第7讲 宇宙航行（模型与方法）物理人教版必修第二册

第7讲 宇宙航行 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.人造卫星 模型02.卫星变轨 模型03.双星系统 模型04.天体追及与相遇 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.人造卫星 模型构建：人造卫星绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力完全提供向心力。由公式可得规律：高轨低速大周期，轨道半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周期越大。第一宇宙速度是近地卫星最大环绕速度、最小发射速度。同步卫星周期等于地球自转周期，轨道固定在赤道上空，高度唯一 模型剖析： 一.人造卫星及3种特殊卫星 1.近地卫星 在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径v＝7.9 km/s；T≈85 min. 2.极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 3.同步卫星 相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，又叫通讯卫星，静止卫星． 同步卫星的特点： G＝m(R＋h) h＝－R≈3.58×104 km≈5.6R 地球半径R=6400km 二.特殊卫星的动力学比较 1.同步卫星、近地卫星、一般卫星、赤道上的物体的运动特点： 1.同步卫星与赤道上的物体角速度、周期相等； 2.同步卫星与近地卫星同属卫星模型； 3.近地卫星与赤道上的物体的轨道半径相等； 4.比较赤道上的物体与一般卫星的运动关系时，将同步卫星补充进来作为一个比较的桥梁； 5.赤道上的物体的运动不能用万有引力提供向心力来分析. 【例1】（多选）北斗导航系统使用倾斜地球同步轨道（IGSO）提升定位精度，该卫星沿圆轨道运行，绕行方向如图甲所示。位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图乙所示，当卫星位于接收站正上方时信号最强。已知地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星（     ） A．始终相对地面静止 B．线速度小于第一宇宙速度 C．图乙中信号周期性变化间隔T=24h D．该卫星轨道半径为 【答案】BD 【详解】A．只有轨道在赤道平面内的地球同步卫星才相对地面静止，该卫星是倾斜地球同步轨道，轨道平面不与赤道平面重合，因此不会始终相对地面静止，故A错误； B．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是所有绕地球做圆周运动卫星的最大环绕速度。该卫星轨道半径远大于地球半径，因此线速度必然小于第一宇宙速度，故B正确； C．倾斜地球同步轨道卫星的运行周期等于地球自转周期24h，每经过一半的运行周期，地球刚好也自转半周，该卫星会再次经过赤道观测站的正上方，因此信号最强的周期性变化间隔T=12h，故C错误； D．根据C项分析可知，该卫星运动周期为 万有引力提供向心力 推导可得轨道半径，故D正确。 故选BD。 【变式1-1】（多选）有、、、四颗地球卫星，在地球赤道上未发射，在地面附近近地轨道上正常运行，是地球同步卫星，是高空探测卫星，各卫星排列位置如图。当两颗不在同一轨道上的卫星相距最短时称为两颗卫星“相遇”。则有（     ） A．、、、做圆周运动的向心力均由地球对其的万有引力提供 B．线速度 C．的运动周期有可能是 D．和两次相遇的最短时间比和两次相遇的最短时间长 【答案】BC 【详解】A．在地面赤道上，随地球自转，向心力是万有引力减去地面支持力，不是全部万有引力。 、、是在轨卫星，向心力完全由万有引力提供，故A错误； B．卫星环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得 解得 可知卫星的轨道半径越小，环绕速度越大，即 而卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，则有 根据可知 故线速度，故B正确； C．根据开普勒第三定律知：r越大，周期越大， d轨道比同步卫星c更高，所以 故的运动周期有可能是，故C正确； D．：近地卫星，轨道半径最小，角速度最大， ：同步卫星， ：高空探测卫星，由开普勒第三定律： 根据知，近地卫星角速度最大，且 追及（相遇）条件：角速度差 追及时间 和， 和， 推理知 故和两次相遇的最短时间比和两次相遇的最短时间短，故D错误。 故选BC。 【变式1-2】“北斗”卫星导航定位系统是由我国自主研发的卫星导航系统，该系统由地球同步卫星，中轨道卫星和倾斜静止卫星组成。下列说法正确的是（     ） A．中轨道卫星的周期大于24 h B．地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度 C．地球同步卫星的线速度比静止在赤道上物体的大 D．中轨道卫星的向心加速度比地球同步卫星的小 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力，有 解得 同步卫星的周期为24h，因为中轨道卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以中轨道卫星的周期小于24 h，故A错误； B．第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大速度，所以地球同步卫星的运行速度不可能大于地球的第一宇宙速度，故B错误； C．同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，根据 可知，地球同步卫星的线速度比静止在赤道上物体的大，故C正确； D．根据万有引力提供向心力，有 可得 中轨道卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，中轨道卫星的向心加速度比地球同步卫星的大，故D错误。 故选C。 模型02.卫星变轨 模型构建：卫星变轨依靠短时喷气加速或减速。加速做离心运动，轨道抬升；减速做近心运动，轨道降低。椭圆轨道切点处，外轨道速度大于内轨道同切点速度。变轨过程万有引力不做功，椭圆轨道上机械能守恒。注意：轨道半径越大，卫星机械能越大，变轨抬高轨道需要点火加速输入能量 模型剖析： 1.发生过程分析 2.航天飞机与宇宙空间站的“对接” 本质仍是卫星的变轨运行问题，要成功“对接”，必须让航天飞机在较低轨道上加速，通过速度v的增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道来完成对接。 3.卫星运行的渐变性及能量问题 由于地球近太空稀薄空气的阻力影响卫星V所需向心力Fn万有引力F=>Fn卫星做近心运动地球引力做正功V，Ek，a，w，Ep，E机械能，T。 【例2】神舟十八号载人飞船与天和核心舱对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ：十八号飞船处于半径为（大于地球半径）的圆轨道Ⅰ，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接，之后在圆轨道Ⅲ上运行。则下列说法正确的是（     ） A．由轨道Ⅰ变换到轨道Ⅱ需要在A点减速 B．在轨道Ⅰ上经过A点时加速度大于轨道Ⅱ上经过A点时加速度 C．在轨道Ⅱ上经过B点时的速度小于7.9km/s D．在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上圆周运动的周期比为 【答案】C 【详解】A．飞船由轨道Ⅰ变换到轨道Ⅱ，是从低轨道进入高轨道（做离心运动），需要在A点点火加速，使万有引力不足以提供向心力，故A错误； B．根据牛顿第二定律和万有引力定律，加速度 在A点时，无论是轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ，飞船到地心的距离r相同，受到的万有引力相同，因此加速度大小相等，故B错误； C．第一宇宙速度7.9km/s是近地圆轨道的环绕速度，也是圆轨道运行的最大速度。根据可知，轨道半径越大，线速度越小，因此轨道Ⅲ的运行速度。飞船在轨道Ⅱ上运动到B点时，需要加速才能进入轨道Ⅲ，说明轨道Ⅱ上B点的速度小于轨道Ⅲ的速度，即，故C正确； D．根据开普勒第三定律 可知在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上圆周运动的周期平方比为 则周期比为，故D错误。 故选C。 【变式2-1】外太空小行星若有撞击地球的风险，人类将主动干预，使得小行星偏离原有的轨道。如图所示，假设某颗小行星绕太阳做圆周运动，轨道是实线轨道1，轨道半径为，运动方向如箭头所示。探测器在处以较大速度撞击小行星并结合为一体。小行星的轨道变为图中虚线椭圆轨道2，远日点为，近日点为，到太阳的距离为。下列说法正确的是（　　） A．撞击后小行星绕太阳运行的周期增大 B．撞击后小行星经过点的加速度比撞击前的加速度大 C．撞击后小行星最大速度与最小速度之比为 D．探测器可能从正面与小行星迎面相撞 【答案】D 【详解】A．圆轨道1半长轴，椭圆轨道2半长轴 半长轴减小，根据开普勒第三定律，可知周期减小。故A错误； B．万有引力提供合力 解得 撞击前后在P点到太阳距离不变，中心天体质量不变，加速度相等。故B错误； C．根据开普勒第二定律（面积定律）得 解得。故C错误； D．小行星原来沿圆轨道逆时针转动；撞击后在P点减速，做近心运动进入椭圆轨道。可知探测器迎面撞击（正面相撞），使小行星速度减小，可以实现轨道变为椭圆。故D正确。 故选D。 【变式2-2】2024年嫦娥六号实现世界首次月球背面采样返回。“嫦娥六号”探测器的发射过程可以简化如下：探测器由地面发射后，进入地月转移轨道，在近月点多次变轨，由椭圆轨道变为圆形轨道，圆形轨道离月球表面的高度为H，绕椭圆轨道运动的周期为T，已知月球表面的重力加速度为，月球的半径为R。下列说法正确的是（     ） A．“嫦娥六号”在圆形轨道上运行的周期为 B．“嫦娥六号”的椭圆轨道上的远月点距离月球球心的距离为 C．“嫦娥六号”在地月转移轨道上经过近月点的加速度比在椭圆轨道上经过该点时的加速度大 D．“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度大于在圆形轨道上运动的速度 【答案】A 【详解】A．根据万有引力提供向心力 又由 联立解得“嫦娥六号”在圆形轨道上的运行周期为，故A正确； B．设“嫦娥六号”的椭圆轨道上远月点距离月球球心的距离为r，则椭圆轨道半长轴为 根据开普勒第三定律有 联立解得，故B错误； C．根据可知，“嫦娥六号”在地月转移轨道上经过近月点的加速度与在椭圆轨道上经过该点时的加速度一样大，故C错误； D．根据近心运动的原理，“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度小于在该点的圆轨道的线速度，而根据知在近月点的圆轨道的线速度大于在远月点圆轨道上的线速度，所以“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度小于在圆形轨道上运动的速度，故D错误。 故选A。 模型03.双星系统 模型构建：双星角速度周期相同，万有引力互相提供向心力，轨道半径与质量成反比，两星间距等于轨道半径之和 模型剖析： 1.双星系统 2.拉格朗日点 双星系统运动时，其轨道平面存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（例如人造卫星）可以与两星体保持相对静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。 一般一个双星系统有五个拉格朗日点。 相当于在双星的万有引力的合力作用下，提供向心力做匀速圆周运动的点： 拉格朗日点的特点： 1.运行周期与角速度和双星系统相同。 2.速度之比等于半径之比。 3.多星系统 多星系统看似复杂，实际上考查简单，通常由几个星体的万有引力的合力提供向心力，且各星体w,T相同。 【例3】双星系统由两个天体组成，相对于其他天体，位置非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动。如图所示是某双星系统的示意图，O为圆心。两恒星P、Q的球心分别为、，两星球的半径远小于两星球球心之间的距离。已知P的轨道半径大于Q的轨道半径，设P质量为、Q质量为，P、Q间的距离为L，P、Q运动周期为T。下列说法正确的是（     ） A．P的质量大于Q的质量 B．P的轨道半径为 C．P、Q的向心加速度之比为1∶1 D．L一定，若P、Q的总质量越大，绕行周期会越小 【答案】D 【详解】A．两星球之间的万有引力提供向心力，万有引力相同，则有 的轨道半径大于的轨道半径，则，故A错误； B．由以上分析可得 化简可得的轨道半径为，故B错误； C．的向心加速度之比为，故C错误； D．对于，根据万有引力公式可得 同理，对于可得 两式相加并化简可得 当一定时，若的总质量（）越大，绕行周期会越小,故D正确； 故选D。 【变式3-1】2026年，我国天文观测团队在巡天观测中发现了一个由两颗恒星组成的双星系统。两颗恒星在彼此间的万有引力作用下，分别绕两星连线上某点做匀速圆周运动。观测到两星中心间的距离为，运转周期为。已知两星的质量分别为、（），引力常量为。求： (1)两星做圆周运动的轨道半径 、（用、、表示）； (2)该双星系统的总质量（用、、表示）； (3)若两星中心间的距离保持不变，而系统的总质量增大为原来的4倍，求新的运转周期 。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）两颗恒星的向心力均来自彼此之间的万有引力，且两颗恒星做圆周运动的角速度相同，则对分别有， 因为 联立解得，， （2）因为 联立解得该双星系统的总质量 （3）因为 整理得 可知若两星中心间的距离L保持不变，而系统的总质量增大为原来的4倍，则新的运转周期。 【变式3-2】开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，分别于1609年和1619年发表了开普勒三定律： (1)在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为的圆轨道。如图1所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内，扫过的扇形面积为。求行星绕太阳运动的线速度的大小。（提示：扇形面积半径弧长） (2)牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒定律。已知太阳质量为、行星质量为、太阳与行星间距离为、引力常量为，不考虑其它天体的影响。 a.通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量的表达式； b.实际上太阳并非保持静止不动，如图乙所示，太阳和行星绕二者连线上的点做周期均为的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为。请推导的表达式（用、、、和其它常数表示），并说明需满足的条件。 【答案】(1) (2)a． b．，行星质量远小于太阳质量、可忽略行星质量时，两常量可视为相等。 【详解】（1）在极短时间内，行星的速率可视为不变，走过的弧长为。将弧长代入题给的扇形面积公式，得到 解得行星的线速度大小为 （2）a．设行星绕静止太阳做匀速圆周运动的周期为，轨道半径等于太阳与行星的间距。行星所受太阳引力提供向心力。根据万有引力定律和牛顿第二定律，行星的运动方程为 结合开普勒第三定律中常量的定义，整理得 b．图乙中点位于太阳与行星之间，两者均绕点以周期做匀速圆周运动。设行星、太阳的轨道半径分别为和，则 两者受到的万有引力大小相等，均指向点，分别提供各自的向心力。对行星列式得 对太阳列式得 将两式分别除以行星质量和太阳质量后相加，利用两轨道半径之和等于太阳与行星的间距，得 因此 比较两种模型所得结果，有 所以，当行星质量远小于太阳质量、可忽略行星质量时，两常量近似满足 模型04.天体追及与相遇 模型构建：利用环绕天体角速度差建立角度方程，同向角度差为，反向角度和为，存在周期性多解 模型剖析： 1.天体追及相遇问题的思路 同一中心天体的两颗卫星，当内外轨道卫星所转过的圆心角的角度之差为π的整数倍时，就再次出现最近或最远的时刻。 a.根据＝mrω2=m计算出两环绕天体的w及T的大小或关系。 b.根据两颗卫星做圆周运动的圈数或角度关系列出方程求解。 2.情景演示 1)根据角度关系建立方程(ω1>ω2) 相距最近：ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1,2,3，…)， 相距最远：ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1,2,3，…)， 2)根据圈数关系建立方程(T1<T2) 相距最近：－＝ n，(n＝1,2,3，…)。 相距最远：－＝n－，(n＝1,2,3，…)。 【例4】（多选）如图，A、B为地球的两颗共面卫星，均绕地心O做逆时针方向的匀速圆周运动。卫星B为近地卫星，卫星A离地高度为地球半径的8倍，已知地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．卫星A受到地球的万有引力比卫星B小 B．地球的平均密度为 C．半径OA、OB在相等的时间内扫过的面积相等 D．在卫星A的一个周期内，A、B、O三者共线的次数为52次 【答案】BD 【详解】A．设地球质量为，卫星和的质量分别为和。卫星受到地球的万有引力满足，两轨道半径分别为和，但两颗卫星的质量未知，不能据此比较两卫星所受万有引力的大小，故A错误； B．对近地卫星，地球表面附近有 解得地球质量为 地球体积为，所以地球平均密度为，故B正确； C．开普勒第二定律对同一颗卫星成立，表示该卫星与地心的连线在相等时间内扫过相等面积。圆轨道上卫星在一个周期内扫过的面积为，因此相等时间内两卫星扫过的面积之比为，由开普勒第二定律和周期关系可得 相等时间内两卫星扫过的面积不相等，故C错误； D．由开普勒第三定律得 解得。在卫星运行一个周期内，卫星比卫星多转周，两卫星与地心共线时相对转角每变化出现一次，因此共线次数为 如图，卫星与地心共线包括同侧和异侧两种情况 故D正确。 故选BD。 【变式4-1】如图所示，人造卫星A、B离地面的高度分别为和，均绕地球作同向匀速圆周运动，卫星A、B运行的轨道在同一平面内，已知地球半径为，卫星A运动周期为，，则卫星A、B两次相距最近的最短时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】卫星A离地面高度为，因此轨道半径 卫星B离地面高度为R，因此轨道半径 根据开普勒第三定律，绕同一中心天体（地球）做圆周运动的卫星满足 两卫星同向转动，再次相距最近时，内侧卫星A比外侧卫星B正好多转1圈，即满足角速度关系 其中 联立可得卫星A、B两次相距最近的最短时间为 故选C。 【变式4-2】科学家设想在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“索道”将其与地面相连，建设成太空电梯。如图所示，空间站a离地心距离为r，整个太空电梯相对地面静止。轨道半径为R的卫星b与空间站a的运行方向相反，某时刻二者距离最近，地球的自转周期为T，下列说法正确的是（     ） A．卫星b的运行周期小于T B．空间站a运行的线速度一定大于卫星b运行的线速度 C．货物在电梯箱中沿着索道运往空间站的过程中处于完全失重状态 D．若经过时间之后，a，b第一次相距最远 【答案】B 【详解】AB．设地球质量为，万有引力常量为，空间站质量为、卫星质量为，卫星运行周期为，空间站和卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，对空间站有 对卫星有 联立两式得 图中，所以卫星的运行周期大于。空间站和卫星的线速度分别为， 代入周期关系得 因此卫星的线速度小于空间站，故A错误，B正确； C．设索道上货物的质量为，距地心为（），索道对货物的向外支持力为。沿半径方向取指向地心为正方向，对货物应用牛顿第二定律得 由此得支持力大小为 空间站同步运动时，地球引力提供其所需向心力；结合可知货物途中所受引力大于维持同步转动所需的向心力，因而仍受到索道向外的支持力，支持力大小满足，故C错误； D．两者初始距离最近，第一次相距最远时相对角位置变化。由前述周期关系及两者运行方向相反，相对角速度大小为 所以第一次相距最远所需时间为，故D错误。 故选B。 1. 中国计划在2030年前实现载人登月，需先发射两颗探月卫星进行科学探测。这两颗卫星在同一平面内绕月球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图甲所示。测得两卫星之间的距离随时间变化的关系如图乙所示（、已知），忽略两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（     ） A．A、B两卫星的线速度大小之比 B．A、B两卫星的加速度大小之比 C．A卫星的运行周期为 D．B卫星的运行周期为 【答案】C 【详解】由图甲可知 A 在内侧、B 在外侧；由图乙可知两卫星间距离的最小值为、最大值为。两卫星位于月球同侧时距离最小、位于月球两侧时距离最大，故、，解得、 由万有引力提供向心力得 即、 A．由得，故A错误； B．由得，故B错误； CD．由得。图乙中的变化周期就是两卫星相对位置回到原状所用的时间，即两卫星转过的角度相差所用的时间 由得 把代入解得，故C正确； 而，故D错误。 故选C。 【基础夯实】 1. 北斗系统已向全球提供服务，在轨卫星中有27颗运行于高度约为21500千米的中圆轨道，5颗运行于高度约为36000千米的地球静止轨道，5颗运行于高度约为36000千米的倾斜地球同步轨道。下列说法正确的是（　　） A．北斗系统中卫星运行速度大于 B．中圆轨道卫星运行速度大于地球静止轨道卫星运行速度 C．地球静止轨道卫星可以始终位于北京的正上方 D．倾斜地球同步轨道卫星可以相对地面上的观测站静止 【答案】B 【详解】A．7.9km/s是第一宇宙速度，是近地卫星的环绕速度，也是所有绕地球做圆周运动卫星的最大运行速度。北斗所有卫星的轨道高度都远大于地球半径，运行速度必然小于7.9km/s，故A错误； B．根据万有引力提供向心力有，解得 中圆轨道卫星的半径较小，所以运行速度大于地球静止轨道卫星运行速度，故B正确； C．地球静止轨道卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，定点在赤道正上方。北京不在赤道上，因此静止轨道卫星不可能始终位于北京正上方，故C错误； D．倾斜地球同步轨道卫星的周期虽然等于地球自转周期，但它的轨道平面和赤道平面存在倾角，相对地面的观测站会做周期性的相对运动，无法保持相对静止，故D错误； 故选B。 2. （多选）月球围绕地球转动的轨道近似为圆形，月球轨道平均半径约为，地球同步卫星的轨道与地面的距离约为。月球公转周期、地球自转周期、引力常量、圆周率均为已知数，仅根据这六个已知数据，考虑地球自转，可以估算出（　　 ） A．月球的质量 B．地球的半径 C．地球的密度 D．地球赤道处物体的重力加速度 【答案】BCD 【详解】A．设地球质量为，月球质量为，月球轨道半径、公转周期分别为和。将月球的运动近似为以地球为中心的匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 约去月球质量，得 因此可估算地球质量，但月球质量被约去，不能由这些条件确定，故A错误； BC．把地球视为球体，设其半径为，同步卫星离地高度为、质量为，地球自转周期为。同步卫星的轨道半径为，公转周期等于，其万有引力提供向心力，满足 结合前述的表达式，解得 地球半径由此确定。设地球体积为，平均密度的定义为，球体体积为，将已求出的地球质量和半径代入，得，故BC正确； D．设赤道处随地球自转的物体质量为，用表示该处的重力加速度。赤道处万有引力与重力之差提供物体随地球自转所需的向心力，故有 解得，故D正确。 故选BCD。 3. 已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为0。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，两星球某位置的重力加速度大小随该位置到星球中心的距离r变化的图像如图所示，关于P、Q星球，下列说法正确的是（     ） A．P、Q两个星球质量之比为 B．Q星球的密度大于P星球的密度 C．P、Q两个星球的第一宇宙速度大小之比为 D．P、Q两个星球的同步卫星距星球表面的高度之比为 【答案】D 【详解】两星球质量分布都是均匀的，在星球内部某一位置，设该位置到球心的距离为，等效重力加速度为，则质量为的物体在该处有 即 在星球外部某一位置，该位置到星球球心的距离为时有 即 由题中图像可知，星球P的半径为，表面处重力加速度为，星球Q的半径为，表面处重力加速度为 AB．在星球表面有 可得星球质量 对应密度 两星球质量有， 可得 两星球密度有， 则两星球密度相等，故AB错误； C．由 可得第一宇宙速度表达式 结合本题有，故C错误； D．同步卫星的角速度等于星球自转的角速度，设同步卫星到星球表面的高度为，由 得 对星球P有 对星球Q有 则有，故D正确。 故选D。 4. 科幻电影中常用强度很高的碳纳米材料制作“太空天梯”的缆绳，缆绳的起始端连接地面基座，主要起到固定作用，另一端连接空间站，空间站位于距离地表36000km的地球同步卫星轨道，并在距离地表90000km的尾端设置了平衡锤。空间站、平衡锤、地面基座之间由若干碳纳米缆绳垂直连接，运载舱可沿缆绳上下运动，将人和货物从地面运送到空间站。已知空间站、平衡锤与地球自转保持同步，下列说法正确的是（　　） A．地面基座可以建设在青岛 B．若空间站和平衡锤间的缆绳断开，平衡锤将落回地面 C．平衡锤的轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度 D．若运载舱停在距离地面高度等于地球半径处，缆绳给运载舱的拉力向上 【答案】D 【详解】A．由题意可知，缆绳、空间站、平衡锤都相对地面静止，则整个同步轨道一定在赤道平面内，所以基站不可能建设在青岛，故A错误； B．根据题意可知，空间站做匀速圆周运动，地球的万有引力和绳子的拉力的合力提供向心力，绳子拉力的合力为零；若空间站和平衡锤间的缆绳断开，平衡锤受到的合外力减小了，平衡锤将做离心运动，故B错误； C．根据题意可知平衡锤的轨道高度大于地球同步卫星的轨道高度，故C错误； D．若运载舱停在距离地面高度等于地球半径处，则相对于同步轨道所受万有引力变大，因角速度不变，则所受向心力变小，则运载舱所受万有引力大于其所需向心力，所以缆绳给运载舱的拉力向上，故D正确。 故选D。 5. “陆地探测四号01星”是我国发射的世界上第一颗在同步轨道上运行的合成孔径雷达（SAR）卫星。地球同步卫星包含静止轨道卫星和倾斜轨道同步轨道卫星。下列说法中正确的是（     ） A．倾斜轨道上的同步卫星运动过程中向心力更大 B．地球同步卫星的运动速度大于第一宇宙速度 C．倾斜轨道同步卫星一天2次经过赤道同一位置的正上方 D．在这两个同步轨道上运行卫星的向心加速度始终相同 【答案】C 【详解】A．同步卫星的向心力由万有引力提供，其大小为 题干中未给出倾斜轨道同步卫星与静止轨道同步卫星的质量关系，所以无法比较两者的向心力大小，故A错误； B．卫星围绕地球做圆周运动时的速度为 第一宇宙速度是轨道半径等于地球半径时卫星的速度，而地球同步卫星的轨道半径大于地球半径，所以速度小于第一宇宙速度，故B错误； C．由于倾斜轨道同步卫星的周期与地球自转周期相等，地球赤道某位置转过，该卫星也转过，再次处于赤道某位置的正上方，所以倾斜轨道同步卫星一天2次经过赤道同一位置的正上方，故C正确； D．向心加速度为矢量，包含大小和方向两个要素。这两个轨道上向心加速度方向始终指向地心，不同位置的加速度方向并不相同，因此向心加速度并不始终相同，故D错误； 故选C。 【培优拔高】 6. （多选）2024年9月20日，我国成功将“吉林一号宽幅02B01-06”星准确送入预定轨道。如图为该星发射的简化过程图，卫星先进入圆轨道Ⅰ，然后在a点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，再在b点变轨进入预定圆轨道Ⅲ。卫星在轨道Ⅰ上与地心连线单位时间内扫过的面积为，在轨道Ⅲ上与地心连线单位时间内扫过的面积为，轨道Ⅰ与轨道Ⅲ的半径之比为1∶3，卫星在轨道Ⅰ的周期为T，则（     ） A．卫星在轨道Ⅱ运动的过程中经过a、b两点的速度之比 B． C．卫星在轨道Ⅱ的周期为 D．卫星在轨道Ⅰ上a点的加速度小于卫星在轨道Ⅱ上a点的加速度 【答案】AC 【详解】A．设轨道Ⅰ的半径为，由题意轨道Ⅲ的半径为，椭圆轨道Ⅱ的近地点到地心距离为，远地点到地心距离为。取极短时间，在轨道Ⅱ的近地点和远地点，根据开普勒第二定律得 解得，故A正确； B．圆轨道上卫星与地心连线单位时间扫过的面积 由万有引力提供向心力 得线速度 代入得 因此，故B错误； C．椭圆轨道Ⅱ的半长轴 根据开普勒第三定律得 代入，解得，故C正确； D．卫星的加速度由万有引力提供，满足 解得 同一位置到地心的距离相同，因此卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上经过点的加速度相等，故D错误。 故选AC。 7. （多选）如图所示，空间站在轨道Ⅰ上绕地球做逆时针方向的匀速圆周运动，轨道半径为，周期为，为了避开太空碎片对航天器带来危害，空间站在运动到点时以极短时间喷射气体实现变轨。变轨后空间站沿着图中椭圆轨道Ⅱ运动，其半长轴为，周期为，近地点为，远地点为。已知地球质量为，引力常量为。下列说法正确的是（　　） A． B．空间站变轨前、后经过点的加速度不变 C．空间站沿轨道Ⅱ运动经过点的向心加速度大小为 D．空间站在轨道Ⅰ上运动的速率大于在轨道Ⅱ上运动到点时的速率 【答案】BD 【详解】A．对轨道Ⅰ，万有引力提供向心力 整理得 所以 对椭圆轨道Ⅱ，由开普勒第三定律 因此，故A错误； B．空间站在点受到的力只有地球的万有引力，大小为 由牛顿第二定律，加速度，方向指向地心。 变轨前后，空间站仍在点，位置不变，地球质量不变，所以万有引力不变，加速度的大小和方向都不变，故B正确； C．在点，空间站受到的万有引力产生的总加速度为，方向指向地心。 在圆轨道Ⅰ上，速度方向与万有引力方向垂直，万有引力全部提供向心加速度，所以 但在椭圆轨道Ⅱ上，经过点时，速度方向并不与万有引力方向垂直。因此万有引力可以分解为沿速度方向的切向分力，产生切向加速度，改变速度大小；垂直速度方向的法向分力，产生向心加速度，改变速度方向。 所以 即椭圆轨道上点的向心加速度小于，故C错误； D．轨道Ⅰ上空间站做匀速圆周运动，速率 轨道Ⅱ的远地点到地心的距离为。由图可知，在轨道Ⅰ外侧，所以 在点，如果以为半径做圆轨道，其圆轨道速率 因为，所以 而空间站在椭圆轨道Ⅱ上到达远地点时，速度小于该处圆轨道速度 所以，即，故D正确。 故选BD。 8. 宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，我们称之为双星系统。设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，转动周期为T，轨道半径分别为、且，引力常量G已知，则下列说法正确的是（     ） A．星球A的向心力大于星球B的向心力 B．星球A的线速度一定大于星球B的线速度 C．星球A和星球B的质量之和为 D．双星的总质量一定，若双星之间的距离增大，其转动周期变小 【答案】C 【详解】A．星球对星球的引力和星球对星球的引力是一对相互作用力，大小相等，即两星做圆周运动的向心力大小相等，A错误； B．两星的角速度相同，由，且，得，即星球的线速度一定小于星球的线速度，B错误； CD．设两星之间的距离，两星质量分别为、，对星球，由万有引力提供向心力得 解得 同理对星球有 解得 两式相加得 将代入得，变形得，当双星的总质量一定时，若双星之间的距离增大，则转动周期变大，C正确，D错误。 故选C。 9. （多选）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称之为双星系统。由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的点做匀速圆周运动，如图所示。已知它们的运行周期为，恒星A的质量为，恒星B的质量为，引力常量为，下列说法正确的是（     ） A．A、B的半径之比为3∶5 B．A、B的向心力之比为3∶5 C．A、B之间的距离为 D．A、B的总质量一定的情况下，距离越大，越大 【答案】AD 【详解】A．双星靠彼此间的万有引力提供向心力，双星系统两颗恒星角速度相同，设为，设A的半径为，B的半径为，A、B间的距离为，A 的质量为，B的质量为。根据牛顿第二定律可得、 解得 故A正确； B．根据牛顿第三定律，两星间的万有引力大小相等，即向心力大小相等，比值为，故B错误； C．由于，双星的运行周期为，代入以上两式可解得 故C错误； D．由C选项推导可知，A、B 的总质量一定的情况下，距离越大，越大，故D正确。 故选AD。 10. （多选）双星系统由两个天体组成，相对于其他天体，位置非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动。如图所示是某双星系统的示意图，O为圆心。两恒星P、Q的球心分别为O1、O2，两星球的半径远小于两星球球心之间的距离。已知P的轨道半径大于Q的轨道半径，设P质量为MP、Q质量为MQ，P、Q间的距离为L，P、Q运动周期为T。下列说法正确的是（     ） A．P的质量大于Q的质量 B．P的轨道半径为 C．P、Q的向心加速度之比为 D．在L一定的情况下，若P、Q的总质量越大，它们的绕行周期会越小 【答案】CD 【详解】A．对双星系统，角速度相同，两者之间的万有引力充当做圆周运动的向心力，可知 可知 因，可知，即P的质量小于Q的质量，A错误； B．因，可知P的轨道半径为，，B错误； C．根据可知，P、Q的向心加速度之比为，C正确； D．由表达式 可得 即在L一定的情况下，若P、Q的总质量越大，它们的绕行周期会越小，D正确。 故选CD。 11. 如图所示，中国“天眼”球面射电望远镜发现了一对脉冲双星，该双星质量分布均匀，由一颗脉冲星和一颗白矮星组成，双星、围绕中心点沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为，双星间距为。为白矮星的卫星，围绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为，且。与之间的引力远大于与之间的引力，不考虑对的影响。已知白矮星的质量为，引力常量为，求： (1)脉冲星a的质量与白矮星的质量和； (2)卫星c围绕b的向心加速度大小； (3)a、b、c三星相邻两次共线的时间间隔。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）双星系统中，由、间的万有引力提供各自的向心力，二者周期相同，设的轨道半径为，的轨道半径为，满足 对有 对有 两式联立可得 解得总质量 （2）设的轨道半径为，对卫星c进行受力分析，有 由万有引力提供向心力有 两式联立解得 （3）设a、b、c三星相邻两次共线时间间隔为，则有 解得 12. 北京时间2026年8月17日11时02分，长征二号丙运载火箭从太原卫星发射中心成功发射升空，成功将SEO卫星准确送入预定轨道。假设卫星N（与天宫空间站Q处于同一轨道平面且同向运行，如图所示，Q、N在某时刻共线，其对地球的视角分别为120°和60°（∠AQB＝120°，∠CND＝60°）。已知地球的半径为R，质量为M，引力常量为G，则从此时开始计时，到下次Q、N共线最短需经历的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题图，由几何关系可得 根据引力提供向心力 空间站Q与卫星N经最短时间再次共线时，两者在地球的同侧，则 解得从此时计时，到下次两者共线最短需经历的时间 故选A。 13. （多选）如图所示，甲、乙为地球赤道面内绕地球运转的通讯卫星。已知甲是地球同步卫星；乙的运转方向与地球自转方向相反，轨道半径为地球半径的2倍，周期为T，在地球赤道上的P点有一固定观测站。若地球半径为R，地球的自转周期为，下列说法正确的是（     ） A．卫星甲距离地面的高度为 B．卫星甲线速度大小为 C．若某时刻卫星乙刚好在P点正上方，则至少再经时间，卫星乙会再次经过P点正上方 D．若甲、乙卫星之间可进行无线信号直线通讯，不计信号传输时间，甲卫星对地球的最大视角为θ，由于地球遮挡，甲、乙卫星间信号连续中断的最长时间为 【答案】ABD 【详解】A．根据开普勒第三定律，绕同一中心天体地球的卫星满足 对甲、乙两颗卫星有 代入，解得甲的轨道半径 卫星距离地面的高度为轨道半径减去地球半径，则 ，故A正确； B．圆周运动线速度满足，甲的周期为同步周期，代入甲的轨道半径，则卫星甲线速度大小为 ，故B正确； C．乙的运转方向与地球自转方向相反，P点随地球自转的角速度为 乙的角速度为 二者再次相遇在P点正上方时，转过的角度之和为，则 代入角速度化简得 则卫星乙再次经过P点正上方时间至少为 选项给出的表达式分母为，是同向追及的结果，不符合反向运动的规律，故C错误； D．甲、乙转向相反，二者的相对角速度为两个角速度之和，即 结合几何关系，地球遮挡导致信号中断的最长过程中，甲乙相对转过的总圆心角为 由，得甲、乙卫星间信号连续中断的最长时间为， 故D正确。 故选ABD 。 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 宇宙航行 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.人造卫星 模型02.卫星变轨 模型03.双星系统 模型04.天体追及与相遇 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.人造卫星 模型构建：人造卫星绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力完全提供向心力。由公式可得规律：高轨低速大周期，轨道半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周期越大。第一宇宙速度是近地卫星最大环绕速度、最小发射速度。同步卫星周期等于地球自转周期，轨道固定在赤道上空，高度唯一 模型剖析： 一.人造卫星及3种特殊卫星 1.近地卫星 在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径v＝7.9 km/s；T≈85 min. 2.极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 3.同步卫星 相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，又叫通讯卫星，静止卫星． 同步卫星的特点： G＝m(R＋h) h＝－R≈3.58×104 km≈5.6R 地球半径R=6400km 二.特殊卫星的动力学比较 1.同步卫星、近地卫星、一般卫星、赤道上的物体的运动特点： 1.同步卫星与赤道上的物体角速度、周期相等； 2.同步卫星与近地卫星同属卫星模型； 3.近地卫星与赤道上的物体的轨道半径相等； 4.比较赤道上的物体与一般卫星的运动关系时，将同步卫星补充进来作为一个比较的桥梁； 5.赤道上的物体的运动不能用万有引力提供向心力来分析. 【例1】（多选）北斗导航系统使用倾斜地球同步轨道（IGSO）提升定位精度，该卫星沿圆轨道运行，绕行方向如图甲所示。位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图乙所示，当卫星位于接收站正上方时信号最强。已知地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星（     ） A．始终相对地面静止 B．线速度小于第一宇宙速度 C．图乙中信号周期性变化间隔T=24h D．该卫星轨道半径为 【变式1-1】（多选）有、、、四颗地球卫星，在地球赤道上未发射，在地面附近近地轨道上正常运行，是地球同步卫星，是高空探测卫星，各卫星排列位置如图。当两颗不在同一轨道上的卫星相距最短时称为两颗卫星“相遇”。则有（     ） A．、、、做圆周运动的向心力均由地球对其的万有引力提供 B．线速度 C．的运动周期有可能是 D．和两次相遇的最短时间比和两次相遇的最短时间长 【变式1-2】“北斗”卫星导航定位系统是由我国自主研发的卫星导航系统，该系统由地球同步卫星，中轨道卫星和倾斜静止卫星组成。下列说法正确的是（     ） A．中轨道卫星的周期大于24 h B．地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度 C．地球同步卫星的线速度比静止在赤道上物体的大 D．中轨道卫星的向心加速度比地球同步卫星的小 模型02.卫星变轨 模型构建：卫星变轨依靠短时喷气加速或减速。加速做离心运动，轨道抬升；减速做近心运动，轨道降低。椭圆轨道切点处，外轨道速度大于内轨道同切点速度。变轨过程万有引力不做功，椭圆轨道上机械能守恒。注意：轨道半径越大，卫星机械能越大，变轨抬高轨道需要点火加速输入能量 模型剖析： 1.发生过程分析 2.航天飞机与宇宙空间站的“对接” 本质仍是卫星的变轨运行问题，要成功“对接”，必须让航天飞机在较低轨道上加速，通过速度v的增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道来完成对接。 3.卫星运行的渐变性及能量问题 由于地球近太空稀薄空气的阻力影响卫星V所需向心力Fn万有引力F=>Fn卫星做近心运动地球引力做正功V，Ek，a，w，Ep，E机械能，T。 【例2】神舟十八号载人飞船与天和核心舱对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ：十八号飞船处于半径为（大于地球半径）的圆轨道Ⅰ，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接，之后在圆轨道Ⅲ上运行。则下列说法正确的是（     ） A．由轨道Ⅰ变换到轨道Ⅱ需要在A点减速 B．在轨道Ⅰ上经过A点时加速度大于轨道Ⅱ上经过A点时加速度 C．在轨道Ⅱ上经过B点时的速度小于7.9km/s D．在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上圆周运动的周期比为 【变式2-1】外太空小行星若有撞击地球的风险，人类将主动干预，使得小行星偏离原有的轨道。如图所示，假设某颗小行星绕太阳做圆周运动，轨道是实线轨道1，轨道半径为，运动方向如箭头所示。探测器在处以较大速度撞击小行星并结合为一体。小行星的轨道变为图中虚线椭圆轨道2，远日点为，近日点为，到太阳的距离为。下列说法正确的是（　　） A．撞击后小行星绕太阳运行的周期增大 B．撞击后小行星经过点的加速度比撞击前的加速度大 C．撞击后小行星最大速度与最小速度之比为 D．探测器可能从正面与小行星迎面相撞 【变式2-2】2024年嫦娥六号实现世界首次月球背面采样返回。“嫦娥六号”探测器的发射过程可以简化如下：探测器由地面发射后，进入地月转移轨道，在近月点多次变轨，由椭圆轨道变为圆形轨道，圆形轨道离月球表面的高度为H，绕椭圆轨道运动的周期为T，已知月球表面的重力加速度为，月球的半径为R。下列说法正确的是（     ） A．“嫦娥六号”在圆形轨道上运行的周期为 B．“嫦娥六号”的椭圆轨道上的远月点距离月球球心的距离为 C．“嫦娥六号”在地月转移轨道上经过近月点的加速度比在椭圆轨道上经过该点时的加速度大 D．“嫦娥六号”在椭圆轨道上经过远月点时的速度大于在圆形轨道上运动的速度 模型03.双星系统 模型构建：双星角速度周期相同，万有引力互相提供向心力，轨道半径与质量成反比，两星间距等于轨道半径之和 模型剖析： 1.双星系统 2.拉格朗日点 双星系统运动时，其轨道平面存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（例如人造卫星）可以与两星体保持相对静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。 一般一个双星系统有五个拉格朗日点。 相当于在双星的万有引力的合力作用下，提供向心力做匀速圆周运动的点： 拉格朗日点的特点： 1.运行周期与角速度和双星系统相同。 2.速度之比等于半径之比。 3.多星系统 多星系统看似复杂，实际上考查简单，通常由几个星体的万有引力的合力提供向心力，且各星体w,T相同。 【例3】双星系统由两个天体组成，相对于其他天体，位置非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动。如图所示是某双星系统的示意图，O为圆心。两恒星P、Q的球心分别为、，两星球的半径远小于两星球球心之间的距离。已知P的轨道半径大于Q的轨道半径，设P质量为、Q质量为，P、Q间的距离为L，P、Q运动周期为T。下列说法正确的是（     ） A．P的质量大于Q的质量 B．P的轨道半径为 C．P、Q的向心加速度之比为1∶1 D．L一定，若P、Q的总质量越大，绕行周期会越小 【变式3-1】2026年，我国天文观测团队在巡天观测中发现了一个由两颗恒星组成的双星系统。两颗恒星在彼此间的万有引力作用下，分别绕两星连线上某点做匀速圆周运动。观测到两星中心间的距离为，运转周期为。已知两星的质量分别为、（），引力常量为。求： (1)两星做圆周运动的轨道半径 、（用、、表示）； (2)该双星系统的总质量（用、、表示）； (3)若两星中心间的距离保持不变，而系统的总质量增大为原来的4倍，求新的运转周期 。 【变式3-2】开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，分别于1609年和1619年发表了开普勒三定律： (1)在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为的圆轨道。如图1所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内，扫过的扇形面积为。求行星绕太阳运动的线速度的大小。（提示：扇形面积半径弧长） (2)牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒定律。已知太阳质量为、行星质量为、太阳与行星间距离为、引力常量为，不考虑其它天体的影响。 a.通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量的表达式； b.实际上太阳并非保持静止不动，如图乙所示，太阳和行星绕二者连线上的点做周期均为的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为。请推导的表达式（用、、、和其它常数表示），并说明需满足的条件。 模型04.天体追及与相遇 模型构建：利用环绕天体角速度差建立角度方程，同向角度差为，反向角度和为，存在周期性多解 模型剖析： 1.天体追及相遇问题的思路 同一中心天体的两颗卫星，当内外轨道卫星所转过的圆心角的角度之差为π的整数倍时，就再次出现最近或最远的时刻。 a.根据＝mrω2=m计算出两环绕天体的w及T的大小或关系。 b.根据两颗卫星做圆周运动的圈数或角度关系列出方程求解。 2.情景演示 1)根据角度关系建立方程(ω1>ω2) 相距最近：ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1,2,3，…)， 相距最远：ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1,2,3，…)， 2)根据圈数关系建立方程(T1<T2) 相距最近：－＝ n，(n＝1,2,3，…)。 相距最远：－＝n－，(n＝1,2,3，…)。 【例4】（多选）如图，A、B为地球的两颗共面卫星，均绕地心O做逆时针方向的匀速圆周运动。卫星B为近地卫星，卫星A离地高度为地球半径的8倍，已知地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．卫星A受到地球的万有引力比卫星B小 B．地球的平均密度为 C．半径OA、OB在相等的时间内扫过的面积相等 D．在卫星A的一个周期内，A、B、O三者共线的次数为52次 【变式4-1】如图所示，人造卫星A、B离地面的高度分别为和，均绕地球作同向匀速圆周运动，卫星A、B运行的轨道在同一平面内，已知地球半径为，卫星A运动周期为，，则卫星A、B两次相距最近的最短时间为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】科学家设想在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“索道”将其与地面相连，建设成太空电梯。如图所示，空间站a离地心距离为r，整个太空电梯相对地面静止。轨道半径为R的卫星b与空间站a的运行方向相反，某时刻二者距离最近，地球的自转周期为T，下列说法正确的是（     ） A．卫星b的运行周期小于T B．空间站a运行的线速度一定大于卫星b运行的线速度 C．货物在电梯箱中沿着索道运往空间站的过程中处于完全失重状态 D．若经过时间之后，a，b第一次相距最远 1. 中国计划在2030年前实现载人登月，需先发射两颗探月卫星进行科学探测。这两颗卫星在同一平面内绕月球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图甲所示。测得两卫星之间的距离随时间变化的关系如图乙所示（、已知），忽略两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（     ） A．A、B两卫星的线速度大小之比 B．A、B两卫星的加速度大小之比 C．A卫星的运行周期为 D．B卫星的运行周期为 【基础夯实】 1. 北斗系统已向全球提供服务，在轨卫星中有27颗运行于高度约为21500千米的中圆轨道，5颗运行于高度约为36000千米的地球静止轨道，5颗运行于高度约为36000千米的倾斜地球同步轨道。下列说法正确的是（　　） A．北斗系统中卫星运行速度大于 B．中圆轨道卫星运行速度大于地球静止轨道卫星运行速度 C．地球静止轨道卫星可以始终位于北京的正上方 D．倾斜地球同步轨道卫星可以相对地面上的观测站静止 2. （多选）月球围绕地球转动的轨道近似为圆形，月球轨道平均半径约为，地球同步卫星的轨道与地面的距离约为。月球公转周期、地球自转周期、引力常量、圆周率均为已知数，仅根据这六个已知数据，考虑地球自转，可以估算出（　　 ） A．月球的质量 B．地球的半径 C．地球的密度 D．地球赤道处物体的重力加速度 3. 已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为0。P、Q两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，两星球某位置的重力加速度大小随该位置到星球中心的距离r变化的图像如图所示，关于P、Q星球，下列说法正确的是（     ） A．P、Q两个星球质量之比为 B．Q星球的密度大于P星球的密度 C．P、Q两个星球的第一宇宙速度大小之比为 D．P、Q两个星球的同步卫星距星球表面的高度之比为 4. 科幻电影中常用强度很高的碳纳米材料制作“太空天梯”的缆绳，缆绳的起始端连接地面基座，主要起到固定作用，另一端连接空间站，空间站位于距离地表36000km的地球同步卫星轨道，并在距离地表90000km的尾端设置了平衡锤。空间站、平衡锤、地面基座之间由若干碳纳米缆绳垂直连接，运载舱可沿缆绳上下运动，将人和货物从地面运送到空间站。已知空间站、平衡锤与地球自转保持同步，下列说法正确的是（　　） A．地面基座可以建设在青岛 B．若空间站和平衡锤间的缆绳断开，平衡锤将落回地面 C．平衡锤的轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度 D．若运载舱停在距离地面高度等于地球半径处，缆绳给运载舱的拉力向上 5. “陆地探测四号01星”是我国发射的世界上第一颗在同步轨道上运行的合成孔径雷达（SAR）卫星。地球同步卫星包含静止轨道卫星和倾斜轨道同步轨道卫星。下列说法中正确的是（     ） A．倾斜轨道上的同步卫星运动过程中向心力更大 B．地球同步卫星的运动速度大于第一宇宙速度 C．倾斜轨道同步卫星一天2次经过赤道同一位置的正上方 D．在这两个同步轨道上运行卫星的向心加速度始终相同 【培优拔高】 6. （多选）2024年9月20日，我国成功将“吉林一号宽幅02B01-06”星准确送入预定轨道。如图为该星发射的简化过程图，卫星先进入圆轨道Ⅰ，然后在a点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，再在b点变轨进入预定圆轨道Ⅲ。卫星在轨道Ⅰ上与地心连线单位时间内扫过的面积为，在轨道Ⅲ上与地心连线单位时间内扫过的面积为，轨道Ⅰ与轨道Ⅲ的半径之比为1∶3，卫星在轨道Ⅰ的周期为T，则（     ） A．卫星在轨道Ⅱ运动的过程中经过a、b两点的速度之比 B． C．卫星在轨道Ⅱ的周期为 D．卫星在轨道Ⅰ上a点的加速度小于卫星在轨道Ⅱ上a点的加速度 7. （多选）如图所示，空间站在轨道Ⅰ上绕地球做逆时针方向的匀速圆周运动，轨道半径为，周期为，为了避开太空碎片对航天器带来危害，空间站在运动到点时以极短时间喷射气体实现变轨。变轨后空间站沿着图中椭圆轨道Ⅱ运动，其半长轴为，周期为，近地点为，远地点为。已知地球质量为，引力常量为。下列说法正确的是（　　） A． B．空间站变轨前、后经过点的加速度不变 C．空间站沿轨道Ⅱ运动经过点的向心加速度大小为 D．空间站在轨道Ⅰ上运动的速率大于在轨道Ⅱ上运动到点时的速率 8. 宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，我们称之为双星系统。设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，转动周期为T，轨道半径分别为、且，引力常量G已知，则下列说法正确的是（     ） A．星球A的向心力大于星球B的向心力 B．星球A的线速度一定大于星球B的线速度 C．星球A和星球B的质量之和为 D．双星的总质量一定，若双星之间的距离增大，其转动周期变小 9. （多选）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称之为双星系统。由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的点做匀速圆周运动，如图所示。已知它们的运行周期为，恒星A的质量为，恒星B的质量为，引力常量为，下列说法正确的是（     ） A．A、B的半径之比为3∶5 B．A、B的向心力之比为3∶5 C．A、B之间的距离为 D．A、B的总质量一定的情况下，距离越大，越大 10. （多选）双星系统由两个天体组成，相对于其他天体，位置非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动。如图所示是某双星系统的示意图，O为圆心。两恒星P、Q的球心分别为O1、O2，两星球的半径远小于两星球球心之间的距离。已知P的轨道半径大于Q的轨道半径，设P质量为MP、Q质量为MQ，P、Q间的距离为L，P、Q运动周期为T。下列说法正确的是（     ） A．P的质量大于Q的质量 B．P的轨道半径为 C．P、Q的向心加速度之比为 D．在L一定的情况下，若P、Q的总质量越大，它们的绕行周期会越小 11. 如图所示，中国“天眼”球面射电望远镜发现了一对脉冲双星，该双星质量分布均匀，由一颗脉冲星和一颗白矮星组成，双星、围绕中心点沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为，双星间距为。为白矮星的卫星，围绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为，且。与之间的引力远大于与之间的引力，不考虑对的影响。已知白矮星的质量为，引力常量为，求： (1)脉冲星a的质量与白矮星的质量和； (2)卫星c围绕b的向心加速度大小； (3)a、b、c三星相邻两次共线的时间间隔。 12. 北京时间2026年8月17日11时02分，长征二号丙运载火箭从太原卫星发射中心成功发射升空，成功将SEO卫星准确送入预定轨道。假设卫星N（与天宫空间站Q处于同一轨道平面且同向运行，如图所示，Q、N在某时刻共线，其对地球的视角分别为120°和60°（∠AQB＝120°，∠CND＝60°）。已知地球的半径为R，质量为M，引力常量为G，则从此时开始计时，到下次Q、N共线最短需经历的时间为（     ） A． B． C． D． 13. （多选）如图所示，甲、乙为地球赤道面内绕地球运转的通讯卫星。已知甲是地球同步卫星；乙的运转方向与地球自转方向相反，轨道半径为地球半径的2倍，周期为T，在地球赤道上的P点有一固定观测站。若地球半径为R，地球的自转周期为，下列说法正确的是（     ） A．卫星甲距离地面的高度为 B．卫星甲线速度大小为 C．若某时刻卫星乙刚好在P点正上方，则至少再经时间，卫星乙会再次经过P点正上方 D．若甲、乙卫星之间可进行无线信号直线通讯，不计信号传输时间，甲卫星对地球的最大视角为θ，由于地球遮挡，甲、乙卫星间信号连续中断的最长时间为 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $