（视为质点）从M点由静止释放，运动到N点时对轨道的压力大小正好等于小球的重力；再把小球与绝缘轻质细线连接，如图2所示，细线悬挂在天花板上，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，让小球在水平面内做匀速圆周运动（从上向下看逆时针），细线与竖直方向的夹角为37°，圆弧轨迹的半径等于图1中M、N两点间的距离，线速度等于小球在N点的速度，，，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．小球在N点的速度大小为 B．M、N两点间的距离为 C．图2中匀强磁场的磁感应强度大小为 D．细线的拉力大小为 模型02.速度选择器 模型构建：正交电、磁场，只有速度等于的粒子受力平衡直线穿过；只选速度，和粒子电性、质量无关 模型剖析： 应用：用来选择某一特定速度的带电粒子。 结构：由接电源的两个平行金属板、垂直于电场的磁场组成。 工作原理： 电量为q的带电粒子，以速度v垂直进入叠加场区域。无论粒子电荷正负，电场力与洛伦兹力方向均相反。若电场力等于洛伦兹力，则粒子可以匀速直线通过速度选择器。 过程分析：qE=qvB 选择速度：v= 特点、推论： ①只选择特定的速度，与粒子正负、m、q均无关。 ②通过调节电磁场，可以选择速度大小为v= ③速度选择器，对大小方向均由选择，甲图：右入射，乙图：左入射。 ④若或，粒子都将偏离直线运动。 ⑤速度选择器，经常与质谱仪结合应用。 【例2】质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，再由点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的点处，运动轨迹如图中虚线所示。 (1)粒子带正电还是负电？求粒子的比荷； (2)求点到点的距离； (3)若在偏转分离器Ⅲ加入水平向右的匀强电场，电场强度大小为，粒子打在照相底片的点上（未标出）。求粒子在偏转分离器Ⅲ中的最大速度。 【变式2-1】如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，匀强电场方向竖直向下，有一正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域。不计重力，则（    ） A．若质子以相同的速率从左向右飞入，质子将向下偏转 B．若质子以相同的速率从左向右飞入，质子将向上偏转 C．若质子以相同的速率从右向左飞入，质子将向上偏转 D．若质子以相同的速率从右向左飞入，质子将向下偏转 【变式2-2】如图所示，真空中存在共面的区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ为速度选择器，有竖直向下的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B1 ；区域Ⅱ为等腰直角三角形CGF，有垂直纸面向外的匀强磁场B2，ACO三点共线，AO⊥GF。A处的粒子源能持续将速率不同的同种粒子射入区域Ⅰ中，沿直线AC运动后从CF中点射出的粒子在区域Ⅱ中运动时间为t0 ，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（     ） A．从C点出来的粒子速度大小为v = B．粒子的比荷为 C．若仅将匀强电场强度E调大，粒子可能从GF边界出来 D．若仅将磁感应强度B2调大，粒子在区域Ⅱ中运动的时间仍为t0 模型03.霍尔元件 模型构建：载流子受洛伦兹力偏转积累电荷，产生霍尔电压；霍尔电压与 B 成正比，用来测量磁感应强度。 模型剖析： 结构：高h，长L,宽d的金属导体，放置在垂直的磁场中，从左向右通入恒定电流I。 原理：当电流通过导体板时，在导体板的上侧面A和下侧面A＇之间会产生电势差，这种现象称为----霍尔效应。 工作原理： 由于金属导体中定向移动的是电子，故洛伦兹力向上偏转，聚集A（上面），则A电势低于A＇点，形成稳定的电势差，电子受电场力向上。 当电场力等于洛伦兹力时，电子直线通过，上下面间的电势差、电荷量饱和不再增加。 工作原理： qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd 联立得：U＝＝k 称为霍尔电压 k＝称为霍尔系数 【例3】（多选）石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状格结构新材料，其电导率远超传统半导体，可呈现量子霍尔效应。现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子（电子）浓度。如图所示，在长为a、宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，电极1、3间通以恒定电流I，电极2、4间将产生电压U。已知电子电荷量大小为e，则（　　） A．电极2的电势高于电极4 B．电极2的电势低于电极4 C．此样品每平方米载流子数 D．此样品每平方米载流子数 【变式3-1】（多选）利用霍尔效应制成的磁传感器可将磁场信号转换为电信号。如图甲所示，将这种磁传感器固定在自行车的车架上，并在车轮辐条上固定强磁铁，当车轮转动时磁铁每次经过传感器都会在元件两侧产生一次电势差变化，图乙为该元件的工作原理图，该元件中自由移动的载流子带负电，电源电压为。当自行车匀速行驶时，测得磁传感器的电压随时间t变化如图丙所示，已知自行车车轮半径为r，则以下说法正确的是（     ） A．车轮转一周所用的时间为 B．自行车行驶的速度大小为 C．增大电源电压，测得磁传感器的电压的峰值将增大 D．a端电势低于b端电势 【变式3-2】笔记本电脑装有霍尔元件与磁体，实现开屏变亮、合屏熄灭。图乙为金属材质霍尔元件，导体单位体积内的自由电荷数为n，长、宽、高分别为a、b、c，此时电流大小恒定为I，方向向右。合上显示屏时，水平放置的元件处于竖直向下的大小为B的匀强磁场中，在元件某些表面之间产生电压。当电压达到某一临界值，屏幕自动熄灭。则元件（　　）（电子电荷量为e） A．合屏过程中，元件上表面的电势比下表面低 B．开、合屏过程中，元件前、后表面的电势差 C．开、合屏过程中，元件上下表面的电势差 D．若把金属材料换为半导体，导电粒子为正电荷，则元件后表面的电势比前表面低 模型04.电磁流量计 磁流体发电机 模型构建：带电粒子 / 导电液体受洛伦兹力偏转形成电势差；稳定时洛伦兹力等于电场力，用来测电动势或者液体流量 模型剖析： 1.电磁流量计 结构：非磁性材料制成的直径为D的圆管，外加垂直于磁感应强度B的匀强磁场。 工作原理： 测出管壁上a、b两点间电势差U，就可以知道管中液体点位时间能流过的体积，流量Q（m3/s） 当：a、b间的电势差(U)达到最大时有：q＝qvB. v＝. 则导电液体的流量：Q＝Sv＝·＝. 2.磁流体发电机 结构：A、B平行金属板的面积为S，相距为L，等离子体的电阻率为，喷入气体速度为v，板间磁场的磁感强度为B，板外电阻为R。 工作原理： 当等离子气体匀速通过A、B板间时，A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，即电源电动势最大，此时离子受力平衡。 ， 电动势： 电源内电阻： 所以R中电流： 【例4】（多选）磁流体发电技术就是用燃料直接加热成易于电离的气体，使之在2000℃的高温下电离成导电的等离子体，与磁场相互作用而产生电能。如图所示，等离子体以速度v进入两平行极板之间的区域，两金属板的板长均为L，且处于正对状态，板间距离为d，金属板的正对面积为S。磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于等离子体初速度方向，且与极板平行，负载电阻为R。当稳定发电时，理想电流表的示数为I。当稳定发电时，下列说法正确的是（     ） A．上极板带正电 B．有电流从b经电阻流向a C．产生的电动势大小为Bdv D．板间等离子体的等效阻值为 【变式4-1】2023年1月《力学学报》发表了标题为《爆轰驱动惰性气体磁流体发电试验研究》的文章，文中论述了基于爆轰驱动激波管技术的惰性气体磁流体发电的可能性。发电原理示意图如图所示，平行金属板A、B之间有一个很强的磁场，将爆轰驱动获得的高速等离子体沿垂直于磁场的方向射入磁场，则金属板A、B间便产生强电压。已知A、B板间距为d，板间磁场可视为匀强磁场，磁感应强度为B，以速率v进入磁场的等离子流截面积为S，稳定工作时，进、出极板的离子流单位体积内正、负离子的个数均为n，正负离子电荷量均为q，外电路接电阻R形成闭合回路获得强电流，则（   ） A．所能形成的持续稳定的电流为2nqSv B．磁流体发电机的稳定输出功率为 C．极板间电离气体的电阻率为 D．发电通道两端的压强差 【变式4-2】磁流体发电具有结构简单、启动快捷、环保且无需转动机械等优势。如图所示，是正处于研究阶段的磁流体发电机的简易模型图，其发电通道是一个长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略的导体电极，这两个电极通过开关与阻值为R的某种金属直导体连成闭合电路，整个发电通道处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里。高温等离子体以不变的速率v水平向右喷入发电通道内，正负离子的电荷量大小均为q，发电机的等效内阻为r，忽略等离子体的重力、相互作用力及其他因素。 (1)求该磁流体发电机的电动势大小E，上下极板哪个电势高？ (2)当开关闭合后，整个闭合电路中就会产生恒定的电流。求发电机内部沿电流方向离子所受阻力的大小； (3)当开关闭合后，要使等离子体以不变的速率v通过发电通道，必须有推动等离子体在发电通道内前进的作用力。如果不计其它损耗，这个推力的功率就应该等于该发电机的总功率，请你证明这个结论。 (4)设喷入两板间的等离子体单位体积内有n对正、负离子，求发电机的最大功率P。 模型05.配速法的应用 模型构建：拆分速度，用等效洛伦兹力抵消恒力；运动分解为匀速直线与匀速圆周，专门处理叠加场摆线运动 模型剖析： 1.无初速度（B、G/E型） 2.有竖直初速度（以B、E/G为例） 3.有水平初速度（以B、E/G为例） 4.有倾斜初速度 【例5】（多选）如图，空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带电荷量为q、质量为m的带正电小球从磁场中某点P由静止释放，其运动轨迹是一条摆线。小球的运动实际上是竖直平面内沿逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右的匀速直线运动的合运动，重力加速度为g。已知轨迹上某点的曲率半径为在极限情况下，通过该点和轨迹上紧邻该点两侧的两点作出的圆的半径。则下列说法正确的是（     ） A．小球运动到最低点时的速度为 B．小球运动到最低点时轨迹的曲率半径为 C．小球第一次运动到最低点时，距离释放点的竖直距离为 D．小球从释放到第一次经过最低点所需时间为 【变式5-1】磁控管在现代科技领域有广泛的应用。为使问题简化，将静态磁控管简化为一对长度足够的平行电极系统中的电子在正交的电场和磁场中运动。如图1所示，在间距为d的两极板间加不计内阻、电动势为U的电源，两极板间存在方向垂直xoy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，位于阴极表面附近的灯丝持续向第Ⅱ象限的各个方向发射电子，在单位时间内发射电子数为n。电子电荷量为e，质量为m，不计电子间的相互作用。 (1)若，求回路稳定电流I； (2)若，，回路电流要达到（1）问的稳定电流I，求电子发射初速度v的最小值； (3)若，电子初速度v可视为零，调节B的大小，电子在两极板间的运动轨迹如图2所示，其中轨迹Ⅱ最高点P恰好与阳极相切。 ①求轨迹Ⅱ所对应磁感应强度的大小； ②画出电流I与B的关系曲线。 【变式5-2】如图所示，一质量为m、电荷量为的带电粒子，以初速度从左端中央沿虚线射入正交的场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场区域中。若，当粒子从右端某点离开时速率为，侧移量为s，粒子重力不计，则下列说法正确的是（　　） A． B．粒子有可能从虚线下方离开该区域 C．粒子到达p点时所受洛伦兹力一定大于电场力 D．粒子在该区域中的加速度大小恒为 1. （多选）如图甲所示，三维直角坐标系Oxyz所在的空间中，有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小E1=。一带正电的粒子以大小为v0的初速度，沿xOy平面从x轴上的P点（L，0，0）进入匀强电场，初速度方向与x轴负方向的夹角α=53°。当粒子运动Δt=时间到达Q点（未画出）时，匀强电场的方向突然变为沿z轴方向，若以此刻为计时起点，且电场强度E2随时间t的变化关系如图乙所示（沿z轴正方向为正值），电场改变方向的同时加一沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小B=。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，粒子的重力忽略不计，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。则（     ） A．Q点的坐标为（-，-，0） B．带电粒子到达Q点时的速度大小为v0 C．当t=时带电粒子的位置坐标为（，，L） D．电场变化后粒子的运动可以看成xOy平面内的匀速圆周运动与z轴方向的匀变速直线运动合成的螺旋形运动 【基础夯实】 2. （多选）如图所示，在一个范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一个质量为m、电量为q的带正电小球由静止释放。已知当地的重力加速度为g，磁场方向水平。则小球从释放到第一次到达最低点的过程中（     ） A．竖直位移与水平位移大小之比为 B．竖直位移与水平位移大小之比为 C．洛伦兹力的冲量大小为 D．洛伦兹力的冲量大小为 3. （多选）电磁场与现代高科技密切关联，并有重要应用。对以下四个科技实例，说法正确的是（     ） A．图甲的速度选择器能使速度大小的粒子沿直线匀速通过，但与粒子的带电性质、带电量无关，但与速度方向有关 B．图乙的磁流体发电机正常工作时电流方向为，电阻两端的电势差等于发电机的电动势 C．图丙是质谱仪工作原理示意图，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝，粒子的比荷越小 D．图丁为霍尔元件，载流子若带负电，稳定时左侧的电势低于右侧的电势 4. 自行车速度计可以利用霍尔效应传感器获知自行车的运动速率。如图甲所示，一块磁铁安装在前轮上，轮子每转一圈，磁铁就靠近传感器一次，传感器就会输出一个脉冲电压。如图乙所示，电源输出电压为，当磁场靠近霍尔元件时，在导体前后表面间出现电势差（前表面的电势低于后表面的电势）。下列说法中错误的是（　　） A．图乙中霍尔元件的载流子带负电 B．自行车的车速越大，则霍尔电势差越大 C．若电流I变大，则霍尔电势差变大 D．若传感器的电源输出电压变大，则霍尔电势差变大 5. 利用霍尔传感器可测量自行车的运动速率，如图所示，一块磁铁安装在前轮上，霍尔传感器固定在前叉上，离轮轴距离为r，轮子每转一圈，磁铁就靠近霍尔传感器一次，传感器就会输出一个脉冲电压。当磁铁距离霍尔元件最近时，通过元件的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度为B，在导体前后表面间出现电势差U。已知霍尔元件沿磁场方向的厚度为d，载流子的电荷量为，电流I向左。下列说法正确的是（     ） A．前表面的电势高于后表面的电势 B．若车速越大，则霍尔电势差U越大 C．若单位时间内霍尔元件检测到n个脉冲，则自行车行驶的速度大小为 D．元件内单位体积中的载流子数为 6. 霍尔传感器依托霍尔效应实现磁、电信号转换，广泛应用于工业电流检测与磁场探测。如图甲，竖直放置的铁芯通有待测励磁电流I0，铁芯右侧的霍尔元件所处区域形成的磁场可视为匀强磁场，且磁感应强度大小满足B=kI0（k为比例常量，且k＞0）。图乙为霍尔元件结构示意图，元件长度为a、宽度为b、厚度为h，前后左右四个表面均引出接线柱，便于接入控制电路与测量电路。元件内定向移动的载流子受洛伦兹力偏转，电荷在前后表面积累，最终形成稳定的霍尔电压。 (1)霍尔元件所在处的磁场方向为______（选填“竖直向下”、“竖直向上”）； (2)若霍尔元件中的载流子带负电，结合磁场与电流方向判断，______表面电势更高（选填“前”、“后”）； (3)已知霍尔元件单位体积内载流子数为n，每个载流子的电荷量为q，通过霍尔元件的电流为I，测得霍尔电压为U，则待测励磁电流I0=______； (4)若磁场未垂直穿过元件，实验仍按磁场垂直入射的方式计算，则测得的励磁电流与真实值相比______（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）。 【培优拔高】 7. 利用电子束直写曝光技术可在基片上刻蚀出纳米级结构图形。某型号电子束曝光机的核心结构如图所示，由电子枪、两个加速电场、聚焦装置、速度选择器和可控磁场三部分组成。机器工作时，电子枪释放出速度为的电子束（电荷量，质量）进入一级加速电场（加速电压为）。离开一级加速电场后，在聚焦装置的作用下，所有电子保持原有动能沿中轴线方向进入二级加速电场。离开二级加速电场后沿轴线进入速度选择器。速度选择器两极板间距为，电压为，板间存在垂直纸面向里的匀强磁场。电子沿直线通过速度选择器后，沿轴线方向进入可控磁场（方向垂直纸面），最终打在基片上的点。已知点与点的竖直距离为，水平距离为，不计电子重力： (1)求电子离开一级加速电场时的速度大小； (2)求二级加速电场的大小； (3)请在答题卡图中作出电子进入可控磁场后的运动轨迹，并标出其轨迹圆的圆心（保留确定圆心的作图痕迹）；求出此时可控磁场的磁感应强度的大小。 8. 如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子通过cdef区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)若粒子在圆形区域的运动时间为，则圆形区域的半径。 9. （多选）如图所示为一种质谱仪的原理图。离子室产生电荷量为、质量为的正离子，初速度可忽略。离子经加速电压加速后，进入速度选择器，速度选择器的极板间电场强度，方向竖直向下，匀强磁场的磁感应强度为，方向垂直纸面向里。只有直线通过速度选择器的离子才能从狭缝射出，随后进入一个磁感应强度为的匀强磁场，方向垂直纸面向外，离子在磁场中做匀速圆周运动，最终打在照相底片上，落点到距离为。已知离子在离开速度选择器后，进入磁场分析区时，由于真空度不佳，该区域残留少量中性气体分子，质量为离子质量的2倍。不计离子的重力及离子间的相互作用，下列说法正确的是（     ） A．该速度选择器允许通过的速度为 B．离子通过该加速电压加速后可以从狭缝射出 C．若不考虑中性气体分子的影响，能从狭缝射出的离子落点距离 D．若在区域内，离子与静止的中性气体分子发生完全非弹性碰撞（二者粘在一起，电荷量不变），碰撞后继续偏转，新落点距离更近 10. 如图甲，竖直面中存在竖直向上的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v0沿PQ向右做直线运动。若小球刚经过D点时（此时开始计时t＝0），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时速度方向如图所示，与PQ连线成60°角，且以后能多次经过D点做周期性运动。图乙中，B0、t1、t2均为未知量，且t1、t2均小于小球在磁场中做圆周运动的周期。忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求： (1)电场强度E的大小； (2)t1与t2的比值； (3)小球做周期性运动的周期（用t1、t2表示）。 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 带电粒子在叠加场中的运动 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.叠加场 模型02.速度选择器 模型03.霍尔元件 模型04.电磁流量计 磁流体发电机 模型05.配速法的应用 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.叠加场 模型构建：同一空间多种场共存，优先判断重力与电场力是否抵消；二力抵消时，粒子仅受洛伦兹力做匀速圆周运动 模型剖析： 1.叠加场解题步骤 1.分析清楚叠加场的种类： 电场、磁场、重力场两两叠加或三三叠加。 2．正确分析带电粒子的受力及运动特点 一般涉及重力、电场力、洛伦兹力、摩擦力、弹力等。 3．画出粒子的运动轨迹，选择不同的运动规律 根据受力情况，结合动力学，判断粒子运动状态： 一般分为：匀变速运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、非匀变速曲线运动、螺旋运动等。 4.利用运动学、牛顿力学、功能关系求解 列运动学公式、结合电场力、其他外力做功的功能关系，列动能定理，联立求解。 2. 平衡状态下叠加场 3.B与E平行（螺旋运动） 【例1】如图所示，空间存在着垂直向里的匀强磁场B和竖直向上的匀强电场E，两个质量不同电量均为q的带电小球a和b从同一位置先后以相同的速度从场区左边水平进入磁场，其中 a小球刚好做匀速圆周运动，b小球刚好沿直线向右运动。不计两小球之间库仑力的影响，重力加速度为则（     ） A．a球一定带正电，b球可能带负电 B．a小球的质量等于 C．b小球的质量等于 D．a小球圆周运动的半径为 【答案】D 【详解】ABC．由题设条件，a小球刚好做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，所以Eq=mag 即 电场力方向竖直向上，则a球一定带正电。 b小球刚好沿直线向右运动，如果b球带负电，则其所受的电场力洛伦兹力均向下，重力也向下，不能平衡，无法做直线运动，所以b球带正电。 对b球有qvB+Eq=mbg b小球的质量等于，故ABC错误； D．a小球圆周运动的半径为 结合其质量关系解得，故D正确。 故选D。 【变式1-1】如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带负电小球（可视为质点）质量m=0.2kg，电荷量大小q=0.2C，从倾角的光滑绝缘斜面最高点由静止开始下滑，当沿绝缘斜面下滑距离时与斜面脱离。此时立即将电场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知，，重力加速度取） (1)求电场强度的大小E； (2)求小球脱离斜面时的速度大小v； (3)求斜面的长度L。 【答案】(1)E=10N/C (2)v=8m/s (3)L=4m 【详解】（1）根据题意，小球做匀速圆周运动，说明电场力与重力的合力为零，由电场力与重力平衡得 代入数据解得 （2）由题意知，下滑距离s的过程只有重力和电场力做功，由动能定理得 联立并代入数据解得 （3）由题意知，当小球沿斜面下滑距离时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用，在垂直于斜面方向上，由平衡知识可得       代入数据解得B=2T 设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R，如图 由洛伦兹力提供向心力得 代入数据解得R=4m 由几何关系可得 故斜面的长度 联立解得L=4m 【变式1-2】（多选）如图1所示，倾角为37°的光滑斜面处在垂直纸面向外、磁感应强度大小为 B0 的匀强磁场中，一质量为m、带电量为+q的小球（视为质点）从M点由静止释放，运动到N点时对轨道的压力大小正好等于小球的重力；再把小球与绝缘轻质细线连接，如图2所示，细线悬挂在天花板上，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，让小球在水平面内做匀速圆周运动（从上向下看逆时针），细线与竖直方向的夹角为37°，圆弧轨迹的半径等于图1中M、N两点间的距离，线速度等于小球在N点的速度，，，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．小球在N点的速度大小为 B．M、N两点间的距离为 C．图2中匀强磁场的磁感应强度大小为 D．细线的拉力大小为 【答案】BC 【详解】A．小球在N点进行受力分析，垂直斜面方向有 结合 解得，A错误； B．小球从M点运动到N点，机械能守恒，则有 解得，B正确； CD．对图2中的小球受力分析，水平方向由牛顿第二定律可得 竖直方向由二力平衡可得 联立解得，，故C正确，D错误。 故选BC。 模型02.速度选择器 模型构建：正交电、磁场，只有速度等于的粒子受力平衡直线穿过；只选速度，和粒子电性、质量无关 模型剖析： 应用：用来选择某一特定速度的带电粒子。 结构：由接电源的两个平行金属板、垂直于电场的磁场组成。 工作原理： 电量为q的带电粒子，以速度v垂直进入叠加场区域。无论粒子电荷正负，电场力与洛伦兹力方向均相反。若电场力等于洛伦兹力，则粒子可以匀速直线通过速度选择器。 过程分析：qE=qvB 选择速度：v= 特点、推论： ①只选择特定的速度，与粒子正负、m、q均无关。 ②通过调节电磁场，可以选择速度大小为v= ③速度选择器，对大小方向均由选择，甲图：右入射，乙图：左入射。 ④若或，粒子都将偏离直线运动。 ⑤速度选择器，经常与质谱仪结合应用。 【例2】质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，再由点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的点处，运动轨迹如图中虚线所示。 (1)粒子带正电还是负电？求粒子的比荷； (2)求点到点的距离； (3)若在偏转分离器Ⅲ加入水平向右的匀强电场，电场强度大小为，粒子打在照相底片的点上（未标出）。求粒子在偏转分离器Ⅲ中的最大速度。 【答案】(1)粒子带正电； (2) (3) 【详解】（1）由题可知，粒子进入Ⅲ区向上偏转，根据左手定则，可知粒子带正电。设粒子经过加速器获得的速度为，粒子经加速器加速，根据动能定理有 粒子经速度选择器做直线运动，根据平衡条件有 解得 （2）粒子经偏转分离器Ⅲ，根据洛伦兹力提供向心力有 根据几何关系可知，点到点的距离 解得 （3）粒子刚进入偏转分离器Ⅲ时，粒子受到向上的洛伦兹力 向右的电场力 根据配速法，将粒子的速度分解为大小为、的两个分速度，使对应的洛伦兹力与电场力等大反向，即 可得 方向竖直向上 根据速度的分解可得 方向与的方向夹角为斜向下 则粒子的运动可分解为线速度大小为的匀速圆周运动和速度大小为的匀速直线运动，粒子在偏转分离器Ⅲ中的最大速度 【变式2-1】如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，匀强电场方向竖直向下，有一正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域。不计重力，则（    ） A．若质子以相同的速率从左向右飞入，质子将向下偏转 B．若质子以相同的速率从左向右飞入，质子将向上偏转 C．若质子以相同的速率从右向左飞入，质子将向上偏转 D．若质子以相同的速率从右向左飞入，质子将向下偏转 【答案】D 【详解】AB．正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域，设正离子带电量为q，可知 解得，可知与粒子的带电量大小无关；若质子以相同的速率从左向右飞入，电场力向下，洛伦兹力向上，满足电场力与洛伦兹力平衡，所以质子也是沿直线运动，故AB错误； CD．若质子以相同的速率从右向左飞入，电场力向下，洛伦兹力向下，所以质子将向下偏转，故C错误，D正确。 故选D。 【变式2-2】如图所示，真空中存在共面的区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ为速度选择器，有竖直向下的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B1 ；区域Ⅱ为等腰直角三角形CGF，有垂直纸面向外的匀强磁场B2，ACO三点共线，AO⊥GF。A处的粒子源能持续将速率不同的同种粒子射入区域Ⅰ中，沿直线AC运动后从CF中点射出的粒子在区域Ⅱ中运动时间为t0 ，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（     ） A．从C点出来的粒子速度大小为v = B．粒子的比荷为 C．若仅将匀强电场强度E调大，粒子可能从GF边界出来 D．若仅将磁感应强度B2调大，粒子在区域Ⅱ中运动的时间仍为t0 【答案】C 【详解】A．依题意可知区域Ⅰ中粒子电场力和洛伦兹力相等 解得，故A错误； B． 因为粒子从边的中点射出，根据几何关系可知，粒子转过的圆心角为，周期 则 ，故B错误； C．由 得 结合，增大，增大，半径变大，可能从边出来，故C正确； D．粒子从射出的速度不变，仅将磁感应强度调大，半径变小，从边射出方向应保持不变，对应圆心角也不变；但粒子在区域Ⅱ中圆周运动周期变小，故粒子在区域Ⅱ中运动时间小于，故D错误。 故选C。 模型03.霍尔元件 模型构建：载流子受洛伦兹力偏转积累电荷，产生霍尔电压；霍尔电压与 B 成正比，用来测量磁感应强度。 模型剖析： 结构：高h，长L,宽d的金属导体，放置在垂直的磁场中，从左向右通入恒定电流I。 原理：当电流通过导体板时，在导体板的上侧面A和下侧面A＇之间会产生电势差，这种现象称为----霍尔效应。 工作原理： 由于金属导体中定向移动的是电子，故洛伦兹力向上偏转，聚集A（上面），则A电势低于A＇点，形成稳定的电势差，电子受电场力向上。 当电场力等于洛伦兹力时，电子直线通过，上下面间的电势差、电荷量饱和不再增加。 工作原理： qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd 联立得：U＝＝k 称为霍尔电压 k＝称为霍尔系数 【例3】（多选）石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状格结构新材料，其电导率远超传统半导体，可呈现量子霍尔效应。现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子（电子）浓度。如图所示，在长为a、宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，电极1、3间通以恒定电流I，电极2、4间将产生电压U。已知电子电荷量大小为e，则（　　） A．电极2的电势高于电极4 B．电极2的电势低于电极4 C．此样品每平方米载流子数 D．此样品每平方米载流子数 【答案】BC 【详解】AB．根据图示可知，电流方向经过石墨烯样品向右，则电子定向移动速度方向向左，根据左手定则可知，电子在洛伦兹力作用下向电极2聚集，导致电极2的电势比电极4的低，故A错误，B正确； CD．设样品每平方米载流子（电子）数为n，电子定向移动的速率为v，则时间t内通过样品的电荷量 根据电流的定义式得 得 又由于 联立解得 二维石墨烯样品每平方米的载流子数为 故C正确，D错误。 故选BC。 【变式3-1】（多选）利用霍尔效应制成的磁传感器可将磁场信号转换为电信号。如图甲所示，将这种磁传感器固定在自行车的车架上，并在车轮辐条上固定强磁铁，当车轮转动时磁铁每次经过传感器都会在元件两侧产生一次电势差变化，图乙为该元件的工作原理图，该元件中自由移动的载流子带负电，电源电压为。当自行车匀速行驶时，测得磁传感器的电压随时间t变化如图丙所示，已知自行车车轮半径为r，则以下说法正确的是（     ） A．车轮转一周所用的时间为 B．自行车行驶的速度大小为 C．增大电源电压，测得磁传感器的电压的峰值将增大 D．a端电势低于b端电势 【答案】BC 【详解】AB．自行车转一圈，前进，由图丙可知用时，因此行驶速度大小为。故A错误，B正确； C．当磁铁正对霍尔元件时，加在霍尔元件上的磁场最强，此时，（h是宽度，d是厚度），则对应的最大电压为 其中，因此增大会使霍尔电压的最大值增大。故C正确； D．由左手定则可知，负电荷向端运动，故端电势高于端。故D错误。 故选BC。 【变式3-2】笔记本电脑装有霍尔元件与磁体，实现开屏变亮、合屏熄灭。图乙为金属材质霍尔元件，导体单位体积内的自由电荷数为n，长、宽、高分别为a、b、c，此时电流大小恒定为I，方向向右。合上显示屏时，水平放置的元件处于竖直向下的大小为B的匀强磁场中，在元件某些表面之间产生电压。当电压达到某一临界值，屏幕自动熄灭。则元件（　　）（电子电荷量为e） A．合屏过程中，元件上表面的电势比下表面低 B．开、合屏过程中，元件前、后表面的电势差 C．开、合屏过程中，元件上下表面的电势差 D．若把金属材料换为半导体，导电粒子为正电荷，则元件后表面的电势比前表面低 【答案】B 【详解】AC．元件为金属材料，由左手定则知道，电子会向后表面偏转，在前后表面之间形成电势差，前表面电势高，故AC错误； B．稳定后根据平衡条件有 根据电流的微观表达式有 解得 故B正确； D．若元件为半导体材料，导电粒子带正电，由左手定则知道，正电荷会向后表面偏转，在前后表面之间形成电势差，后表面电势高，故D错误。 故选B。 模型04.电磁流量计 磁流体发电机 模型构建：带电粒子 / 导电液体受洛伦兹力偏转形成电势差；稳定时洛伦兹力等于电场力，用来测电动势或者液体流量 模型剖析： 1.电磁流量计 结构：非磁性材料制成的直径为D的圆管，外加垂直于磁感应强度B的匀强磁场。 工作原理： 测出管壁上a、b两点间电势差U，就可以知道管中液体点位时间能流过的体积，流量Q（m3/s） 当：a、b间的电势差(U)达到最大时有：q＝qvB. v＝. 则导电液体的流量：Q＝Sv＝·＝. 2.磁流体发电机 结构：A、B平行金属板的面积为S，相距为L，等离子体的电阻率为，喷入气体速度为v，板间磁场的磁感强度为B，板外电阻为R。 工作原理： 当等离子气体匀速通过A、B板间时，A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，即电源电动势最大，此时离子受力平衡。 ， 电动势： 电源内电阻： 所以R中电流： 【例4】（多选）磁流体发电技术就是用燃料直接加热成易于电离的气体，使之在2000℃的高温下电离成导电的等离子体，与磁场相互作用而产生电能。如图所示，等离子体以速度v进入两平行极板之间的区域，两金属板的板长均为L，且处于正对状态，板间距离为d，金属板的正对面积为S。磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于等离子体初速度方向，且与极板平行，负载电阻为R。当稳定发电时，理想电流表的示数为I。当稳定发电时，下列说法正确的是（     ） A．上极板带正电 B．有电流从b经电阻流向a C．产生的电动势大小为Bdv D．板间等离子体的等效阻值为 【答案】BC 【详解】AB．等离子体飞入磁场中时，受到洛伦兹力的作用，根据左手定则可知，正离子向下极板聚集，下极板是电源正极，负离子向上极板聚集，上极板是电源负极，有电流从b经电阻流向a，故A错误，B正确； CD．当稳定发电时，由平衡条件有 解得 根据闭合电路欧姆定律有 则板间等离子体的等效阻值为，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式4-1】2023年1月《力学学报》发表了标题为《爆轰驱动惰性气体磁流体发电试验研究》的文章，文中论述了基于爆轰驱动激波管技术的惰性气体磁流体发电的可能性。发电原理示意图如图所示，平行金属板A、B之间有一个很强的磁场，将爆轰驱动获得的高速等离子体沿垂直于磁场的方向射入磁场，则金属板A、B间便产生强电压。已知A、B板间距为d，板间磁场可视为匀强磁场，磁感应强度为B，以速率v进入磁场的等离子流截面积为S，稳定工作时，进、出极板的离子流单位体积内正、负离子的个数均为n，正负离子电荷量均为q，外电路接电阻R形成闭合回路获得强电流，则（   ） A．所能形成的持续稳定的电流为2nqSv B．磁流体发电机的稳定输出功率为 C．极板间电离气体的电阻率为 D．发电通道两端的压强差 【答案】D 【详解】AB． 正、负离子在磁场中受到洛伦兹力的作用，分别向两极板偏移，稳定时等离子体所受的洛伦兹力与电场力恰好平衡，则有 即A、B两板间的电压 设t时间内喷入的正、负离子到达下、上两极板的个数均为N，则所能形成持续稳定的电流 磁流体发电机的稳定输出功率 故AB错误； C．设A、B板的正对面积为S0，根据闭合电路欧姆定律 得板间电离气体的电阻率，故C错误； D．等离子体在通道中稳定流动时，驱动力与磁场对电流的安培力相平衡。驱动力， 安培力 两者平衡 则 故，故D正确。 故选D。 【变式4-2】磁流体发电具有结构简单、启动快捷、环保且无需转动机械等优势。如图所示，是正处于研究阶段的磁流体发电机的简易模型图，其发电通道是一个长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略的导体电极，这两个电极通过开关与阻值为R的某种金属直导体连成闭合电路，整个发电通道处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里。高温等离子体以不变的速率v水平向右喷入发电通道内，正负离子的电荷量大小均为q，发电机的等效内阻为r，忽略等离子体的重力、相互作用力及其他因素。 (1)求该磁流体发电机的电动势大小E，上下极板哪个电势高？ (2)当开关闭合后，整个闭合电路中就会产生恒定的电流。求发电机内部沿电流方向离子所受阻力的大小； (3)当开关闭合后，要使等离子体以不变的速率v通过发电通道，必须有推动等离子体在发电通道内前进的作用力。如果不计其它损耗，这个推力的功率就应该等于该发电机的总功率，请你证明这个结论。 (4)设喷入两板间的等离子体单位体积内有n对正、负离子，求发电机的最大功率P。 【答案】(1)Bav，上极板电势高 (2) (3)见解析 (4) 【详解】（1）当外电路断开时，极板间的电压大小等于电动势。此时，发电通道内电荷量为q的离子受力平衡。有 可得E=Bav 由左手定则可知，正离子受洛伦兹力向上，可知上极板电势高； （2）由平衡可知 其中 解得 （3）当电键闭合，由欧姆定律可得 该电流在发电通道内受到的安培力大小为FA=BIa 要使等离子体做匀速直线运动，所需的推力为FT=FA 推力F的功率为PT=FTv 联立可得 闭合电路中发电机的总功率为PD=IE 联立可得 可得PT=PD 可见推力的功率PT就等于该发电机的总功率PD。 （4）等离子体全部聚集到两极板上时，发电机的功率最大。 等离子体流的速度为v，则在时间t内喷入等离子体的长度为vt，体积为vtS，则电荷量为 电流， 故最大功率 模型05.配速法的应用 模型构建：拆分速度，用等效洛伦兹力抵消恒力；运动分解为匀速直线与匀速圆周，专门处理叠加场摆线运动 模型剖析： 1.无初速度（B、G/E型） 2.有竖直初速度（以B、E/G为例） 3.有水平初速度（以B、E/G为例） 4.有倾斜初速度 【例5】（多选）如图，空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带电荷量为q、质量为m的带正电小球从磁场中某点P由静止释放，其运动轨迹是一条摆线。小球的运动实际上是竖直平面内沿逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右的匀速直线运动的合运动，重力加速度为g。已知轨迹上某点的曲率半径为在极限情况下，通过该点和轨迹上紧邻该点两侧的两点作出的圆的半径。则下列说法正确的是（     ） A．小球运动到最低点时的速度为 B．小球运动到最低点时轨迹的曲率半径为 C．小球第一次运动到最低点时，距离释放点的竖直距离为 D．小球从释放到第一次经过最低点所需时间为 【答案】AC 【详解】A．设水平向右匀速分量的速度为。该分量的磁场力与重力平衡，故 所以 小球从静止释放时，圆周分量的速度向左，大小为。圆周运动为逆时针方向，运动到圆周最低位置时，圆周分量速度向右，与匀速分量同向，因此最低点的合速度为，故A正确； B．匀速分量对应的磁场力恰与重力抵消，最低点的合加速度由圆周分量的磁场力产生，方向竖直向上，大小为，圆周分量满足洛伦兹力提供向心力，即 所以，从而 最低点的合速度与合加速度垂直，曲率半径满足 代入得，故B错误； C．圆周分量的轨道半径为，将前述结果代入轨道半径关系，得 释放时圆周分量处在圆周最高点，第一次到达摆线最低点对应圆周运动转过半周，竖直距离为，所以，故C正确； D．圆周运动的周期为。第一次到达摆线最低点经历半个周期，故，代入得，故D错误。 故选AC。 【变式5-1】磁控管在现代科技领域有广泛的应用。为使问题简化，将静态磁控管简化为一对长度足够的平行电极系统中的电子在正交的电场和磁场中运动。如图1所示，在间距为d的两极板间加不计内阻、电动势为U的电源，两极板间存在方向垂直xoy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，位于阴极表面附近的灯丝持续向第Ⅱ象限的各个方向发射电子，在单位时间内发射电子数为n。电子电荷量为e，质量为m，不计电子间的相互作用。 (1)若，求回路稳定电流I； (2)若，，回路电流要达到（1）问的稳定电流I，求电子发射初速度v的最小值； (3)若，电子初速度v可视为零，调节B的大小，电子在两极板间的运动轨迹如图2所示，其中轨迹Ⅱ最高点P恰好与阳极相切。 ①求轨迹Ⅱ所对应磁感应强度的大小； ②画出电流I与B的关系曲线。 【答案】(1) (2) (3)①，② 【详解】（1）稳定电流 （2）根据洛伦兹力提供向心力 由几何关系可得 解得 （3）①根据动能定理 将电子速度分解为，则 在时间内，根据动量定理 累加得 解得 ②饱和下截止临界，饱和电流 电流I与B的关系曲线如图所示 【变式5-2】如图所示，一质量为m、电荷量为的带电粒子，以初速度从左端中央沿虚线射入正交的场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场区域中。若，当粒子从右端某点离开时速率为，侧移量为s，粒子重力不计，则下列说法正确的是（　　） A． B．粒子有可能从虚线下方离开该区域 C．粒子到达p点时所受洛伦兹力一定大于电场力 D．粒子在该区域中的加速度大小恒为 【答案】D 【详解】A．粒子从虚线向上偏移，电场方向竖直向下，电场力做负功，洛伦兹力始终不做功，根据动能定理有 解得 A选项中根号内第二项的符号错误，故A错误； B．取水平向右为正方向，将粒子的初速度分解为大小为的水平匀速运动和大小为的匀速圆周运动，其中电场力与匀速运动对应的洛伦兹力平衡，根据 解得 由于，圆周运动的初速度方向向右、初始洛伦兹力方向向上，设圆周运动转过的圆心角为，其半径为，粒子相对虚线的竖直位移为 因此粒子不可能从虚线下方离开该区域，故B错误； C．粒子到达点时的速率为 点处洛伦兹力大于电场力的条件为 题设条件不能保证，故洛伦兹力不一定大于电场力，故C错误； D．电场力与速度为的水平运动所对应的洛伦兹力始终平衡，粒子剩余速度的大小保持不变，对应的洛伦兹力提供向心力，因此粒子的加速度大小为 故D正确。 故选D。 1. （多选）如图甲所示，三维直角坐标系Oxyz所在的空间中，有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小E1=。一带正电的粒子以大小为v0的初速度，沿xOy平面从x轴上的P点（L，0，0）进入匀强电场，初速度方向与x轴负方向的夹角α=53°。当粒子运动Δt=时间到达Q点（未画出）时，匀强电场的方向突然变为沿z轴方向，若以此刻为计时起点，且电场强度E2随时间t的变化关系如图乙所示（沿z轴正方向为正值），电场改变方向的同时加一沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小B=。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，粒子的重力忽略不计，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。则（     ） A．Q点的坐标为（-，-，0） B．带电粒子到达Q点时的速度大小为v0 C．当t=时带电粒子的位置坐标为（，，L） D．电场变化后粒子的运动可以看成xOy平面内的匀速圆周运动与z轴方向的匀变速直线运动合成的螺旋形运动 【答案】AC 【详解】 A． 对带电粒子，根据牛顿第二定律得 粒子在平面内的运动为类斜抛运动，如图所示，设粒子到达Q点时的速度大小为v，与x轴负方向的夹角为θ，根据运动的合成与分解有， 故Q点的坐标为，故A项正确； Ｂ．根据运动的合成与分解知， 带电粒子到达Q点时的速度大小，故B项错误； C．从后开始磁场沿方向，电场也只沿方向，所以平面内只受洛伦兹力，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 圆周运动 联立解得角速度为 当时， 粒子在平面转过，代入圆周运动关系可得 再看方向。令 图乙表示:内为正，内，内为负。 由图像知 加速度大小为 有 有 有 所以 因此时位置为，故C项正确； D．因为随时间变化，方向加速度不是恒定不变的，所以不能整体看成匀变速直线运动，故D项错误。 故选AC。 【基础夯实】 2. （多选）如图所示，在一个范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一个质量为m、电量为q的带正电小球由静止释放。已知当地的重力加速度为g，磁场方向水平。则小球从释放到第一次到达最低点的过程中（     ） A．竖直位移与水平位移大小之比为 B．竖直位移与水平位移大小之比为 C．洛伦兹力的冲量大小为 D．洛伦兹力的冲量大小为 【答案】BD 【详解】AB．将初速度为零分解为：水平向右的速度和水平向左的速度，向右的对应的洛伦兹力 向上平衡重力；剩余向左的做匀速圆周运动，如图 洛伦兹力提供向心力 周期 第一次到达最低点对应半个圆周运动，时间 圆周运动半径 半个周期竖直向下总位移 匀速直线运动的水平总位移 因此竖直位移与水平位移之比，故A错误，B正确； CD．第一次最低点末速度，，末动量，沿水平方向。 重力冲量大小，沿竖直方向。 由动量定理可得，在水平方向有 在竖直方向有 整理得洛伦兹力冲量的分量​， 因此冲量大小，故C错误，D正确。 故选BD。 3. （多选）电磁场与现代高科技密切关联，并有重要应用。对以下四个科技实例，说法正确的是（     ） A．图甲的速度选择器能使速度大小的粒子沿直线匀速通过，但与粒子的带电性质、带电量无关，但与速度方向有关 B．图乙的磁流体发电机正常工作时电流方向为，电阻两端的电势差等于发电机的电动势 C．图丙是质谱仪工作原理示意图，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝，粒子的比荷越小 D．图丁为霍尔元件，载流子若带负电，稳定时左侧的电势低于右侧的电势 【答案】AD 【详解】A．粒子在速度选择器中沿直线匀速通过，匀速直线运动时受力平衡：，可得。若粒子从右向左进入，电场力与洛伦兹力方向都是竖直向下，粒子将向下偏转，无法沿直线通过。因此与速度方向有关，故A正确； B．等离子体射入磁场，正离子向上极板P偏转，负离子向下极板Q偏转，上极板P带正电，外部电流a→R→b；但是等离子体本身存在内阻，电阻R两端电压是路端电压，小于发电机电动势，故B错误； C．质谱仪中，粒子进入磁场后洛伦兹力提供向心力：，，粒子越靠近狭缝，轨道半径越小；越小，粒子比荷​越大，故C错误； D．根据左手定则，负电荷载流子会向左侧偏转并聚集，导致左侧带负电，右侧带正电，稳定时左侧的电势低于右侧的电势，故D正确。 故选AD。 4. 自行车速度计可以利用霍尔效应传感器获知自行车的运动速率。如图甲所示，一块磁铁安装在前轮上，轮子每转一圈，磁铁就靠近传感器一次，传感器就会输出一个脉冲电压。如图乙所示，电源输出电压为，当磁场靠近霍尔元件时，在导体前后表面间出现电势差（前表面的电势低于后表面的电势）。下列说法中错误的是（　　） A．图乙中霍尔元件的载流子带负电 B．自行车的车速越大，则霍尔电势差越大 C．若电流I变大，则霍尔电势差变大 D．若传感器的电源输出电压变大，则霍尔电势差变大 【答案】B 【详解】A．由题知，前表面的电势低于后表面的电势，根据左手定则可知，往前表面偏转的带负电的载流子，即霍尔元件的载流子带负电，故A正确，不符合题意； B．根据平衡条件有 解得 根据电流的微观定义式I＝neSv 联立解得 可知霍尔电势差与车速无关，故B错误，符合题意； C．根据 可知若电流I变大，则变大，故C正确，不符合题意； D．若变大，则I变大，根据 可知导致变大，故D正确，不符合题意。 本题选错误的，故选B。 5. 利用霍尔传感器可测量自行车的运动速率，如图所示，一块磁铁安装在前轮上，霍尔传感器固定在前叉上，离轮轴距离为r，轮子每转一圈，磁铁就靠近霍尔传感器一次，传感器就会输出一个脉冲电压。当磁铁距离霍尔元件最近时，通过元件的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度为B，在导体前后表面间出现电势差U。已知霍尔元件沿磁场方向的厚度为d，载流子的电荷量为，电流I向左。下列说法正确的是（     ） A．前表面的电势高于后表面的电势 B．若车速越大，则霍尔电势差U越大 C．若单位时间内霍尔元件检测到n个脉冲，则自行车行驶的速度大小为 D．元件内单位体积中的载流子数为 【答案】D 【详解】A．电流向左，载流子为带负电荷的自由电子，可知自由电子运动方向向右，根据左手定则，自由电子受到的洛伦兹力指向前表面，故前表面聚集负电荷，后表面带正电，所以前表面的电势低于后表面的电势，故A错误； B．设霍尔元件前后表面的间距为，当达到稳定状态时，载流子受到的电场力与洛伦兹力平衡，有 又因为电流 联立解得 可知霍尔电势差取决于磁感应强度和电流等因素，与车速无关，故B错误； C．若单位时间内霍尔元件检测到个脉冲，说明车轮的转动频率为，即每秒转圈，设自行车前轮外边缘半径为，则自行车行驶的速度大小为，故C错误； D．根据 解得元件内单位体积中的载流子数为，故D正确。 故选D。 6. 霍尔传感器依托霍尔效应实现磁、电信号转换，广泛应用于工业电流检测与磁场探测。如图甲，竖直放置的铁芯通有待测励磁电流I0，铁芯右侧的霍尔元件所处区域形成的磁场可视为匀强磁场，且磁感应强度大小满足B=kI0（k为比例常量，且k＞0）。图乙为霍尔元件结构示意图，元件长度为a、宽度为b、厚度为h，前后左右四个表面均引出接线柱，便于接入控制电路与测量电路。元件内定向移动的载流子受洛伦兹力偏转，电荷在前后表面积累，最终形成稳定的霍尔电压。 (1)霍尔元件所在处的磁场方向为______（选填“竖直向下”、“竖直向上”）； (2)若霍尔元件中的载流子带负电，结合磁场与电流方向判断，______表面电势更高（选填“前”、“后”）； (3)已知霍尔元件单位体积内载流子数为n，每个载流子的电荷量为q，通过霍尔元件的电流为I，测得霍尔电压为U，则待测励磁电流I0=______； (4)若磁场未垂直穿过元件，实验仍按磁场垂直入射的方式计算，则测得的励磁电流与真实值相比______（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）。 【答案】(1)竖直向上 (2)前 (3) (4)偏小 【详解】（1）根据安培定则，检测电流​产生的磁场在环形铁芯内为逆时针方向，因此右侧霍尔元件所在处的磁场方向为竖直向上。 （2）电流方向沿霍尔元件从右到左，若霍尔元件中的载流子带负电，结合磁场方向竖直向上，由左手定则可知负电荷受洛伦兹力向后表面偏转，后表面积累负电荷，所以前表面电势更高。 （3）平衡时载流子所受洛伦兹力等于电场力，则有 根据电流微观表达式可得 联立解得 已知磁感应强度大小满足，可得待测励磁电流 （4）若磁场不垂直元件，实际对霍尔电压有贡献的是垂直于元件的磁场分量​，因此测得的霍尔电压U小于磁场垂直时的电压，根据可知，测得的励磁电流比真实值偏小。 【培优拔高】 7. 利用电子束直写曝光技术可在基片上刻蚀出纳米级结构图形。某型号电子束曝光机的核心结构如图所示，由电子枪、两个加速电场、聚焦装置、速度选择器和可控磁场三部分组成。机器工作时，电子枪释放出速度为的电子束（电荷量，质量）进入一级加速电场（加速电压为）。离开一级加速电场后，在聚焦装置的作用下，所有电子保持原有动能沿中轴线方向进入二级加速电场。离开二级加速电场后沿轴线进入速度选择器。速度选择器两极板间距为，电压为，板间存在垂直纸面向里的匀强磁场。电子沿直线通过速度选择器后，沿轴线方向进入可控磁场（方向垂直纸面），最终打在基片上的点。已知点与点的竖直距离为，水平距离为，不计电子重力： (1)求电子离开一级加速电场时的速度大小； (2)求二级加速电场的大小； (3)请在答题卡图中作出电子进入可控磁场后的运动轨迹，并标出其轨迹圆的圆心（保留确定圆心的作图痕迹）；求出此时可控磁场的磁感应强度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在一级加速电场中，根据动能定理有 解得 （2）在二级加速电场中，根据动能定理有 之后电子进入速度选择器，电子沿直线运动，洛伦兹力与电场力平衡，满足 其中， 解得 联立解得 代入 解得 （3）在偏转磁场中，电子轨迹如图所示 设电子在磁场中做圆周运动的半径为，由洛伦兹力充当圆周运动的向心力可知 故有 由几何关系有 代入 解得 又 解得 8. 如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子通过cdef区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)若粒子在圆形区域的运动时间为，则圆形区域的半径。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子沿直线通过cdef区域，可知 解得 （2）由逆向思维可知，粒子在左侧电场中做类平抛运动，可知， 解得 （3）粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，则 解得 设粒子转过的圆心角为，粒子通过圆形区域的时间 解得 圆形区域的半径为，则 解得 9. （多选）如图所示为一种质谱仪的原理图。离子室产生电荷量为、质量为的正离子，初速度可忽略。离子经加速电压加速后，进入速度选择器，速度选择器的极板间电场强度，方向竖直向下，匀强磁场的磁感应强度为，方向垂直纸面向里。只有直线通过速度选择器的离子才能从狭缝射出，随后进入一个磁感应强度为的匀强磁场，方向垂直纸面向外，离子在磁场中做匀速圆周运动，最终打在照相底片上，落点到距离为。已知离子在离开速度选择器后，进入磁场分析区时，由于真空度不佳，该区域残留少量中性气体分子，质量为离子质量的2倍。不计离子的重力及离子间的相互作用，下列说法正确的是（     ） A．该速度选择器允许通过的速度为 B．离子通过该加速电压加速后可以从狭缝射出 C．若不考虑中性气体分子的影响，能从狭缝射出的离子落点距离 D．若在区域内，离子与静止的中性气体分子发生完全非弹性碰撞（二者粘在一起，电荷量不变），碰撞后继续偏转，新落点距离更近 【答案】AC 【详解】A．正离子在速度选择器中向右做直线运动时，电场力竖直向下，洛伦兹力竖直向上，二力平衡，有 解得，故A正确； B．离子由静止经加速电压加速，由动能定理得 解得 加速所得速度小于速度选择器允许通过的速度，离子不能从狭缝射出，故B错误； C．由前述计算得，能从狭缝射出的离子速度为。离子进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，有 又因离子运动半周后打在照相底片上，所以，故C正确； D．设碰撞后离子与中性气体分子的共同速度为。碰撞时间极短，离子与中性气体分子组成的系统动量守恒，有 解得 碰撞后的复合粒子在磁场中仍由洛伦兹力提供向心力，有 解得 碰撞后速度方向仍沿原轨迹的切线，轨道半径也不变，因此碰撞后的轨迹与原轨迹重合，落点不变，故D错误。 故选AC。 10. 如图甲，竖直面中存在竖直向上的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v0沿PQ向右做直线运动。若小球刚经过D点时（此时开始计时t＝0），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时速度方向如图所示，与PQ连线成60°角，且以后能多次经过D点做周期性运动。图乙中，B0、t1、t2均为未知量，且t1、t2均小于小球在磁场中做圆周运动的周期。忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求： (1)电场强度E的大小； (2)t1与t2的比值； (3)小球做周期性运动的周期（用t1、t2表示）。 【答案】(1) (2) (3)6t1＋3t2 【详解】（1）根据题意，在只有重力场与电场的复合场中带电小球做直线运动，说明受力平衡，满足 解得 （2）根据乙图以及左手定则可知，在时间内，小球做匀速直线运动，在时间内小球在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，然后继续做直线运动回到D点，轨迹如图1所示 粒子在0~t1时间内做直线运动的位移x＝v0t1 加入磁场后，根据几何关系可得小球做圆周运动的半径 小球做圆周运动转过的角度为240°，所以可求得 可解得 （3）小球在空间中做周期性运动的轨迹应如图2所示 所以 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $