第1讲 运动的合成与分解（模型与方法）物理人教版必修第二册

第1讲 运动的合成与分解 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.曲线运动的受力情况分析 模型02.合运动与分运动 模型03.小船渡河模型 模型04.关联速度模型 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.曲线运动的受力情况分析 模型构建：曲线运动中，物体所受合外力与速度方向不在同一直线上，合外力始终指向轨迹凹侧。合外力可分解为切向分力与法向分力：切向分力改变速度大小，法向分力改变速度方向。若合外力恒定，则做匀变速曲线运动；合外力大小或方向变化，则为变加速曲线运动。 模型剖析： 1.曲线运动的分类 曲线运动分为匀变速曲线运动和非匀变速曲线运动。 匀变速曲线运动：加速度a的大小方向均恒定。（例如抛体运动） 非匀变速曲线运动：加速度a的大小或方向不恒定。 2.曲线运动的特点 曲线运动的轨迹在合外力与速度方向之间，且向合力的方向偏转。 注意： 1. ax改变速度大小，ay改变速度方向。 2.a角为v与加速度(或F)的夹角，若a角为锐角，则做加速运动，为钝角做减速运动。 【方法总结】合力方向与速率变化的关系 (1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大． (2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小． (3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变． (4)曲线上某点处合外力的方向在曲线上该点的切线的哪一侧，曲线就向哪一侧弯曲；曲线上某点的加速度越大、速度越小，则曲线轨迹弯曲越厉害；曲线轨迹必定夹在a、v方向之间． 【例1】如图a所示，无人机在执行航拍任务时正沿b图所示的轨迹从A点运动到C点。用G表示无人机重力，F表示空气对它的作用力，下列四幅图中能表示此过程中B点无人机受力情况的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】张雪机车在2026赛季世界超级摩托车锦标赛（WSBK）中表现亮眼，已获得6个分站赛冠军。在一次比赛中车手连续通过图中a、b、c、d四个点时，赛车受到的合外力F与速度v方向关系符合实际的是（     ） A．a B．b C．c D．d 【变式1-2】在2022年卡塔尔世界杯赛场上，梅西在一次主罚定位球时，踢出的足球划出一条完美弧线，轨迹如图所示。下列关于足球在飞行过程中的说法正确的是（     ） A．在空中只受到重力的作用 B．合外力的方向与速度方向可能在一条直线上 C．合外力方向可能指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向 D．合外力方向一定指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向 模型02.合运动与分运动 模型构建：合运动是物体实际发生的运动，分运动是同时参与的几个独立运动。二者具有等时性、独立性、等效性，遵循平行四边形定则。分运动互不干扰，时间与合运动相同；合运动的位移、速度、加速度可由对应分矢量合成。合运动轨迹是直线还是曲线，取决于合加速度与合速度是否共线。 模型剖析：1.如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫那几个运动的　合运动　；那几个运动叫这个实际运动的　分运动　。 2.运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程叫运动的　合成　，由合运动求分运动的过程叫运动的　分解　。运动的合成与分解遵循　平行四边形定则　。 3.合运动和分运动的关系 （1）等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等（不同时的运动不能合成）。 （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。 （3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。 （4）同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。 4.运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵从平行四边形定则。 5.求解运动的合成与分解问题的技巧 （1）求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。 （2）物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。 6.合运动性质的判断 （1）合加速度（或合力） （2）合加速度（或合力） 【例2】有一个质量为2 kg的质点在直角坐标系xOy所在的平面内运动，x方向的速度-时间图像和y方向的位移-时间图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是（     ） A．质点的初速度大小为2 m/s B．质点初速度的方向与合外力的方向垂直 C．质点所受的合外力大小为4 N D．0~2 s内质点的位移大小10 m 【变式2-1】一质量为的物体（视为质点）在坐标系中，从坐标原点处开始计时，沿轴方向的图像如图甲所示，沿轴方向做初速度为的匀加速运动，图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．物体受到的合力大小为 B．物体的运动轨迹为直线 C．时物体的速度大小为 D．前内物体的位移大小为 【变式2-2】（多选）某市无人机外卖配送正逐步普及，午间高峰时段，一架无人机从商圈O点出发，需沿正东方向直线飞行20 m，将餐品送达写字楼B点的取餐窗口。无风时无人机的飞行速度（即机头指向方向的速度）恒为。而此次飞行过程中，无人机受到恒定的南风（风向由南指向北）的影响，风速大小为，无人机需调整机头朝向确保实际飞行轨迹严格沿OB直线，如图所示，设机头方向与正东方向的夹角为（向南偏），已知，，若只考虑无人机从O到B沿直线匀速飞行的过程，下列说法正确的是（     ） A．机头方向与正东方向的夹角为 B．无人机沿OB方向的实际飞行速度大小为4 m/s C．无人机从O到B所需时间为4 s D．若风速突然增大（风速仍小于5 m/s），为保持航线不变，需适当增大夹角 模型03.小船渡河模型 模型构建：小船渡河是合运动与分运动典型模型：船相对水的运动、水流运动为两个独立分运动，合运动是船相对岸的实际运动，满足等时性、独立性。渡河时间由垂直河岸的分速度决定，与水流速度无关；水流只影响沿河岸的偏移位移。最短时间：船头正对河岸；最短位移分船速大于 / 小于水速两种情况 模型剖析： 1.模型简介 该模型是典型的两个匀速直线运动的合成，小船同时参与两个运动，一是沿水流方向的运动，二船本身相对水的运动。 2.两类问题、三种情景 ①.渡河的最短时间 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间：tmin=，此时的渡河位移为x=， v合= ②.渡河位移最短 ①若v船>v水 当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽xmin=d，v合=v船sin，t= ②若v船<v水 当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于x=，v=v水cos，t= 【例3】某段河流两岸彼此平行，河水中各处水流速度均匀且稳定。现有一只小船，其在静水中的航行速度大小为；若小船以与上游河岸成的方向从A处出发渡河，经过一段时间后，恰好能抵达正对岸的B处。，。则下列说法中正确的是（　　） A．河中水流速度为8m/s B．河的宽度为240m C．小船渡河的最短时间为40s D．小船以最短的时间渡河时，到达河对岸时被冲向下游300米 【变式3-1】（多选）某救援队员需用船将急救药品送至对岸的码头。平直河流两岸平行，宽度为60 m，水流速度大小为3 m/s，船在静水中的速度大小为5 m/s。下列说法正确的是（     ） A．当船头垂直河岸时，船渡河的时间为12 s B．若以最短时间渡河，则船渡河的实际位移大小为75 m C．仅调整船头方向，船可直达正对岸，且渡河的时间为15 s D．仅调整船头方向，船渡河的时间可能小于12 s 【变式3-2】（多选）1935年，红军四渡赤水河，最后跳出包围圈。假设赤水河河宽为d，水流速度大小恒为，一艘小船在静水中的速度大小恒为。下列说法正确的是（     ） A．小船渡河的最短时间为 B．小船渡河的最短航程一定为d C．若，则小船渡河的最短航程为 D．若，且水流速度突然增大，则小船渡河的最短时间将变短 模型04.关联速度模型 模型构建：关联速度核心：物体沿绳 / 杆方向的分速度大小相等。将实际合速度沿绳（杆）、垂直绳（杆）正交分解，沿绳分量传递速度。绳端物体的实际速度是合速度，不可误把绳速当作物体速度。绳只传递沿绳方向的速度，垂直绳分速度负责绕绳端点转动，常用于拉船、杆两端物体联动问题 模型剖析： Ⅰ.动滑轮移动模型 模型特点：滑轮运动，物体与滑轮间出现相对运动。 分析思路： ①以滑轮为参考系。 ②利用沿绳方向速度相等，找到物体相对滑轮的运动。 ③将滑轮运动与物体相对运动进行合成，计算合速度。 Ⅱ.关联速度问题 一.“关联速度”特点 关联速度问题，通常利用沿弹力方向分速度相等的特点，来解决问题。 常见的种类分为：绳关联，面关联，杆关联。 牵连体在运动过程中，两物体的速度通常不同，但物体沿绳，杆或面的弹力方向的速度分量大小相等。 补充：通常牵连体模型的连接结构主题是绳、杆、面，这三类物体沿弹力方向无法发生相对运动。（即不可伸缩，故该方向速度相同） 二.分析思路 三.常见的模型分析 1.绳关联 将合运动（实际运动）沿绳和垂直于绳方向进行分解，利用沿绳方向分速度相等联立求解。 2.杆关联 将合运动（实际运动）沿绳和垂直于杆方向进行分解，利用沿杆方向分速度相等联立求解。 3.面关联 将合运动（实际运动）沿弹力和垂直于弹力方向进行分解，利用沿弹力方向分速度相等联立求解。（通常弹力垂直与接触面） 4.旋转关联 同一物体旋转时，角速度相等，利用弹力关联分解，之后结合v=R求解杆上的其他点的速度。 【例4】如图所示，平台上汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引重物上升，平台足够长，汽车始终保持速度v匀速运动，当绳与平台面夹角为θ时，下列说法正确的是（     ） A．重物减速上升 B．重物上升速度为vsinθ C．绳子拉力小于重物重力 D．绳子拉力大于重物重力 【变式4-1】（多选）如图所示，竖直平面内固定一半径为的半圆形轨道，为最低点，直径水平，在圆心的正上方与相距处的点有一轻小定滑轮，两小球a、b（均视为质点）用一绕过定滑轮的轻绳连接，a套在轨道上。a在外力作用下从点左侧一小段距离处开始沿轨道运动，使b以速率匀速下降。在时刻小球运动到图示位置，此时段轻绳的长度为。则下列说法正确的是（     ） = A．运动到的过程中，小球a的速度逐渐增大 B．运动到的过程中，小球a的速度逐渐变小 C．时刻，小球a的速度大小为 D．时刻，小球a的速度大小为 【变式4-2】直角侧移门结构可简化成图甲（俯视）。玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动（滑轮视为质点）。玻璃门的宽度为。关门时，拉住把手使滑轮A从图甲中的初始位置由静止开始做加速度为的匀加速运动，当A达到乙图位置时，滑轮B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 1. （多选）如图所示，建筑装修工人运用滑轮系统往高楼上搬运装修材料。一条绳索绕过定滑轮P，一端系在建材A上，另一端系在工具车牵引栓上，当工具车沿水平地面以v向右匀速行驶时，建材A将在绳索的牵引下竖直向上运动，下列判断中正确的是（     ） A．当绳与水平面间夹角为时，建材的上升速度 B．当绳与水平面间夹角为时，建材的上升速度 C．绳子对建材A的拉力大小等于A的重力大小 D．若要建材A匀速上升，则工具车需向右减速行驶 2. 2025年春节期间，重庆“两江四岸”2025架无人机腾空而起，将夜空装点得美轮美奂（如图1）。如图2所示，两架无人机a、b分别悬停在空中A、B处，A点在B点正上方。时刻，a沿与水平方向夹角的方向匀速运动，同时b做初速度为零的匀加速直线运动。时刻，a、b在C点相遇，且。a、b均可视为质点，则b飞行的加速度大小为（     ） A． B． C． D． 【基础夯实】 3. 2026年世界人形机器人运动会于北京国家速滑馆举行。比赛中，一机器人接住旋转的“香蕉球”后，带着足球绕过其前方静止的另一机器人。关于比赛，下列说法正确的是（     ） A．机器人“看到”足球迎面飞来，选取的参考系是足球 B．机器人绕过另一机器人时，其速度一定发生变化 C．研究“香蕉球”在空中的运动轨迹时，不可将足球看成质点 D．研究如何踢出“香蕉球”时，可将足球看成质点 4. 跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动。如图所示，一位跳水运动员高台跳水，虚线是其头部的运动轨迹。、、、四个位置中，箭头所指方向与该位置速度方向一致的是（     ） A． B． C． D． 5. 2026年10月5日晚，东北超最终对决，长春队击败大连队夺冠。大连梭鱼湾决赛现场63259人观赛，刷新梭鱼湾球场上座纪录。比赛时某次足球在空中的飞行轨迹如图中虚线所示，足球在空中运动时不旋转，轨迹在竖直平面内。足球在最高点的速度和所受合力的方向可能正确的是（     ） A． B． C． D． 6. 甲、乙两物体做直线运动，其位移—时间图像如图所示，则在时间内（    ） A．甲做匀加速直线运动 B．乙做曲线运动 C．两物体平均速率相等 D．甲乙有两次速率相等 7. 由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，、、、、点为弹道曲线上的5点，其中点为发射点，点为落地点，点为轨迹的最高点，、为运动过程中高度相等的两点。下列说法中正确的是（     ） A．炮弹沿轴方向的分运动是匀减速运动 B．到达点时，炮弹的速度为零 C．到达点时，炮弹的加速度为零 D．炮弹由点运动到点的时间小于由点运动到点的时间 8. 如图所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上。在斜面上建立直角坐标系xOy，x轴沿斜面内的水平方向，y轴沿斜面向下。原点O与斜面底边之间固定一垂直于斜面的光滑挡板。时，将可视为质点的物块从O点由静止释放，到达斜面底边前，物块沿挡板在斜面上运动。物块沿x、y方向的位移分别记为x、y，分速度分别记为、。下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【培优拔高】 9. 一根细棒AB水平放置在地面，A端紧挨着墙面。现让棒的A端沿着墙面匀速上移，如图所示，当A端与B端的速度大小之比为时，AB棒与地面的夹角为（     ） A．30° B．45° C．53° D．60° 10. 某航拍无人机在竖直平面内运动，以时刻的位置为坐标原点、水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向建立坐标系，无人机运动过程中的水平速度随时间变化的图像和竖直位移随时间变化的图像分别如图甲、乙所示。则下列说法正确的是（     ） A．0~2s内无人机水平方向的位移大小为1.0m B．0~2s内无人机在竖直方向做匀加速直线运动 C．2s末无人机速度方向与水平方向的夹角为 D．0~2s内无人机的运动轨迹为直线 11. （多选）如图所示，两艘拖船A、B通过不可伸长的轻质缆绳拖着无动力货船C在静水中匀速航行。拖船A的速度大小为，方向沿缆绳CA方向；拖船B的速度大小为，方向沿缆绳CB方向。已知缆绳CA与CB的夹角为，忽略水流影响，则下列说法正确的是（　　） A．货船C的速度大小为 B．货船C的速度大小为 C．仅增大两缆绳的夹角，货船C的速度大小将增大 D．仅增大两缆绳的夹角，货船C的速度大小将减小 12. 如图，千斤顶由四根等长杆通过铰链相连而成。摇动手柄即可竖直升、降重物。若使用时，A、C两点的间距每秒均匀缩短4mm，当时，则重物的速度为（　　） A．方向竖直向上，大小为8mm/s B．方向竖直向上，大小为4mm/s C．方向竖直向下，大小为8mm/s D．方向竖直向下，大小为4mm/s 13. 如图所示，水平传送带的长方形区域，边长为，边宽为，传送带以速度匀速运动，一可视为质点的小物块从点以平行于方向的速度滑上传送带，已知小物块与传送带的动摩擦因数为，重力加速度。求： (1)小物块刚滑上传送带时，相对传送带的速度的大小及与边间夹角的正切值； (2)小物块在传送带上滑行的时间及滑离传送带时的位置。 14. 如图所示，竖直边界线MN右侧空间存在一足够大的风洞区域。一水平台面右端紧靠边界线MN。在水平台面上P点竖直固定一长为的杆，杆上端O点放置一质量为的小球，直杆和MN相距。现给小球一个水平向右的初速度，使小球和直杆之间的弹力恰好为零，小球进入风洞区域后，受到方向水平向左、大小的恒定风力作用。已知除上述恒定风力外，不计其它空气作用力，重力加速度为，，求： (1)小球在风洞区域沿着水平方向运动的最大位移； (2)小球在风洞区域内运动时的最小速率； (3)小球在风洞区域内运动过程中，速度的最大值及此时离直杆顶端O点的距离。 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 运动的合成与分解 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.曲线运动的受力情况分析 模型02.合运动与分运动 模型03.小船渡河模型 模型04.关联速度模型 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.曲线运动的受力情况分析 模型构建：曲线运动中，物体所受合外力与速度方向不在同一直线上，合外力始终指向轨迹凹侧。合外力可分解为切向分力与法向分力：切向分力改变速度大小，法向分力改变速度方向。若合外力恒定，则做匀变速曲线运动；合外力大小或方向变化，则为变加速曲线运动。 模型剖析： 1.曲线运动的分类 曲线运动分为匀变速曲线运动和非匀变速曲线运动。 匀变速曲线运动：加速度a的大小方向均恒定。（例如抛体运动） 非匀变速曲线运动：加速度a的大小或方向不恒定。 2.曲线运动的特点 曲线运动的轨迹在合外力与速度方向之间，且向合力的方向偏转。 注意： 1. ax改变速度大小，ay改变速度方向。 2.a角为v与加速度(或F)的夹角，若a角为锐角，则做加速运动，为钝角做减速运动。 【方法总结】合力方向与速率变化的关系 (1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大． (2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小． (3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变． (4)曲线上某点处合外力的方向在曲线上该点的切线的哪一侧，曲线就向哪一侧弯曲；曲线上某点的加速度越大、速度越小，则曲线轨迹弯曲越厉害；曲线轨迹必定夹在a、v方向之间． 【例1】如图a所示，无人机在执行航拍任务时正沿b图所示的轨迹从A点运动到C点。用G表示无人机重力，F表示空气对它的作用力，下列四幅图中能表示此过程中B点无人机受力情况的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】无人机的重力G始终竖直向下，空气作用力F是除重力外无人机受到的空气的总作用力，两个力的合力需要指向A到C的弯曲轨迹的凹侧，也就是轨迹的左上方，A选项符合曲线运动的受力要求。 故选A。 【变式1-1】张雪机车在2026赛季世界超级摩托车锦标赛（WSBK）中表现亮眼，已获得6个分站赛冠军。在一次比赛中车手连续通过图中a、b、c、d四个点时，赛车受到的合外力F与速度v方向关系符合实际的是（     ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【详解】做曲线运动的物体，所受合外力必须指向轨迹的凹侧（弯曲的内侧），同时速度方向一定沿轨迹在该点的切线方向。 故选C。 【变式1-2】在2022年卡塔尔世界杯赛场上，梅西在一次主罚定位球时，踢出的足球划出一条完美弧线，轨迹如图所示。下列关于足球在飞行过程中的说法正确的是（     ） A．在空中只受到重力的作用 B．合外力的方向与速度方向可能在一条直线上 C．合外力方向可能指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向 D．合外力方向一定指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向 【答案】D 【详解】A．足球踢出后形成弧线，飞行过程中除重力外，还受到空气的作用力（阻力、压强差带来的侧向力），故A错误； B．根据曲线运动的条件，只有合外力与速度方向不共线时，物体才做曲线运动；本题中足球轨迹为曲线，因此合外力与速度方向不可能共线，故B错误； CD．曲线运动的基本规律是：任意位置速度方向沿轨迹的切线方向，合外力一定指向轨迹的凹侧（内侧），故C错误，D正确。 故选D。 模型02.合运动与分运动 模型构建：合运动是物体实际发生的运动，分运动是同时参与的几个独立运动。二者具有等时性、独立性、等效性，遵循平行四边形定则。分运动互不干扰，时间与合运动相同；合运动的位移、速度、加速度可由对应分矢量合成。合运动轨迹是直线还是曲线，取决于合加速度与合速度是否共线。 模型剖析：1.如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫那几个运动的　合运动　；那几个运动叫这个实际运动的　分运动　。 2.运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程叫运动的　合成　，由合运动求分运动的过程叫运动的　分解　。运动的合成与分解遵循　平行四边形定则　。 3.合运动和分运动的关系 （1）等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等（不同时的运动不能合成）。 （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。 （3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。 （4）同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。 4.运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵从平行四边形定则。 5.求解运动的合成与分解问题的技巧 （1）求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。 （2）物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。 6.合运动性质的判断 （1）合加速度（或合力） （2）合加速度（或合力） 【例2】有一个质量为2 kg的质点在直角坐标系xOy所在的平面内运动，x方向的速度-时间图像和y方向的位移-时间图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是（     ） A．质点的初速度大小为2 m/s B．质点初速度的方向与合外力的方向垂直 C．质点所受的合外力大小为4 N D．0~2 s内质点的位移大小10 m 【答案】D 【详解】A．由图甲得，图乙为倾斜直线，斜率表示y方向速度，则 则质点的初速度大小为，故A错误； B．图像斜率表示加速度，由图甲斜率得 由图乙可知，物体在y方向做匀速直线运动，即，所以合外力沿x轴正方向。初速度的x方向分量为正、y方向分量为负，可知初速度不沿y方向，即初速度方向不与合外力方向垂直，故B错误； C．质点加速度大小为，由牛顿第二定律得，故C错误； D．图像与横轴围成的面积表示位移，由图甲可知，内质点沿x方向的位移大小 由图乙可知，内质点沿y方向的位移大小 则内质点的位移大小为，故D正确。 故选D。 【变式2-1】一质量为的物体（视为质点）在坐标系中，从坐标原点处开始计时，沿轴方向的图像如图甲所示，沿轴方向做初速度为的匀加速运动，图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．物体受到的合力大小为 B．物体的运动轨迹为直线 C．时物体的速度大小为 D．前内物体的位移大小为 【答案】C 【详解】A．由图甲可知，物体沿轴方向的初速度为，加速度为 由图乙可知，物体沿轴方向的加速度为 根据加速度的合成及牛顿第二定律，物体受到的合力大小为，A错误； B．物体的初速度沿轴正方向，合加速度与初速度不共线，因此物体做曲线运动，B错误； C．设，此时物体沿轴方向的速度为 沿轴方向的速度为 根据速度的合成，此时物体的速度大小为，C正确； D．前内，物体沿轴方向的位移为 沿轴方向的位移为 根据位移的合成，物体的位移大小为，D错误。 故选C。 【变式2-2】（多选）某市无人机外卖配送正逐步普及，午间高峰时段，一架无人机从商圈O点出发，需沿正东方向直线飞行20 m，将餐品送达写字楼B点的取餐窗口。无风时无人机的飞行速度（即机头指向方向的速度）恒为。而此次飞行过程中，无人机受到恒定的南风（风向由南指向北）的影响，风速大小为，无人机需调整机头朝向确保实际飞行轨迹严格沿OB直线，如图所示，设机头方向与正东方向的夹角为（向南偏），已知，，若只考虑无人机从O到B沿直线匀速飞行的过程，下列说法正确的是（     ） A．机头方向与正东方向的夹角为 B．无人机沿OB方向的实际飞行速度大小为4 m/s C．无人机从O到B所需时间为4 s D．若风速突然增大（风速仍小于5 m/s），为保持航线不变，需适当增大夹角 【答案】BD 【详解】A．由上述分析，正北方向上机头速度分量与南风速度抵消，有，得，结合可知，故A错误； B．无人机沿方向的实际飞行速度为机头速度在正东方向的分量，，故B正确； C．无人机沿做匀速直线运动，所需时间，故C错误； D．由可知，机头速度恒为不变，当风速突然增大（仍小于）时，增大，夹角随之增大，故D正确。 故选BD。 模型03.小船渡河模型 模型构建：小船渡河是合运动与分运动典型模型：船相对水的运动、水流运动为两个独立分运动，合运动是船相对岸的实际运动，满足等时性、独立性。渡河时间由垂直河岸的分速度决定，与水流速度无关；水流只影响沿河岸的偏移位移。最短时间：船头正对河岸；最短位移分船速大于 / 小于水速两种情况 模型剖析： 1.模型简介 该模型是典型的两个匀速直线运动的合成，小船同时参与两个运动，一是沿水流方向的运动，二船本身相对水的运动。 2.两类问题、三种情景 ①.渡河的最短时间 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间：tmin=，此时的渡河位移为x=， v合= ②.渡河位移最短 ①若v船>v水 当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽xmin=d，v合=v船sin，t= ②若v船<v水 当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于x=，v=v水cos，t= 【例3】某段河流两岸彼此平行，河水中各处水流速度均匀且稳定。现有一只小船，其在静水中的航行速度大小为；若小船以与上游河岸成的方向从A处出发渡河，经过一段时间后，恰好能抵达正对岸的B处。，。则下列说法中正确的是（　　） A．河中水流速度为8m/s B．河的宽度为240m C．小船渡河的最短时间为40s D．小船以最短的时间渡河时，到达河对岸时被冲向下游300米 【答案】C 【详解】AB．根据题意可知，小船垂直河岸渡河，则有 河的宽度为，故AB错误； C．当船头与河岸垂直时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为，故C正确； D．小船以最短的时间渡河时，到达河对岸时被冲向下游，故D错误。 故选C。 【变式3-1】（多选）某救援队员需用船将急救药品送至对岸的码头。平直河流两岸平行，宽度为60 m，水流速度大小为3 m/s，船在静水中的速度大小为5 m/s。下列说法正确的是（     ） A．当船头垂直河岸时，船渡河的时间为12 s B．若以最短时间渡河，则船渡河的实际位移大小为75 m C．仅调整船头方向，船可直达正对岸，且渡河的时间为15 s D．仅调整船头方向，船渡河的时间可能小于12 s 【答案】AC 【详解】ABD．当船头垂直河岸时，船渡河的时间最短，且最短时间 此时船的位移大小为，故A正确，BD错误； C．船头指向上游，当水流速度与船在静水中的速度的合速度方向垂直河岸方向时，船可直达正对岸，此时船的实际速度大小 船渡河的时间，故C正确。 故选AC。 【变式3-2】（多选）1935年，红军四渡赤水河，最后跳出包围圈。假设赤水河河宽为d，水流速度大小恒为，一艘小船在静水中的速度大小恒为。下列说法正确的是（     ） A．小船渡河的最短时间为 B．小船渡河的最短航程一定为d C．若，则小船渡河的最短航程为 D．若，且水流速度突然增大，则小船渡河的最短时间将变短 【答案】AC 【详解】A．小船渡河时间由垂直河岸的分运动决定，当船头垂直河岸航行时，垂直河岸分速度最大为，最短时间，A正确； B．只有当时，可调整船头使合速度垂直河岸，最短航程为；若，无法实现合速度垂直河岸，最短航程大于，B错误； C．当时，合速度的方向与船在静水中的速度的方向垂直时，渡河航程最短，如图所示 由几何关系，有， 联立得，C正确； D．水流速度沿河岸方向，不影响垂直河岸的分运动，因此水流速度增大，渡河最短时间不变，D错误。 故选AC。 模型04.关联速度模型 模型构建：关联速度核心：物体沿绳 / 杆方向的分速度大小相等。将实际合速度沿绳（杆）、垂直绳（杆）正交分解，沿绳分量传递速度。绳端物体的实际速度是合速度，不可误把绳速当作物体速度。绳只传递沿绳方向的速度，垂直绳分速度负责绕绳端点转动，常用于拉船、杆两端物体联动问题 模型剖析： Ⅰ.动滑轮移动模型 模型特点：滑轮运动，物体与滑轮间出现相对运动。 分析思路： ①以滑轮为参考系。 ②利用沿绳方向速度相等，找到物体相对滑轮的运动。 ③将滑轮运动与物体相对运动进行合成，计算合速度。 Ⅱ.关联速度问题 一.“关联速度”特点 关联速度问题，通常利用沿弹力方向分速度相等的特点，来解决问题。 常见的种类分为：绳关联，面关联，杆关联。 牵连体在运动过程中，两物体的速度通常不同，但物体沿绳，杆或面的弹力方向的速度分量大小相等。 补充：通常牵连体模型的连接结构主题是绳、杆、面，这三类物体沿弹力方向无法发生相对运动。（即不可伸缩，故该方向速度相同） 二.分析思路 三.常见的模型分析 1.绳关联 将合运动（实际运动）沿绳和垂直于绳方向进行分解，利用沿绳方向分速度相等联立求解。 2.杆关联 将合运动（实际运动）沿绳和垂直于杆方向进行分解，利用沿杆方向分速度相等联立求解。 3.面关联 将合运动（实际运动）沿弹力和垂直于弹力方向进行分解，利用沿弹力方向分速度相等联立求解。（通常弹力垂直与接触面） 4.旋转关联 同一物体旋转时，角速度相等，利用弹力关联分解，之后结合v=R求解杆上的其他点的速度。 【例4】如图所示，平台上汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引重物上升，平台足够长，汽车始终保持速度v匀速运动，当绳与平台面夹角为θ时，下列说法正确的是（     ） A．重物减速上升 B．重物上升速度为vsinθ C．绳子拉力小于重物重力 D．绳子拉力大于重物重力 【答案】D 【详解】AB．绳不可伸长，汽车速度沿斜绳方向的分量大小为，所以斜绳段长度增加速率为，竖直绳段等量缩短，重物上升速度为 汽车向左运动时，汽车到滑轮竖直投影的水平距离增大，而高度差不变，因此减小、增大。重物上升速度逐渐增大，故AB错误； CD．重物上升速度逐渐增大，故其加速度方向向上。取竖直向上为正方向，对质量为的重物由牛顿第二定律得 因，所以，故C错误，D正确。 故选D。 【变式4-1】（多选）如图所示，竖直平面内固定一半径为的半圆形轨道，为最低点，直径水平，在圆心的正上方与相距处的点有一轻小定滑轮，两小球a、b（均视为质点）用一绕过定滑轮的轻绳连接，a套在轨道上。a在外力作用下从点左侧一小段距离处开始沿轨道运动，使b以速率匀速下降。在时刻小球运动到图示位置，此时段轻绳的长度为。则下列说法正确的是（     ） = A．运动到的过程中，小球a的速度逐渐增大 B．运动到的过程中，小球a的速度逐渐变小 C．时刻，小球a的速度大小为 D．时刻，小球a的速度大小为 【答案】BC 【详解】AB．小球沿半圆形轨道运动，速度是合速度，小球运动到图示位置，将其速度沿绳方向、垂直绳方向分解，如图所示 设两段轻绳间的夹角为，与相距等于,可得与绳的夹角也为。 轻绳不可伸长，小球匀速下降，运动方向与绳共线，可得小球沿绳方向的分速度大小等于小球的速率，即 可得 运动过程中逐渐变大，小球的速度逐渐变小，故A错误，B正确； CD．此时段轻绳的长度为，根据几何关系得 解得 可解得小球的速度大小为，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式4-2】直角侧移门结构可简化成图甲（俯视）。玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动（滑轮视为质点）。玻璃门的宽度为。关门时，拉住把手使滑轮A从图甲中的初始位置由静止开始做加速度为的匀加速运动，当A达到乙图位置时，滑轮B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当A到达图乙位置时，轻杆与竖直方向夹角为，由几何关系，A到拐角的距离；B到拐角的距离 因此A从初始位置下降了；A做匀加速运动，初速度为零，加速度，由运动学公式 解得此时A的速度大小 A、B由轻杆连接，沿杆方向的速度分量相等。轻杆与竖直方向成，则A的速度竖直向下，沿杆方向分量为；B的速度水平向左，沿杆方向分量为 由速度投影满足 解得 故选B。 1. （多选）如图所示，建筑装修工人运用滑轮系统往高楼上搬运装修材料。一条绳索绕过定滑轮P，一端系在建材A上，另一端系在工具车牵引栓上，当工具车沿水平地面以v向右匀速行驶时，建材A将在绳索的牵引下竖直向上运动，下列判断中正确的是（     ） A．当绳与水平面间夹角为时，建材的上升速度 B．当绳与水平面间夹角为时，建材的上升速度 C．绳子对建材A的拉力大小等于A的重力大小 D．若要建材A匀速上升，则工具车需向右减速行驶 【答案】AD 【详解】AB．绳不可伸长，定滑轮两侧绳段沿绳方向的速度大小相等。车速沿斜绳方向的分速度等于建材的上升速度，即，故A正确，B错误； C．车以恒定速度向右行驶时，斜绳与水平面的夹角逐渐减小，增大，建材加速上升。设建材质量为、绳子拉力为，取竖直向上为正方向，由牛顿第二定律得 建材的加速度向上，拉力大于重力，故C错误； D．若建材匀速上升，保持不变，而车右行时增大，由前述绳速关系得，故D正确。 故选AD。 2. 2025年春节期间，重庆“两江四岸”2025架无人机腾空而起，将夜空装点得美轮美奂（如图1）。如图2所示，两架无人机a、b分别悬停在空中A、B处，A点在B点正上方。时刻，a沿与水平方向夹角的方向匀速运动，同时b做初速度为零的匀加速直线运动。时刻，a、b在C点相遇，且。a、b均可视为质点，则b飞行的加速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据几何关系，无人机沿方向运动，水平位移为 竖直位移为 由于点在点正上方处，则点相对于点的竖直高度为 水平距离为 无人机从到的位移大小为 做初速度为零的匀加速直线运动，由位移公式 解得加速度大小 故选B。 【基础夯实】 3. 2026年世界人形机器人运动会于北京国家速滑馆举行。比赛中，一机器人接住旋转的“香蕉球”后，带着足球绕过其前方静止的另一机器人。关于比赛，下列说法正确的是（     ） A．机器人“看到”足球迎面飞来，选取的参考系是足球 B．机器人绕过另一机器人时，其速度一定发生变化 C．研究“香蕉球”在空中的运动轨迹时，不可将足球看成质点 D．研究如何踢出“香蕉球”时，可将足球看成质点 【答案】B 【详解】A．描述足球相对机器人的运动时，参照物应选机器人；“足球迎面飞来”不是以足球为参考系描述的，故A错误； B．机器人绕过静止的另一机器人时沿曲线运动，速度方向沿轨迹的切线方向。运动方向发生变化，即使速率不变，速度也一定发生变化，故B正确； C．研究足球在空中的运动轨迹时，关注的是足球整体位置的变化，足球的大小和形状相对运动范围可以忽略，能够将足球看成质点，故C错误； D．研究如何踢出“香蕉球”时，需要考虑足球受到踢击的位置及足球的转动，足球的大小和形状不能忽略，不能将足球看成质点，故D错误。 故选B。 4. 跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动。如图所示，一位跳水运动员高台跳水，虚线是其头部的运动轨迹。、、、四个位置中，箭头所指方向与该位置速度方向一致的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】做曲线运动的物体，其速度方向沿轨迹上该点的切线方向。 A．点的速度与轨迹相切，与水平方向呈一定角度，图中箭头水平向左，与速度方向不一致，故A错误； B．点位于轨迹向下运动阶段，该点速度沿切线方向竖直向下，图中箭头竖直向下，方向一致，故B正确 C．点的速度与轨迹相切，与竖直方向呈一定角度，图中箭头竖直向上，与速度方向不一致，故C错误； D．点位于小圆弧的顶端，为轨迹向左运动阶段，该点速度沿切线方向水平向左，图中箭头水平向右，与速度方向不一致，故D错误。 故选B。 5. 2026年10月5日晚，东北超最终对决，长春队击败大连队夺冠。大连梭鱼湾决赛现场63259人观赛，刷新梭鱼湾球场上座纪录。比赛时某次足球在空中的飞行轨迹如图中虚线所示，足球在空中运动时不旋转，轨迹在竖直平面内。足球在最高点的速度和所受合力的方向可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】足球做曲线运动，在最高点时有水平分速度，且水平分速度方向沿轨迹的切线方向；足球除受重力外还受到与速度方向相反的空气阻力作用，则所受的合力方向与速度方向的夹角为钝角。 故选C。 6. 甲、乙两物体做直线运动，其位移—时间图像如图所示，则在时间内（    ） A．甲做匀加速直线运动 B．乙做曲线运动 C．两物体平均速率相等 D．甲乙有两次速率相等 【答案】D 【详解】A．图像的斜率表示速度，甲的速度不变，做匀速直线运动，故A错误； B．图像表示的是直线运动，乙先做负向速度减小的直线运动再做正向速度增大的直线运动，故B错误； C．在与时刻两物体相遇，甲做单向直线运动，乙先负向运动再做正向运动；平均速率是路程与时间的比值，甲的路程小于乙的路程，甲的平均速率小于乙的平均速率，故C错误； D．图像的斜率表示速度，甲的速度不变，乙在图像的最低点时刻静止，在这个时刻左右各有一个斜率或斜率的绝对值与甲的斜率相同的点，所以甲乙有两次速率相等，故D正确。 故选D。 7. 由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，、、、、点为弹道曲线上的5点，其中点为发射点，点为落地点，点为轨迹的最高点，、为运动过程中高度相等的两点。下列说法中正确的是（     ） A．炮弹沿轴方向的分运动是匀减速运动 B．到达点时，炮弹的速度为零 C．到达点时，炮弹的加速度为零 D．炮弹由点运动到点的时间小于由点运动到点的时间 【答案】D 【详解】A．炮弹在水平方向上只受到空气阻力的水平分力作用，阻力方向与速度方向相反。由于炮弹的速度大小和方向在不断变化，空气阻力的大小和方向也在变化，导致水平方向的加速度不是恒定值，所以水平分运动不是匀减速运动，故A错误； B．点为轨迹的最高点，炮弹在竖直方向的分速度为零，但水平方向的分速度不为零，所以炮弹在点的速度不为零，故B错误； C．到达点时，炮弹受到竖直向下的重力和水平向左的空气阻力，合力，由牛顿第二定律可知加速度，故C错误； D．在从到的上升过程中，竖直方向上受到向下的重力和向下的阻力分力，由牛顿第二定律可得，解得 在从到的下降过程中，竖直方向上受到向下的重力和向上的阻力分力，由牛顿第二定律可得 解得 在竖直位移大小相同的情况下，加速度越大，时间越短，所以炮弹由点运动到点的时间小于由点运动到点的时间，故D正确。 故选D。 8. 如图所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上。在斜面上建立直角坐标系xOy，x轴沿斜面内的水平方向，y轴沿斜面向下。原点O与斜面底边之间固定一垂直于斜面的光滑挡板。时，将可视为质点的物块从O点由静止释放，到达斜面底边前，物块沿挡板在斜面上运动。物块沿x、y方向的位移分别记为x、y，分速度分别记为、。下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物块在光滑斜面上受重力沿斜面的分力（方向沿轴正方向）和挡板支持力作用，沿挡板方向做匀加速直线运动。 设挡板与轴夹角为，则物块沿挡板方向的加速度大小为 AC．物块位移 因此物块在轴上的分位移为 在轴上的分位移为 和均与成正比，且图像和图像均应为开口向上的抛物线，故AC错误； B．物块在轴上的分速度为 在轴上的分速度为 和均与成正比，且图像和图像均应为过原点的倾斜直线，故B正确； D．由和 解得 即与成正比，故D错误。 故选B。 【培优拔高】 9. 一根细棒AB水平放置在地面，A端紧挨着墙面。现让棒的A端沿着墙面匀速上移，如图所示，当A端与B端的速度大小之比为时，AB棒与地面的夹角为（     ） A．30° B．45° C．53° D．60° 【答案】D 【详解】设AB棒与地面的夹角为，因A、B两点沿棒的方向的分运动相等，可知 解得 代入题目条件，可得，即 故选D。 10. 某航拍无人机在竖直平面内运动，以时刻的位置为坐标原点、水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向建立坐标系，无人机运动过程中的水平速度随时间变化的图像和竖直位移随时间变化的图像分别如图甲、乙所示。则下列说法正确的是（     ） A．0~2s内无人机水平方向的位移大小为1.0m B．0~2s内无人机在竖直方向做匀加速直线运动 C．2s末无人机速度方向与水平方向的夹角为 D．0~2s内无人机的运动轨迹为直线 【答案】A 【详解】A．由图甲可知，无人机水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，图像与时间轴所围图形的面积表示位移大小，则0~2s内水平位移大小为，A正确； BC．由图乙知无人机在竖直方向做匀速直线运动，竖直方向分速度 2s末水平方向分速度 则速度方向与水平方向夹角的正切值为，，BC错误； D．无人机有水平方向的加速度、竖直方向的初速度，加速度方向与初速度方向不共线，无人机做曲线运动，D错误。 故选A。 11. （多选）如图所示，两艘拖船A、B通过不可伸长的轻质缆绳拖着无动力货船C在静水中匀速航行。拖船A的速度大小为，方向沿缆绳CA方向；拖船B的速度大小为，方向沿缆绳CB方向。已知缆绳CA与CB的夹角为，忽略水流影响，则下列说法正确的是（　　） A．货船C的速度大小为 B．货船C的速度大小为 C．仅增大两缆绳的夹角，货船C的速度大小将增大 D．仅增大两缆绳的夹角，货船C的速度大小将减小 【答案】BC 【详解】AB．缆绳不可伸长，货船速度沿缆绳方向的分量等于拖船速度，由对称性，货船速度方向沿的角平分线。合速度大小： 解得，故A错误，B正确； CD．增大两缆绳夹角，由，增大则减小，增大，故C正确，D错误。 故选BC。 12. 如图，千斤顶由四根等长杆通过铰链相连而成。摇动手柄即可竖直升、降重物。若使用时，A、C两点的间距每秒均匀缩短4mm，当时，则重物的速度为（　　） A．方向竖直向上，大小为8mm/s B．方向竖直向上，大小为4mm/s C．方向竖直向下，大小为8mm/s D．方向竖直向下，大小为4mm/s 【答案】B 【详解】A、C两点间距缩短，B点的速度方向竖直向上，重物上升，A、C两点的速度方向分别垂直AD、CD方向，大小相等，A、C两点的间距每秒均匀缩短4mm，可知A、C两点速度的水平分量大小相等为 当时，B点和C点沿BC方向的分速度大小相等，即 又 解得 故选B。 13. 如图所示，水平传送带的长方形区域，边长为，边宽为，传送带以速度匀速运动，一可视为质点的小物块从点以平行于方向的速度滑上传送带，已知小物块与传送带的动摩擦因数为，重力加速度。求： (1)小物块刚滑上传送带时，相对传送带的速度的大小及与边间夹角的正切值； (2)小物块在传送带上滑行的时间及滑离传送带时的位置。 【答案】(1)， (2)，滑离位置在边上距离点处 【详解】（1）以传送带为参考系，物块相对传送带的初速度等于物块对地速度与传送带对地速度的矢量差。 由于物块初速度（沿方向）与传送带速度（沿方向）垂直，故相对速度的大小为 设相对速度方向与边的夹角为，则 （2）物块相对传送带运动，受到的滑动摩擦力方向与相对速度方向相反，大小为 由牛顿第二定律，物块在相对参考系中的加速度（即相对加速度）大小为，方向与相对速度方向相反 以传送带为参考系，物块做初速度为，加速度大小为的匀减速直线运动，方向与方向夹角为斜向左上方 滑离传送带时，物块在该方向上的位移为 因为 故可解得 设运动时间为，由运动学公式可得 解得，说明物块刚好在时到达传送带边缘 在该段时间内，传送带的绝对位移为，方向沿水平向右 而物块相对于传送带运动了，方向沿水平向左 因此物块在水平方向上的绝对位移为，方向沿水平向右 因为物块相对参考系中沿斜向左上方运动，故物块滑离传送带时的位置在一侧。其绝对水平位移为向右，因此其滑离位置在边上距离点处 14. 如图所示，竖直边界线MN右侧空间存在一足够大的风洞区域。一水平台面右端紧靠边界线MN。在水平台面上P点竖直固定一长为的杆，杆上端O点放置一质量为的小球，直杆和MN相距。现给小球一个水平向右的初速度，使小球和直杆之间的弹力恰好为零，小球进入风洞区域后，受到方向水平向左、大小的恒定风力作用。已知除上述恒定风力外，不计其它空气作用力，重力加速度为，，求： (1)小球在风洞区域沿着水平方向运动的最大位移； (2)小球在风洞区域内运动时的最小速率； (3)小球在风洞区域内运动过程中，速度的最大值及此时离直杆顶端O点的距离。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）小球和直杆之间的弹力恰好为零，则在O点对小球由牛顿第二定律可得： 解得 小球进入风洞区域后，水平方向做匀减速直线运动，加速度为，由牛顿第二定律可得： 沿着水平方向运动的最大位移为，则 解得 （2）小球刚进入风洞区域时竖直方向的速度为，则， 解得 小球刚进入风洞区域时的速度大小为 刚进入风洞区域时速度方向与竖直方向的夹角为，则 解得 小球受到合力方向与竖直方向夹角为 小球刚进入风洞区域时的合速度方向与合力方向的夹角为，小球在风洞区域做类斜抛运动，当合力方向与速度方向垂直时，小球在风洞区域内运动时速度最小，最小速度为 （3）由题意可知，小球刚离开风洞区域时，速度最大。 小球在风洞区域中运动时间为 竖直方向 速率最大为 联立解得 竖直位移 小球离O点的距离为 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $